Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Буриданов осел і шредінгеровской кішка - Математика

М. І. Кацнельсон

У знаменитого аргенітінского письменника Хорхе Борхеса є твір (жанр визначити не беруся) - "Бестіарій", що представляє собою збірник заміток про різні вигаданих істот. Там, між іншим, розповідається (школярі та викладачі, увага!) Про якийсь китайському мудреця, який, наполегливо працюючи, за три роки вивчив мистецтво вбивати драконів за допомогою чаклунства. Однак це мистецтво йому так і не знадобилося, оскільки за все подальше життя йому так чомусь і не зустрівся жоден дракон ... лещу себе надією, що знайомство з двома згаданими в заголовку тваринами виявиться, можливо, більш повчальним і корисним.

Французький середньовічний мислитель (слово "схоласт" в новітній час набуло якийсь непотрібний оцінний зміст) Буридан придумав чудовий уявний експеримент. Уявімо собі осла, що стоїть в точці, рівновіддаленою від двох абсолютно однакових оберемків сіна. Так як немає ніяких причин, чому осів повинен віддати перевагу праву (або ліву) оберемок, ми приходимо до висновку, що осів не зможе зробити вибір і помре від голоду! (Знаючі люди кажуть, що початково йшлося про собаку і, відповідно, про не настільки вегетаріанської їжі, як сіно, але в фольклор історія увійшла саме в такому варіанті). Інтуїтивно ясно, що тут щось не так, і ми маємо справу з парадоксом. Ця забавна ситуація увібрала в себе масу можливостей поміркувати про спонтанно порушеною симетрії, стале та нестійкій рівновазі, флуктуаціях, біфуркації та інших модерних речах. Мабуть, найважливіше, що вона може змусити задуматися про детермінізм, передбачуваності поведінки складних систем (в даному випадку ослів) і свободу волі (в даному випадку знову ж ослів). Я твердо впевнений, як і багато інших людей, що всі ці проблеми не можуть бути вирішені в рамках одного лише наукового підходу, однак при міркуванні про подібні філософських проблемах корисно все ж знати деякі мають відношення до справи висновки і результати сучасної фізики. Отже, забудемо тимчасово про обмеженість чисто природничо погляду на світ, і спробуємо розібратися в ситуації, розглядаючи осла, сіно та інші беруть участь в експерименті сутності як збіговиська ядер і електронів, що підкоряються фізичним законам. Чи в змозі ми на підставі цих законів однозначно передбачити, яку оберемок сіна вибере осів?

З точки зору ньютонівської механіки справа йде таким чином. У якийсь момент часу ми повинні знати швидкості і координати всіх частинок, з яких складається наша система, що в принципі може бути досягнуто з як завгодно високою точністю. Ми повинні також знати вирази для сил, що діють між двома будь-якими частками системи. Це теж принципово можливо - всі такі сили в кінцевому рахунку зводяться до електромагнітних і гравітаційним, а їхні закони ми знаємо. Згідно з другим законом Ньютона, ми можемо знайти прискорення всіх частинок в цей момент часу. Тоді, знаючи швидкості, ми можемо знайти нові значення координат всіх частинок через деякий малий проміжок часу, а знаючи прискорення - швидкості через цей проміжок. Повторити процедуру потрібне число разів. Таким шляхом ми можемо - в принципі! - Знати стан системи з як завгодно високою точністю в будь-який майбутній момент часу. Більше того, оскільки закони механіки, електромагнетизму і гравітації допускають формально звернення знака часу, ми можемо настільки ж детально відновити і минуле системи. Звичайно, все це робиться не зовсім так, і у людей, знайомих з обчислювальною математикою, від такого опису процедури розв'язання диференціальних рівнянь цілком може статися істеричний припадок, але принципово тут все вірно! Начебто немає причин, чому при абсолютно точному знанні координат і швидкостей всіх частинок системи в деякий момент часу нам не відновити з як завгодно високою точністю всі її минуле і майбутнє. Великий французький математик, фізик і астроном П'єр Лаплас в кінці 18 століття на підставі приблизно таких же міркувань прийшов до страхітливими висновку, що якесь гіпотетичне істота, знаюче швидкості і координати всіх частинок у Всесвіті і вміє робити без помилок як завгодно довгі викладення, відновить минуле і правильно передбачить майбутнє всього Всесвіту! Звичайно, свобода волі при цьому виявляється всього-на-всього ілюзією.

Чи правильно це з чисто природничо точки зору? На перший погляд, помилок у наших міркуваннях немає. У той же час, дещо насторожує відразу. Ну, наприклад, мимохідь вийшов висновок про відсутність принципових відмінностей між описом майбутнього і минулого системи суперечить не тільки повсякденного життєвому досвіду, але й одному з найбільш надійно встановлених законів природи - другому початку термодинаміки. Так як я пишу для школярів, охочих дізнатися щось понад шкільної програми, немає потреби детально обговорювати тут проблеми, що виникли у Людвіга Больцмана та інших розумних людей при спробі примирити другий початок термодинаміки до законів механіки. Все ж варто, мабуть, порушуючи хронологічну послідовність, згадати про деякі не настільки відомих досягненнях - уже в другій половині 20 століття - в нашому розумінні проблем передбачуваності і оборотності в рамках класичної механіки, тим більше, що вони мають досить безпосереднє відношення до "проблеми буриданова осла ". Працями багатьох учених, у тому числі чудових російських математиків А. Колмогорова, Я. Синая, Д. Аносова, В. Арнольда та інших, вдалося встановити наступне (докладніше про ці речі можна прочитати в доступних підготовленим школярам книгах: Г.А. Гальперін, А.Н. Земляков, Математичні більярд, Бібліотечка "Квант", вип. 77, 1990, та І. Пригожин, Від існуючого до виникає, М., Наука, 1985).

Великий німецький філософ Гегель сказав: "Відповідь на питання, які залишає без відповіді філософія, полягає в тому, що вони повинні бути інакше поставлені". Так от, якщо ми хочемо в рамках ньютонівської механіки зрозуміти природу відмінності між минулим і майбутнім, ми повинні поставити питання інакше - не про індивідуальної траєкторії частинок системи, а про поведінку пучка близьких траєкторій. Припустимо, що координати і швидкості все частинок в деякий момент часу відомі з як завгодно малою, але кінцевою похибкою. Якщо описувати, як це прийнято в сучасній механіці, поведінка системи як рух точки в багатовимірному фазовому просторі (в якому по осях відкладені компоненти координат і швидкостей всіх частинок - тим самим, по 6 осей на кожну частку), то ця точка починає свій рух у деякому "гіперпаралелепіпед", сторони якого - це величини похибок. Будемо стежити за еволюцією всієї цієї області. Якщо всі сили в системі консервативні, тобто виконується закон збереження енергії, то, згідно однієї з основних теорем класичної механіки - теоремі Ліувілля - обсяг області в процесі руху залишається постійним. У той же час, діаметр області, тобто відстань між найбільш віддаленими її точками, може, виявляється, рости, причому дуже швидко (за експоненціальним законом, тобто в геометричній прогресії). Вихідна "клякса" у фазовому просторі, грубо кажучи, розпливається, утоньшаясь. Показник, що визначає швидкість цього распливанія, зазвичай називають колмогоровской ентропією. Така поведінка характерна не для всіх систем (скажімо, воно не виявляється для такого улюбленого в шкільної фізики гармонійного осцилятора, або при кеплеровском русі по орбіті під дією гравітації). У той же час, воно не є і екзотикою, наприклад, має місце вже для однієї частинки, що рухається по частині площини, обмеженої кривої з ділянками, "опуклими всередину", і віддзеркалюваної від стінок за законами пружного удару - "биллиард Синая". Для систем, що складаються з великого числа частинок, така поведінка є "типовим", тобто "набагато більше" систем поводиться як "биллиард Синая" чим як гармонійний осцилятор (навмисно не уточнюю сенс слів "типовий" і "набагато більше" для порушення здорового цікавості читачів). Буриданов осів + оберемки сіна, а тим більше весь Всесвіт, явно відносяться до систем з кінцевою колмогоровской ентропією. Це означає, що будь-яка як завгодно мала похибка в завданні початкових даних призводить до як завгодно великий похибки в результаті, або, іншими словами, дві як завгодно близькі траєкторії системи з часом розійдуться як завгодно далеко. Лапласовского всезнаючому суті не позаздриш: зберігати дані з нескінченним числом значущих цифр може дозволити собі тільки той, чий обсяг пам'яті - мозку або комп'ютера - нескінченний, а будь-яке округлення призведе до повної невизначеності передбачення навіть для відносно невеликих проміжків часу! Між іншим, саме тому довгостроковий прогноз погоди є лженаучной завданням - куди вже тут зазіхати на свободу волі навіть окремо взятого осла ... Всі ці міркування мають, між іншим, пряме відношення і до проблеми незворотності часу і обгрунтування другого початку термдінамікі, і слово " ентропія "з'явилося тут не випадково, але не будемо відволікатися (див. рекомендовану вище книжку Пригожина).

Ще більш гостро проблема детермінізму і передбачуваності стоїть в новій, квантової, фізики, створеної у першій третині 20 століття цілою плеядою геніїв, серед яких Макс Планк, Альберт Ейнштейн, Нільс Бор, Вернер Гейзенберг, Ервін Шредінгер, Поль Дірак, Вольфганг Паулі, Макс Борн ... Ось про ці речі я і хочу зараз розповісти - знову ж намагаючись не переказувати те, що повинно бути відомо зі шкільної програми.

За англійською прислів'ї, "І кішка може дивитися на короля". Кожен з нас, простих смертних, може мати власну думку про творчість класиків нашої науки. Я думаю, найбільше досягнення Ейнштейна - це не широко відома теорія відносності, а відкриття корпускулярно- хвильового дуалізму. Грубо кажучи, він перший показав, що в таких пристроях як дифракційна решітка світло проявляє свою хвильову природу, а в таких, як фотоелемент - корпускулярну. Звичайно, це означає, що "насправді" світло не є ні хвилею, ні потоком частинок. У відомій притчі про сліпців, які обмацували слона з різних сторін і робили затвердження типу "Слон схожий на змію", "Слон схожий на колону", "Слон схожий на мотузку" (кому-то мабуть підвернувся хвіст) важливо те, що слон - це не змія, чи не колона і не мотузка, а щось відмінне від них усіх. Згодом з'ясувалося, що "корпускулярно-хвильовий дуалізм" притаманний і електронам, і нейтронам, і, мабуть, всім мікрооб'єктами. Електрон - це частка, так як ніхто, ніде, ніколи не реєстрував 0,98 електрона, а завжди - або цілий електрон з властивим йому зарядом, масою та іншими характеристиками, або нічого. І електрон - це хвиля, так як при русі електронів в певних умовах (скажімо, при відбитті від поверхні кристала) спостерігаються типово хвильові явища інтерференції і дифракції. Значить, "насправді" це щось третє. Після запеклих суперечок у фізичному співтоваристві переміг приблизно такий спосіб інтерпретації всіх цих чудес. Електрон - це частинка. Але: на відміну від класичної частинки в сенсі Ньютона, він не рухається по одній певній траєкторії, він рухається за всіма траєкторіях відразу. Кожній такій траєкторії відповідає певна "амплітуда ймовірності" - якесь комплексне число. Якщо підсумувати всі такі числа для всіх траєкторій (ау, юні знавці матаналізу! Розумієте, що значить підсумувати по траєкторіях ?! То-то! Цікава штука теоретична фізика, правда?) ... Так от, якщо підсумувати по траєкторіях все амплітуди ймовірності та порахувати квадрат модуля того, що вийшло, ми знайдемо ймовірність руху електрона з початкової точки в кінцеву за даний час. Що це означає? Припустимо, електрон рухається крізь дірки в екрані. При цьому ймовірність проходження електрона через дірку А, розрахована таким способом, склала 0,05, через дірку Б - 0,10 і т.д. Тоді, якщо всюди розставити лічильники, кожен з них буде реєструвати або цілий електрон, або нічого, але при проведенні великої серії однотипних дослідів лічильник, поставлений у дірки А, спрацює в 5 випадків, у дірки Б - в 10, і т.д. Понад це теорія нам не може дати нічого, все, що ми можемо знайти - це ймовірності різних процесів. Аналогічно йде справа і в інших процесах в мікросвіті. Скажімо, якщо період напіврозпаду якогось радіоактивного елемента 1 добу, це означає, що у зразку, що містить велику кількість ядер, приблизно половина ядер розпадеться за добу. Коли розпадеться дане конкретне ядро - ми не можемо сказати принципово.

Зрозуміло, в такій ситуації від лапласовского детермінізму не залишається взагалі нічого. Ця точка зору (підтверджена всіма досі виконаними експериментами, включаючи дуже витончені) означала такий сильний розрив з усіма попередніми традиціями і панівним стилем мислення, що багато великих фізики, в тому числі, сам Ейнштейн, а також Шредінгер, який написав основний закон руху нової механіки - рівняння Шредінгера для "хвильової функції" (отождествляемой з амплітудою ймовірності знаходження електрона в даній точці) відмовилися прийняти її як "остаточне вирішення питання". Їх критика була дуже конструктивною, а уявні експерименти, пропоновані ними для спростування нових поглядів, надзвичайно сприяли проясненню ситуації.

Повсякденне життя переконує нас в тому, що багато подій відбуваються З вірогідністю. Футбольний м'яч, або артилерійський снаряд, або штучний супутник Землі рухається не по всіх траєкторіях відразу, а з цілком певною траєкторії, яку можна розрахувати на основі законів Ньютона. На перший погляд, це не суперечить нової фізики. Справа в тому, що "довжина хвилі", відповідна амплітуді ймовірності руху частки, обернено пропорційна її масі. Для макрооб'єктів це величина настільки мала, що хвильові властивості просто ненаблюдаеми - довгі радіохвилі огинають пагорб за рахунок явища дифракції, а УКХ відбиваються від нього як потік частинок. Класична фізика - це просто граничний випадок квантової для об'єктів великої маси, точно також як механіка Ньютона - це граничний випадок теорії відносності для швидкостей, багато менших швидкості світла.

Так от, Шредінгер в 1935 році запропонував уявний експеримент, покликаний показати, що ситуація набагато гірша: нова фізика насправді ставить під сумнів детермінізм навіть для макрооб'єктів! (Зрештою не забудемо - цікавить щось нас осів, а не електрон ...). Отже, ситуація: в герметично закритий ящик помістили кішку (з усіма системами життєзабезпечення, запасом їжі і т.д.). У тому ж ящику знаходиться моторошне пристрій: ампула з синильною кислотою і молоточок, здатний її розбити під дією електричного сигналу. Сигнал виникає при спрацьовуванні лічильника Гейгера на один радіоактивний розпад (технічно це можливо), і тут же поблизу є ядро радіоактивного ізотопу. Згідно з квантовою механікою, ніхто не може сказати, коли саме розпадеться ядро. Воно знаходиться в квантовому стані, який, як кажуть, є суперпозицією (накладенням) станів розпався і нераспавшегося ядра. Тим самим, ніхто не може сказати (поки не розкриє ящик), жива кішка чи ні. За всіма законами квантової механіки, вона знаходиться в стані - суперпозиції станів живої та мертвої кішки. Ситуація абсолютно така ж, як в досвіді з проходженням електрона через дві щілини. Розтин ящика аналогічно спрацьовуванню лічильника або у щілини А, або у щілини Б. Значить, якщо вірна стандартна інтерпретація квантової механіки, побіжно викладена вище, кішка знаходиться в станах живої та мертвої одночасно. Н-да ... Якась нісенітниця вийшла ...

Насправді справа йде ще серйозніше. Як надала роз'яснення Нільс Бор у своєму принципі додатковості, саме існування квантової механіки можливо лише в міру існування класичних об'єктів. У чому завдання квантової механіки? Описувати рух мікрооб'єктів. Але в яких термінах описувати? Амплітуда ймовірності - це все дуже добре, але амплітуда ймовірності чого? Ну, скажімо, амплітуда ймовірності мати певне значення координати в даний момент часу. Але у електрона немає координати! Як можна говорити про координаті того, що за своєю природою здатне рухатися відразу по всіх траєкторіях? Так от, щоб взагалі розуміти, про що ми говоримо, ми повинні постулювати існування класичних об'єктів - вимірювальних приладів, які в певних умовах з достовірністю вимірюють координату, імпульс та інші класичні характеристики. Скажімо, при проходженні електронів через екран з дірками лічильники, встановлені у кожної дірки, в сукупності являють собою прилад, що вимірює координату електрона вздовж екрана. Якщо вважати ці лічильники теж квантовими об'єктами, які чи то спрацюють, чи то ні відповідно до ймовірносними законами - все остаточно заплутується, і твердженнями квантової механіки взагалі неможливо надати жодного розумного сенсу. За Бору, саме в цьому і полягає природа корпускулярно- хвильового дуалізму: ми можемо в даному конкретному експерименті, вибираючи підходящі прилади, вимірювати або корпускулярні властивості об'єкта (скажімо, координату), або хвильові (скажімо, довжину хвилі), але ніколи не можемо виміряти і ті, й інші властивості в одному експерименті. Таким чином, корпускулярні і хвильові властивості є додатковими.

В той же час, уявний експеримент Шредінгера показує, що великі розміри і маса приладу ще не гарантують "класичності". Навіть макрооб'єкт може бути поставлений в такі умови, які начебто проявляють його квантову, імовірнісну природу. Схоже, разом з водою ми виплеснули і дитину, перейшовши з царства моторошного лапласовского детермінізму в царство повної анархії,

 Де всі зазрячи, і все не те, і все неміцно,

 Котра година - і то ніхто не знає точно ...

 А. Галич.

Ось ми і прийшли до головного питання: чому в квантовому світі існують класичні об'єкти? Що забезпечує достовірність деяких (насправді дуже багатьох!) Тверджень про навколишній світ? Гаразд, нехай ми безсилі визначити, яку саме оберемок сіна вибере Буриданов осів, але важко уявити його знаходяться в суперпозиції станів "жующий праву оберемок" і "жує ліву оберемок" (до речі, відстань між ними може бути як завгодно великим!).

Між іншим, зауваження про те, чи стає людство розумніші (не утворилася, а саме розумніші). Всі ці міркування Бора про необхідність описувати квантові об'єкти в класичних термінах, тобто в термінах світу навколо нас, з великими труднощами сприймалися кращими умами нашого, імовірно найрозумнішого, часу. А ось що писав Св. Єфрем Сирін в 4 столітті:

"Хто говорить, той крім імен, взятих з предметів видимих, нічим іншим не може слухає зобразити невидимого".

Ця штука сильніша, ніж "Електрон так само невичерпний, як і атом"!

Зрозуміло тепер, чому ми повинні описувати електрон в класичних термінах хвиля - частинка, хоча він не є ні тим, ні іншим?

Повернімося, однак, до наших зверушкам.

Насправді найбільш радикальним розривом з колишніми уявленнями в квантовій механіці є не саме по собі використання ймовірностей. Ми бачили, що і в класичній механіці наші можливості точного рішення задачі в багатьох випадках обмежені самою природою завдання. При цьому використання імовірнісного мови не тільки можливо, але і неминуче. Однак, в класичному випадку завжди складаються ймовірності незалежних подій. У квантовому ж випадку складаються амплітуди. Саме це і призводить до появи інтерференційних, тобто хвильових, явищ (подумайте, чому!). Немає нічого особливо цікавого в твердженні, що в наглухо закритому ящику лежить або жива, або мертва кішка - як немає нічого цікавого у твердженні, що монетка впаде з рівними ймовірностями або орлом, або решкою. Всі парадокси квантової механіки пов'язані з тим, що ці стани интерферируют. Так от. Якщо ми розглядаємо суворо ізольовану від зовнішнього світу систему, то ніякої помилки в міркуванні Шредінгера немає. Як і в проблемі передбачуваності в класичній механіці, ми повинні дещо змінити постановку задачі і розглянути відкриті системи. Таке завдання було вперше поставлено в чіткій математичній формі в 1963 році великим американським фізиком Річардом Фейнманом - тим самим, який надав квантовій фізиці її сучасну форму, навчивши нас підсумувати по траєкторіях і придумавши свої знамениті діаграми. У результаті її ретельного дослідження (особливо важливу роль тут відіграли роботи американського фізика А. Леггетт) виявилося, що взаємодія з оточенням руйнує квантову інтерференцію, перетворюючи тим самим квантову систему в класичну, причому тим швидше, чим більше маса системи. Так що класичні системи, в тому числі вимірювальні прилади, існують тому, що вони взаємодіють з навколишнім світом! До речі, зовсім ізолювати якусь систему в нашому Всесвіті неможливо, навіть в міжгалактичному просторі - нікуди не дітися від заповнює весь світ так званого реліктового випромінювання ... Але це вже, як кажуть, зовсім інша історія.

Для того, щоб вивчити взаємодію макрооб'єктів з оточенням і пов'язані з цим ефекти руйнування квантової інтерференції, на щастя, немає потреби так жіводерствовать як в оригінальній постановці проблеми. Всі ці явища зараз вивчаються на так званих надпровідних квантових пристроях (СКВИДах), малих магнітних частинках або магнітних молекулах, і інших об'єктах. Але обговорення всіх цих питань завело б нас зараз занадто далеко. Мені хотілося б відзначити інше. Звичайно, фізика не може вирішувати "вічні" філософські проблеми - про приречення, тобто долі, свободу волі, причинності, випадковості і так далі, і, думаю, ні в якому разі і не повинна намагатися це робити - добром це не скінчиться .. . Але вона явно "має що сказати" з усіх цих питань такого, що непогано б знати кожній освіченій людині - щоб краще уявляти собі, як влаштований світ, в якому він живе. Тут я хотів дати читачеві уявлення про складність і "багатогранності" однією з принципових проблем сучасної науки - проблеми передбачуваності поведінки різних систем і об'єктів. Виявляється, що навіть у класичній механіці Ньютона можливість передбачити рух системи для досить великих проміжків часу, як правило, обмежена. У сучасній квантовій фізиці можливість однозначних прогнозів обмежена ще сильніше, і сам математичний апарат зорієнтований на обчислення ймовірностей різних процесів. При цьому проблема передбачуваності виявляється дуже тісно пов'язаної з відкритістю цих систем - їх (як завгодно малим, але кінцевим) взаємодією з решти Всесвіту. При цьому, парадоксальним чином, у квантовій механіці ця "відкритість" не знищує, а, навпаки, створює в деяких випадках можливість робити певні передбачення, руйнуючи квантову "інтерференцію станів". Всі ці питання можна лише "позначити" в короткій статті, але я сподіваюся, цікавість частини читачів буде розбуджена достатньо, щоб вони спробували читати більш серйозну літературу з цим питан
Земля як планета - минуле, сьогодення, майбутнє
Т.І. Левитська Введення Чи все ми знаємо про Землю? Спробуємо відповісти на це просте, але, з іншого боку, складне питання. Об'єкт дослідження даної роботи - тверда Земля і відбуваються на ній процеси, Земля в Сонячній системі і в космічному просторі. Геодезисти, астрономо-геодезисти,

Ефективні методи психо-мышечной релаксації кикбоксеров
Білих С.І., Донецький національний университетВведение. Уміння розслабляти м'язи, характерне для спортсменів високого класу, дозволяє більш економно провести бої на рингу, швидше і краще опановувати технічними діями і виконувати їх під час поєдинку. Воно сприяє і більш повному повноцінному

Безпека та захист від тероризму - основа якісного та надійного функціонування складних техногенних систем транспорту
Н.А. Махутов, В.А. Досенко, Г.І. Тараненко. Аналіз безпеки функціонування складних техногенних систем транспорту практично повністю визначається безпекою широко відомої узагальненої многокомплексной системою «людина-машина-середовище» (ЧМС). Наявність людського фактора в поєднанні з особливостями

Які бувають алкогольні напої
Напої, вмісні етиловий (винний) спирт, називаються алкогольними. До них відносяться: етиловий ректифікований спирт, горілка, ликероводочные виробу, коньяк, виноградні і плодово-ягідні вина. Ректифікований спирт для харчових цілей може бути звичайний або вищого очищення. Міцність звичайного

Що ж таке "Влесова книга"?
О. В. Творогов У жовтні 1987 року газета "Книжковий огляд" опублікувала матеріали "Круглого стола" з учасниками суспільної ради "Молодь і книга". У числі інших виступив письменник Ю. Сергеєв, той, що нагадав про долю "Влесової книги" (Ю. Сергеєв назвав

Ефір: структура і ядерні сили
Карім Хайдар В роботі запропонована ефірна концепція будови матерії на основі теорії ефіру. Це дозволило адекватно і логічно несуперечливо пояснити багато фізичних явленія.Ефір і атомізм Як показали 2500 років тому античні мислителі Фалес, Левкіпп, Демокріт, атомізм є логічний наслідок складного,

Створення презентацій
В умовах насиченого ринку, вередливого споживача і глобальної конкуренції все частіше доводиться задумуватися не тільки про акції просування, стимулювання збуту, але і про позиціонування, а вірніше про концепцію візуальної подачі товару, продукту, послуги або самої компанії. Причому візуальна

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати