Головна |
Банківська справа | БЖД | Біографії | Біологія | Біохімія | Ботаніка та с/г | Будівництво | Військова кафедра | Географія | Геологія | Екологія | Економіка | Етика | Журналістика | Історія техніки | Історія | Комунікації | Кулінарія | Культурологія | Література | Маркетинг | Математика | Медицина | Менеджмент | Мистецтво | Моделювання | Музика | Наука і техніка | Педагогіка | Підприємництво | Політекономія | Промисловість | Психологія, педагогіка | Психологія | Радіоелектроніка | Реклама | Релігія | Різне | Сексологія | Соціологія | Спорт | Технологія | Транспорт | Фізика | Філософія | Фінанси | Фінансові науки | Хімія |
ЛІНІЙНА ЗАЛЕЖНІСТЬ ВЕКТОРІВ.
Нехай задана система векторів а1, а2, а3, ..., ал (1) однієї розмірності.
Визначення: система векторів (1) називається лінійно-незалежною, якщо рівність a 1А1 + a 2А2 + ... + a лал = 0 (2) виконується лише в тому випадку, коли всі числа a 1, a 2, ..., a л = 0 і I R
Визначення: система векторів (1) називається лінійно-залежною, якщо рівність (2) здійснимо хоча б при одному a i? 0 (i = 1, ..., k)
Властивості
Якщо система векторів містить нульовий вектор, то вона лінійно залежна
Якщо система векторів містить лінійно-залежну підсистему векторів, то вона буде лінійно-залежною.
Якщо система векторів лінійно-незалежна, то і будь-яка її підсистема буде лінійно незалежною.
Якщо система векторів містить хоча б один вектор, який є лінійною комбінацією інших векторів, то ця система векторів буде лінійно залежною.
Визначення: два вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на паралельних прямих.
Визначення: три вектора називаються компланарними, якщо вони лежать в паралельних площинах.
Теорема: Якщо задані два вектори a і b, причому а? 0 і ці вектори колінеарні, то знайдеться таке дійсне число g, що b = g a.
Теорема: Для того що б два вектори були лінійно-залежні необхідно і достатньо, що б вони були колленіарни.
Доказ: достатність. Тому вектори колінеарні, то b = g a. Будемо вважати, що а, b? 0 (якщо ні, то система лінійно-залежна по 1 властивості). 1b-g a = 0. Тому коеф. При b? 0, то система лінійно залежна за визначенням. Необхідність. Нехай а і b лінійно-залежні. a а + b b = 0, a ? 0. а = -b / a * b. а й b колінеарні за визначенням множення вектора на число.
Теорема: для того, щоб три вектори були лінекно-залежні необхідно і достатньо, щоб вони були компланарні. Необхідність.
Дано: a, b, c - лінійно-залежні. Довести: a, b, c - компланарність. Доказ: тому вектори лінійно-залежні, то a а + b b + gc = 0, g ? 0. с = - a / g * а - b / g * b. с-діагональ паралелограма, тому a, b, c лежать в одній площині.
БАЗИС СИСТЕМИ ВЕКТОРІВ. РІЗНІ СИСТЕМИ КООРДИНАТ.
1. Визначення: нехай задана деяка система векторів. Базисом цієї системи називається мах. сукупність лінійно-незалежних векторів системи.
У безлічі векторів на прямій базис складається з одного ненульового вектора.
В якості базису безлічі векторів на площині можна взяти довільну пару.
У безлічі векторів в тривимірному просторі базис складається з трьох некомпланарних векторів.
2. Прямокутна (декартова) система координат на площині визначається завданням двох взаємно перпендикулярних прямих із загальним початком і однаковою масштабної од. на осях.
Прямокутна (декартова) система координат в просторі визначається завданням трьох взаємно перпендикулярних прямих із загальною точкойпересеченія і однаковою масштабної од. на осях.
Скалярний добуток векторів.
Визначення: скалярним добутком двох векторів називається добуток довжин двох векторів на косинус кута між ними.
(А, b) = | a | | b | cos u, u <90, пр-ті полож .; u = 90, пр-ті = 0; u> 90, пр-ті негативні.
Властивості:
(А, b) = (b, а)
(A а, b) = a (а, b)
(А + b, с) = (а, с) + (b, с)
(А, а) = | a | 2 - скал.квадрат.
Визначення: два вектори називаються ортоганальнимі, коли скалярний пр-е дорівнює 0.
Визначення: вектор називається нормованим, якщо його скал.кв.равен 1.
Визначення: базис безлічі векторів називається ортонормованим, якщо всі вектори базису взаємно-ортагональная і кожен вектор нормований.
Теорема: Якщо вектори а і b задані координатами в ортонормированном базисі, то їх скалярний добуток дорівнює сумі добутків відповідних координат.
Знайдемо формулу кута між векторами з визначення скалярного твори. cos u = a, b / | a || b | = x1x2 + y1y2 + z1z2 / sqrt (x12 + y12 + z12) * sqrt (x22 + y22 + z22)
Векторного добутку ВЕКТОРІВ.
Визначення: векторним добутком двох векторів a і b позначається [a, b] називається вектор з задовольняє слід. вимогам: 1. | c | = | a || b | sin u. 2. (с, а) = 0 і (с, b) = 0. 3. а, b, с утворюють праву трійку.
Властивості:
[A, b] = - [b, a]
[A а, b] = a [а, b]
[A + b, c] = [a, c] + [b, c]
[A, a] = 0
Теорема: Довжина векторного добутку векторів дорівнює площі паралелограма побудованого на цих векторах.
Доказ: справедливість теореми випливає з першої вимоги визначення векторного твору.
Теорема: Нехай вектори а і b задані координатами в ортонормированном базисі, тоді векторний добуток одно определителю третього порядку в першому рядку якого знаходять-ся базисних векторів, у другій - координати першого вектора, в третій - координати другого.
Визначення: ортой вектора а називається вектор од. довжини має однакове напрямок з вектором а. ea = a / | a |
РІЗНІ РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ НА ПЛОЩИНІ.
1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. У відрізках. 3. Канонічне ур-е пр. 4. Ур-е пр. Ч / з дві точки. 5. Ур-е пр. З кутів. коеф. 6. Нормальне ур-е прямий. Відст. від точки до прямої. 7. Параметричне ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол між пр.
Ах + By + C = 0 (1), де A, B одновр.не дорівнюють нулю.
Теорема: n (A, B) ортоганален прямий заданої ур-ем (1).
Доказ: підставимо коорд. т.М0 в ур-е (1) і отримаємо АХ0 + By0 + C = 0 (1 '). Віднімемо (1) - (1 ') отримаємо А (х-х0) + B (y-y0) = 0, n (A, B), М0М (х-х0, y-y0). Зліва в отриманому рівність записано скалярне твір векторів, воно дорівнює 0, значить n і M0M ортоганальни. Т.ч. n ортоганлен прямій. Вектор n (A, B) називається нормальним вектором прямої.
Зауваження: нехай ур-я А1х + B1y + C1 = 0 і А2х + B2y + C2 = 0 визначають одну і ту ж пряму, тоді знайдеться таке дійсне число t, що А1 = t * А2 і т.д.
Визначення: якщо хоча б один з коефіцієнтів в ур-ії (1) = 0, то ур-е називається неповним.
1. С = 0, Ах + By = 0 - проходить ч / з (0,0)
2. С = 0, А = 0, By = 0, значить у = 0
3. С = 0, B = 0, Ах = 0, значить х = 0
4. А = 0, By + C = 0, паралл. ОХ
5. B = 0, Ах + C = 0, паралл. OY
x / a + y / b = 1.
Геом.смисл: пряма відсікає на осях координат відрізки а і b
x-x1 / e = y-y1 / m
Нехай на прямій задана точка і напр. вектор прямої (паралл.пр.). Візьмемо на прямій произв. точки. q і M1М (х-х1; y-y1)
x-x1 / x2-x1 = y-y1 / y2-y1
Нехай на прямій дано дві точки М1 (x1; y1) і М2 (x2; y2). Тому на прямій задано дві точки, то заданий спрямовує вектор q (x2-x1; y2-y1)
y = kb + b.
u - кут нахилу прямої. Tg кута нахилу називається кутовим коефіцієнтом прямої k = tg u
Нехай пряма задана в канонічному вигляді. Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої tg u = m / e. Тоді бачимо x-x1 / e / e = y-y1 / m / e. y-y1 = k (x-x1) при y1-kx1 = b, y = kx + b
xcosq + ysinq -P = 0
q - кут між вектором ЗР і позитивним напр. осі ОХ.
Завдання: записати ур-е прямий, якщо ізветность Р і q
Рішення: Виділимо на прямий ЗР вектор од. довжини n. | N | = 1, n (cosq, sinq). Нехай М (x, y) - проізв.точка прямій. Розглянемо два вектора n і ОМ. Знайдемо двома способвамі їх скал.проізведеніе. 1. ОМ * n = | OM || n | cosMOP = Р. 2. ОМ * n = cosq x + sinq y. Прирівняємо праві частини.
Задача: пряма задана загальним ур-ем. Перейти до норм. увазі.
Ах + By + C = 0
xcosq + ysinq -P = 0
т.к. рівняння визначають одну пряму, то сущ. коеф. пропорційності.
Cos2q = (A * t) 2
Sin2q = (B * t) 2
-p = C * t
cos2q + sin2q = t2 (A2 + B2), t2 = 1 / A2 + B2, t = ± sqrt (1 / A2 + B2). Sign t = - sign C
Що б знайти нормальне рівняння прямої потрібно загальне ур-е помножити на t.
Аtх + Bty + Ct = 0, t-нормирующий множник.
7. Система: x = et + x1 і y = mt + y1
Нормальних рівнянь ПРЯМОЇ. Відстань від точки до прямої.
1. xcosq + ysinq -P = 0
q - кут між вектором ЗР і позитивним напр. осі ОХ.
Завдання: записати ур-е прямий, якщо ізветность Р і q
Рішення: Виділимо на прямий ЗР вектор од. довжини n. | N | = 1, n (cosq, sinq). Нехай М (x, y) - проізв.точка прямій. Розглянемо два вектора n і ОМ. Знайдемо двома способвамі їх скал.проізведеніе. 1. ОМ * n = | OM || n | cosMOP = Р. 2. ОМ * n = cosq x + sinq y. Прирівняємо праві частини.
Задача: пряма задана загальним ур-ем. Перейти до норм. увазі.
Ах + By + C = 0
xcosq + ysinq -P = 0
т.к. рівняння визначають одну пряму, то сущ. коеф. пропорційності.
Cos2q = (A * t) 2
Sin2q = (B * t) 2
-p = C * t
cos2q + sin2q = t2 (A2 + B2), t2 = 1 / A2 + B2, t = ± sqrt (1 / A2 + B2). Sign t = - sign C
Що б знайти нормальне рівняння прямої потрібно загальне ур-е помножити на t.
Аtх + Bty + Ct = 0, t-нормирующий множник.
2. Позначимо d - відстань від точки до прямої, а ч / з б - відхилення точки від прямої. б = d, якщо нач.коорд. і точка по різні боки; = - D, якщо нач.коорд. і точка по одну сторону.
Теорема: Нехай задано нормальне рівняння прямої xcosq + ysinq -P = 0 і М1 (x1; y1), тоді відхилення точки М1 = x1cosq + y1sinq -P = 0
Завдання: знайти відстань від точки М0 (x0; y0) до прямої Ах + By + C = 0. Тому d = | б |, то формула відстаней приймає вид d = | x0cosq + y0sinq -P |. d = | АХ0 + By0 + C | / sqrt (A2 + B2)
ГІПЕРБОЛА.
Визначення: ГМТ на площині модуль різниці відстаней від яких до двох фіксованих точок, які називаються фокусами, є величина постійна
Канонічне рівняння:
Будемо вважати, що фокуси гіперболи знаходяться на ОХ на однаковій відстані від початку координат. | F1F2 | = 2c, М - довільна точка гіперболи. r1, r2 - відстані від М до фокусів;
| R2-r1 | = 2a; a x2c2-2a2xc + a2 = a2 (x2-2xc + c2 + y2)
x2 (c2-a2) -a2y2 = a2 (c2-a2)
c2-a2 = b2
x2b2-a2y2 = a2b2
- Канонічне ур-е гіперболи
Параболи.
Визначення: ГМТ на площині відстань від яких до фіксованої точки на площині, званої фокусом, дорівнює відстані до фіксованої прямої цієї площини званої директоркою.
Канонічне рівняння:
Нехай фокус параболи знаходиться на осі ОХ, а директриса розташування перпендикулярно осі ОХ, причому вони знаходяться на однаковій відстані від початку координат.
| DF | = p, М - довільна точка параболи; К - точка на директрисі; МF = r; MK = d;
r = sqrt ((x-p / 2) 2 + y2); d = p / 2 + x
Прирівнюємо і отримуємо:
y2 = 2px - канонічне рівняння параболи
Ексцентриситет І директриса ЕЛІПСА І ГІПЕРБОЛИ.
1. Визначення: ексцентриситет - величина рівна відношенню з к а.
е = с / а
е елліпсв <1 (тому а> c)
е гіперболи> 1 (тому що з> a)
Визначення: окружність - еліпс у якого а = b, с = 0, е = 0.
Висловимо ексцентриситети через а і b:
е еліпса є мірою його "витягнутості"
е гіперболи характеризує кут розчину між асимптотами
2. Директоркою D еліпса (гіперболи), відповідної фокусу F, називається пряма розташована в півплощині a перпендикулярно великої осі еліпса і віддалений від його центру на відстані а / е> a (а / еD1: x = - a / e
D2: x = a / e
р = а (1-е2) / е - для еліпса
р = а (е2-1) / е - для гіперболи
ТЕОРЕМА ПРО відносини відстані. 2-ОЕ ВИЗНАЧЕННЯ ЕЛІПСА, ГІПЕРБОЛИ, парабола.
Теорема: Відношення відстані будь-якої точки еліпса (гіперболи) до фокусу до відстані від неї до відповідної директриси є величина постійна рівна е еліпса (гіперболи).
Доказ: для еліпса.
r1 / d1 = e
x ? | a |, xe + a> 0
r1 = xe + a
d1 - відстань від М (x, y) до прямої D1
xcos180 + ysin180-p = 0
x = -p
x = -a / e
бм = -x-a / e
d1 = -бм (мінус, тому пряма і точка по одну сторону про почала коорд.)
Визначення: ГМТ на площині, відношення відстані від яких до фокуса, до відстані до відповідної директриси є величина постійна і являє собою еліпс, якщо <1, гіперболу, якщо> 1, параболу, якщо = 1.
ПОЛЯРНЕ рівняння еліпса, ГІПЕРБОЛИ, парабола.
Нехай заданий еліпс, парабола або права гілка гіперболи.
Нехай заданий фокус цих кривих. Помістимо полюс полярної системи в фокус кривою, а полярну вісь сумісний з віссю симетрії, на якій знаходиться фокус.
r = r
d = p + r cosj
e = r / p + r cosj
- Полярне рівняння еліпса, параболи і правої гілки гіперболи.
Дотичної до кривої 2-ГО ПОРЯДКУ.
Нехай заданий еліпс в канонічному вигляді. Знайдемо рівняння дотичної до нього, проходить через М0 (x0; y0) - точка дотику, вона належить еліпсу значить справедливо:
у-у0 = y '(x0) (x-x0)
Розглянемо дотичну до крівойследовательно
ya2y0-a2y02 + b2x0x-b2x02 = 0
- Рівняння дотичної до еліпса.
- Рівняння дотичної до гіперболи.
- Рівняння дотичної до параболи.
ПЕРЕТВОРЕННЯ декартовій прямокутній КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ.
Перетворення на площині є застосування перетворень паралельного переносу й повороту.
Нехай дві прямокутні системи координат мають спільний початок. Розглянемо всі можливі скалярні твори базисних векторів двома способами:
(Е1; е1 ') = cos u
(Е1; е2 ') = cos (90 + u) = -sin u
(Е2; е1 ') = cos (90-u) = sin u
(Е2; е2 ') = cos u
Базис розглядається ортонормованій:
(Е1; е1 ') = (е1, a 11е1 + a 12е2) = a 11
(Е1; е2 ') = (е1, a 21Е1 + a 22е2) = a 21
(Е2; е1 ') = a 12
(Е2; е2 ') = a 22
Прирівнюємо:
a 11 = cos u
a 21 = - sin u
a 12 = sin u
a 22 = cos u
Отримуємо:
x = a + x'cos u - y'sin u
y = b + x'sin u - y'cos u - формули повороту системи координат на кут u.
---
x = a + x '
y = b + y '- формули паралельного перенесення
Інваріант УРАВНЕНИЯ ЛІНІЙ 2-ГО ПОРЯДКУ.
Визначення: інваріантів ур-я (1) лінії другого порядку щодо перетворення системи координат, називається функція залежна від коефіцієнтів ур-я (1) і не змінює свого значення при перетворенні системи координат.
Теорема: інваріантами рівняння (1) лінії другого порядку щодо перетворення системи координат є наступні величини: I1; I2; I3
Висновок: при перетворенні системи координат 3 величини залишаються незмінними, тому вони характеризують лінію.
Визначення:
I2> 0 - еліптичних тип
I2 <0 - гіперболічний тип
I2 = 0 - параболічний тип
ЦЕНТР ЛІНІЇ 2-ГО ПОРЯДКУ.
Нехай задана на площині лінія рівнянням (1).
Паралельний перенос:
Паралельно перенесемо систему XOY на вектор OO 'т.ч. що б в системі X'O'Y 'коеф. при x 'і y' перетвореного рівняння кривої виявилися рівними нулю. Після цього:
a11x'2 + 2a12x'y '+ a22y'2 + a'33 = 0 (2)
точка О 'знаходиться з умови: a13' = 0 і a23 '= 0.
Виходить система a11x0 + a12y0 + a13 = 0 і a12x0 + a22y0 + a23 = 0
Покажемо, що новий початок координат (якщо система розв'язана) є центром симетрії кривої: f (x '; y') = 0, f (-x '; - y') = f (x '; y')
Але точка О 'існує якщо знаменники у x0 і y0 відмінні від нуля.
Точка O '- єдина точка.
Центр симетрії кривої існує якщо I2? 0 тобто центр симетрії мають лінії еліптичних і гіперболічного типу
Поворот:
Нехай система XOY повернута на кут u. У новій системі координат рівняння не містить члена з x'y 'тобто ми робимо коеф. а12 = 0. a12 '= -0,5 (a11-a22) sin2u + a12cos2u = 0 (розділимо на sin2u), отримаємо:
, Після такого перетворення рівняння приймає вид
a11'x'2 + a22'y'2 + 2a13'x '+ 2a23'y' + a33 '= 0 (3)
ТЕОРЕМА Про ЛІНІЯХ еліптичних ТИПУ.
Теорема: Нехай задана лінія еліптичних типу тобто I2> 0 і нехай I1> 0 отже рівняння (1) визначає: 1. I3 <0 - еліпс; 2. I3 = 0 - точка; 3. I3> 0 - ур-е (1) не визначає. Якщо I3 = 0 говорять, що еліпс вироджується в точку. Якщо I3> 0 кажуть, що задається вдаваний еліпс. Нехай після ПП і повороту ур-е (1) набуває вигляду (*).
Доказ:
1. нехай I2> 0, I1> 0, I3 <0, тоді
а11''x''2 + a22 '' y''2 = -I3 / I2
I2 = a11''a22 ''> 0
I1 = a11 '' + a22 ''> 0
a11 ''> 0; a22 ''> 0
Отже, під корінням стоять позитивні числа, отже, рівняння еліпса.
2. I3> 0 в даному випадку під коренем стоять негативні числа, отже рівняння не визначає дійсного геометричного образу.
3. I3 = 0 в даному випадку т (0,0) - випадок виродження еліпса.
ТЕОРЕМА Про ЛІНІЯХ ГІПЕРБОЛІЧНОГО ТИПУ.
Теорема: Нехай рівняння (1) визначає лінію гіперболічного типу. Тобто I2 <0, I3? 0 - ур-е (1) визначає гіперболу; I3 = 0 - пару пересічних прямих.
Доказ: I2 <0; I2 = a11''a22 '' <0. Нехай a11 ''> 0; a22 '' <0
Нехай I3> 0
В даному випадку ми маємо гіперболу з дійсною віссю ОХ.
Нехай I3 <0
- (- А11 '') x''2 + a22 '' y''2 = -I3 / I2
У цьому випадку ми маємо гіперболу з дійсною віссю ОY
Нехай I3 = 0
а11''x''2 - (- a22 '') y''2 = 0
Асимптотичні НАПРЯМКИ КРИВИХ 2-ГО ПОРЯДКУ.
Нехай крива другого порядку задана рівнянням (1). Розглянемо квадратну частина цього рівняння: u (x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2
Визначення: ненульовий вектор (a, b) координати якого звертають в нуль квадратичную частина називається вектором асимптотического напрямки заданої кривої.
(A, b) - вектор асимптотического напрямки.
a11a 2 + 2a12a b + a22b 2 = 0 (*)
Розглянемо (a ', b') паралельний (a, b): отже. Дріб a / b характеризує вектор асимптотического напрямки.
Задача: з'ясувати які асимптотические напрямки мають криві 2-го порядку.
Рішення: покладемо, що b ? 0 і поділимо на b 2, отримаємо: a11 (a / b) 2 + 2a12a / b + a22 = 0 з цього квадратного рівняння знайдемо a / b.
т.к. у ліній гіперболічного та параболічного типів I2 ? 0, то вони мають асимптотичні напрямки. Тому у еліпса I2> 0 отже таких у нього немає (кажуть він має уявні асимптотические напрямку).
Знайдемо асимптотические напрямки у гіперболи:
(A, b) 1 = (a, b)
(A, b) 2 = (- a, b)
Вектори асимптотического напрямки є напрямними векторами для асимптот.
Отже: гіпербола має два асимптотических напрямки, які визначаються асимптотами гіперболи.
Знайдемо асимптотические напрямки у параболи:
y2 = 2px
y2-2px = 0
u (x, y) = y2 + 0, y = 0
(A, b) = (0,0)
Отже: вектор асимптотического напрямки параболи лежить на осі симетрії параболи, тобто пряма асимптотического напрямки перетинає параболу в одній точці, слід. асимптотой не є. Парабола має одне асимптотическое напрямок, але асимптот не має.
РІЗНІ РІВНЯННЯ ПЛОЩИНІ.
Нехай задано тривимірний простір.
Теорема: Площина в афинной системі координат задається рівнянням першого ступеня від трьох змінних: Ax + By + Cz + D = 0, де A, B, C? 0 одновреенно. Справедлива і зворотна теорема.
Теорема: Вектор n (A, B, C) ортоганален площині, що задається загальним рівнянням.
Вектор n - нормальний вектор площини.
2. Рівняння площини у відрізках:
3. Рівняння площини, визначеної нормальним вектором і точкою.
Нехай n (A, B, C) і М (x0; y0; z0). Запишемо ур-е пл-ти:
Ax + By + Cz + D = 0
Ax0 + By0 + Cz0 = -D
A (x-x0) + B (y-y0) + C (z-z0) = 0
Рівняння площини ч / з 3 точки.
Нехай відомі три крапки не принадл. одній прямій.
М1 (x1; y1; z1); М2 (x2; y2; z2); М3 (x3; y3; z3)
Нехай М (x; y; z) - довільна точка площини. Тому точки принадл. одній площині то вектори компланарні.
М1М x-x1 y-y1 z-z1
М1М2 x2-x1 y2-y1 z2-z1 = 0
М1М3 x3-x1 y3-y1 z3-z1
Параметричне ур-е площині.
Нехай площину визначена точкою і парою некомпланарних векторів. V (V1; V2; V3); U (U1; U2; U3); M0 (x0; y0; z0), тоді плостость має вигляд: система: x = x0 + V1t + U1s і y = y0 + V2t + U2s і z = z0 + V3t + U3s
Відстань від точки до ПЛОЩИНІ.
Ax + By + Cz + D = 0; M0 (x0; y0; z0)
Взаємне розташування площин у просторі.
Кут між площинами: нехай задані дві площини: A1x + B1y + C1z + D1 = 0; A2x + B2y + C2z + D2 = 0, тому n1 (A1; B1; C1); n2 (A2; B2; C2). Відшукання кута між площинами зводиться до відшукання його між нормальними векторами.
Ідентифікація автономного електрогідравлічного слідкуючого приводу
Малишев В.М., Попов Д.Н., Сосновський Н.Г. Автономні електрогідравлічні приводи, що стежать (ЕГСП) з дросельним регулюванням широко застосовують у різних галузях техніки. Для вибору оптимального проектного варіанту ЕГСП необхідно мати комплекс проблемно-орієнтованих математичних моделей. У
Власні значення.
1. ВСТУП Цілий ряд інженерних задач зводиться до розгляду систем рівнянь, що мають єдине рішення лише в тому випадку, якщо відомо значення деякого вхідного в них параметра. Цей особливий параметр називається характеристичним, або власним, значенням системи. Із завданнями на власні значення
Комплексні числа
Міністерство Освіти Російської Федерації Відділ утворення Ленінського району Технічестая школа-ліцей. ДОПОВІДЬ Комплексні числа Учня 9 "а" класу Князева Вячеслава. м. Владивосток 1998 1. Історія розвитку комплексних чисел. Введення комплексних чисел було пов'язане з відкриттям рішення
Метод математичної індукції
Вступ Основна частьПолная і неповна індукція Принцип математичної індукції Метод математичної індукції Рішення прикладів Рівності Розподіл чисел Нерівності Висновок Список використаної літературиВступленіе В основі всякого математичного дослідження лежать дедуктивний і індуктивний методи.
Пошук клік в графах
Курсовий проект студента Шеломанова Р.Б. Кафедра загальної теорії систем і системного аналізу Московський державний університет економіки, статистики та інформатики Москва 1998 Введення Для ілюстрацій умов і рішень багатьох завдань люди користуються графіками. За своєю суттю графіки є набором
Апроксимація функцій
З курсу математики відомі 3 способу завдання функціональних залежностей: аналітичний графічний табличний Табличний спосіб зазвичай виникає в результаті експеременту. Недолік табличного завдання функції полягає в тому, що знайдуться значення змінних які невизначені таблицею. Для відшукання
Основи теорії систем і системний аналіз
Чуз-ІДА Кривий Ріг PEI-IBM Приватне Навчальний Заклад Інститут Ділового Адміністрування Private Educational Institution Institute of Business Managment Основи теорії систем і системного аналізу Конспект лекцій для спеціальності ОБЛІК І АУДИТ · 95 вересень-грудень 1996 Особливості системного