Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Математична статистика - Математика

Простором елементарних подій називається безліч результатів деякого експерименту.

Елементарним подією називається будь-який елемент простору елементарних подій.

Подією називається будь-яка підмножина простору елементарних подій.

Генеральною сукупністю називається досить велика, може, нескінченна підмножина елементарних подій.

Випадковою величиною називають функцію від елементарного події.

Експериментом називається функція, що приймає значення на просторі елементарних подій.

Статистична моделлю називається сукупність законів, яким підкоряється процедура експерименту.

Випадкової виборкой1 або просто виборкой1 обсягу n називається набір деякого числа елементів генеральної сукупності, спостережених при серії з n однакових експериментів

Виборкой2 обсягу n називається набір 1, ..., n випадкових величин, визначених на натуральних числах 1, ..., n, k-я с.в. приймає значення результату ki-го експерименту на числі i, за умови, що всі експерименти однакові.

Статистикою називається будь измеримая функція від вибірки.

Функцією правдоподібності називається щільність розподілу виборкі2, як n-мірної випадкової величини.

Варіаційний ряд, розподіл порядкових статистик. Емпіричні Квантилі ГММЕ 398.

к-й порядкової статистикою вибірки х1, ..., хn називається така випадкова величина х (k), що для кожного набору значень вибірки х1, ..., хn х (k) дорівнює такому хi, для якого знайдеться рівно i-1 елементів вибірки, які менше хi.

Якщо х1, ..., хn - незалежні, однаково розподілені випадкові величини, що розподіл к-й порядкової статистики задається наступною формулою :, де B (a, b) - щільність бета розподілу.

Варіаційним рядом називається послідовність порядкових статистик x (1), ..., x (n).

Вибірковим Квантиль порядку р називається значення х ([np] +1).

Квантиль zp для с.в. х з функцією розподілу F (x) називається будь корінь рівняння F (zp) = p.

Емпірична функція розподілу, її св-ва, як функції розподілу і як випадкового елементу (розподілу та числові характеристики) СКТ 191.

Емпіричним розподілом називається розподіл, який кожному елементу виборкі1 х1, ..., хn ставить у відповідність вероятность1 / n.

Емпіричним распределеніемAn для вибірки х1, ..., хn називається функція, за визначенням рівна, гдеравно 1, якщо хk належить В, і нулю інакше.

Емпіричної функцією розподілу називається функція Fn (x) = A (- ?, x).

Математичне сподівання емпіричної функції розподілу M (x) дорівнює середньому арифметичному значень х1, ..., хn.

Дисперсія емпіричної функції розподілу.

Вибірковим моментом порядку k називається значення.

Збіжність емпіричної функції розподілу. Теорема Гливенко - Кантеллі (БМС 22).

Теорема. Для емпіричного розподілу An (x) і розподілу генеральної сукупності A (x) при n® ?.

Теорема Гливенко - Кантеллі. Для емпіричної функцією розподілу Fn (x) і розподілу генеральної сукупності F (x) при n® ?.

Теорема Колмогорова. Доказ незалежності статистики Колмогорова від виду неперервної функції розподілу - СКТ 209 ГММЕ 173.

Статистикою Колмогорова для безперервної функції розподілу генеральної сукупності F (x) і - емпіричної функція розподілу Fn (x), побудованої за вибіркою х1, ..., хn, називається функція.

Теорема. Якщо F (x) неперервна, то розподілу статистики Колмогорова Dn не залежить від F (x).

Умовні математичні сподівання і умовні розподілу. Св-ва умовних мат. очікувань. Аналоги формул повної ймовірності та формули Байєса для мат. очікувань ГММЕ 173 ШВ 91.

Умовним законом розподілу Д.С.В. h при заданому значенні Д.С.В. x = хk називається набір умовних вероятностейl = 1, ..., m.

Умовним математичним очікуванням Д.С.В. h при заданому значенні Д.С.В. x = хk називається сума. Має місце рівність M [M (x?h)] = Mh. М (Р (h = yl | x = xk)) = P (h = yl).

Достатні статистики. Теорема Неймана-Фішера (критерій достатності) СКТ 221.

Достатньою називається така статистика t (x), що для випадкової величини x з розподілом p (x, q) умовний розподіл P (x | t (x) = t0) не залежить від параметра q (тобто через неї можна визначити значення параметра q).

Теорема. Статистика t (x) з розподілом p (x, q) = g (t (x); q) h (x) є достатньою.

Статистичні оцінки. Св-ва оцінок: спроможність, Незміщеність, ефективність. Завдання оптимального статистичного оцінювання СКТ 215.

Оцінкою для незалежної вибірки (x1, ..., xn) називають статистику, призначену для використання замість параметра q, в якості його наближення, однозначно визначається вихідним розподілом F з сімейства розподілів Fq (x).

Незміщеної називається така оцінка, що її мат. сподівання дорівнює q.

Заможної називається послідовність оцінок, сходящаяся по ймовірності до q.

Ефективною називається така оценкачто її дисперсія мінімальна серед послідовності оцінок.

Поліпшення оцінок за допомогою достатніх статистик. Теорема Колмогорова Блекуела Рао ВДВ СКТ 222.

Теорема Колмогорова Блекуела Рао. Нехай t (х) - достатня статистика сімейства розподілів p (x, q), а- несмещенная оцінка параметра q з кінцевою дисперсією для деякої вибірки (x1, ..., xn). Тоді умовне мат. ожіданіепрі фіксованому t (х) буде незміщеної оцінкою q з дисперсією що не перевершує дисперсію.

Повні достатні статистики та їх використання для знаходження незміщене оцінок з мінімальною дисперсією СКТ 222 БМС 142.

Повним сімейством розподілів Gq, що залежать від к-мірного параметра q називається таке сімейство Gq, що з рівності нулюдля будь вимірної функції y (s), випливає, що y (s) = 0.

Повної називається статистика з повним сімейством розподілів Gq, індукованим розподілом генеральної сукупності G.

Теорема. Для повної достатньої статистики S та оцінки q, оцінка qs = M (q | S) є єдиною ефективною оцінкою.

Нерівність Крамера-Рао-Фреше. Ефективні оцінки в регулярному випадку. Інформація Фішера і її св-ва СКТ 224.

Інформацією Фішера для щільності p (x, q) називають математичне очікування.

Нерівність Рао-Крамера. Для сімейства щільностей p (x, q) і оценкіс математичним очікуванням g (q) таких, чтоі, має місце нерівність.

Ефективністю оценкіс математичним очікуванням g (q) називається відношення.

Ефективною називається оцінка, ефективність якої дорівнює 1.

Метод моментів св-ва оцінок СКТ 228.

Методом моментів називають спосіб знаходження оцінок до к = 1, ..., r, одержуваних як рішення системи mk0 = mk (q1, ..., qr), де, а mk - моменти порядку до для незалежної вибірки з щільністю p (x, q1, ... , qn).

Теорема. Безперервні оценкік к = 1, ..., r, одержувані методом моментів, спроможні.

Асимптотичні св-ва статистичних оцінок. Спроможність, асимптотична ефективність, асимптотична нормальність СКТ 227 ВДВ 221.

Асимптотично ефективністю оценкіn називається кінцевим межа.

Асимптотично ефективної називається така оцінка, асимптотична ефективність до-рій дорівнює одиниці.

Асимптотично нормальною називається оцінка, яка в межі сходиться до нормального розподілу.

Спроможність і асимптотична нормальність емпіричних моментів і функцій від емпіричних характеристик (БМС 40).

Теорема. Нехай F0 - функція розподілу генеральної сукупності і g, Sn такі, що, де h - дифференцируема в точці ,, то, де x - н.р.с.в. з параметрами 0 і.

Асимптотичні св-ва оцінок максимальної правдоподібності. Метод максимальної правдоподібності. Оптимальні св-ва оцінок СКТ 229 ГММЕ 541 ВДВ 221 ВДВ 249.

Оцінкою максимальної правдоподібності називається оцінка, звертає в максимум функцію правдоподібності: L (x;) = maxqL (x; q), або.

Теорема. Якщо q1Основні поняття загальної теорії статистичних рішень: пр-во рішень, функція втрат і функція ризику. Байесовский і мінімальний підходи до завдань статистичних рішень (БМС 120).

Байесовский підхід полягає в поданні параметра q як випадкової величини з деякою щільністю q (t), званої апріорній.

Байєсівської оцінкою q ~, що мінімізує M (qq ~) 2 є функція, де- апостеріорне розподіл q ,, |t (x) - функція правдоподібності, l - міра.

Мінімальної називається така оцінка q ~, що для будь-якої іншої оцінки q, qIQ.

Байєсовські оцінки при квадратичної функції втрат. Апріорний і апостеріорний ризик. Порівняння з ефективними оценкамі.Нормальное розподілення у Rn. Еквівалентність різних визначень і св-ва. ГММЕ 341 СКТ 164.

Нормально розподіленим називається такий випадковий вектор x, що його характеристична функція дорівнює, де, а - вектор, а В - симетрична матриця позитивно певної КВАФ. Будь-яке лінійне перетворення нормально розподіленого випадкового вектора також є нормальним випадковим вектором.

Теорема. Для того щоб вектор x був нормально розподілений, необхідно і достатньо, щоб мало місце уявлення, де qi - набір нормально розподілених н.о.р.с.в., g - деяка матриця, Mxa = aa.

Розподіл хі квадрат. Стьюдента, Фішера та їх використання в мат. статистикою СКТ 169.

 Розподіл

 Формула щільності

E

s

 Геометричне xIQ p (x) = q (1-q) x (1-q) / q (1-q) / q2

 Пуассона xIQ

 x x

 Нормальне xIR

 a s2

 Гамма x> 0

 Хі квадрат з k ступенями свободи х?0

 Стьюдента з k ступенями свободи

 xIR

 Фішера

 х?0

Незалежність середнього арифметичного і середнього квадратичного для незалежних нормально розподілених випадкових величин ГММЕ 413 СКТ 237.

Теорема. Статистики (вибіркове середнє) і (дисперсія) неза. норм. р.с.в. незалежні, випадкова величина s2 (n-1) / s 2 має розподіл хі квадрат з (n-1) м ступенем свободи.

Поняття довірчого інтервалу - інтервального статистичної оцінки і його хар-ки. Точні і асимптотичні довірчі інтервали СКТ 234.

Довірчим інтервалом для вибірки з розподілом p (x, q) називається такий відрізок, що q приймає значення з цього відрізка з імовірністю 1-a, званої довірчою ймовірністю.

Асимптотическим довірчим інтервалом рівня e називається такий інтервал (q1, q2), що.

Довірчі інтервали для параметрів нормального розподілу СКТ 236.Доверітельние інтервали для параметрів біноміального розподілу СКТ 240.Проверка статистичних гіпотез. Загальні поняття: прості і складні статистичні гіпотези, критерії, помилки 1го та 2го роду, розмір, потужність критерію СКТ 197.

Статистичної гіпотезою називаються припущення про значення параметра q для вибірки з розподілом p (x, q).

Простий називається статистична гіпотеза, яка полягає в тому, що q = q0.

Складною називається статистична гіпотеза, що передбачає приналежність q до деякого мн-ву Q0.

Помилкою першого роду називається спростування вірною гіпотези.

Помилкою другого роду називається прийняття помилкової гіпотези при існуючій істинною.

Критерій - правило, за яким гіпотеза Н буде відкинута, якщо випадкова величина приймає значення з критичного мн-ва S.

S критерієм перевірки гіпотези називається критерій полягає в знаходженні критичного подмн-ва вибірки, що не якому гіпотеза не вірна.

Рівнем значущості називається ймовірність помилки першого роду.

Функцією потужності S критерію називається функціято є ймовірність відкинути гіпотезу Н0 при істинному значенні параметра q.

Оптимальним, або найбільш потужним називається критерій S для якого W (S, q0) = a, W (S, q1) = maxW (S, qk) при S належить безлічі всіх критеріїв з рівнем значущості a, де q0 q1 - значення параметрів для двох розглянутих гіпотез.

Перевірка двох простих гіпотез. Лемма Неймана-Пірсона. Критерій відношення правдоподібності як найбільш потужний критерій ГММЕ 541.

j критерієм називається такий критерій, згідно з яким гіпотеза Н відкидається, якщо деяка бінарна випадкова величина від вибірки, приймаюча свої значення з імовірностями a і 1-a соотв., приймає нульове значення.

Оптимальним, або найбільш потужним називається такий j критерій, що W (j, q0) = a, W (j, q1) максимальний серед всіх j - критеріїв з рівнем значущості a.

Теорема Неймана-Пірсона. Для будь-якого a від нуля до одиниці існують такі числа с, більшу нуля, і 0 ? e ? 1, що j критерій з функцією рівною 1, якщо p (x, q1)> cp (x, q0), e, якщо вони рівні і 0, якщо p (x, q1)Рівномірно найбільш потужні критерії. Сімейство розподілів з монотонним ставленням правдоподібності ГММЕ 571580.

Рівномірно найбільш потужним називається такий критерій, що для будь-яких двох значень невідомого параметра з безлічі їх допустимих значень і не рівних фіксованому a0 безліч Х, яке визначається співвідношенням

| (X, a1) ?c| (x, a0) одне і теж.

Критерій згоди. Критерій Колмогорова, критерій хі квадрат Пірсона СКТ 209 ГММЕ 368453488.

Критерієм згоди називається критерій, що дозволяє з'ясувати згода між розподілом вибірки і емпіричним розподілом.

Критерієм Колмогорова називається критерій, який приймає гіпотезу про характер функції розподілу для випадкової вибірки, якщо n1 / 2 Dn ? ka, де ka - a квантиль межі розподілу n1 / 2 Dn при n® ?, Dn = sup | Fn (x) -F (x) | за всіма x, Fn (x) - емпірична функція розподілу вибірки, F (x) - неперервна функція розподілу генеральної сукупності.

Теорема. Якщо F (x) неперервна, то розподіл статистики Dn не залежить від F (x).

Критерієм хи квадрат називається критерій, в якому за міру розбіжності емпіричної функції розподілу з гіпотетичною дорівнює c2 = Svi2 / npi -n, де рi - імовірність деякого підмножини вибірки, розбитою на пряму суму непересічних підмножин.

Критерій однорідності різних вибірок. Критерій Смирнова, критерій Стьюдента. Критерій незалежності СКТ 211 ГММЕ 482.

Критерієм Смирнова називається критерій, що дозволяє перевіряти гіпотезу про те, що дві вибірки х1 ... хn і в1 ... уm взяті з одного і того ж розподілу, заснований на тому, що якщо їх функції розподілу F (x) і G (x) безупинні і збігаються , то при n, m® ?, n / m®c 0Критерієм Стьюдента називається критерій, що дозволяє перевіряти гіпотезу про те, що дві вибірки х1 ... хn і в1 ... мають однакову дисперсію, він грунтується на розгляді відношення дисперсії двох емпіричних розподілів. Якщо F = | D1 / D2 | належить довірчому інтервалу розподілу Фішера, то гіпотеза про рівність дисперсії для двох вибірок вважається заможною.

Критерій однорідності двох вибірок c обсягами n1, n2, розділені на l груп з численностями m'i і m''i соотв. I = 1, ..., l полягає в обчисленні значеніяі порівнювання його з табличним значенням хі квадрат для соотв. Рівня значімості.Спісок літератури:

1. СКТ - Севастьянов "Курс теорії ймовірностей і математичної статистики".

2. ГММЕ - Крамер "Математичні методи статистики".

3. ВДВ - Ван дер Варден "Математична статистика".

4. БМС - Боровков "Математична статистика".

5. ШВ - Ширяєв "Вірогідність".
Єгипет
Реферат з географії учениці 10 «А» класу Ульянової Майї. 2004 год.Флаг Єгипту. Офіційно піднятий 5. 10. 1948. Пропорції 2: 3. Червоно-біло-чорний горизонтальний триколор був введений в Єгипті після революції 1953 На центральній білій смузі з 1958 по 1972 були розташовані дві зелені зірки,

Оцінка вартості підприємства
Контрольна робота по блоку дисциплін Виконав: А. М. Арабян Московська фінансово - промислова академія Москва - 2006р. 1. ЗАВДАННЯ НА КОНТРОЛЬНУ РОБОТУ .Провесті Оцінку ліквідаційної вартості на 01.01.2006 р підприємства «ЗАМОВНИК», розташованого за адресою: Московська область, Подільський

Оцінка цінних паперів
Контрольна робота Виконав: Арабян А.М. Московська фінансовий - промислова академія Москва - 2006 р. 1. ЗАВДАННЯ НА КОНТРОЛЬНУ РОБОТУ Провести оцінку на 01.09.06 м. 100% пакети акцій підприємства ЗАТ «ЗАМОВНИК», розташованого за адресою: Московська область, Подольський р-н, пос. Вороново,

Антитерористична захищеність і комплексна безпеку будівель і споруд м Москви
Комплексом архітектури, будівництва, розвитку та реконструкції м Москви розроблений, впроваджується і вдосконалюється широкий спектр заходів з попередження злочинів і терористичних актів на об'єктах будівництва міста, в які залучені не тільки силові відомства, адміністрації та служби безпеки

Бред Пітт
Brad Pitt (18.12.1964 року [Шавні, шт. Оклахома]) США (Usa) Вільям Бредлі Пітт народився 18 грудня 1963 року в м Шоуні, США, у зразковій американській сім'ї, дуже порядної і дуже релігійній . Батько його працював менеджером в компанії, що займалася вантажоперевезеннями, мати - викладачкою

Оцінка якості води прибережної зони Куршського затоки і Балтійського моря в районі Зеленоградська
А.С. Кунігеліс, Г.Н. Чупахіна, Е.Н. Андреянова, Є.Г. Карницького Наведено мікробіологічні та гідрохімічні показники якості води прибережної зони Куршського затоки і Балтійського моря в районі Зеленоградська. Проблема забруднення води Балтійського моря і Куршського затоки придбала в даний час

Розробка та розрахунок двокаскадного підсилювача з релейним виходом
Виконав студент групи УЕМ-4 Коротков А. Г. Далекосхідний державний технічний рибогосподарський університет Владивосток 2008Прінціпіальная схема і опис роботи. Підсилювачі з релейним виходом широко застосовуються в електричних схемах автоматики, управління і захисту. На базі таких підсилювачів

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати