Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Математична Логіка - Математика

Конспекти лекцій з математичної логіки.

1. Теорія алгоритмів

1.1 Різні підходи до визначення алгоритму:

10. Неформальне поняття алгоритму (послідовність інструкцій для виконання дії).

20. Машина з необмеженими регістрами (МНР).

30Машіна Тьюринга - Поста (МТ-П).

40Нормальние алгоритми Маркова (НАМ).

1.1.1 Машина з необмеженими регістрами (МНР).

Мається якийсь пристрій, в якому рахункове число осередків пам'яті (регістрів), в яких зберігаються цілі числа.

Допустимі команди:

Z (n) - обнулення регістра Rn.

S (n) - збільшення числа в регістрі Rnна 1.

T (m, n) - копіює вміст Rmв РЕГИСТОР Rn.

I (p, q, n) - якщо вміст Rp = Rqто виконується команда з номером n, якщо немає

наступна.

Програма для МНР повинна бути послідовністю команд Z, S, T, I з певним порядком, що виконуються послідовно.

Теза Черча (Churcha): Перше і друге визначення алгоритму еквівалентні між собою. Будь неформальний алгоритм може бути представлений в програмі для МНР.

1.1.2 Машина Тьюринга - Посту.

Є пристрій проглядається нескінченну стрічку, де є осередки містять елементи алфавіту :, де- порожній символ (пусте слово), який може належати і не належати А. Також існує керуюча головка (пристрій) (УУ) / (УГ), яка в початковий момент розташована в певному місці, в змозі. Також існують внутрішні стану машини:

Слово в даному алфавіті - будь-яка кінцева упорядкована послідовність літер даного алфавіту, притому довжина слова це кількість букв у ньому (у порожнього слова довжина 0).

Допустимі команди:

 1), де.

 2) (зупинка програми).

 Послідовність команд називається програмою, якщо в цій послідовності не зустрічається команд з однаковими лівими частинами. Машина зупиняється якщо вона не знаходить команди з лівою частиною подібної поточної.

1.1.3 Нормальні алгоритми Маркова.

Тип машини переробний слова, в якій існує якийсь алфавіт, для якого W - множина всіх слів.

Допустимі команди: (Для машин цього типу важлива послідовність команд.)

 де

 Приклад:

 Програма:

1.1.4 Реалізація функції натурального змінного.

але ми допускаємо не всюди певну функцію.

то це означає, що

притому, якщо f не визначена, то і програма не повинна нічого видавати.

притому, якщо f не визначена, то і програма не повинна нічого видавати.

(, А числа представляються у вигляді, наприклад.)

1.2 Еквівалентність трьох підходів до поняття алгоритм.

1.2.1 Теорема про еквівалентність поняття обчислюваної функції.

вичіслімих: ()

1) Якщо існує програма МНР, яка обчислює цю функцію.

2) Якщо існує програма МТ-П, яка обчислює цю функцію.

3) Якщо існує програма НАМ, яка обчислює цю функцію.

Використання НАМ:

Теор .: Класи функцій вичіслімих на МТ-П, за допомогою НАМ і за допомогою МНР збігаються.

Пустькоторая обчислюється на МТ-П, обчислимо її на НАМ.МТ-П:

НАМ:

Команда МТП: перетворюється за правилами:

Команда МТП:

2. Булеві функції.

2.1 Основні визначення

2.1.1 Декартово твір

- Мн-во всіляких впорядкованих пар елементів з А і В.

Приклад:

2.1.2 Декартова ступінь довільного безлічі.

Опр: - безліч всіляких впорядкованих наборів довжини n, елементів множини А.

2.1.3 Визначення булевої функції від n змінних.

Будь-яке отображеніе- називається булевої функцією від n змінних, притому безліч

2.1.4 Приклади булевої функції.

1) логічна сума (диз'юнкція).

2) логічне множення (ко?юнкція).

3) додавання по модулю два.

4) логічний наслідок (імплікація).

5) заперечення.

2.1.5 Основні булеві тотожності.

1) (асоціативність)

2) (комутативність)

3) (властивість нуля)

4) (закон поглинання для 1)

5) (асоціативність)

6) (комутативність)

7) (властивість нуля по множенню)

8) (властивість нейтральності 1 по множенню)

9) (дистрибутивність)

10) (дистрибутивність 2)

11) (закон поглинання)

12) (Закони

13) де Моргана)

14) (закон зняття подвійного заперечення)

15) (tertium non datur - третього не дано)

16) (асоціативність)

17)

18)

19)

20)

21) (Властивості

22) ідемпотентності)

2.2 Диз'юнктивні нормальні форми.

2.2.1 Основні визначення.

- Кінцевий алфавіт з змінних.

Розглянемо слово:

Експоненціальні позначення:

- Елемент ко?юнкціі.

S - довжина елемента ко?юнкціі.

ДНФ - диз'юнкція кількох різних елементарних ко?юнкцій.

Будь булева функція може бути представлена як ДНФ

2.2.2 Теорема про досконалу ДНФ.

Будь булева функціятождественно не дорівнює 0 може бути розкладена в ДНФ такого вигляду:

Опр: Носій булевої функції

.

Лемма:

1) це елементарно

2) візьмемо набір

а)

б)

Доказ :, будемо доводити, що.

1) Доведемо, що. Возьмемон потрапляє в число сумміруемих наборів і по ньому буде проводитись сумірованіе.

2) Доведемо, що. Візьмемо інший набір з

Отже

2.2.3 Деякі інші види ДНФ.

Опр: - називається мінімальної ДНФ, якщо вона має- найменшу можливу довжину з усіх ДНФ даної функції.

Опр: - називається тупикової ДНФ, якщо з неї не можна викинути жодного доданка із збереженням булевої функції.

(Легко зрозуміти, що будь-яка мінімальна ДНФ є тупиковою, а зворотне не вірно.)

Опр: К-мірної гранню називається таке підмножина, яка є носієм певної елементарної ко?юнкціі довжини: nk.

Опр: Припустимо дана функціяй є. Грань називається зазначеної, якщо вона цілком міститься в носії Т.

Опр: Максимальна грань - це така грань, яка не міститься ні в якій грані більш високої розмірності.

Пропозиція: Будь-яку зазначену межу можна вкласти в максимальну межу.

Пропозиція:

(Носій будь-якої функції можна розкласти в об'єднання декількох граней різної размерностей)

Пропозиція: Носій будь-якої функції розкладається в об'єднання всіх своїх максимальних граней.

Опр: Елементарна ко?юнкція називається мінімальною, якщо її носій є максимальною межею. Отже всяка булева функція розкладається в диз'юнкцію всіх своїх елементарних ко?юнкцій.

Опр: Скорочена ДНФ - розкладання даної булевої функції у відповідні ДНФ, які відповідають об'єднанню її максимальних граней.

Теор: Мінімальна ДНФ може бути отримана з скороченою відкиданням деякої кількості доданків, можливо порожнього.

3 Логічні Обчислення.

3.1 Обчислення висловлювання (ІВ).

3.1.1 Визначення.

Опр: V - словом в алфавіті А, називається будь кінцева упорядкована послідовність його букв.

Опр: формативного послідовність слів - кінцева послідовність слів і висловів, якщо вони мають формат види:

Опр: F - формулою ІВ, називається будь-яке слово, що входить в яку-небудь формативного послідовність.

Приклад:

Опр: Аксіоми - спеціально виділене підмножина формул.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

Reg - правила виведення ІВ (деякі правила перетворення першого слова в інше).

a - символ змінної

- Довільне слово ІВ (формула)

Отображеніедействует так, що на місце кожного входження символу а, пишеться слово.

Приклад:

Правило modus ponens:

3.1.2 Формальний висновок. (Найпростіша модель доведення теореми)

Опр: Послідовність формул ІВ, називається формальним висновком, якщо кожна формула цієї послідовності має наступний вигляд:

Опр: що виводиться формулою (теоремою) ІВ називається будь-яка формула входить до якої-небудь формальний вивод.- виведена формула ІВ.

Приклад:

 1)

 2)

 3)

 4)

 5)

 6)

Правило одночасної підстановки.

Зауваження: Якщо формулавиводіма, то виведена і

Візьмемо формативного послідовність виводаі додамо в неї, вийшла послідовність є формальним висновком.

(Якщо виводімато якщо, то виводиться)

Теор: Якщо виведена формула, то (- різні символи змінних) виведена

Виберем- символи змінних які різні між собою і не входять не в одну з формул, зробимо подстановкуі послідовно застосував у новому слові робимо послідовну підстановку :, де- є формальним висновком.

3.1.3 Формальний висновок з гіпотез.

Опр: Формальним виведенням з гіпотез (формули), називається така послідовність слів, кожна з яких задовольняє умові:

якщо формулуможно включити в певний формальний висновок з гіпотез.

Лемма:;: то тоді

Напишемо список:

Лемма:

Док:

3.1.4 Теорема дедукції.

Якщо з

1) і 2а), гдепо правилом mp, ч.т.д.

2б) - вже виводили, ч.т.д.

Базис індукції: N = 1 формальний висновок з довгого списку

(Тільки що доведено), здійснимо перехід по індукції:

по індукції

і по лемі 2

Приклад:

по теоремі дедукції

3.2 Критерій виводимості в ІВ.

3.2.1 Формулювання теореми.

- Тавтологія

при будь-якій інтерпретації алфавіту (символів змінних)

3.2.2 Поняття інтерпретації.

символ переменнойпеременную поставимо у відповідність.

, Де- проекція на.

; - Тільки символ

змінних, тому

це найголовніше слово

Формативний последо-

вательности види:

Де:

3.2.3 Доведення теореми.

формальний

висновок

(1)

3.3 Несуперечність ІВ.

3.3.1 Визначення.

1) ІВ суперечливо, якщо формула А виведена в ньому ..

2) формула виведена в ІВ) ІВ суперечливо.

3) ІВ суперечливо.

ІВ несуперечливо, якщо воно не є суперечливим.

Теорема: ІВ є несуперечливим обчисленням по відношенню до будь-якого з трьох визначень.

Док-во: (1) Якщо, то відповідна їй булева функція буде тотожно дорівнює 1.

(2) Якщо будь-яка формула виведена, то виведена і А, що відповідає пункту 1.

(3) Пустьі- булева функція

- Протиріччя.

3.4 Формальні обчислення.

Алфавіт - кінцеве або рахункове безліч символів, можливо, розбитих на групи. Алфавіт повинен бути впорядкованим безліччю.

Слово - кінцева упорядкована послідовність символів алфавіту, в т.ч. пусте слово.

V - безліч всіх слів.

Обчислювана функція від декількох натуральних змінних

(F - може бути не всюди визначеній)

f - називається обчислюваною, еслітакая машина Тьюринга, яка її обчислює.

- Розв'язати безліч, якщо характеристична функція

- Є обчислюваною.

Множествоназивается перечислимого, еслітакая обчислювана функція

М - розв'язна і N \ M перечислимого.

М - перечислимого - область визначення деякої обчислюваної функції.

Безліч всіх формул F - деякий розв'язати підмножина V.

Т - рахункове безліч, есліего биективное відображення на V.

- Позначення рахункового множини. (- Алеф-нуль)

Есліі зафіксовано биективное і вичіслімих відображення (обчислюва.),

то L - ансамбль.

V - ансамбль (слова лексикографічно впорядковані і пронумеровані)

Визначення: У довільному формальному обчисленні: - безліч всіх аксіом - розв'язати підмножина множини всіх формул.

Правило виводу:

, Пріразрешімо. Для ІВ N = 2.

Приклад:

(Пусте слово),

1 і 2 - формальні висновки.

3 - не є формальним виводом.4 Предикати і квантори.

4.1 Визначення предиката.

- Висловлювання, що містить змінну.

- Предметна область предиката.

Нехай А - безліч об'єктів довільної природи (предметна область предиката).

-місцевий предикат - довільне відображення

Безліч істинності даного предиката

-

- Характеристична

функція від x на безлічі

А - збігається

з предикатами

4.2 Поняття квантора.

k - пов'язана змінна

n - вільна змінна

t - вільна, x - пов'язана.

, A, b, y - вільні змінні, x - пов'язана.

4.3 Геометрична інтерпретація навішування кванторів.

 - Ортогональна проекція на вісь x

Пронесення заперечення через квантори

Геометричне 'доказ':

не має властивість, що прямаяцеліком лежить в

ч.т.д.
Як підвищити змагальну надійність висококваліфікованих борців
Доцент А.Н. Блеер, старший викладач Л.А. Ігуменова Постійні зміни правил змагань зі спортивної боротьби, що проводяться ФІЛА з метою підвищення видовищності поєдинків, привели до значного скорочення арсеналу застосовуваних борцями технічних дій та підвищенню інтенсивності ведення сутичок.

Профілактика травматизму та обморожень на заняттях з лижної підготовки
Введення. Жорстких вікових обмежень для занять лижною підготовкою немає. Наприклад, дітей ходити на лижах можна вчити з трьох років. Для початку дитина повинна походити на лижах по кімнаті, звикнути до них. Потім дитини вчать поворотам на лижах, переступ. Проблем з передозуванням руху у дітей

Комплексні числа
Реферат з математики учениці 8г класу Вауліна Свєти Муніципальне освітній заклад-гімназія 47 г.Екатеринбург 2000г.Введеніе Вирішення багатьох завдань фізики і техніки призводить до квадратних рівнянь з від'ємним дискримінантом. Ці рівняння не мають рішення в області дійсних чисел. Але рішення

Кварки
Кварки Реферат виконав: учень 11а класу Вішняков Дмитро МОУ СОШ 1Введение Терміном "елементарні частинки" в фізиці прийнято називати частинки, які є основою для усього матеріального, і крім того що володіють дуже важливою властивістю - неподільністю. У різні історичні епохи такими

Зв'язані числа
Н. Вагутен У цій роботі ми розглянемо ряд ситуацій, в яких число виду a + bvd корисно замінити зв'язаних a - bvd. Ми побачимо, як цей простий прийом - заміна знака перед радикалом - допомагає у вирішенні різноманітних завдань алгебри та аналізу - від нехитрих оцінок і перетворень до важких

Індивідуальні заняття для дітей з порушеннями опорно-рухового апарату
Курсова робота студентки 3 курсу 6 групи з/про Чурапчинський державний інститут фізичної культури і спорту Чурапча - 2007Введение Актуальність справжнього дослідження зумовлено рядом причин. По-перше, малорухомий образ життя сучасних батьків (негативний приклад). По-друге, збільшення відсотка

Важливі вітаміни для організму
ПЛАН. Введення. 1. Історія відкриття вітамінів. 2. Загальне поняття про авітамінозах; гіпо- та гіпервітамінозу. 3. Класифікація вітамінів. 3.1. Вітаміни, розчинні в жирах. 3.2. Вітаміни, розчинні у воді. 3.3.1. Вітамін B2 (рибофлавін). 3.3.2. Вміст вітаміну В2 в деяких продуктах і потребу

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати