Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Метод зображень в електростатики - Математика

О. В. ІнішеваBведеніе

Задачі про знаходження електричного поля системи декількох точкових зарядів або системи зарядів, рівномірно розподіленим з яких-небудь поверхням, вирішуються в електростатики без особливих складнощів. В найгіршій ситуації від Вас буде потрібно знання формули Гаусса і, може бути, вміння інтегрувати. Вирішення цих завдань істотно полегшено тим, що ми заздалегідь знаємо величини зарядів і те, як вони розподілені в просторі.

Набагато гірше справа йде в тому випадку, якщо ми маємо систему заданих точкових зарядів і будь-яких проводять або діелектричних поверхонь, розташованих поблизу них. Припустимо, що ми хочемо знайти електричне поле в такій задачі. Система зарядів викличе перерозподіл зарядів на поверхнях, в результаті ми отримаємо індуковані заряди на поверхнях. Очевидно, що індуковані заряди будуть розподілені по поверхнях нерівномірно, особливо велика щільність заряду буде в тих точках поверхонь, які розташовані найближче до зарядам. Але як саме заряди розподілені по поверхнях? Подібні завдання, як правило, не можуть бути вирішені без використання чисельних методів, і такі розрахунки проводять зазвичай на комп'ютерах.

Але є досить велика кількість приватних випадків, в яких можна обійтися без використання обчислювальної техніки. Одним з методів вирішення таких завдань є метод зображень, який полягає у зведенні вихідної задачі, в якій розглядаються заряди і граничні поверхні, до задачі, в якій є ті ж заряди і додаткові (фіктивні) заряди-зображення в безмежному середовищі. Ці заряди-зображення поміщаються поза тій області, в якій визначається поле. Правила побудови зарядів-зображень повністю аналогічні тим, за якими будуються зображення точкових джерел в оптиці в системі дзеркал. Дзеркала мають ту ж форму, що і граничні поверхні. Величини зарядів-зображень визначаються граничними умовами на поверхнях, а також вимогами однаковості поля, створюваного реальною системою зарядів і поверхонь, і системою, складеної з дійсних зарядів і фіктивних зарядів-зображень у просторі поблизу дійсних зарядів.

У цій статті ми розглянемо приклади використань методу зображень в електростатики.

Точковий заряд і провідна площина

Нехай точковий заряд + q знаходиться на відстані a від нескінченної провідної, наприклад, металевої площині з нульовим потенціалом (рис. 1). Яка сила діє на нього?

Рис. 1

За індукції заряд + q буде наводити заряд протилежного знаку на поверхні. Звідки візьмуться заряди, що створюють у поверхні негативний заряд? Це вільні заряди (у металах - електрони), притягнуті позитивним зарядом з якихось далеких областей площині, або, що прийшли з землі, якщо поверхня заземлена. Сумарний індукований заряд дорівнює -q і буде якимось чином розподілений по поверхні. Але як саме? Відповісти на це питання ми поки можемо лише якісно - приблизно так, як це робилося у вступі.

На точковий заряд + q cо боку поверхні діє сила тяжіння до поверхні (так як наведені заряди негативні). Величина сили тяжіння не дорівнює kq2 / a2, оскільки негативний заряд не зосереджений в одній точці, а розподілений по площині. Тому значення сили менше, ніж величина kq2 / a2. Тут k - коефіцієнт пропорційності, що залежить від вибору системи одиниць вимірювань фізичних величин, в СІ k = 9 · 109 Н м2 / Кл2.

Спробуємо намалювати картину силових ліній електростатичного поля заряду + q і поверхні з наведеним на ній зарядом -q. Поверхня провідника еквіпотенційної, що означає, що всі точки цієї поверхні мають рівний потенціал (в нашому випадку потенціал поверхні дорівнює нулю). Силові лінії поля перпендикулярні поверхні (cоставляющая електричного поля, паралельна поверхні, викличе рух зарядів в провіднику, яке припиниться лише тоді, коли ця складова поля в провіднику буде повністю скомпенсирована полем, створюваним індукованими зарядами). Поблизу точкового заряду картина силових ліній близька до тієї, яку ми маємо для одиночного заряду. Силові лінії починаються на заряді + q, оскільки він позитивний. Таким чином маємо картину силових ліній, яка зображена на рис. 2.

Рис. 2

Тут пунктирними лініями зображені еквіпотенціальні поверхні, вони перпендикулярні силовим лініям в точці перетину.

А тепер давайте згадаємо і зобразимо картину силових ліній двох однакових за величиною і протилежних за знаком точкових зарядів, розташованих на відстані 2а (рис. 3).

Рис. 3

Закрийте нижню половину рис. 3 і порівняйте її з рис. 2. Чи не правда, дуже схоже! До того ж у випадку двох точкових зарядів одна з еквіпотенціальних поверхонь - площина, перпендикулярна відрізку, що з'єднує заряди і ділить його навпіл, тобто вона розташована там же, де металева площину. Потенціал будь-якої точки цієї площини дорівнює нулю. В обох випадках полі поблизу заряду + q одне і те ж. А оскільки поле одне і те ж, то і сили, що діють на заряд + q в обох випадках однакові. Таким чином, шукана сила дорівнює F = k q2 / 4a2.

Задача вирішена, сила визначена. Але ж ми схитрували! Ми не вирішували завдання про заряд і поверхні, а ми вирішили іншу задачу - про двох точкових зарядах, підібравши величину і положення заряду -q, який є зарядом-зображенням, таким чином, щоб поле в області між зарядом + q і поверхнею в обох задачах було однаковим.

Повернемося тепер до рис. 2 і 3 і припустимо, що всі полупространство нижче провідній площині зайнято провідником. В області поза провідника, де знаходиться заряд + q нічого не змінилося, електростатичне поле там залишилося таким же, що й раніше. Причому тут поле заряду + q і провідника збігається з полем системи заряду + q і заряду-зображення -q. А в тій області простору, де знаходиться провідник у тому випадку, якщо ми розглядаємо задачу із суцільним провідником і зарядом, поле дорівнює нулю, а в задачі із зарядом і його зображенням поле нулю не дорівнює. Але нас цікавить тільки та область, де поля збігаються, так як ми хочемо поле визначити саме там. Припустимо тепер, що ми виготовили дуже тонку поверхню з металу так, що її форма в точності збігається з формою якої-небудь еквіпотенційної поверхні, наприклад MN (рис. 4).

Рис. 4

Якщо тепер цю металеву поверхню помістити на місце еквіпотенційної і створити на ній потрібний потенціал, то знову ж нічого не зміниться. Точковий заряд знаходиться точно в такому ж полі, що й раніше, на нього діє точно така ж сила, що і без вигнутого провідника. Але тепер ми маємо вже нове завдання - нема про двох точкових зарядах, а про заряд і металевої поверхні заданого потенціалу. Ця поверхня повинна бути замкнутою. Всередині неї поле дорівнює нулю, а поза таке ж, як у системи двох точкових зарядів. Навіть якщо внутрішній простір поверхні ми заповнимо провідником, не змінюючи при цьому її потенціал, то поле поза провідника знову залишиться колишнім.

Таким чином ми отримуємо ще одне застосування методу зображень - визначення полів провідних поверхонь різної форми. У спеціальних книгах з електростатики можна знайти безліч подібних розрахунків для різних поверхонь - гіперболоїдів, параболоїдів та інших поверхонь дуже хитрої форми. Всі подібні завдання вирішуються "задом наперед". Спочатку вирішується завдання про знаходження електричного поля системи точкових зарядів, а потім визначається форма і потенціал якої-небудь еквіпотенційної поверхні. Якщо тепер на місце цієї еквіпотенційної поверхні помістити провідну поверхню такого ж потенціалу, а всі заряди, що знаходяться всередині неї, прибрати, то поле поза її залишиться таким же, як у первісної системи зарядів.

Точковий заряд і провідна сфера

Нехай ми маємо провідну сферу радіуса R і точковий заряд + q, розташований на відстані d від центра сфери (рис. 5).

Рис. 5

Визначимо силу, що діє на заряд з боку сфери. Спочатку заземлені сферу. Щоб вирішувати задачу методом зображень, потрібно знайти таке розташування точкових зарядів, при якому однією з еквіпотенціальних поверхонь є сфера. Завдання з двома нерівними точковими зарядами якраз і дає саме таку картину еквіпотенціальних поверхонь. Один з цих зарядів + q розташований там, де вказано в умові завдання. Але яка повинна бути величина другого заряду (заряду-зображення), і де він повинен бути розташований?

Припустимо, що заряд q? розташований на прямій, що сполучає центр сфери і заряд q в точці, розташованій на відстані х від центру сфери (рис. 6).

Рис. 6

Чи може ця сфера бути еквіпотенційної поверхнею, якими мають бути х і q?, щоб вона їй була? Нехай потенціал сфери дорівнює нулю. Розглянемо довільну точку А сфери, її потенціал дорівнює нулю. Він створюється зарядом q, розташованим від неї на відстані r1, і зарядом q?, розташованому на відстані r2. Отже, ?A = 0 або 0 = kq / r1 + kq? / r2. Тобто -q / q? = r1 / r2. Для точки B сфери ми можемо записати

k

 q?

 R-x + k

q

 d-R = 0 або -

q

 q? =

 d-R

 R-x.

Для точки C маємо

k

 q?

 R + x + k

q

 d + R = 0 або -

q

 q? =

 d + R

 R + x.

Таким чином маємо рівняння для визначення х

 d-R

 R-x =

 d + R

 R + x.

Звідси x = R2 / d.

Якщо ми помістимо точковий заряд q? на відстані х від центру сфери, то сфера буде еквіпотенційної поверхнею. Величина заряду q? легко визначиться зі співвідношення

 q? = -

 R-x

 d-R q = -

R

 d q.

Таким чином, маємо систему двох точкових зарядів, розташованих так, як на рис. 7.

Рис. 7

На заряд + q з боку сфери (або заряду-зображення q?) діє сила тяжіння

 F = k

 q | q? |

 (D-x) 2 = k

 q2

 d2-R2.

Mи розглянули випадок заземленою провідної сфери. А як бути в тому випадку, якщо сфера має заряд Q або несе ненульовий потенціал? Відповідь на це питання дуже проста - в центр сфери потрібно додати ще один точковий заряд q??, величину якого визначимо з умови еквіпотенціальності сфери.

Розглянемо незаряджену металеву ізольовану сферу і заряд + q, розташований на відстані d від її центру. Яка сила діє на заряд? Cфера залишиться незарядженою. Відбудеться лише перерозподіл зарядів по поверхні сфери, пов'язане з взаємодією з зарядом + q. Ближня до заряду частину сфери придбає негативний заряд, а далека - позитивний, так як електрони притягнуться до заряду (рис. 8).

Рис. 8

Щоб вирішити завдання, крім заряду q?, розташованого від центру сфери на відстані R2 / d, в центрі сфери треба розташувати ще один заряд q?? (рис. 9).

Рис. 9

Поява в центрі сфери заряду q?? не змінює її еквіпотенціальності. Потенціал будь-якої точки сфери створюється тепер уже трьома набоями - q, q? і q??. Сумарний потенціал, створюваний зарядами q і q? на поверхні сфери дорівнює нулю, отже потенціал будь-якої точки сфери визначається тільки зарядом q??. Він дорівнює ? = kq?? / R. Якщо сфера ізольована, то заряд q?? визначиться з умови

 q?? + q? = 0, q?? =

R

 d q = -q?.

Поля і потенціали поза сферою визначаються за принципом суперпозиції як результат накладення полів всіх трьох зарядів. Сила, що діє на заряд + q визначиться наступним чином

 F = k

 q | q? |

?

?

 ? d-

 R2

d

?

?

 ? 2

 - K

 qq??

 d2.

Якщо тепер замість ізольованою сфери і заряду q ми будемо розглядати той же заряд і сферу, що має або заряд Q, або потенціал ?, то, використовуючи метод зображень, отримаємо систему точкових зарядів: заряд q, розташований на відстані d від центра сфери, заря- зображення q?, розташований на відстані R2 / d від центра сфери, і заряд-зображення q??, розташований в центрі сфери. Величина q?? визначиться з умови, що потенціал сфери повинен бути рівний

 ? = k

 q??

 R.

Якщо ми знаємо заряд сфери Q, то q?? = Q. Якщо ж нам відомий її потенціал ?, то q? = R? / k.

Точковий заряд поблизу кордону розділу двох діелектриків

Нехай точковий заряд + q знаходиться на відстані а від плоскої межі двох нескінченно протяжних однорідних діелектриків з проницаемостями ?1 і ?2 (рис. 10).

Рис. 10

Визначимо силу, що діє на заряд, і потенціал електричного поля методом зображень.

Припустимо, що заряд-зображення має величину q? і розташований на відстані a знизу від поверхні МN, що розділяє діелектрики (рис. 11), оскільки саме там буде знаходитися зображення світиться точки q в плоскому дзеркалі MN.

Рис. 11

Величину заряду-зображення можна знайти з граничних умов для нормальної (перпендикулярній кордоні) і тангенціальною (паралельної кордоні) складових вектора напруженості електростатичного поля. На межі розділу двох діелектричних середовищ нормальна складова поля підкоряється умові ?1En1 = ?2En2, де En1 і En2 - нормальні складові поля в діелектриках з проницаемостями ?1 і ?2, відповідно. Тангенціальна складова поля при переході з середовища з діелектричного проникністю ?1 в середу з діелектричної проникністю ?2 залишається незмінною, тобто E?1 = E?2. Детальніше про граничних умовах на межі розділу двох середовищ поговоримо в кінці завдання.

Знайдемо нормальну і тангенціальну складові вектора напруженості електричного поля в точці А, розташованої на межі розділу діелектриків,

En1 = E1 cos ?1, En2 = E2 cos ?2,

E?1 = E1 sin ?1, E?2 = E2 sin ?2,

де ?1 і ?2 - кути, які становлять вектора напруженості в першій і в другій середовищах відповідно. Звідси легко отримати співвідношення tg ?1 / tg ?2 = ?1 / ?2, який буде потрібно нам надалі.

Якби не було середовища з проникністю ?2, то в точці A напруженість поля була б дорівнює E1 і її створював би один заряд + q. Але оскільки друга середа присутній, то напруженість поля дорівнює вектору E2 і складає з перпендикуляром кут ?2. Якщо справа відбувається у вакуумі, то це можливо у випадку, коли в точці B знаходиться заряд q?, що створює в точці A поле, напруженість якого позначимо E?. Ясно, що E? задовольняє рівності

?

 E1 +

?

 E? =

?

 E2.

Аналіз граничних умов приводить до висновку: якщо ?1> ?2, то ?1> ?2, і в точці B повинен знаходитися негативний заряд (рис. 12);

Рис. 12

якщо ж ?1 Рис. 13

Розберемо випадок ?1> ?2. Спроектувавши ліву і праву частини рівняння

?

 E1 +

?

 E? =

?

 E2

на горизонтальне і вертикальне спрямування, отримаємо

E1 sin ?1-E? sin ?1 = E2 sin ?2 і E1 cos ?1-E? cos ?1 = E2 cos ?2.

Використовуючи граничні умови і поділивши перше рівняння на друге, маємо

 E1-E?

 E1 + E? =

 tg?2

 tg?1 =

 ?2

 ?1.

Модуль вектора напруженості поля, яке створює в точці A заряд + q визначається його величиною і відстанню r до точки A: E1 = kq / r. Заряд q? в точці A створює поле, модуль вектора напруженості якого E? = k | q? | / r. Тоді для визначення величини заряду q? маємо рівняння

 q- | q? |

 q + | q? | =

 ?2

 ?1.

Звідси визначаємо модуль заряду q?

 | Q? | = q

 ?1-?2

 ?1 + ?2.

Сила взаємодії зарядів визначається за законом Кулона

 F = k

 q | q? |

 (2a) 2 = k

 q2

 4a2

 ?1-?2

 ?1 + ?2.

Потенціал довільної точки C, відстань від якої до точки, в якій знаходиться заряд + q, так само r1, а до точки В, в якій знаходиться заряд q?, так само r2, легко визначити за принципом суперпозиції полів. Якщо точка С знаходиться в середовищі з проникністю ?1, то по її потенціал q визначається рівністю

 ? =

q

 ?1r1 +

 (?1-?2) · q

 ?1 (?1 + ?2) · r2;

якщо ж точка C знаходиться в діелектрику з проникністю ?2, то

 ? =

 r · q

 (?1 + ?2) · r1.

Випадок, коли в точці B знаходиться позитивний заряд-зображення q?, розраховується аналогічно; для величини q? отримаємо вираз

 q? =

 ?2-?1

 ?1 + ?2

q

 r1.

Якщо діелектрична проникність першого середовища більше, ніж другий, то заряд відштовхується від кордону діелектриків, при зворотному співвідношенні - притягається. Заряд, який перебував спочатку в середовищі з більшою проникністю, відштовхуючись від кордону, прагне піти в нескінченність. Заряд, спочатку знаходився в середовищі з меншою проникністю, притягається до кордону, перетинає її, а потім, перебуваючи вже в іншому середовищі відштовхується від кордону, прагнучи піти у нескінченність. Природно, все сказане справедливо тільки в тому випадку, якщо можна знехтувати силою тертя, що діє на заряд з боку середовища.

І на закінчення цього завдання поговоримо про граничних умовах на межі розділу двох середовищ. Почнемо з розгляду діелектричних середовищ. Нехай ми маємо плоску межу двох однорідних діелектриків з різними проницаемостями ?1 і ?2. Позначимо через

?

 E1 і

?

 E2

напруженості електричного поля в першій і в другій середовищах відповідно. Розкладемо вектори

?

 E1 і

?

 E2

на дві складові - нормальну En1 і En2 і тангенціальну E?1 і E?2.

Рис. 14

З'ясуємо тепер, як пов'язані тангенціальні складові поля при переході з одного середовища в іншу. Виберемо будь-які дві пари точок, розташованих дуже близько одне до одного і розділених поверхнею (рис. 14). Пара точок A1 і B1 знаходиться в першому діелектрику, а пара точок A2 і B2 знаходиться в другому діелектрику. Якщо тангенціальні складові полів у різних діелектриках будуть різними, то роботи поля при переміщенні якого-небудь заряду уздовж ліній A1B1 і A2B2 будуть різними. Будемо наближати точки A1 і A2, B1 і B2 один до одного, врешті-решт ми отримаємо дві нескінченно близьких лінії A1B1 і A2B2. Оскільки електричне поле потенційно, то робота по переміщенню заряду між якими-небудь точками не залежить від траєкторії. У нас же виходить, що робота поля з перенесення заряду по двох нескінченно близьким відрізкам A1B1 і A2B2 різна. Отже наше припущення про нерівність тангенціальних складових поля не вірно, так як веде до порушення потенційності поля.

Таким чином, на межі розділу двох діелектриків тангенціальні складові поля в різних середовищах однакові або неперервні, тобто E?1 = E?2.

Рис. 15

Отримаємо граничні умови для нормальних складових поля. Для цього виділимо на поверхні прямокутник ?S настільки малий, що поля в діелектриках з проницаемостями ?1 і ?2 на його площі не змінюються. Побудуємо на ньому паралелепіпед висоти 2?L (рис. 15). Величина ?L повинна бути досить малою, щоб електричне поле протягом відрізка ?L залишалося постійним. Визначимо потік ? поля через поверхню прямокутного паралелепіпеда. Потоки через бічні грані поверхні дорівнюють нулю, так як для них кути між напруженістю поля і нормалями (перпендикулярами) до поверхні дорівнюють 90?. Таким чином залишається тільки порахувати потоки через верхню і нижню грані паралелепіпеда. Оскільки верхня грань знаходиться в середовищі з проникністю ?1, а нижня - в середовищі з проникністю ?2, сумарний потік через них визначиться наступним чином

? = ?ніж + ?верх = ?1 En1?S-?2 En2?S.

З іншого боку, по теоремі Гауса маємо ? = 0, тому що вільних зарядів всередині паралелепіпеда немає. Отже, ?1 En1 = ?2 En2.

Якщо ми маємо дві металеві середовища, то тангенціальна складова поля на поверхні дорівнює нулю (якби вона не була рівна нулю, то електрони б рухалися проти поля, а це означає, що точки на поверхні металу мають різні потенціали).

Точковий заряд і провідні площині, що утворюють двогранний кут

Двогранний кут між двома заземленими металевими площинами дорівнює ?. Усередині кута на відстані a і b від площин знаходиться точковий заряд + q. Знайти електричне поле всередині кута. Розглянути випадки: а) ? = 90?, б) ? = 60?, в) ? = 45?.

Розглянемо випадок ? = 90?. В оптиці є аналогічна задача - побудова зображення точкового джерела в системі плоских дзеркал, що утворюють двогранний кут ? = 90?. Почнемо з її розгляду. Джерело позначимо літерою S, площинідзеркал OA і OB. Побудуємо зображення джерела S в дзеркалі OA, отримаємо уявний джерело S1, розташований на відстані a знизу від площини дзеркала OA (рис. 16 а), для його побудови нам потрібно знайти точку, симетричну S відносно площини OA.

Рис. 16 а Рис. 16 б

Будуючи зображення точки S в дзеркалі OB, отримаємо уявний джерело S2. Ще треба побудувати зображення S1 в дзеркалі OB і зображення S2 в дзеркалі OA. Ці зображення співпадуть і знаходитимуться в точці S3 (уявний джерело). Для побудови точки S3 площині дзеркал потрібно продовжити вліво і вниз і знайти точки, симетричні точкам S1 і S2 щодо цих площин. У нашій задачі маємо три заряду-зображення, розташовані в точках S1, S2 і S3. У точках S1 і S2 розташовані заряди -q, в точці S3 - заряд + q (рис. 17).

Рис. 17

Заряд і його зображення однакові за величиною, але протилежні за знаками.

Тоді поле усередині двогранного кута визначиться за принципом суперпозиції як векторна сума полів кожного із зарядів. Її розрахунок досить стандартний і тому тут ми його наводити не будемо.

Рис. 18 Рис. 19

Якщо кут ? = 60?, то маємо 5 зарядів-зображень, розташованих так, як показано на рис. 18. У разі ? = 45? маємо сім зарядів-зображень (рис. 19). У геометричній оптиці при вирішенні задачі побудови зображення точкового джерела в ситеме плоских дзеркал, кут між якими дорівнює ? = 2? / m, показується, що число зображень одно m-1. Скориставшись цим результатом, ми легко можемо вирішити задачу для точкового заряду і провідних плоских поверхнях, що утворюють кут ?.

P.S. Кожен раз, вирішуючи завдання методом зображень, ми підбирали системи точкових зарядів, які створюють точно такі ж поля, як і заряди, індуковані на поверхні провідника. Положення і величини зарядів вибираються таким чином, щоб одна з еквіпотенціальних поверхонь поля, створюваного заданими зарядами і зарядами-зображеннями, збігалася б з поверхнею провідника. За допомогою цих зарядів знаходиться тільки поле поза провідника, усередині провідника поля немає. Але, незважаючи на свою привабливість, метод зображень далеко не універсальний. Досить помістити точковий заряд зовні двогранного кута, утвореного провідними площинами, щоб задачу вже неможливо було вирішити цим методом (рис. 16 б). Хоча система точкових зарядів, зображена на рис 17, і забезпечує еквіпотенційної поверхні двогранного кута, але вона не дає рішення задачі. Справа в тому, що фіктивні заряди-зображення можна поміщати тільки по інший від реального заряду сторону провідної поверхні. У тій точці простору, де знаходиться точковий заряд, напруженість поля звертається в нескінченність. Тому, якщо ми помістимо фіктивний заряд по одну сторону з реальним, то в точці його знаходження напруженість поля звернеться в нескінченність, чого насправді нет.Спісок літератури

Р. Фейман, Р. Лейтон, М. Сендс, Феймановскіе лекції з фізики, т. 5. - М., Мир, 1977, 300 с.

В. В. Батигін, І. Н. Топтигін, Збірник завдань з електродинаміки - М., Наука, 1970, 504 с.

І. Є. Тамм, Основи теорії електрики - М., Наука, 1989, 504 с.

Є. І. Бутиків, А. А. Биков, А. С. Кондратьєв, Фізика для вступників до ВНЗ. Навчальний посібник - М., Наука, 1982, 608 с.

Фізична енциклопедія / За ред. А. М. Прохорова. - М., Велика Російська енциклопедія. Т. 3. 1992, 672
Книга роздумів
Алі Апшероні Ця книга писалася досить довго, але і зараз я не можу вважати її закінченої, бо такі книги пишуться все життя, - саме стільки продовжується процес її пізнання. Я не мудрець, а лише звичайна людина, тому в моїх словах ви не знайдете нічого мудрованого. Частіше за все вони усього

Качконіс
Ковчегін Ігор У листопаді 1797 якийсь допитливий європеєць, який переселився до Австралії, в штаті Новий Південний Уельс піймав незвичайного звіра. Звір цей так вразив переселенця, що він вирішив відправити шкуру в Англію - нехай, мовляв, вчені мужі розберуться, що це за істота. Але вчені

Історія лука
Старців Роман Лук - одне з древнейших видів зброї. Час його народження відноситься до епохи мезолита - від десяти до п'яти тисяч років до нашої ери. Він однаково придатний для війни, полювання і рибного лову і внаслідок своєї многофункциональности надзвичайно життєздатний. Конструкція лука

Сміття і золото в фольклорі
Т. А. Новичкова «Куполи в Росії криють чистим золотом, Щоб частіше Господь помічав». В. Висоцкий. «Куполи» Золото з його сяйвом і сміття, попіл, вугілля, кал - відштовхуючись, ці полюси завжди притягувалися один до одного в художній мові і буденній мові, фольклорі і літературі. Поетична мова

Подорож з Петербурга в Москву. Радіщев А.
Подорож з Петербурга в Москву. Радищев А. А. М. К. Відкривається оповідання листом другові Олексію Михайловичу Кутузову, в якому Радіщев пояснює свої почуття, що примусили написати цю книгу. Це свого роду благословляння на труд. Виїзд Попрощавшись з друзями, автор-оповідач виїжджає, страждаючи

Російський націоналізм і імперіалізм почала XX століття
Сергєєв З. М.Запретные слова Нація і імперія - ось цінності, здавалося б, найбільш чужі класичному типу російського інтелігента. Так було при царизмі, так продовжувалося при Радах, під знаком заперечення цих понять пройшла демократична революція кінця 1980-х - початки 1990-х рр. Так, завжди

Походження Місяця. Російська концепція проти «американської»
Е.М. Галімов, академік, ГЕОХІ РАН Проблема походження Місяця обговорюється в науковій літературі вже більше ста років. Її рішення має велике значення для розуміння ранньої історії Землі, механізмів формування Сонячної системи, походження життя. До теперішнього часу була широко поширена гіпотеза

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати