Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Аналітична геометрія - Математика

ЛІНІЙНА ЗАЛЕЖНІСТЬ ВЕКТОРІВ.

Нехай задана система векторів а1, а2, а3, ..., ал (1) однієї розмірності.

Визначення: система векторів (1) називається лінійно-незалежною, якщо рівність a 1А1 + a 2А2 + ... + a лал = 0 (2) виконується лише в тому випадку, коли всі числа a 1, a 2, ..., a л = 0 і I R

Визначення: система векторів (1) називається лінійно-залежною, якщо рівність (2) здійснимо хоча б при одному a i? 0 (i = 1, ..., k)

Властивості

Якщо система векторів містить нульовий вектор, то вона лінійно залежна

Якщо система векторів містить лінійно-залежну підсистему векторів, то вона буде лінійно-залежною.

Якщо система векторів лінійно-незалежна, то і будь-яка її підсистема буде лінійно незалежною.

Якщо система векторів містить хоча б один вектор, який є лінійною комбінацією інших векторів, то ця система векторів буде лінійно залежною.

Визначення: два вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на паралельних прямих.

Визначення: три вектора називаються компланарними, якщо вони лежать в паралельних площинах.

Теорема: Якщо задані два вектори a і b, причому а? 0 і ці вектори колінеарні, то знайдеться таке дійсне число g, що b = g a.

Теорема: Для того що б два вектори були лінійно-залежні необхідно і достатньо, що б вони були колленіарни.

Доказ: достатність. Тому вектори колінеарні, то b = g a. Будемо вважати, що а, b? 0 (якщо ні, то система лінійно-залежна по 1 властивості). 1b-g a = 0. Тому коеф. При b? 0, то система лінійно залежна за визначенням. Необхідність. Нехай а і b лінійно-залежні. a а + b b = 0, a ? 0. а = -b / a * b. а й b колінеарні за визначенням множення вектора на число.

Теорема: для того, щоб три вектори були лінекно-залежні необхідно і достатньо, щоб вони були компланарні. Необхідність.

Дано: a, b, c - лінійно-залежні. Довести: a, b, c - компланарність. Доказ: тому вектори лінійно-залежні, то a а + b b + gc = 0, g ? 0. с = - a / g * а - b / g * b. с-діагональ паралелограма, тому a, b, c лежать в одній площині.

БАЗИС СИСТЕМИ ВЕКТОРІВ. РІЗНІ СИСТЕМИ КООРДИНАТ.

1. Визначення: нехай задана деяка система векторів. Базисом цієї системи називається мах. сукупність лінійно-незалежних векторів системи.

У безлічі векторів на прямій базис складається з одного ненульового вектора.

В якості базису безлічі векторів на площині можна взяти довільну пару.

У безлічі векторів в тривимірному просторі базис складається з трьох некомпланарних векторів.

2. Прямокутна (декартова) система координат на площині визначається завданням двох взаємно перпендикулярних прямих із загальним початком і однаковою масштабної од. на осях.

Прямокутна (декартова) система координат в просторі визначається завданням трьох взаємно перпендикулярних прямих із загальною точкойпересеченія і однаковою масштабної од. на осях.

Скалярний добуток векторів.

Визначення: скалярним добутком двох векторів називається добуток довжин двох векторів на косинус кута між ними.

(А, b) = | a | | b | cos u, u <90, пр-ті полож .; u = 90, пр-ті = 0; u> 90, пр-ті негативні.

Властивості:

(А, b) = (b, а)

(A а, b) = a (а, b)

(А + b, с) = (а, с) + (b, с)

(А, а) = | a | 2 - скал.квадрат.

Визначення: два вектори називаються ортоганальнимі, коли скалярний пр-е дорівнює 0.

Визначення: вектор називається нормованим, якщо його скал.кв.равен 1.

Визначення: базис безлічі векторів називається ортонормованим, якщо всі вектори базису взаємно-ортагональная і кожен вектор нормований.

Теорема: Якщо вектори а і b задані координатами в ортонормированном базисі, то їх скалярний добуток дорівнює сумі добутків відповідних координат.

Знайдемо формулу кута між векторами з визначення скалярного твори. cos u = a, b / | a || b | = x1x2 + y1y2 + z1z2 / sqrt (x12 + y12 + z12) * sqrt (x22 + y22 + z22)

Векторного добутку ВЕКТОРІВ.

Визначення: векторним добутком двох векторів a і b позначається [a, b] називається вектор з задовольняє слід. вимогам: 1. | c | = | a || b | sin u. 2. (с, а) = 0 і (с, b) = 0. 3. а, b, с утворюють праву трійку.

Властивості:

[A, b] = - [b, a]

[A а, b] = a [а, b]

[A + b, c] = [a, c] + [b, c]

[A, a] = 0

Теорема: Довжина векторного добутку векторів дорівнює площі паралелограма побудованого на цих векторах.

Доказ: справедливість теореми випливає з першої вимоги визначення векторного твору.

Теорема: Нехай вектори а і b задані координатами в ортонормированном базисі, тоді векторний добуток одно определителю третього порядку в першому рядку якого знаходять-ся базисних векторів, у другій - координати першого вектора, в третій - координати другого.

Визначення: ортой вектора а називається вектор од. довжини має однакове напрямок з вектором а. ea = a / | a |

РІЗНІ РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ НА ПЛОЩИНІ.

1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. У відрізках. 3. Канонічне ур-е пр. 4. Ур-е пр. Ч / з дві точки. 5. Ур-е пр. З кутів. коеф. 6. Нормальне ур-е прямий. Відст. від точки до прямої. 7. Параметричне ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол між пр.

Ах + By + C = 0 (1), де A, B одновр.не дорівнюють нулю.

Теорема: n (A, B) ортоганален прямий заданої ур-ем (1).

Доказ: підставимо коорд. т.М0 в ур-е (1) і отримаємо АХ0 + By0 + C = 0 (1 '). Віднімемо (1) - (1 ') отримаємо А (х-х0) + B (y-y0) = 0, n (A, B), М0М (х-х0, y-y0). Зліва в отриманому рівність записано скалярне твір векторів, воно дорівнює 0, значить n і M0M ортоганальни. Т.ч. n ортоганлен прямій. Вектор n (A, B) називається нормальним вектором прямої.

Зауваження: нехай ур-я А1х + B1y + C1 = 0 і А2х + B2y + C2 = 0 визначають одну і ту ж пряму, тоді знайдеться таке дійсне число t, що А1 = t * А2 і т.д.

Визначення: якщо хоча б один з коефіцієнтів в ур-ії (1) = 0, то ур-е називається неповним.

1. С = 0, Ах + By = 0 - проходить ч / з (0,0)

2. С = 0, А = 0, By = 0, значить у = 0

3. С = 0, B = 0, Ах = 0, значить х = 0

4. А = 0, By + C = 0, паралл. ОХ

5. B = 0, Ах + C = 0, паралл. OY

x / a + y / b = 1.

Геом.смисл: пряма відсікає на осях координат відрізки а і b

x-x1 / e = y-y1 / m

Нехай на прямій задана точка і напр. вектор прямої (паралл.пр.). Візьмемо на прямій произв. точки. q і M1М (х-х1; y-y1)

x-x1 / x2-x1 = y-y1 / y2-y1

Нехай на прямій дано дві точки М1 (x1; y1) і М2 (x2; y2). Тому на прямій задано дві точки, то заданий спрямовує вектор q (x2-x1; y2-y1)

y = kb + b.

u - кут нахилу прямої. Tg кута нахилу називається кутовим коефіцієнтом прямої k = tg u

Нехай пряма задана в канонічному вигляді. Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої tg u = m / e. Тоді бачимо x-x1 / e / e = y-y1 / m / e. y-y1 = k (x-x1) при y1-kx1 = b, y = kx + b

xcosq + ysinq -P = 0

q - кут між вектором ЗР і позитивним напр. осі ОХ.

Завдання: записати ур-е прямий, якщо ізветность Р і q

Рішення: Виділимо на прямий ЗР вектор од. довжини n. | N | = 1, n (cosq, sinq). Нехай М (x, y) - проізв.точка прямій. Розглянемо два вектора n і ОМ. Знайдемо двома способвамі їх скал.проізведеніе. 1. ОМ * n = | OM || n | cosMOP = Р. 2. ОМ * n = cosq x + sinq y. Прирівняємо праві частини.

Задача: пряма задана загальним ур-ем. Перейти до норм. увазі.

Ах + By + C = 0

xcosq + ysinq -P = 0

т.к. рівняння визначають одну пряму, то сущ. коеф. пропорційності.

Cos2q = (A * t) 2

Sin2q = (B * t) 2

-p = C * t

cos2q + sin2q = t2 (A2 + B2), t2 = 1 / A2 + B2, t = ± sqrt (1 / A2 + B2). Sign t = - sign C

Що б знайти нормальне рівняння прямої потрібно загальне ур-е помножити на t.

Аtх + Bty + Ct = 0, t-нормирующий множник.

7. Система: x = et + x1 і y = mt + y1

Нормальних рівнянь ПРЯМОЇ. Відстань від точки до прямої.

1. xcosq + ysinq -P = 0

q - кут між вектором ЗР і позитивним напр. осі ОХ.

Завдання: записати ур-е прямий, якщо ізветность Р і q

Рішення: Виділимо на прямий ЗР вектор од. довжини n. | N | = 1, n (cosq, sinq). Нехай М (x, y) - проізв.точка прямій. Розглянемо два вектора n і ОМ. Знайдемо двома способвамі їх скал.проізведеніе. 1. ОМ * n = | OM || n | cosMOP = Р. 2. ОМ * n = cosq x + sinq y. Прирівняємо праві частини.

Задача: пряма задана загальним ур-ем. Перейти до норм. увазі.

Ах + By + C = 0

xcosq + ysinq -P = 0

т.к. рівняння визначають одну пряму, то сущ. коеф. пропорційності.

Cos2q = (A * t) 2

Sin2q = (B * t) 2

-p = C * t

cos2q + sin2q = t2 (A2 + B2), t2 = 1 / A2 + B2, t = ± sqrt (1 / A2 + B2). Sign t = - sign C

Що б знайти нормальне рівняння прямої потрібно загальне ур-е помножити на t.

Аtх + Bty + Ct = 0, t-нормирующий множник.

2. Позначимо d - відстань від точки до прямої, а ч / з б - відхилення точки від прямої. б = d, якщо нач.коорд. і точка по різні боки; = - D, якщо нач.коорд. і точка по одну сторону.

Теорема: Нехай задано нормальне рівняння прямої xcosq + ysinq -P = 0 і М1 (x1; y1), тоді відхилення точки М1 = x1cosq + y1sinq -P = 0

Завдання: знайти відстань від точки М0 (x0; y0) до прямої Ах + By + C = 0. Тому d = | б |, то формула відстаней приймає вид d = | x0cosq + y0sinq -P |. d = | АХ0 + By0 + C | / sqrt (A2 + B2)

ГІПЕРБОЛА.

Визначення: ГМТ на площині модуль різниці відстаней від яких до двох фіксованих точок, які називаються фокусами, є величина постійна

Канонічне рівняння:

Будемо вважати, що фокуси гіперболи знаходяться на ОХ на однаковій відстані від початку координат. | F1F2 | = 2c, М - довільна точка гіперболи. r1, r2 - відстані від М до фокусів;

| R2-r1 | = 2a; a,

x2c2-2a2xc + a2 = a2 (x2-2xc + c2 + y2)

x2 (c2-a2) -a2y2 = a2 (c2-a2)

c2-a2 = b2

x2b2-a2y2 = a2b2

- Канонічне ур-е гіперболи

Параболи.

Визначення: ГМТ на площині відстань від яких до фіксованої точки на площині, званої фокусом, дорівнює відстані до фіксованої прямої цієї площини званої директоркою.

Канонічне рівняння:

Нехай фокус параболи знаходиться на осі ОХ, а директриса розташування перпендикулярно осі ОХ, причому вони знаходяться на однаковій відстані від початку координат.

| DF | = p, М - довільна точка параболи; К - точка на директрисі; МF = r; MK = d;

r = sqrt ((x-p / 2) 2 + y2); d = p / 2 + x

Прирівнюємо і отримуємо:

y2 = 2px - канонічне рівняння параболи

Ексцентриситет І директриса ЕЛІПСА І ГІПЕРБОЛИ.

1. Визначення: ексцентриситет - величина рівна відношенню з к а.

е = с / а

е елліпсв <1 (тому а> c)

е гіперболи> 1 (тому що з> a)

Визначення: окружність - еліпс у якого а = b, с = 0, е = 0.

Висловимо ексцентриситети через а і b:

е еліпса є мірою його "витягнутості"

е гіперболи характеризує кут розчину між асимптотами

2. Директоркою D еліпса (гіперболи), відповідної фокусу F, називається пряма розташована в півплощині a перпендикулярно великої осі еліпса і віддалений від його центру на відстані а / е> a (а / еD1: x = - a / e

D2: x = a / e

р = а (1-е2) / е - для еліпса

р = а (е2-1) / е - для гіперболи

ТЕОРЕМА ПРО відносини відстані. 2-ОЕ ВИЗНАЧЕННЯ ЕЛІПСА, ГІПЕРБОЛИ, парабола.

Теорема: Відношення відстані будь-якої точки еліпса (гіперболи) до фокусу до відстані від неї до відповідної директриси є величина постійна рівна е еліпса (гіперболи).

Доказ: для еліпса.

r1 / d1 = e

x ? | a |, xe + a> 0

r1 = xe + a

d1 - відстань від М (x, y) до прямої D1

xcos180 + ysin180-p = 0

x = -p

x = -a / e

бм = -x-a / e

d1 = -бм (мінус, тому пряма і точка по одну сторону про почала коорд.)

Визначення: ГМТ на площині, відношення відстані від яких до фокуса, до відстані до відповідної директриси є величина постійна і являє собою еліпс, якщо <1, гіперболу, якщо> 1, параболу, якщо = 1.

ПОЛЯРНЕ рівняння еліпса, ГІПЕРБОЛИ, парабола.

Нехай заданий еліпс, парабола або права гілка гіперболи.

Нехай заданий фокус цих кривих. Помістимо полюс полярної системи в фокус кривою, а полярну вісь сумісний з віссю симетрії, на якій знаходиться фокус.

r = r

d = p + r cosj

e = r / p + r cosj

- Полярне рівняння еліпса, параболи і правої гілки гіперболи.

Дотичної до кривої 2-ГО ПОРЯДКУ.

Нехай заданий еліпс в канонічному вигляді. Знайдемо рівняння дотичної до нього, проходить через М0 (x0; y0) - точка дотику, вона належить еліпсу значить справедливо:

у-у0 = y '(x0) (x-x0)

Розглянемо дотичну до крівойследовательно

ya2y0-a2y02 + b2x0x-b2x02 = 0

- Рівняння дотичної до еліпса.

- Рівняння дотичної до гіперболи.

- Рівняння дотичної до параболи.

ПЕРЕТВОРЕННЯ декартовій прямокутній КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ.

Перетворення на площині є застосування перетворень паралельного переносу й повороту.

Нехай дві прямокутні системи координат мають спільний початок. Розглянемо всі можливі скалярні твори базисних векторів двома способами:

(Е1; е1 ') = cos u

(Е1; е2 ') = cos (90 + u) = -sin u

(Е2; е1 ') = cos (90-u) = sin u

(Е2; е2 ') = cos u

Базис розглядається ортонормованій:

(Е1; е1 ') = (е1, a 11е1 + a 12е2) = a 11

(Е1; е2 ') = (е1, a 21Е1 + a 22е2) = a 21

(Е2; е1 ') = a 12

(Е2; е2 ') = a 22

Прирівнюємо:

a 11 = cos u

a 21 = - sin u

a 12 = sin u

a 22 = cos u

Отримуємо:

x = a + x'cos u - y'sin u

y = b + x'sin u - y'cos u - формули повороту системи координат на кут u.

---

x = a + x '

y = b + y '- формули паралельного перенесення

Інваріант УРАВНЕНИЯ ЛІНІЙ 2-ГО ПОРЯДКУ.

Визначення: інваріантів ур-я (1) лінії другого порядку щодо перетворення системи координат, називається функція залежна від коефіцієнтів ур-я (1) і не змінює свого значення при перетворенні системи координат.

Теорема: інваріантами рівняння (1) лінії другого порядку щодо перетворення системи координат є наступні величини: I1; I2; I3

Висновок: при перетворенні системи координат 3 величини залишаються незмінними, тому вони характеризують лінію.

Визначення:

I2> 0 - еліптичних тип

I2 <0 - гіперболічний тип

I2 = 0 - параболічний тип

ЦЕНТР ЛІНІЇ 2-ГО ПОРЯДКУ.

Нехай задана на площині лінія рівнянням (1).

Паралельний перенос:

Паралельно перенесемо систему XOY на вектор OO 'т.ч. що б в системі X'O'Y 'коеф. при x 'і y' перетвореного рівняння кривої виявилися рівними нулю. Після цього:

a11x'2 + 2a12x'y '+ a22y'2 + a'33 = 0 (2)

точка О 'знаходиться з умови: a13' = 0 і a23 '= 0.

Виходить система a11x0 + a12y0 + a13 = 0 і a12x0 + a22y0 + a23 = 0

Покажемо, що новий початок координат (якщо система розв'язана) є центром симетрії кривої: f (x '; y') = 0, f (-x '; - y') = f (x '; y')

Але точка О 'існує якщо знаменники у x0 і y0 відмінні від нуля.

Точка O '- єдина точка.

Центр симетрії кривої існує якщо I2? 0 тобто центр симетрії мають лінії еліптичних і гіперболічного типу

Поворот:

Нехай система XOY повернута на кут u. У новій системі координат рівняння не містить члена з x'y 'тобто ми робимо коеф. а12 = 0. a12 '= -0,5 (a11-a22) sin2u + a12cos2u = 0 (розділимо на sin2u), отримаємо:

, Після такого перетворення рівняння приймає вид

a11'x'2 + a22'y'2 + 2a13'x '+ 2a23'y' + a33 '= 0 (3)

ТЕОРЕМА Про ЛІНІЯХ еліптичних ТИПУ.

Теорема: Нехай задана лінія еліптичних типу тобто I2> 0 і нехай I1> 0 отже рівняння (1) визначає: 1. I3 <0 - еліпс; 2. I3 = 0 - точка; 3. I3> 0 - ур-е (1) не визначає. Якщо I3 = 0 говорять, що еліпс вироджується в точку. Якщо I3> 0 кажуть, що задається вдаваний еліпс. Нехай після ПП і повороту ур-е (1) набуває вигляду (*).

Доказ:

1. нехай I2> 0, I1> 0, I3 <0, тоді

а11''x''2 + a22 '' y''2 = -I3 / I2

I2 = a11''a22 ''> 0

I1 = a11 '' + a22 ''> 0

a11 ''> 0; a22 ''> 0

Отже, під корінням стоять позитивні числа, отже, рівняння еліпса.

2. I3> 0 в даному випадку під коренем стоять негативні числа, отже рівняння не визначає дійсного геометричного образу.

3. I3 = 0 в даному випадку т (0,0) - випадок виродження еліпса.

ТЕОРЕМА Про ЛІНІЯХ ГІПЕРБОЛІЧНОГО ТИПУ.

Теорема: Нехай рівняння (1) визначає лінію гіперболічного типу. Тобто I2 <0, I3? 0 - ур-е (1) визначає гіперболу; I3 = 0 - пару пересічних прямих.

Доказ: I2 <0; I2 = a11''a22 '' <0. Нехай a11 ''> 0; a22 '' <0

Нехай I3> 0

В даному випадку ми маємо гіперболу з дійсною віссю ОХ.

Нехай I3 <0

- (- А11 '') x''2 + a22 '' y''2 = -I3 / I2

У цьому випадку ми маємо гіперболу з дійсною віссю ОY

Нехай I3 = 0

а11''x''2 - (- a22 '') y''2 = 0

Асимптотичні НАПРЯМКИ КРИВИХ 2-ГО ПОРЯДКУ.

Нехай крива другого порядку задана рівнянням (1). Розглянемо квадратну частина цього рівняння: u (x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2

Визначення: ненульовий вектор (a, b) координати якого звертають в нуль квадратичную частина називається вектором асимптотического напрямки заданої кривої.

(A, b) - вектор асимптотического напрямки.

a11a 2 + 2a12a b + a22b 2 = 0 (*)

Розглянемо (a ', b') паралельний (a, b): отже. Дріб a / b характеризує вектор асимптотического напрямки.

Задача: з'ясувати які асимптотические напрямки мають криві 2-го порядку.

Рішення: покладемо, що b ? 0 і поділимо на b 2, отримаємо: a11 (a / b) 2 + 2a12a / b + a22 = 0 з цього квадратного рівняння знайдемо a / b.

т.к. у ліній гіперболічного та параболічного типів I2 ? 0, то вони мають асимптотичні напрямки. Тому у еліпса I2> 0 отже таких у нього немає (кажуть він має уявні асимптотические напрямку).

Знайдемо асимптотические напрямки у гіперболи:

(A, b) 1 = (a, b)

(A, b) 2 = (- a, b)

Вектори асимптотического напрямки є напрямними векторами для асимптот.

Отже: гіпербола має два асимптотических напрямки, які визначаються асимптотами гіперболи.

Знайдемо асимптотические напрямки у параболи:

y2 = 2px

y2-2px = 0

u (x, y) = y2 + 0, y = 0

(A, b) = (0,0)

Отже: вектор асимптотического напрямки параболи лежить на осі симетрії параболи, тобто пряма асимптотического напрямки перетинає параболу в одній точці, слід. асимптотой не є. Парабола має одне асимптотическое напрямок, але асимптот не має.

РІЗНІ РІВНЯННЯ ПЛОЩИНІ.

Нехай задано тривимірний простір.

Теорема: Площина в афинной системі координат задається рівнянням першого ступеня від трьох змінних: Ax + By + Cz + D = 0, де A, B, C? 0 одновреенно. Справедлива і зворотна теорема.

Теорема: Вектор n (A, B, C) ортоганален площині, що задається загальним рівнянням.

Вектор n - нормальний вектор площини.

2. Рівняння площини у відрізках:

3. Рівняння площини, визначеної нормальним вектором і точкою.

Нехай n (A, B, C) і М (x0; y0; z0). Запишемо ур-е пл-ти:

Ax + By + Cz + D = 0

Ax0 + By0 + Cz0 = -D

A (x-x0) + B (y-y0) + C (z-z0) = 0

Рівняння площини ч / з 3 точки.

Нехай відомі три крапки не принадл. одній прямій.

М1 (x1; y1; z1); М2 (x2; y2; z2); М3 (x3; y3; z3)

Нехай М (x; y; z) - довільна точка площини. Тому точки принадл. одній площині то вектори компланарні.

М1М x-x1 y-y1 z-z1

М1М2 x2-x1 y2-y1 z2-z1 = 0

М1М3 x3-x1 y3-y1 z3-z1

Параметричне ур-е площині.

Нехай площину визначена точкою і парою некомпланарних векторів. V (V1; V2; V3); U (U1; U2; U3); M0 (x0; y0; z0), тоді плостость має вигляд: система: x = x0 + V1t + U1s і y = y0 + V2t + U2s і z = z0 + V3t + U3s

Відстань від точки до ПЛОЩИНІ.

Ax + By + Cz + D = 0; M0 (x0; y0; z0)

Взаємне розташування площин у просторі.

Кут між площинами: нехай задані дві площини: A1x + B1y + C1z + D1 = 0; A2x + B2y + C2z + D2 = 0, тому n1 (A1; B1; C1); n2 (A2; B2; C2). Відшукання кута між площинами зводиться до відшукання його між нормальними векторами.
Ідентифікація автономного електрогідравлічного слідкуючого приводу
Малишев В.М., Попов Д.Н., Сосновський Н.Г. Автономні електрогідравлічні приводи, що стежать (ЕГСП) з дросельним регулюванням широко застосовують у різних галузях техніки. Для вибору оптимального проектного варіанту ЕГСП необхідно мати комплекс проблемно-орієнтованих математичних моделей. У

Власні значення.
1. ВСТУП Цілий ряд інженерних задач зводиться до розгляду систем рівнянь, що мають єдине рішення лише в тому випадку, якщо відомо значення деякого вхідного в них параметра. Цей особливий параметр називається характеристичним, або власним, значенням системи. Із завданнями на власні значення

Комплексні числа
Міністерство Освіти Російської Федерації Відділ утворення Ленінського району Технічестая школа-ліцей. ДОПОВІДЬ Комплексні числа Учня 9 "а" класу Князева Вячеслава. м. Владивосток 1998 1. Історія розвитку комплексних чисел. Введення комплексних чисел було пов'язане з відкриттям рішення

Метод математичної індукції
Вступ Основна частьПолная і неповна індукція Принцип математичної індукції Метод математичної індукції Рішення прикладів Рівності Розподіл чисел Нерівності Висновок Список використаної літературиВступленіе В основі всякого математичного дослідження лежать дедуктивний і індуктивний методи.

Пошук клік в графах
Курсовий проект студента Шеломанова Р.Б. Кафедра загальної теорії систем і системного аналізу Московський державний університет економіки, статистики та інформатики Москва 1998 Введення Для ілюстрацій умов і рішень багатьох завдань люди користуються графіками. За своєю суттю графіки є набором

Апроксимація функцій
З курсу математики відомі 3 способу завдання функціональних залежностей: аналітичний графічний табличний Табличний спосіб зазвичай виникає в результаті експеременту. Недолік табличного завдання функції полягає в тому, що знайдуться значення змінних які невизначені таблицею. Для відшукання

Основи теорії систем і системний аналіз
Чуз-ІДА Кривий Ріг PEI-IBM Приватне Навчальний Заклад Інститут Ділового Адміністрування Private Educational Institution Institute of Business Managment Основи теорії систем і системного аналізу Конспект лекцій для спеціальності ОБЛІК І АУДИТ · 95 вересень-грудень 1996 Особливості системного

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати