Головна |
Банківська справа | БЖД | Біографії | Біологія | Біохімія | Ботаніка та с/г | Будівництво | Військова кафедра | Географія | Геологія | Екологія | Економіка | Етика | Журналістика | Історія техніки | Історія | Комунікації | Кулінарія | Культурологія | Література | Маркетинг | Математика | Медицина | Менеджмент | Мистецтво | Моделювання | Музика | Наука і техніка | Педагогіка | Підприємництво | Політекономія | Промисловість | Психологія, педагогіка | Психологія | Радіоелектроніка | Реклама | Релігія | Різне | Сексологія | Соціологія | Спорт | Технологія | Транспорт | Фізика | Філософія | Фінанси | Фінансові науки | Хімія |
Введення в невизначені рівняння
Коли ми обдумуємо рішення тієї чи іншої задачі, необхідно звертати увагу на те, які в ній використовуються величини. Цілі або дробові? Позитивні чи негативні? Адже незначна деталь допомагає не тільки усунути помилку в рішенні тієї або іншої задачі, але і знайти саме рішення. Розберемо це на прикладі.
Нехай у Миші (заздалегідь перепрошую, якщо відвідувач сайту Михайло) є пятірублёвие і, припустимо, восьмірублевие монети. Всього їх на суму тридцять дев'ять рублів. Скільки монет по п'ять рублів і скільки по вісім у Мишка.
Здається, що тут не вистачає даних, якщо, наприклад, через x позначити кількість 5-рублевих монет, а за y - 8-рублевих монет, то умова самого завдання дозволяє написати одне єдине рівняння:
Ці та інші рівняння та їх системи, в яких число невідомих перевищує число рівнянь, називають невизначеними.
З умови видно, що кількість монет не може вимірюватися нецілі або негативними числами. Значить, якщо x - ціле невід'ємне число, то і:
повинно бути невід'ємним і цілим. А значить, потрібно, щоб вираз 39 - 5x без залишку поділялося на 8. За допомогою підбору можна переконається, що це можливо при x = 3. Звідси, y = 3.
Перебір варіантів не зручна, коли ми працюємо з великими числами. Набагато краще скористатися методом рассеванія або методом спуску, який придумали староіндійські математики. Про метод узвозу буде сказано трохи нижче.
Метод спуску (матеріал взято з енциклопедії Аванта + "Математика")
Продовжимо розгляд невизначеного рівняння виду:
де a, b, c - відомі цілі коефіцієнти.
Розберемо це все на знайомому прикладі:
Виберемо невідоме, що має найменший коефіцієнт, і висловимо його через інше невідоме:
Тепер виділимо цілу частину:
Все число буде цілим, якщо цілим виявиться значення (4 - 3у) / 5. Це можливо лише тоді коли число (4 - 3у) без залишку ділиться на 5. Вводячи додаткову целочисленную змінну z, остання умова запишемо у вигляді
Ми прийшли до рівняння такого ж типу, як і вихідне, але вже з меншими коефіцієнтами. Вирішувати його тепер потрібно відносно змінних y і z.
Продовжуємо діяти все за тим же принципом:
Для того щоб у виявилось цілим, необхідно, щоб число 1 - 2z без залишку поділялося на 3: 1 - 2z = 3u (знову введена додаткова змінна u, приймаюча тільки цілі значення). Звідси за вже відпрацьованою схемою отримуємо:
Продовжимо ... Число z буде цілим, якщо число 1 - u без залишку ділиться на 2: 1 - u = 2v, де v - довільне ціле. Звідси u = 1 - 2v. Дробів більше немає, спуск закінчений.
Залишилося тепер благополучно «піднятися вгору». Висловимо через змінну v спочатку z, потім у і, нарешті, х:
Формули х = 3 + 8v, y = 3 - 5v представляють загальне рішення вихідного рівняння в цілих числах. А якщо нас цікавлять тільки невід'ємні цілі числа, то серед всіх цілих рішень потрібно вибрати такі, для яких
і, стало бути,
Спільно ці нерівності можуть виконуватися лише при v = 0. У цьому випадку x = 3, y = 3. Тобто у Міші було 3 5-рублеві монети і 3 8-рублеві монети.
Взагалі, цілі рішення у рівняння виду
можуть бути не завжди. Більше того, якщо на НОД (найбільший спільний дільник) a і b ділиться c, тоді і тільки тоді, рівняння вирішується в цілих чис
Фундаментальний констант
СКІЛЬКИ константи є істинно фундаментальні? Анотація Головними фундаментальними константами зазвичай вважають гравітаційну константу (G), постійну Планка (h) і швидкість світла (c). Прийнято вважати, що ці константи є незалежними. Дослідження показали, що істинно фундаментальними виявилися
Циліндр і конус
Циліндр Циліндром називається тіло, яке складається з 2 кіл, що суміщаються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що з'єднують соотв. точки цих кіл. Кола називаються основою циліндра, а відрізки - створюючими циліндра. Також, як і для призми доводиться, що основи циллиндра рівні і лежать
Дидактика астрономії: від ХХ до ХХI віку
Е.П. Левітан, доктор педагогічних наук, А.Ю. Румянцев, доктор педагогічних наук Дідактіка астрономії (методика навчання астрономії) - приватна дидактика, що включає теорію і практику навчання астрономії і що вивчає закономірності, шляху і коштів навчання, виховання і розвитку учнів в процесі
Обчислення многочленів - від Ньютона до наших днів
Е. Г. Бeлага §1. Многочлени - інструмент обчислювача Ну, почнемо! Коли ми доберемося до кінця цієї історії, будемо знати більше, ніж тепер. Г. X. Андерсен В неозорому царстві функцій многочлени займають, на перший погляд, дуже скромне місце. Однак це перше враження оманливе. Многочлени, дійсно,
Ефекти кінцевої розрядності і їх облік
А. Т. Бізін Сибірська Державна Академія телекомунікацій та інформатики Новосибірськ 1998 г.Шум квантування і шумова модель Відліки сигналу на вході цифрової системи квантуються до найближчого з дозволених рівнів. Відстані між суміжними рівнями одно кроку квантування D. Крок квантування і розрядність
До розрахунку ефективних магнітних полів в магнітних рідинах
Диканський Ю.І. Один з підходів до визначення ефективних полів пов'язаний з аналізом діючих на дипольні частинку сил [1]. В роботі [2] на підставі такого аналізу отримана формула для розрахунку ефективних електричних полів в рідких діелектриках. Механічне перенесення підходу, використовуваного
Лавра Кирило Юрійович
Народний артист СРСР, Герой Соціалістичного Труда, лауреат Ленінської, трьох Державних премій, художній керівник Академічного Великого драматичного театру імені Г.А. Товстоногова (Санкт-Петербург), президент Міжнародної конфедерації театральних союзів Народився 15 вересня 1925 року в Ленінграде.