Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Абстрактна теорія груп - Математика

I.Понятие абстрактної групи 1.Поняття алгебраїчної операції.

Кажуть, що на безлічі X визначено алгебраїчна операція (*), якщо кожної впорядкованої парі елементовпоставлен у відповідність деякий елементназиваемий їх твором.

Прімери.Композіція переміщень на множествахявляется алгебраїчній операцією. Композиція підстановок є алгебраїчній операцією на множествевсех підстановок ступеня n. Алгебраїчними операціями будуть і звичайні операції додавання, віднімання і множення на множинах Z, R, C відповідно цілих, дійсних і комплексних чисел. Операція розподілу не буде алгебраїчній операцією на цих множинах, оскільки частноене визначено прі. Однак на множинах, це буде алгебраїчна операція. Додавання векторів є алгебраїчній операцією на безлічі. Векторне твір буде алгебраїчній операцією на безлічі. Множення матриць буде алгебраїчній операцією на безлічі всіх квадратних матриць даного порядку. 2.Свойства алгебраїчних операцій. 1. Операція (*) називається асоціативної, якщо.

Ця властивість виконується у всіх наведених вище прикладах, за винятком операцій віднімання (і ділення) та операції векторного множення векторів. Наявність властивості асоціативності дозволяє визначити твір будь-якого кінцевого безлічі елементів. Наприклад, якщо ,. Зокрема можна визначити ступеня з натуральним показником :. При цьому мають місце звичайні закони:,.

2. Операція (*) називається комутативною, якщо

У наведених вище прикладах операція коммутативна в прикладах 3 і 4 і не коммутативна в інших випадках. Відзначимо, що для комутативній операції

3. Елементназивается нейтральним для алгебраїчній операції (*) на безлічі X, якщо. У прикладах 1-6 нейтральними елементами будуть відповідно тотожне переміщення, тотожна перестановка, числа 0 і 1 для додавання і множення відповідно (для вирахування нейтральний елемент відсутня!), Нульовий вектор, одинична матриця. Для векторного твори нейтральний елемент відсутня. Відзначимо, що нейтральний елемент (якщо він існує) визначено однозначно. Справді, якщо-нейтральні елементи, то. Наявність нейтрального елемента дозволяє визначити ступінь з нульовим показником :.

4. Припустимо, що для операції (*) на X існує нейтральний елемент. Елементназивается зворотним для елемента, якщо. Відзначимо, що за визначенням. Всі переміщення оборотні також як і всі підстановки. Щодо операції складання все числа оборотні, а щодо множення оборотні все числа, крім нуля. Оборотні матриці - це в точності все матриці з ненульовим визначником. Якщо елемент x звернімо, то визначено ступеня з негативним показником :. Нарешті, відзначимо, що якщо x і y оборотні, то елементтакже звернемо і. (Спочатку ми одягаємо сорочку, а потім куртку; роздягаємось ж у зворотному порядку!).

Визначення (абстрактної) групи.

Нехай на безлічі G визначено алгебраїчна операція (*). (G, *) називається групою, есліОперація (*) асоціативна на G. Для цієї операції існує нейтральний елемент e (одиниця групи). Кожен елемент з G звернемо.

Приклади групп.Любая група перетворень. (Z, +), (R, +), (C, +). Матричні групи: - невироджені квадратні матриці порядку n, ортогональні матриці того ж порядку, ортогональні матриці з визначником 1. 3. Найпростіші властивості груп. У будь-якій групі виконується закон скорочення: (лівий закон скорочення; аналогічно, має місце і правий закон). Доказ. Домножимо рівність зліва наи скористаємося властивістю асоціативності :. Ознака нейтрального елемента:

Доказ Застосуємо до равенствузакон сокращенія.Прізнак зворотного елемента: Доказ Застосуємо закон скорочення до рівності. Одиничність зворотного елемента. Зворотний елемент визначений однозначно. Випливає з п.3. Існування зворотної операції. Для будь-яких двох елементовпроізвольной групи G уравненіеімеет і притому єдине рішення. Доказ Безпосередньо перевіряється, що (ліве приватна елементів) є рішенням зазначеного рівняння. Одиничність випливає із закону скорочення, застосованого до рівності. Аналогічно встановлюється існування і єдиність правого приватного. 4. Ізоморфізм груп.

Визначення.

Отображеніедвух груп G і K називається ізоморфізмом, якщо

1.Отображение j взаємно однозначно. 2.Отображение j зберігає операцію :.

Оскільки відображення зворотне до j також є ізоморфізмом, введене поняття симетрично щодо груп G і K, які називаються ізоморфними.

Приклади.

1.Группа поворотів плоскостіівокруг точекіізоморфни між собою. Аналогічно, ізоморфними будуть і групи, що складаються з поворотів простору щодо будь-яких двох осей.

2.Группа діедраі відповідна просторова группаізоморфни.Группа тетраедра T ізоморфна группесостоящей з парних підстановок четвертого ступеня. Для побудови ізоморфізму досить занумерувати вершини тетраедра цифрами 1,2,3,4 і зауважити, що кожен поворот, який поєднує тетраедр з собою деяким чином переставляє його вершини і, отже, задає деяку підстановку множини {1,2, 3, 4} Повороти навколо осі, що проходить через деяку вершину (наприклад 1), залишає символ 1 на місці і циклічно переставляє символи 1, 2, 3. Усі такі перестановки - парні. Поворот навколо осі, що з'єднує середини ребер (наприклад, 12 і 34) переставляє символи 1 і 2, а також 3 і 4. Такі перестановки також є парними. Формулаопределяет взаємно однозначна відповідність між безліччю R дійсних чисел і множествомположітельних чисел. При цьому. Це означає, щоє изоморфизмом.

Зауваження. В абстрактної алгебри ізоморфні групи прийнято вважати однаковими. По суті це означає, що ігноруються індивідуальні властивості елементів групи і походження алгебраїчній операціі.5. Поняття підгрупи.

Непорожнє подмножествоназивается підгрупою, еслісамо є групою. Більш докладно це означає, що, і.

Ознака підгрупи.

Непорожнє подмножествобудет підгрупою тоді і тільки тоді, коли.

Доказ.

В одну сторону це твердження очевидно. Нехай тепер-будь-який елемент. Возьмемв ознаці підгрупи. Тоді отримаємо. Тепер візьмемо. Тоді отримаємо.

Приклади подгрупп.Для груп перетворень нове і старе поняття підгрупи рівносильні між собою.- підгрупа парних подстановок.і т.д. Нехай G - будь-яка група и- будь-який фіксований елемент. Розглянемо множествовсевозможних ступенів цього елемента. Оскільки, розглянуте безліч є підгрупою. Вона називається циклічною підгрупою з утворюючим елементом g. Пустьлюбая підгрупа Розглянемо множество- централизатор підгрупи H у групі G. З визначення випливає, що якщо, то, тобто. Тепер ясно, що якщо, то ії значить централизатор є підгрупою. Якщо група G коммутативна, то. Якщо G = H, то централизатор складається з тих елементів, які перестановочні з усіма елементами групи; в цьому випадку він називається центром групи G і позначається Z (G).

Зауваження про аддитивної формі записи групи.

Іноді, особливо коли операція в групі коммутативна, вона позначається (+) і називається складанням. У цьому випадку нейтральний елемент називається нулем і задовольняє умові: g + 0 = g. Зворотний елемент в цьому випадку називається протилежним і позначається (-g). Ступеня елемента g мають вигляд g + g + ... + g, називаються кратними елемента g і позначаються ng.6. Реалізація абстрактної групи як групи перетворень.

Існує кілька способів пов'язати з даної абстрактної групою деяку групу перетворень. Надалі, якщо не обумовлено гидке, знак алгебраїчної операції в абстрактній групі буде опускатися.

Пустьнекоторая підгрупа.

А) Для каждогоопределім відображення (лівий зсув на елемент h) формулою.

Теорема 1Множество L (H, G) = є групою перетворень безлічі G. Відповідність: є ізоморфізмом груп H і L (H, G).

Доказательство.Надо перевірити, що отображеніевзаімно однозначно для всякого. Якщо, топо закону скорочення. Значіті?ектівно. Еслілюбой елемент, тоітак чток того ж і сюр'ектівно. Позначимо через · операцію композиції в групі Sym (G) взаємно однозначних відображень. Треба перевірити, чтоі. Пустьлюбой елемент. Маємо:; і значить ,. Нехай. Треба перевірити, що l взаємно однозначно і зберігає операцію. За побудовою l сюр'ектівно. І?ектівность випливає із закону правого скорочення :. Збереження операції фактично вже було встановлено вище :.

Слідство.

Будь абстрактна група ізоморфна групі перетворень деякої безлічі (Достатньо взяти G = H і розглянути ліві зрушення).

Для випадку кінцевих груп виходить теорема Келі:

Будь-яка група з n елементів ізоморфна підгрупі группиподстановок ступеня n.Для каждогоопределім відображення (правий зсув на елемент h) формулою.

Теорема B .. Множествоявляется групою перетворень безлічі G. Соответствіеявляется изоморфизмом груп H і R (H, G).

Доказ теореми B цілком аналогічно доведенню теореми A. Відзначимо тільки, що. Саме тому в пункті 3 теореми В постає не, а.

С) Для каждогоопределім (поєднання чи трансформація елементом h) формулою.

Теорема С.Каждое отображеніеявляется изоморфизмом групи G з собою (автоморфізмом групи G). Множествоявляется групою перетворень безлічі G. Отображеніесюр'ектівно і зберігає операцію.

Доказательство.Поскольку, отображеніевзаімно однозначно як композиція двох відображень такого типу. Маємо: і потомусохраняет операцію. Треба перевірити, чтоі. Обидва рівності перевіряються без праці. Сюр'ектівность отображеніяімеет місце за визначенням. Збереження операції вже було перевірено в пункті 2.

Зауваження про і?ектівності відображення q.

У загальному випадку відображення q не є і?ектівним. Наприклад, якщо група H коммутативна, все преобразованіябудут тотожними і группатрівіальна. Равенствоозначает, чтоілі (1) У зв'язку з цим зручно ввести наступне визначення: множествоназивается централізатором підгрупи. Легко перевірити, що централизатор є підгрупою H. Рівність (1) означає, що. Звідси випливає, що якщо централизатор підгрупи H в G тривіальний, відображення q є ізоморфізмом.7. Суміжні класи; класи спряжених елементів.

Нехай, як і вище, деяка підгрупа. Реалізуємо H як групу L (H, G) лівих зрушень на групі G. Орбітаназивается лівим суміжним класом групи G по підгрупі H. Аналогічно, розглядаючи праві зрушення, приходимо до правих суміжних классам.Заметім, чтостабілізатор St (g, L (H, G)) (як і St (g, R (H, G))) тривіальний оскільки складається з таких елементів, що hg = g. Тому, якщо група H кінцева, то всі ліві і всі праві суміжні класи складаються з однакового числа елементів, рівного.

Орбіти группиназиваются класами сполучених елементів групи G щодо підгрупи H і обозначаютсяЕслі G = H, кажуть просто про класи спряжених елементів групи G. Класи сполучених елементів можуть складатися з різного числа елементів. Це число дорівнює, де Z (H, g) підгрупа H, що складається з усіх елементів h перестановочних з g.

Приклад.

Пусть- група підстановок ступеня 3. Занумеруем її елементи: = (1,2,3); = (1,3,2); = (2,1,3); = (2,3,1); = (3 , 1,2); = (3,2,1). Нехай. Легко перевірити, що ліві суміжні класи суть:

,,.

Праві суміжні класи:

,,.

Всі ці класи складаються з 2 елементів.

Класи спряжених елементів G щодо підгрупи H:

,,,.

В той же час,

,,.

Теорема Лагранжа.

Нехай H підгрупа кінцевої групи G. Тоді порядок H є дільником порядку G.

Доказ.

По властивості орбіт G представляється у вигляді об'єднання непересічних суміжних класів :. Оскільки всі суміжні класи складаються з однакового числа елементів ,, звідки і випливає теорема.

Зауваження. Число s лівих (чи правих) суміжних класів називається індексом підгрупи.

Слідство.

Дві кінцеві підгрупи групи G порядки яких взаємно прості перетинаються тільки по нейтральному елементу.

Справді, есліеті підгрупи, тоіх загальна підгрупа і по теоремі Лагранжа- спільний дільник порядків H і K тобто 1.8. Нормальні підгрупи. Факторгруппа.

Пустьлюбая підгрупа і-будь-який елемент. Тогдатакже є підгрупою G притому изоморфной H, оскільки відображення сопряженіяявляется изоморфизмом. Подгруппаназивается сполученої по відношенню до підгрупи H.

Визначення.

Підгрупа H називається інваріантної або нормальною в групі G, якщо всі пов'язані підгрупи збігаються з нею самою :.

Равенствоможно записати у вигляді Hg = gH і таким чином, підгрупа инвариантна в тому і тільки в тому випадку, коли ліві і праві суміжні класи по цій підгрупі збігаються.

Прімери.В комутативній групі всі підгрупи нормальні, так як відображення сполучення в такій групі тотожне. У будь-якій групі G нормальними будуть, по перше, тривіальна подгруппаі, по друге, вся група G. Якщо інших нормальних підгруп немає, то G називається простою. У розглянутим вище группеподгруппане є нормальною так як ліві і праві суміжні класи не збігаються. Сполученими з H будуть подгруппиі. Якщо- будь підгрупа, то її централизатор Z = Z (H, G) - нормальна підгрупа в G, так як для всіх її елементів z. Зокрема, центр Z (G) будь-якої групи G-нормальна підгрупа. Підгрупа H індексу 2 нормальна. Справді, маємо 2 суміжних класу: H і Hg = GH = gH.

Теорема (властивість суміжних класів за нормальною підгрупі).

Якщо підгрупа H нормальна в G, то безліч всіляких добутків елементів з двох яких або суміжних класів по цій підгрупі знову буде одним з суміжних класів, тобто.

Доказ.

Очевидно, що для будь-підгрупи H HH = H.Но тоді

Таким чином, у разі нормальної підгрупи H визначено алгебраїчна операція на безлічі суміжних класів. Ця операція асоціативна оскільки походить з асоціативного множення в групі G. Нейтральним елементом для цієї операції є суміжний клас. Оскільки, всякий суміжний клас має зворотний. Все це означає, що щодо цієї операції безліч всіх (лівих чи правих) суміжних класів за нормальною підгрупі є групою. Вона називається Факторгруппа групи G по H і позначається G / H. Її порядок дорівнює індексу підгрупи H в G.9 Гомоморфізм.

Гомоморфізм груп - це природне узагальнення поняття ізоморфізму.

Визначення.

Відображення группназивается гомоморфизмом, якщо воно зберігає алгебраїчну операцію, тобто :.

Таким чином, узагальнення полягає в тому, що замість взаємно однозначних відображень, які беруть участь у визначенні ізоморфізму, тут допускаються будь відображення.

Прімери.Разумеется, всякий ізоморфізм є гомоморфізмом. Тривіальне отображеніеявляется гомоморфизмом. Якщо- будь підгрупа, то відображення вложеніябудет і?ектівним гомоморфизмом. Пусть- нормальна підгрупа. Отображеніегруппи G на факторгруппу G / H буде гомоморфизмом оскільки. Цей сюр'ектівний гомоморфізм називається природним. За теоремою З попереднього розділу відображення сопряженіясохраняет операцію і, отже є гомоморфізмом. Відображення, яке кожному перемещеніюn- мірного простору ставить у відповідність ортогональний оператор (див. Лекцію №3) є гомоморфізмом оскільки по теоремі 4 тієї ж лекції.

Теорема (властивості гомоморфізму)

Пусть- гомоморфізм груп, і- підгрупи. Тоді:, .- подгруппа.-підгрупа, причому нормальна, якщо такий була.

Доказательство.і за ознакою нейтрального елемента. Тепер маємо :. Нехай p = a (h), q = a (k). Тогдаі. За ознакою підгрупи отримуємо 2. Пустьто є елементи p = a (h), q = a (k) входять в. Тогдато є. Нехай тепер подгруппанормальна и- будь елемент.і тому.

Визначення.

Нормальна подгруппаназивается ядром гомоморфізма.Образ цього гомоморфізму позначається.

Теорема.

Гомоморфізм a і?ектівен тоді і тільки тоді, коли

Доказ.

Оскільки, зазначена умова необхідно. З іншого боку, якщо, тои якщо ядро тривіально, і відображення і?ектівно.

Поняття гомоморфизма тісно пов'язане з поняттям Факторгруппа.

Теорема про гомоморфізм.

Будь гомоморфізмможно представити як композицію природного (сюр'ектівного) гомоморфизма, ізоморфізмаі (і?ектівного) гомоморфизма (вкладення підгрупи в групу) :.

Доказ.

Гомоморфізм p і i описані вище (див. Приклади) Побудуємо ізоморфізм j. Нехай. Елементами факторгруппиявляются суміжні класи Hg. Всі елементиімеют однакові образи при відображенні a:. Тому формулаопределяет однозначне відображення. Перевіримо збереження операціі.Поскольку відображення j очевидно сюр'ектівно, залишається перевірити його і?ектівность. Якщо, тои тому. Отже, і за попередньою теоремою j і?ектівно.

Пусть- будь-який елемент. Маємо:. Отже, .10 Циклічні групи.

Нехай G довільна група и- будь-який її елемент. Якщо деяка подгруппасодержіт g, то вона містить і всі ступені. З іншого боку, множествоочевідно є підгрупою G.

Визначення.

Підгрупа Z (g) називається циклічною підгрупою G з утворюючим елементом g. Якщо G = Z (g), то і вся група G називається циклічною.

Таким чином, циклічна підгрупа з утворюючим елементом g є найменшою підгрупою G, що містить елемент g.

ПрімериГруппа Z цілих чисел з операцією додавання є циклічною групою з утворюючим елементом 1. Группаповоротов площині на кути кратні 2 p ¤ n є циклічною з утворюючим елементом- поворотом на кут 2 p ¤ n. Тут n = 1, 2, ...

Теорема про структуру циклічних груп.

Всяка нескінченна циклічна група ізоморфна Z. Циклічна група порядку n ізоморфна Z / nZ.

Доказ.

Нехай G = Z (g) - циклічна група. За визначенням, отображеніе- сюр'ектівно. По властивості степенейі тому j - гомоморфізм. По теоремі про гомоморфізм. H = Kerj I Z. Якщо H - тривіальна підгрупа, то. Якщо H нетривіальна, то вона містить позитивні числа. Нехай n - найменше позитивне число входить до H. Тоді nZI H. Припустимо, що в H є й інші елементи то є цілі числа, що не ділиться на n остачі і k одне з них. Розділимо k на n із залишком: k = qn + r, де 0 Відзначимо, що "Z / nZ.

Зауваження.

У процесі докази було встановлено, що кожна підгрупа групи Z має вигляд nZ, де n = 0, 1, 2, ...

Визначення.

Порядком елементаназивается порядок відповідної циклічної підгрупи Z (g).

Таким чином, якщо порядок g нескінченний, то всі ступені-різні елементи групи G. Якщо ж цей порядок дорівнює n, то елементиразлічни і вичерпують всі елементи з Z (g), аn кратно n. З теореми Лагранжа випливає, що порядок елемента є дільником порядку групи. Звідси випливає, що для всякого елемента g кінцевої групи G порядку n має місце рівність.

Слідство.

Якщо G - група простого порядку p, то- циклічна група.

Справді, пусть- будь-який елемент відмінний від нейтрального. Тоді його порядок більше 1 і є дільником p, отже він дорівнює p. Але в такому випадку G = Z (g) ».

Теорема про підгрупах кінцевої циклічної групи.

Нехай G - циклічна група порядку n і m - деякий дільник n. Існує і притому тільки одна підгрупа HI G порядку m. Ця підгрупа циклічна.

Доказ.

За попередньою теоремою G »Z / nZ. Природний гомоморфізмустанавлівает взаємно однозначна відповідність між підгрупами HI G і тими підгрупами KI Z, які містять Kerp = nZ. Але, як зазначалося вище, всяка підгрупа K групи Z має вигляд kZ Якщо kZE nZ, то k - дільник n і p (k) - утворює циклічної групи H порядку m = n / k. Звідси і випливає твердження теореми.

Вірна і зворотна теорема: якщо кінцева група G порядку n володіє тим властивістю, що для всякого подільника m числа n існує і притому рівно одна підгрупа H порядку m, то G - циклічна група.

Доказ.

Будемо говорити, що кінцева група G порядку N має властивість (Z), якщо для всякого подільника m числа N існує і притому тільки одна підгрупа HI G порядку m. Нам треба довести, що всяка група, що володіє властивістю (Z) циклічна. Встановимо насамперед деякі властивості таких груп.

Лемма.

Якщо G має властивість (Z), тоЛюбая підгрупа G нормальна. Якщо x і y два елементи такої групи і їх порядки взаємно прості, то xy = yx. Якщо H підгрупа порядку m такої групи G порядку N і числа m і N / m взаємно прості, то H має властивість (Z).

Доказ леми.

1. Нехай HI G. Для любогоподгруппаімеет той же порядок, що і H. По властивості (Z) то є підгрупа H нормальна.

2. Нехай порядок x дорівнює p, а порядок y дорівнює q. За пунктом 1) підгрупи Z (x) і Z (y) нормальні. Значить, Z (x) y = yZ (x) і xZ (y) = Z (y) x і тому для деяких a і b. Отже ,. Але, оскільки порядки підгруп Z (x) і Z (y) взаємно прості, то. Отже, і тому xy = yx.

3. Використовуючи властивість (Z), виберемо в G підгрупу K порядку N / m. По 1) ця підгрупа нормальна, а оскільки порядки H і K взаємно прості, ці підгрупи перетинаються лише по нейтральному елементу. Крім того по 2) елементи цих підгруп перестановочні між собою. Всілякі твори hk = kh, де hI H, kI K попарно різні, так як = e оскільки це єдиний спільний елемент цих підгруп. Кількість таких творів одно m N / m = і, отже, вони вичерпують всі елементи G. Сюр'ектівное отображеніеявляется гомоморфізмомс ядром K. Нехай тепер число s є дільником m. Виберемо в G підгрупу S порядку s. Оскільки s і N / m взаємно прості, і тому- підгрупа порядку s. Якби підгруп порядку s в H було декілька, то оскільки всі вони були б і підгрупами G умову (Z) для G було б порушено. Тим самим ми перевірили виконання умови (S) для підгрупи H.

Доказ теореми.

Пусть- розкладання числа N у твір простих чисел. Проведемо індукцію по k. Нехай спочатку k = 1, тобто. Виберемо в G елемент x максимального порядку. Нехай y будь-який інший елемент цієї групи. Його порядок дорівнює, де u ? s. Группиіімеют однакові порядки і по властивості (Z) вони збігаються. Поетомуі ми довели, що x - утворюючий елемент циклічної групи G. Нехай теорема вже доведена для всіх менших значень k. Уявімо N у вигляді добутку двох взаємно простих множників N = pq (наприклад,). Нехай H і K підгрупи G порядку p і q. Використовую 3) і припущення індукції, ми можемо вважати, що H = Z (x), K = Z (y), причому xy = yx. Елемент xy має порядок pq = N і, отже, є утворюючим елементом циклічної групи G.11. Деякі теореми про підгрупах кінцевих груп.

Теорема Коші.

Якщо порядок кінцевої групи ділиться на просте число p, то в ній є елемент порядку p.

Перш ніж переходити до доказу цієї теореми, відзначимо, що якщо g? e і, де p - просте число, то порядок g дорівнює p. Справді, якщо m - порядок g, то p ділиться на m, звідки m = 1 або m = p. Перше з цих рівностей неможливо за умовами вибору g.

Індукція, за допомогою якої проводиться доказ теореми, заснована на наступній лемі

Лемма.

Якщо деяка факторгруппа G / H кінцевої групи G має елемент порядку p, то тим же властивістю володіє і сама група G.

Доказ леми.

Пусть- елемент порядку p. Позначимо через m порядок елемента. Тогдаі значить m ділиться на p. Але тоді-елемент порядку p.

Доказ теореми Коші.

Зафіксуємо просте число p і будемо проводити індукцію по порядку n групи G. Якщо n = p, то G »Z / pZ і теорема вірна. Нехай теорема вже доведена для всіх груп порядки менше n і, причому n ділиться на p.

Розглянемо послідовно кілька случаевG містить власну (тобто не збігається з усією групою і нетривіальну) підгрупу H, порядок якої ділиться на p. У цьому випадку порядок H менше n і за припущенням індукції є елементпорядка p. Посколькув цьому випадку теорема доведена. G містить власну нормальну підгрупу. Якщо її порядок ділиться на p, то по 1 теорема доведена. В іншому випадку на p ділиться порядок Факторгруппа G / H і теорема в цьому випадку випливає з доведеною вище леми. Якщо G - коммутативна, то візьмемо будь-хто. Якщо порядок g ділиться на p, то теорема доведена по 1, оскільки Z (g) I G. Якщо це не так, то, оскільки в комутативній групі всі підгрупи нормальні, теорема доведена по 2. Залишається розглянути випадок, коли порядки всіх власних підгруп G не діляться на p, група G проста (тобто не має власних нормальних підгруп) і не коммутативна. Покажемо, що цього бути не може. Оскільки центр групи G є нормальною підгрупою і не може збігатися з усією групою, він тривіальний. Тому G можна розглядати як групу перетворень сполучення на безлічі G. Розглянемо розбиття множини G на класи спряжених елементів :. Тут окремо виділений класси класи непоодиноких елементів. Стабілізатор St (g) елемента g? e являє собою підгрупу групи G, не збігається з усією групою. Справді, якщо St (g) = G, то g комутує з усіма елементами з G і тому gI Z (g) = {e}. Значить, порядок цієї підгрупи не ділиться на p, а потомуделітся на p :. Але тоді-не ділиться на p, що не відповідає умові.

Зауваження.

Якщо число p не є простим, то теорема невірна навіть для комутативних груп. Наприклад, группапорядка 4 коммутативна, але не є циклічною, а тому не має елементів порядку 4.

Теорема про підгрупах комутативній групи.

Для кінцевої комутативній групи G справедлива теорема обернена до теоремі Лагранжа: якщо m - дільник порядку групи, то в G є підгрупа порядку m.

Доказ.

Проведемо індукцію по порядку n групи G. Для n = 2 теорема очевидна. Нехай для всіх комутативний груп порядку Зауваження.

Для некомутативних груп дана теорема невірна. Так, наприклад, в группечетних перестановок ступеня 4, яка має порядок 12, немає підгруп шостого порядку.
Математичне моделювання процесу триплет-триплетного перенесення енергії
Безвипромінювальної перенесення енергії триплетного збудження між молекулами - проблема досить актуальна, оскільки цей процес лежить в основі багатьох біологічних процесів (фотосинтез), знаходить широке застосування в медицині (фотодинамічна терапія раку) і техніці (лазери на барвниках). У

Сучасна космологія і проблема прихованої маси у Всесвіті
Московський Державний Університет Друку Москва 2003Введение Модель Всесвіту. Сьогодні можна досить упевнено укласти: Всесвіт в основному заповнений невидимою речовиною. Воно утворить протяжні гало галактики і заповнює межгалактическое простір, концентруючись в скупченнях галактик. Прагнення

Метод математичної індукції
Вступ Основна частьПолная і неповна індукція Принцип математичної індукції Метод математичної індукції Рішення прикладів Рівності Розподіл чисел Нерівності Висновок Список використаної літературиВступленіе В основі всякого математичного дослідження лежать дедуктивний і індуктивний методи.

Сполучена однорідна задача
План. Пов'язаний оператор. Сполучена однорідна задача. Умови розв'язності. Пов'язаний оператор. Позначимо черездіфференціальний оператор другого порядку, тобто (1) гдепредставляют собою безперервні функції в проміжку. Есліі- двічі безперервно диференціюються нафункціі, то маємо: (2) Як і в

Месбауерівських спектроскопія
Реферат виконав студент Механіко-машинобудівного факультету групи ЕТМ-21 Істомін А. Н. Марійський державний технічний університет Йошкар-Ола, 2004 г.Введеніе Метод месбауерівської (ядерної гамма-резонансної) спектроскопії заснований на відкритому в 1958 р Р. Мессбауера ефекті резонансного

Теорія ймовірності і математична статистика
Київський політехнічний інститут Кафедра КСОІУ Конспект лекцій з дисципліни: "Теоpия веpоятно і математична статистика" Викладач: Студент II курсу ФІОТ, гр. ІС-41 проф. Павлов А. А. Андрєєв А. С. Київ - 1996 Введення. Теорія ймовірності виникла як наука з переконання, що в основі

Наближене обчислення визначених інтегралів
При вирішенні фізичних і технічних завдань доводиться знаходити певні інтеграли від функцій, первісні яких не виражаються через елементарні функції. Це призвело до необхідності виведення наближених формул обчислення визначених інтегралів. Познайомимося з двома з них: формулою трапецій і формулою

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати