Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Грецька математика эллинистического періоду - Математика

Ткаченко А.Е., студент, Казакова Е.И., д.т.н., проф.

Донецький національний технічний університет

Передусім необхідно чітко собі представляти в яких історичних умовах розвивалася грецька математика того періоду. У відомого дослідника історії математики Ван-дер-Вардена ми можемо знайти відповідь на це питання. З його точки зору після Аполлонія Пергського грецька геометрія відразу кінчається. Є, правда, деякі проблиски у вигляді робіт Діокла і Зенодора, яка час від часу вирішували деякі задачі, що залишилися ним від Архимеда і Аполлонія немов крихітки від бенкету великих. Вийшли збірники на зразок твору Паппа Александрійського. Математика в основному застосовувалася для рішення астрономічних і практичних задач, розроблялася плоска і сферична тригонометрії. Але поява тригонометрії так і залишилося єдиним значним досягненням того часу. Геометрія конічних перетинів дожила до Декарта в тому вигляді, який додав їй Апполоній.

Причому твори самого Аполлонія читалися дуже мало і навіть частково були втрачені. «Метод» Архимеда так само довгий час залишався без уваги як і проблема інтегрування, поки за неї не взялися знов в XVII віці передусім в Італії (метод неподільних Кавальері - Галілея). Незважаючи на те, що сім'я проективной геометрії вже було посіяне, довести її до плодів змогли тільки Дезарг і Паськаль. Дослідження вищих плоских кривих проводили спорадически. Системне дослідження було неможливе внаслідок недостачі алгебраїчних коштів. Традиційно передавалися з покоління в покоління аж до нашого часу без яких-небудь змін геометрична алгебра і теорія пропорцій, хоч значення їх вже було в, сутності, незрозумілий. Араби створили свою алгебру наново, починаючи її з набагато більш примітивної форми. Теорія иррациональностей пояснювалася коментарями, але глуздом її вже не розуміли. Так Ван-дер -Варден підводить нас до висновку, що грецька геометрія зайшла в тупик.

Звісно, політичні і економічні відносини в країні грають далеко не останню роль. Наука того часу стала приналежністю придворних, попала в залежність від бібліотек і царських субсидій. Війни, важкі податки, а пізнє і римське володарювання, що видавлювало з населення всі соки - все це поклало кінець добробуту эллинистических країн. До того ж, коли Цезар попав в Александрії в облогу, велика частина славнозвісної бібліотеки згоріла. Римські ж імператори досить прохолодно відносилися до чистої науки. А багаті римляни якщо і пускали до себе грецьких діячів культури, то в основному скульпторів, педагогів і істориків, але математиків до себе не запрошували.

Але хоч приведені вище факти і грають не останню роль, але пояснюють далеко не все. Власне говорячи вони лише допомагають зрозуміти, чому наука час від часу зупинялася, але не дають пояснення тому, що вона в суті пішла назад і прийшла в повний занепад. Крім того, якщо порівнювати розвиток астрономії і математики, то тут ми бачимо істотну різницю. У астрономії були короткі і довгі періоди зупинки, але після їх закінчення робота кожний раз поновлювалася з того місця з якого зупинилася. Гиппарх (150 до н. е.) продовжував роботу Аполлонія і залучив вавілонські спостереження. Біля 150 н. е. Птолемей безпосередньо прилучився до робіт Гиппарха і розвинув теоретичну астрономію до справді дивної висоти. У течії подальших 300 років, між Гиппархом і Птолемеєм по-теперішньому часу робота не уривалася, і самим же Птолемеєм згадується про інших авторів, які намагалися відтворювати рухи планет при допомозі эксцентров і эпициклов. Так, індійська Сурья-Сиддханта значною мірою спирається на грецьку астрономію. Великі арабські астрономи, як аль-Баттани, вносили поліпшення в систему Птолемея. І навіть Коперник виходив з Птоломеєвой системи, як і Кеплер, батько сучасної астрономії. Всі ці великі астрономи створювали свої труди спираючись на досягнення своїх попередників, і залишали свої відкриття у віках.

У математиці ж справи йшли зовсім інакше. Так, наприклад, незаслужено випустили з вивчення труди Архимеда і Аполлонія. Правда, продовжували ще вивчати Евкліда, але багато які труди великих математиків були до того часу вже загублені, а інші вважалися надзвичайно важкими і переважно не читалися. Аль-Хваризми, батько арабської алгебри, свідомо вирішив не брати до уваги «грецьку ученість». Його метою було написати книгу доступну широким колам, зрозумілу простим людям, яким необхідно було вирішувати задачі про ділення спадщини і які потребували коротких і легких правил для складання і рішення алгебраїчних рівнянь. І це на його роботі, а не на роботах великих грецьких математиків, засновувалася арабська алгебра, а після неї і алгебра відродження.

Ми бачимо, що астрономія продовжує свій розвиток, нехай і з деякими перервами, але математика довгий час знаходиться в занепаді, а потім продовжує свій розвиток, але вже на іншій основі. Лише політичними і економічними чинниками ми не зможемо задовільно пояснити цей занепад математики, оскільки ті ж чинники повинні були б впливати аналогічний чином і на розвиток астрономії. З цього можна зробити висновок, що якісь внутрішні причини повинні були привести до занепаду античної математики.

Ці внутрішні причини дуже добре розкрив Цейтен в своєму «Lehre von den Kegelschnitten im Altertum».

Як нам відомо, алгебраїчний елемент завжди поміщався важливу в геометрії греків. Теэтет і Аполлоній були в суті своїй алгебраїстами: мислили вони алгебраїчно, але свої думки вдягалися в геометричну форму. Грецька алгебра була геометричною алгеброю. Вона оперувала відрізками прямий і прямокутниками, а не числами. І поки міцно трималися вимог суворої логіки, це було неминуче. Адже «числами» було тільки ціле або, в крайньому випадку, дробові, але принаймні раціональні числа, а відношення двох несумірних відрізків не можна зобразити раціональними числами. Отже, по поняттях древніх греків, його взагалі не можна було представити числом. До честі грецької математики треба сказати, що вона була неухильно послідовна в своїй логіці.

Але та ж сама обставина і визначило межі застосування эллинской алгебри.

Так, рівняння першої і другої міри можна було передати на мові геометричної алгебри; в крайньому випадку даний метод можна було застосовувати і для запису рівнянь третьої міри. Але піти далі можна було тільки за допомогою громіздких і втомливих допоміжних коштів пропорцій.

Гиппократ, наприклад, приводив кубічне рівняння:

x3=V

до пропорції

a:х = х:у = у:b

а Архимед писав рівняння третьої міри:

x2(a-x)=bc2

у вигляді пропорції:

(a-x):b=c2:x2

Таким складним шляхом ще можна було добратися до рівнянь четвертої міри, приклад чого можна знайти у Аполлонія. Однак далі піти не можна. Більш того щоб отримувати результати цим вкрай складним методом треба було б бути ще і математичним генієм і бути вельми досвідченим по частині перетворення пропорцій за допомогою геометричних фігур. Нашими алгебраїчними позначеннями може користуватися кожний технік або дослідник, а грецькою теорією пропорцій і геометричною алгеброю - тільки дуже обдарований математик.

Крім того, має місце і іншу обставину - це трудність письмової передачі.

Для того щоб читати докази у Аполлонія, необхідно довго і напружено роздумувати. Замість зручної алгебраїчної формули стоїть довга фраза, де кожний відрізок означається двома буквами, які кожний раз треба відшукувати на кресленні. Щоб зрозуміти хід думок, доводиться замінювати ці фрази сучасними стислими формулами. Цього допоміжного кошти древні не мали: замість цього у них було інше - усна передача.

При усному поясненні відрізки можна було вказувати пальцем, робити наголосу і паузи в особливо важливих місцях і, крім того, можна було розказати, яким саме чином вийшло даної доказ. Все це відпадає в письмовому формулюванні суворо класичного стилю: докази закінчені, логічно обгрунтовані, але вони нічого не підказують. Не можеш нічого заперечити, відчуваєш, що попався в логічну пастку, але не бачиш, яка основна лінія міркувань за цим переховується.

Таким чином, поки ще традиції були живі, поки ще кожне покоління могло передавати свою методику наступному все йшло добре і наука процвітала. Але як тільки по ряду причин зовнішнього характеру усна передача уривалася і залишалися тільки одні книги, розуміти труди великих попередників ставало надто складно, а вийти за їх межі і рушити далі - майже неможливо.

Дуже хороше уявлення про це дають коментарі Паппа Александрійського.

Труди Паппа Алекандрійського - це не тільки видатні математичні досягнення, але і найцінніше джерело пізнання історії древньогрецький математики. У своїх творах Папп часто цитував, обговорював, і давав особову оцінку більш ніж тридцяти математиці. Саме Папп доніс до нас образ Евкліда, як м'якого, в міру скромної і черезвычайно талановитої людини. І він же відобразив в своїх роботах, славнозвісний лист Архимеда своєму родичу, сиракузскому паную, в якому і містилася чудова фраза: «Дайте мені точку опори і я поверну Землю».

У розпорядженні Паппа (320 н.э.) була прекрасна Александрійська бібліотека. Він міг користуватися всіма трудами найбільших математиків і астрономів. Він був талановитий, працелюбний і навіть ентузіаст, але він повинен був переважно вивчати письмові твори і зустрічав там ті ж самі труднощі, що зустрічали і ми. Борючись з цими труднощами і прагнучи полегшити труд тих, хто буде читати після нього, Папп писав обширні коментарі, як, наприклад, його коментар до Птоломеєву «Альмагесту» і до десятої книги Евкліда. А його величезний збірник так само складається з обширних коментарів до классикам. Якщо Папп знаходив яке - або доказ важким або неповним, то він писав до нього пояснювальну «лему». Нерідке Птоломей, або хто-небудь інший з авторів, розглядав лише один з можливих варіантів; тоді Папп приводив подібні докази і для інших випадків. Іноді виходило, наприклад, що Аполлоній користувався деяким співвідношенням між відрізками, скажемо, пропорційністю або яким-небудь співвідношенням між творами, не приводячи доведеного до кінця доказу. Переважно ці співвідношення виходили з креслення, отримати їх можна було маючи навики в перетворенні творів або відносин. У таких випадках Папп звичайно, не поспішаючи, крок за кроком виводив ці співвідношення їх пропозицій, які є у Евкліда. Звідси стає зрозумілим, якого труда вже у часи Паппа варто було розуміти речі, які при усній передачі були безпосередньо ясні і прості.

Для подальшого розвитку математики були просто необхідні чіткі алгебраїчні позначення, але їх не можна було отримати, розвиваючи далі суворі грецькі методи. Треба було повернутися до наївної вавілонської точки зору, не задумуючись, перемножувати і ділити один на одну всілякі величини, звертатися з виразами типу 2+√5 як із звичайними числами, не дуже розбудовуючись з приводу їх иррациональности. Щоб просунутися уперед, треба було спочатку зробити крок назад. Що і зробили араби.

Алгебра італійського Відродження мала в своїй основі не грецьку геометричну алгебру, а арабську алгебру. У арабів і італійців були досить незавершені позначення, але французи Вієт і Декарт, італієць Бомбеллі і голландець Симон Стевін спростили їх, і звідси почала свій розвиток наша алгебра.

Ван-дер-Варден абсолютно правильно вказує, що в області астрономії ми маємо безперервний розвиток починаючи від Аполлонія і Гиппарха і кінчаючи Коперником і Кеплером. Тому було б доцільно ставити питання не про причини занепаду грецької математики, а про причини зміни характеру її розвитку, коли замість геометрії домінуючу роль стала грати астрономія, а «чиста» математика і механіка служили лише допоміжними науками для неї.

Він відмічає вплив вавілонської математики на грецьку, але залишає без уваги питання про вплив вавілонської астрономії на грецьку. Адже саме в ньому можна було б шукати відповідь на поставлене питання. Виходячи з того, що десь в 8-7 віках до н.э. сталі відбуватися зміни в світогляді древніх вавилонян, коли ведучу роль перестала грати віра в земних богів, що виявляють свої бажання за допомогою природних явищ і зросла віра в невблаганний світовий закон-фатум або доля, посланниками якого до людей стали небесні явища, внаслідок чого зріс інтерес до вивчення астрономії і почалося її активний розвиток, можна говорити і про розвиток грецької астрономії під впливом вавілонською.

І проте грецька математика продовжувала розвиватися як самостійна наука завдяки таким видатним вченим як Менелай, Герон Александрійський, Папп Александрійський, Іпатія і інш. Список літератури

Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука: математика древнього Єгипту, Вавілона і Греції: - М.: Держвидав, 1959. - 459 з.

Крыситский В. Шеренга великих математиків: - Варшава: Наша Ксенгарня, 1981.- с.31-
Побудова математичних моделей при вирішенні завдань оптимізації
План Введення Математичні моделі та їх властивості. Практичні завдання, що призводять до дослідження лінійної функції. Використання властивостей квадратичної функції при вирішенні екстремальних задач. Застосування методів диференціального числення при рішенні прикладних задач. Висновок. Список

Нелінійне програмування
З. Я. Тьмеладзе Земля! Земля! Густа імла тропічної ночі обволокла острів, але люди, відчувши під ногами твердий грунт, повірили у порятунок. Повірили вперше за тиждень, що минув з тих пір, як змило за борт барила з водою, вперше за ті тринадцять діб, що пройшли після корабельної аварії. -

Функціональний аналіз
Абсолютно неперервні функції. Зв'язок між абсолютно безперервними функціями і інтегралом Лебега (КФЕ 394). Абсолютно безперервної називається така функція |, задана на відрізку [a, b], що яка б не була система попарно непересічних інтервалів (ak, bk) з сумою довжин меншою d, сума модулів різниць

Методи та алгоритми побудови елементів систем статистичного моделювання
Зміст Введення 1. Метод статистичного моделювання систем 2. Моделювання випадкових величин і процесів 3. Основні поняття марківських процесів 4. Математичний апарат дискретних марківських цепейВведеніе В даний час можна назвати область людської діяльності, в якій в тій чи іншій мірі не використовувалися

Астрономія. Що таке астрономія?
Астрономія - наука про розташування, будову, властивості, походження, рух і розвиток космічних тіл(зірок, планет, метеоритів і т.п.) освічених ними систем ((зіркові скупчення, галактики і т.п.) і весь Всесвіт загалом. Як наука, астрономія засновується передусім на спостереженнях. На відміну

Математика (квитки)
(Шпаргалка) Білет№1 1) Функція y = F (x) називається періодичної, якщо існує таке число Т, не рівне нулю, що для будь-яких значень аргументу з області визначення функції виконуються рівності f (xT) = f (x) = f (x + T). Число Т називається періодом функції. Наприклад, y = sinx - періодична

Філософія Ф.Ніцше
Творчість цього неординарного німецького мислителя, який належить 19 віку, але ідейно передбачає проблематику і філософські спори 20 віку, являє собою складний комплекс ідей, виражених не у вигляді наукових творів, а в мифопоэтической, художній формі, що створює чималі труднощі як для викладу,

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати