Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Узагальнений принцип найменшої дії - Наука й техніка

канд. біол. наук М.П.Іванов, д-р техн. наук В. В. Кашин

ФНІІ ім.А.А.Ухтомского, СПбГУ

Введені континуально багатозначні функції, що дозволяють адекватно описувати фізичні завдання. Показано їх відмінність від розривних функцій. Сформульована і вирішена варіаційна задача для функціоналів з розривним інтегрантом, що залежать від лінійних інтегральних операторів, що діють на шукану оптимізується функція, причому ядро оператора і оптимізується функція можуть бути континуально безперервними. За допомогою таких операторів можна адекватно описувати розподілені частинки.

Добре відомий у фізиці принцип найменшої дії [1] заснований на класичному варіаційному численні, коли функціонал залежить від екстремал та її похідних, застосуємо тільки для нейтральних частинок. У замітці [2] показано, що для заряду прискорення запізнюється по відношенню до обурює силі за рахунок лоренцевих сил тертя, тобто для заряду існує деяка перехідна імпульсна характеристика, а рух заряду можна описати інтегральним оператором. Тому для зарядів, коли не можна пов'язати значення прискорення в даний момент із значенням обурення в той же (або інший) момент, принцип найменшої дії непридатний. Для таких завдань потрібно інший математичний апарат. Узагальнений принцип найменшої дії заснований на методах узагальненого варіаційного числення. Розглянемо его.1. Континуально багатозначні функції

Останнім часом негладкі, розривні і сингулярні функції стали привертати увагу [3-5]. Побудований приклад безперервно диференціюється розривної функції на просторі D - нескінченно диференційовних фінітних функцій [4]. При вирішенні варіаційних задач екстремалів іноді виявляються негладкі, т.зв. розривні або сингулярні функції [3, 5]. Однак поняття розривності функцій в точках розриву) не завжди відповідає фізичним і математичним об'єктам - безперервним кривим, які вони фактично описують.

Розглянемо криву - прямокутний імпульс (рис. 1), визначений і безперервний на всій осі абсцис. Подібні об'єкти можна уявити не тільки математично: наприклад, так можна уявити розкладену на плоскій поверхні мотузку. Але якщо про пряму b ми говоримо, що вона існує, і пішемпрі, то про точки x = 0 і x = 1 говориться, що в них функція терпить розрив першого роду, а прямих a і c як би немає, хоча мотузка фізичних розриву не має.

Рис.1. Безперервна крива - прямокутний імпульс

Мабуть, пояснюється це тим, що розгляду багатозначних функцій традиційно намагаються уникати. У нашому ж випадку точкам x = 0 і x = 1 відповідають замкнуті відрізки [0,1], паралельні осі ординат, тобто одній точці на осі абсцис відповідає безліч точок на осі ординат, що має потужність континууму. Виходить не просто багатозначність, а багатозначність потужності континууму.

Розглянемо характерний приклад - перший введену у фізиці розривну функцію - функцію Хевісайда, яка визначається [6-8] як межа послідовностей неперервних функцій, що мають всі похідні. Тому графік граничної функції начебто має бути безперервним. Цьому суперечить визначення функції Хевісайда, дане, наприклад, в монографіях [6-8],

(1.1)

Введемо уточнене визначення функції включення, відповідне граничного переходу в еквівалентних послідовностях [6] безперервних функцій, що має безперервний графік,

(1.2)

Якщо функцію включення (1.2) можна представити у вигляді безперервної мотузки, розкладеної на плоскій поверхні, то функція Хевісайда видається тією ж мотузкою, з якої вирізаний шматок (сегмент [0,1]) в точці x = 0. Обидві функції мають рівні односторонні межі, але різні графіки при x = 0 і випливають з цієї властивості.

На перший погляд, визначення (1.2) незвичне, але фактично воно не нове. Коли говорять про значення визначеного інтеграла від позитивної підінтегральної функції, то мають на увазі, що він "дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком підінтегральної функції, віссю абсцис і прямими, паралельними осі ординат, побудованими на кінцях відрізка інтегрування" [8].

Оскільки визначений інтеграл в кінцевих межах від a до b завжди можна виразити за допомогою зрушених функцій включення H (x) через інтеграл з нескінченними межами

(1.3)

то функції включення (1.2) якраз і описують "прямі, паралельні осі ординат", чого не скажеш про функції Хевісайда (1.1).

Зауваження. З формули (1.3) випливає, що всі інтегровані функції фактично визначені на всій осі абсцис, що дозволяє, володіючи методикою рішення розривних екстремальних завдань, наприклад, наведеною в монографії [5], легко вирішувати їх, коли екстремум не внутрішні, а досягається на кордоні замкнутого відрізка [a, b].

Використовуючи визначення функції включення (1.2), функцію, зображену на рис.1, - прямокутний імпульс - можна записати:

Запропоноване несуперечливе визначення неперервної функції включення дозволяє адекватно описувати безперервні криві в точках математичної розривності. Сам термін "розривна функція" обраний кілька невдало. Фактично ми маємо справу з безперервними функціями, що володіють багатозначністю потужності континууму. Дійсно розривними є функції типу функції Хевісайда (1.1), але фактично, коли йдеться про "розривних функціях", в більшості випадків маються на увазі функції виду (1.2).

Цікаво відзначити, що популярні пакети комп'ютерних програм для вирішення прикладних завдань і побудови графіків EUREKA та MATHEMATICS дають графічне зображення функції включення, записаної як H (x) = (1 + sgn (x)) / 2, саме у вигляді формули (1.2). У монографії [5] в графіках також використовується безперервна функція включення (1.2), хоча це визначення і не наводиться.

Наочне уявлення d -функції у вигляді звичайної функції в математичній літературі заперечується, тому при вирішенні екстремальних негладких і розривних завдань поняття d -функції не використовується [3, 5]. Для аналітичного рішення екстремальних задач потрібне уточнення визначення в d -функції.

Для уточнення визначення введеної Дираком сингулярною функції - d -функції введемо d -образну еквівалентну послідовність [6, 9] через функції включення (1.2)

(1.4)

При будь-якому значенні a існує інтеграл

і межа формули (1.4) при a- 0 є d -функцією, тобто

(1.5)

Так певна (1.4) - (1.5) d -функція є межею безперервного графіка прямокутного імпульсу висотою 1 / 2a і шириною 2a. При a- 0 висота "стінок" прямокутного імпульсу необмежено зростає, а ширина імпульсу прагне до 0. У межі "стінки" "злипаються" в один промінь - d-функцію, розташовану на початку координат.

При проходженні функції в da (x) у напрямку кривої ВТК "стінки" прямокутного імпульсу проходять в протилежних напрямках, тому d -функція (що складається з двох "злиплих" "стінок") одночасно спрямована в протилежних напрямках. (Одну криву, яку проходять в різних напрямках, вважають різними кривими [8]).

Певна вище d -функція має наочне уявлення у вигляді променя - позитивною півосі ординат. Маючи нескінченну висоту і нульову ширину, d -функція обмежує одиничну площу (невизначеність типу) і володіє подвійною спрямованістю.

Слід зазначити, що в наведеному визначенні d -функція не розглядається як "рівна нулю при всіх обертаються в точці x = 0 в нескінченність" [8]. Тепер d -функція розглядається як промінь - лінійне безліч, що має потужність континууму.

Оскільки уточнене визначення d -функції не торкається її визначення як функціоналу на просторі D, всі властивості d -функції, що розглядається як сингулярна узагальнена функція, зберігаються.

Похідна d -функцііімеет наочне уявлення у вигляді осі ординат, має подвійний спрямованістю в кожній з півплощини y <0 і y> 0 і перетинає вісь абсцис (все це в одній точці x = 0).

Далі всі похідні розуміються в узагальненому сенсі [6-9], тобто у вигляді згортки з похідними сингулярною d -функції.

Теорія узагальнених функцій і розроблена техніка обчислень їх похідних [6-9] дозволяють поширити необхідні умови екстремуму на континуально багатозначні (так звані розривні) функції багатьох дійсних переменних.2. Варіаційні задачі з розривним інтегрантом

Багато прикладні оптимізаційні задачі зводяться до пошуку екстремумів інтегральних функціоналів з розривним інтегрантом. Тут "розривною" розуміється так: не обов'язково розривною. Зазвичай, в тому числі і в монографіях [3, 5], оптимізаційні задачі розглядаються для функціоналів, що залежать від операторів диференціювання. У роботах [10, 11] розглядаються функціонали, залежні від інтегральних операторів, що істотно розширює коло вирішуваних завдань.

Будемо вирішувати варіаційну задачу для функціоналів з розривним інтегрантом, що залежать від лінійних інтегральних операторів

(2.1)

де h (t) - екстремали, щодо якої припускаємо, що.

Функціонал якості I може залежати від декількох операторів

(2.2)

де F [T] - інтегрант, що визначає зв'язок (композицію) операторів F i в функціоналі I. інтегрантом F [T] може бути безперервним, гладким, негладким і навіть континуально багатозначним або розривним.

Оптимізації методами негладкого аналізу присвячена монографія Френка Кларка [3], але методику Кларка застосувати до функціоналом, що залежать від інтегральних операторів, не можна, як не можна її застосовувати і для функціоналів з континуально багатозначним або розривним інтегрантом. Крім того, екстремал у Кларка передбачаються абсолютно безперервними. Все це дещо звужує сферу застосування негладкою оптимізації Кларка - теорії, яка увібрала в себе досягнення його попередників, на кoторого він посилається у своїй монографії. Оскільки оптимізуються функціонал залежить від інтегральних операторів, метод, використаний в монографії [5], непридатний теж. У той же час для вирішення сформульованої задачі досить методів варіаційного числення, теорії узагальнених функцій і теореми Фубіні [8], тому будемо поступати так.

Негладких, континуально багатозначний або розривною інтегрант можна представити за допомогою функції включення H (x) (1.2) або її похідних, тобто d -функції (1.5) та її похідних, використовуючи їх фільтруючі властивості. При варіюванні функціонала I всі похідні будемо розуміти в узагальненому сенсі

.

Зауважимо, що цей інтеграл тепер має математичний і фізичний змив, а не є "просто символом", як при класичному визначенні d -функції.

За загальним правилом [9-12] введемо однопараметричне сімейство кривих, де dh (t) -довільний функція з Lp [a, b], a - малий параметр. Подставляяв оператори (2.1), а оператори (2.1) в функціонал (2.2) і диференціюючи I по a, отримаємо варіацію функціонала d I і прирівняємо її нулю:

(2.3)

Тепер, щоб отримати необхідну умову екстремуму, треба виключити довільну функцію з варіації функціоналу d I. У класичному варіаційному численні це робиться за допомогою інтегрування частинами, яке в даному випадку не застосовується. Вважаючи, що до варіації d I застосовна теорема Фубіні [8], однією з умов застосовності якої може бути сумміруемость творів

змінимо у формулі (2.3) порядок інтегрування [10, 11]

(2.4)

Використовуючи основну лемму варіаційного числення у формулюванні Л.Янга [7], отримаємо аналог рівняння Ейлера для функціоналів з континуально багатозначним або розривним інтегрантом, що залежать від лінійних інтегральних операторів, що діють на екстремали,

(2.5)

Слідство. Якщо скористатися фільтруючим властивістю d -функції та її похідних, і позначити ядра операторів (2.1) через Ki (x, t) = d (i) (xt), то рівняння (2.5) прийме вигляд рівняння Ейлера

(2.6)

найпростішої варіаційної задачі [12], але для функціоналів з континуально багатозначним або розривним інтегрантом

(2.7)

залежних від шуканої функції h (t) та її похідних h (i) (t).

Приклад. Завдання Дідони з канавою. У розпорядженні царівни є мотузка заданої довжини L, якої слід обмежити ділянка узбережжя, причому берегова риса представляється лінією x = 0 на площині Оtx (Рис.2). При цьому треба знайти криву довжини L, що лежить в півплощині, що сполучає точки (-1,0) і (1,0), таку що площа між кривою і віссю t максимальна.

Прагнучи мати для прикладу негладких інтегрант, Кларк модифікував [3, с.178] задачу Дідони наступним чином. Він вважає, що для деякого a> 0 земля в області x> a гіршої якості і дохід з неї становить тільки половину доходу з землі в області xРис.2. Ділянка Дідони з канавою

Дохід Д з огородженого ділянки, обмеженої кривою x (t), дорівнює

(П.1)

де gn [x (t)] = {x (t), якщо; (X + a) / 2, якщо} .Следует максимізувати значення доходу Д (інтеграла (П.1)) за наявності обмежень

(П.2)

. (П.3)

Далі Кларк використовує методи негладкого аналізу для вирішення модифікованої задачі Дідони. Застосування цих методів обмежується негладкою інтегрантом і абсолютно безперервними екстремалів.

Для часткової ілюстрації можливостей запропонованого нами методу розв'язання задач з розривним інтегрантом будемо вважати, що ділянка Дідони паралельно берегової лінії перетинає канава шириною b -a. Один берег канави проходить по лінії x (t) = a., А інший - по лінії x (t) = b. Ділянка канави, обмежений берегами і мотузкою (рис.2), ніякого доходу не приносить, і інтегрант виглядає так:

(П.4)

Мотузка обмежує канаву, перетинаючи її, але розірвати мотузку Дідона не може, тому Изопериметрическое умова (П.3) залишається в силі. Потрібно максимізувати дохід з ділянки, розташованої по берегах канави, обмеженого береговою лінією і мотузкою.

Уявімо g [x (t)] за допомогою одиничної функції включення (1.2) у вигляді

У рівняння Ейлера найпростішої варіаційної задачі (2.6) входять похідні інтегранта по x і по. Обчислимо цю похідну

Виробляючи скорочення і враховуючи властивості d -функції [7], знаходимо

або

(П.5)

З урахуванням изопериметрических умови (П.3), одержимо диференціальне рівняння для екстремали

(П.6)

де l - невизначений поки множник Лагранжа [7].

Рівняння (П.6) пріі обмеженнях (П.2) має інтегралом окружність

(П.7)

де C = | (l 2 / a2-1) 1/2, симетрично розташовану щодо осі Оx (рис.2). Висловимо довжину мотузки Дідони через параметри задачі a, b, g і невідомий коефіцієнт l.

У горизонтальній смузі 0(П.8)

При x> b ІПРІ знаходженні максимуму функціонала (П.1) у разі g> 1 (або g <1) центр кола, що містить інтегральну дугу, буде розташований вище (або нижче) осі Оt. Для довжини дугіполучім

(П.9)

У смузі a або

Зауважимо, що при a = b ілише при g = 1, тобто вимоги "стикування" або навіть "сполучення" дуги, накладені в [3] при, не випливають з умови задачі, незважаючи на нерозривність мотузки.

Остаточно отримаємо

або (П.10)

При a = b отримуємо

При a = b і a = 1 виходить довжина дуги в класичній задачі [12] Дідони

Або

(П.11) 3. Варіаційна задача пошуку оптимального оператора

Крім наведеної в розділі 2 постановки варіаційної задачі, сформулюємо завдання пошуку ядра оптимального оператора F i, чинного на задані функції Si, і що доставляє екстремум функціоналу з розривним інтегрантом F. Такі завдання можуть, наприклад зустрічатися при знаходженні розподілу щільності заряду в частці.

Нехай існує функціонал I з розривним інтегрантом F

(3.1)

У разі кінцевих меж інтегрування в (3.1) функціонал I завжди можна виразити через інтеграл з нескінченними межами за допомогою функції (1.2) включення H (x). У формулі (3.1) символами F i (x) позначені лінійні інтегральні оператори

(3.2)

з шуканим ядром K (x, t), чинним на задані функції ,.

Приватні рішення

Встановимо цікава властивість безлічі екстремалів. Для цього представимо ядро у вигляді твору

(3.3)

де, - вибрана з деякого безлічі довільна функція, на яку множаться вхідні процеси Si (t);, - разностное ядро, яке потрібно знайти з умови екстремуму функціоналу I. Підставивши (3.3) в (3.2), отримаємо

(3.4)

Використовуємо властивість згортки і наведемо оператор (3.4) до вигляду

(3.5)

Приватна оптимізаційна задача для функціоналу (3.1), що залежить від лінійного інтегрального оператора з ядром (3.3), звелася до задачі для функціоналу (3.1), що залежить від інтегральних операторів (3.5) з різницевими ядрами Ki (x, t) = Si (xt) r (xt). Вирішення цього завдання отримано в розділі 2. Приватним необхідною умовою екстремуму функціонала I на основі розділу 2 є рівняння

(3.6)

Оскільки функції Si (xt) задані з умов завдання, а функція r (xt) вибирається довільно, то кожній з обраних r (xt) відповідає оптимальна h (t), тобто навіть при поданні ядра K (x, t) у вигляді твору (3.3) єдиного рішення сформульованої задачі не існує.

Ніяких обмежень на безперервність ядер K (x, t) при виведенні приватних необхідних умов екстремуму не накладаються, тому й функції r (xt), і функції h (t) можуть бути розривними або d -функцією і її похідними. Отже, на підставі теореми [13] про потужність безлічі функцій дійсного змінного можна зробити висновок про те, що безлічі приватних і, тим більше, загальних необхідних умов екстремуму мають потужність більше потужності континууму.

У зв'язку з тим, що задача (3.1), (3.2) рахункового безлічі рішень не має, рішенням в даному випадку можна назвати конструктивне опис подмножествафункцій K (x, t), що доставляють екстремум функціоналу I, причому потужність множини K більше потужності контінуума.Общая задача

Розглянемо загальну задачу (3.1), (3.2). Її вирішуватимемо як вариационную. Для цього введемо однопараметричне сімейство кривих - функцій двох змінних K (x, t) = K (x, t) + ad K (x, t), де d K (x, t) - довільна функція двох змінних, a - малий параметр K (x, t) замість K (x, t) в оператори (3.2), оператори (3.2) в функціонал (3.1), диференціюючи (3.1) по параметру a, отримаємо варіацію d I

(3.7)

Вважаючи, що до варіації (3.7) застосовна теорема Фубіні, змінимо порядок інтегрування і підсумовування і покладемо варіацію dI рівною нулю

(3.8)

Застосовуючи до варіації (3.8) основну лемму варіаційного числення у формулюванні Л.Янга [7], отримаємо необхідна умова екстремуму функціоналу (3.1), що залежить від оператора (3.2),

(3.9)

Якщо інтегрант функціоналу (3.1) не є лінійним, приватні похідні інтегрантавсегда містять сам оператор (3.2), а рівняння (3.9) є нелінійним двовимірним інтегральним рівнянням, коли шукана функція K (x, t) двох незалежних змінних входить під знак інтеграла. Властивості рівнянь типу (3.9) поки досліджені мало. Тільки якщо функціонал I - квадратичний, рівняння (3.9) - лінійне двовимірне інтегральне рівняння, деякі властивості яких зведені в монографії [11] .Спісок літератури

[1] Фейнманівські лекції з фізики, Том 6, М .: Мир, 1977.

[2] КашіновВ.В. Фізична думка Росії, N 1/2, (1999), с.127.

[3] КларкФ. Оптимізація і негладких аналіз: Пер. з англ. / Под ред. В.І.Благодатскіх, М .: Наука, 1988.

[4] СмоляноваМ.О. Безперервно диференціюється розривна функція на просторі D // Известия РАН. Серія математична. Том 59.5, (1995), с.197-202.

[5] БатухтінВ.Д., МайбородаЛ.А. Розривні екстремальні завдання, СПб .: Гіппократ, 1995.

[6] АнтосікП., МікусінскійЯ., СікорскійР. Теорія узагальнених функцій (секвенційного підхід). - М .: Світ, 1976.

[7] ЯнгЛ. Лекції з варіаційного числення і оптимальному управлінню. - М .: Світ, 1974.

[8] КолмогоровА.Н., ФомінС.В. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу. - М .: Наука, 1981.

[9] МишкісА.Д. Лекції з вищої математики. - М .: Наука, 1973. с.186-188.

[10] КашіновВ.В. Необхідні умови оптимальності в деяких завданнях управління та фільтрації // Кібернетика. 6, 1972, с.148-149.

[11] ПахолковГ.А., КашіновВ.В., ПономаренкоБ.В. Варіаційний метод синтезу сигналів і фільтрів. - М .: Радио и связь, 1981.

[12] КрасновМ.Л., МакаренкоГ.І., КіселевА.І. Варіаційне числення. - М .: Наука, 1973.

[13] МакаровІ.П. Додаткові глави математичного аналізу. - М .: Просвещение, 1968.
Срібло
Срібло (лат. Argentum), Ag, хімічний елемент I групи періодичної системи Менделєєва, атомний номер 47, атомна маса 107,8682. Властивості: метал білого кольору, ковкий, пластичний; щільність 10,5 г / см3, tпл 961,9 ° С. Один з дефіцитних елементів. Має найвищу серед металів електричну провідність,

Ранні етапи еволюції життя
Як же виникли такі складні молекули, настільки злагоджено один з одним працюють, забезпечують пов'язані метаболічні процеси в клітині? На це питання поки ніхто не може дати повну відповідь. Проте деякі деталі відомі. Відомий шлях, на якому можна знайти відповідь. Проведемо наступну аналогію.

Структура біології як науки
Як влаштована наука біологія? Можна уявити її як листковий пиріг. Її можна розрізати на шматки, що відповідають об'єктам вивчення (бактерії, найпростіші, рослини, тварини, людина). У кожному шматку будуть шари, що відповідають рівню вивчення: молекулярна біологія, біохімія, фізіологія, анатомія,

Природа вірусів
Існування вірусів було вперше встановлено при вивченні мозаїчної хвороби тютюну. Виявилося, що збудник цієї хвороби може проходити через фарфоровий фільтр, що часто використовується для уловлювання бактерій. Розмір вірусів коливається від 17 до 300 нм в діаметрі. Таким чином, за величиною

Екологічні фактори
Екологічні чинники - окремі елементи середовища, взаємодіючі з організмами. Розрізняють абіотичні, біотичні фактори та антропогенний фактор. Абіотичні чинники: світло, температура, вологість та інші компоненти клімату, склад повітря, грунту і пр. , тобто елементи неживої природи. Биотические

Морфофункціональний аналіз організації моноподіальних колоній гідроїдів з термінально розташованими зооідамі
на прикладі tubularia larynx ell. Et sol. Марфенін Н. Н. Відмінною рисою даного типу будови колоній є не припиняється після утворення гідранта функціонування зони росту, завдяки чому: 1) велика частина гідрантів колонії виявляється зосередженою у вузькому поверхневому шарі "найбільш сприятливому

Деякі аспекти оптимізації параметрів ядерного палива для ВВЕР
Лунін Г.Л., Духовенскій А.С., Горохів В.Ф., Доронін А.С., Алексєєв П.М., Прошкін А.А. Російський Науковий Центр Курчатовський інститут У переважній більшості енергетичних реакторів ядерне паливо використовується у вигляді закінчених у конструктивному відношенні одиничних вузлів, що мають строгу

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати