Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Апологія Нескінченності - Наука й техніка

Станішевський Олег Борисович

Дослідження нескінченності ніколи не закінчиться. пізнання нескінченності не є процес безперервного накопичення знань про неї, це, швидше, поетапний безперервно-історичний процес. На кожному етапі її пізнання розкриваються все нові і нові її боку. Нескінченність є фундаментальною гносеологічної і онтологічної константою. Першим знанням про неї був апейрон Анаксимандра (VI ст. До н.е.), який означав нескінченне суще. Представник пізнього пифагореизма Архіт Тарентський (IV ст. До н.е.) так доводив нескінченність світобудови: "помістили на самому краї Всесвіту ... був би я в змозі протягнути свою руку або палицю далі за межі цього краю чи ні?" [1, с. 240]. Аристотель, як відомо, заперечував актуальну нескінченність. Він і ввів поняття актуальною і потенційної нескінченності. Правда, логічно не зовсім ясно - як можна говорити про потенційну нескінченності при відсутності нескінченності як такої, тобто актуальної нескінченності. Потім християнство вважало, що воно вирішило проблему нескінченності, надавши її як невід'ємний атрибут Бога. потім математика в особі диференціального й інтегрального числення взяла нескінченність на своє озброєння. Оскільки нескінченність не мала суворого і чіткого визначення, то в математиці почали з'являтися пов'язані з нею протиріччя. Так, наприклад, нескінченні ряди в математиці розділили на сходяться і розходяться, було також узаконено положення про те, що лінії складаються з точок, площині - з прямих і т.д. До Георга Кантора нічого принципово нового в розумінні нескінченності не було. Заслугою Кантора якраз і є відкриття їм нескінченної ієрархії Алеф (Алеф - це нескінченні кардинальні числа, або потужності нескінченних множин). Їм була створена теорія нескінченних множин. Цілком закономірним було те, що в ній почали виявлятися суперечності. Найбільш відомими з них є парадокси Рассела. Про парадокси і суперечності існує досить велика література. Їх дослідженню присвячені, наприклад, роботи [2], [3], [4], [5]. Однак суперечності і парадокси в них не дозволяються, а обговорюються. Правда, Бурова в [4] справедливо підкреслює, що пряма не перебуває з точок, площина не перебуває з прямих, а те, що в математиці вважається, що пряма складається з точок, є помилкою. Одним словом, протиріччя і парадокси в теорії нескінченних множин зберігаються і понині. За не менш ніж столітнє існування теорії (а точніше - теорій) нескінченних множин в розумінні нескінченності мало що змінилося. Навіть поява нестандартного аналізу (див. Про нього в [6]) не внесло повної ясності в розуміння нескінченності. Але незважаючи на протиріччя, математика не збирається відмовлятися від "канторівської раю", тобто від теорії нескінченних множин (про нескінченне і проблемах нескінченності в доступному викладі см. Книжки: "У пошуках нескінченності", "Розповіді про множини" - автор Н.Я . Виленкин; "Невичерпність нескінченності" - автор Ф.Ю. Зігель; "Гра з нескінченністю" - автор угорська математик Р. Петер).

Останнім часом з'явилися публікації, спрямовані на повалення теорії нескінченних множин і негативно оцінюють самого Г. Кантора і його вчення. Ці антіканторовскіе виступу не безпідставні і носять досить рішучий і безкомпромісний характер. Ми тут покажемо неспроможність подібної антіканторовской тенденції.

Мова йде про публікації та виступах А.А. Зенкина [7], [8], [9]. Ось як він оцінює свій результат [8, с. 167]: "Таким чином, вперше доведено велике інтуїтивне провидіння (і застереження!) Аристотеля, Лейбніца, Локка, Декарта, Спінози, Канта, Гаусса, Коші, Кронекера, Ерміта, Пуанкаре, Брауера, Вітгенштейна, Вейля, Лузіна та багатьох інших видатних математиків і філософів про те, що "актуальна нескінченність" є внутрішньо суперечливим поняттям і тому його використання в математиці - неприпустимо ". Вчення ж Кантора оголошується шкідливим (там же): «саме теорема II Кантора завжди була і залишається сьогодні єдиним (!) Підставою для, воістину, вавилонського стовпотворіння незчисленних ордіналов і недосяжних кардиналів сучасної метаматематики: приберіть теорему II Кантора, і весь цей блискучий супертрансфінітний" вавилон "розсиплеться одноразово, оскільки самий розмова про існування нескінченних множин, що розрізняються за своєю потужністю, буде в цьому випадку виглядати всього лише" трансфінітної претензією на порожнє глибокодумність "» і "цікавим патологічним казусом в історії математики, від якого прийдешні покоління прийдуть в жах" . подібних місць з негативною оцінкою Кантора і його вчення в цих статтях вельми достатньо.

На чому ґрунтується така негативна оцінка теорії нескінченних множин? Грунтується вона на неможливості довести діагональним методом, та й усіма іншими методами, існування нескінченних множин, потужність яких суворо більше потужності початкового нескінченної кількості, або коротко - ставлення "2M> M" для нескінченної кількості M. Сутність цієї неможливості полягає в наступному. По передбачуваному перерахунку нового безлічі 2M будують новий, "діагональний", елемент, який ніяким чином не може міститися в передбачуваному перерахунку. Кантор і всі його послідовники (в їх числі і наші відомі математики П.С. Александров, А.А. Мальцев) з цього роблять висновок, що нове безліч не можна перерахувати за допомогою вихідного безлічі M, яким, наприклад, може бути безліч натуральних чисел. Проте вся відома теорія нескінченних множин грунтується на аксіомі нескінченності Дедекинда: "безліч є нескінченним, якщо і тільки якщо воно має власне підмножина, в яке взаємно однозначно відображається дане безліч" [10, Т.1, с. 455]. тому, додаючи до будь-якого нескінченного безлічі один новий елемент, ми нічого не змінюємо - потужність даного безлічі не зміниться. Отже, діагональний метод не повинен закінчуватися виявленням елемента, що не входить в передбачуваний перерахунок безлічі 2M, а повинен бути продовжений включенням "діагонального" елемента в передбачуваний перерахунок і відповідно отриманням нового передбачуваного перерахунку, який вже буде містити і цей "діагональний" елемент. Але потім може бути отриманий наступний "діагональний" елемент і ця процедура може тривати нескінченно, що і означає неможливість довести незчисленних множин 2M. Це, в свою чергу, означає не що інше, як неможливість побудови канторовской ієрархії Алеф, з чого Зенкин і укладає про неспроможність нескінченності і канторовской теорії множин.

Але з таким висновком не можна погодитися з двох причин. По-перше, заперечення нескінченності і канторовской теорії множин є просто-напросто крайній агностицизм. Якщо погодитися з такою точкою зору, то з математики треба буде викинути багато найцікавіші і найважливіші розділи. Втратимо, якщо можна так сказати, нескінченно багато, а знайдемо нескінченно мало. По-друге, концептуальні суперечності з теорії множин можна усунути [11]. Ми тут коротко зупинимося на усуненні тільки тих протиріч, які мають відношення до разбираемому тут протиріччя між прийнятим в теорії множин визначенням нескінченної кількості і діагональним методом Кантора.

Суперечності теорії множин чомусь прийнято називати парадоксами. Напевно, з легкої руки Б. Рассела. І ще тому, напевно, що парадокси відносять до чогось непізнаного і прихованого і тому їх існування в теоріях вважають природним. Але, врешті-решт, парадокси і суперечності повинні бути дозволені і усунуті з теорії. Оскільки ми тут захищаємо право нескінченності на її існування, то і розберемо ми тут тільки два концептуальних протиріччя, що мають безпосереднє відношення до цього питання, хоча, звичайно, концептуальних протиріч у теорії множин значно більше. Перше з них є фундаментальним і являє собою методологічний принцип всієї теорії нескінченних множин. Це - принцип "частина може дорівнювати цілому". Друге концептуальне протиріччя полягає в фактичній відсутності визначення початкової актуальної нескінченності. Розглянемо ці протиріччя по порядку.

На принципі "частина може дорівнювати цілому" як на непорушному фундаменті спочиває аксіома нескінченності Дедекинда, еквівалентна іншими визначеннями нескінченності (наприклад, у книзі П.С. Александрова [12, с. 21] аксіома Дедекинда доводиться як теорема). Наведемо частина тих протиріч теорії множин, які породжуються цим принципом. Одним з відомих парадоксів є парадокс з розбіжними рядами. Наприклад, Знакозмінні ряд S = 1-1 + 1-1 + ... в залежності від угруповання його членів може мати будь-яке значення суми S від 0, ± 1, ± 2, ... до ± ?. І все тому, що при перегрупування членів ряду кількість негативних і позитивних членів на підставі принципу "частина може дорівнювати цілому" може мінятися самим довільним чином. Кажуть також, що підмножина парних, або непарних, чисел натурального ряду еквівалентно всьому натуральному ряді. Такий же парадоксальною є і арифметика над трансфінітних числами, в якій діють інші, ніж в кінцевій арифметиці, правила і які також ґрунтуються на принципі "частина може дорівнювати цілому". Наприклад, в трансфінітної арифметиці мають місце такі співвідношення: n + ? = ? ? ? + n, 2 ? ? ? ? + ? = ? ? 2, ? = n ? ? ? ? ? n та ін. Є ще правила виконання арифметичних операцій над кардинальними числами, що відрізняються і від правил кінцевої арифметики, і від правил трансфінітної арифметики. Так,

визначальне кількість елементів в нескінченній множині. А таке доведене Кантором становище, як "число точок відрізка дорівнює числу точок квадрата", настільки сильно вплинуло на математику, що змусило в топології відмовитися від загальноприйнятого в усьому природознавстві параметричного визначення розмірності просторів і прийняти на озброєння індуктивне визначення розмірності, яке визначає континуум будь-яких размерностей як множини. Всі ці парадокси ніяк не узгоджуються з класичною логікою. в теорії множин з класичною логікою узгоджується якраз тільки одне - діагональний метод Кантора, оскільки в ньому не задіяно суперечливе визначення нескінченного безлічі на основі принципу "частина може дорівнювати цілому". Тому якщо і є підстави говорити про помилку Георга Кантора, то не відносно діагонального методу [7], а щодо введеного ним у теорію множин принципу "частина може дорівнювати цілому", який знаходиться у кричущому протиріччі з класичною логікою. В [11] запропоновано відмовитися в теорії нескінченних множин від принципу "частина може дорівнювати цілому" і відповідно від визначення нескінченної кількості по Дедекіндом. В результаті в діагональному методі докази відносини 2?> ? вже не можна буде додати в передбачуваний перерахунок безлічі 2? новий, "діагональний", елемент, так як це додавання згідно з принципом класичної логіки "частина не може дорівнювати цілому" змінить передбачуваний перерахунок і перетворить його в нове безліч, нееквівалентне передбачуваному перерахунку. Діагональний метод Кантора, таким чином, залишиться непохитним. Підуть також з теорії множин і вище перераховані протиріччя, а в нескінченному діятимуть ті ж закони класичної логіки, що і в кінцевій області.

Цікаво, звичайно, задатися питанням: як і чому великі математики доводили і передоказивалі теорему Кантора і не помічали суперечності між визначенням нескінченної кількості і діагональним методом? Нам здається, чтопрі її доказі, в силу грандіозності наслідків теореми "2M> M", на час або "забували" про принцип "частина може дорівнювати цілому", чи підсвідомо підпорядковувалися принципом "частина не може дорівнювати цілому" і тому зупинялися на тому самому місці діагонального методу, де треба було перевірити можливість додавання нового елемента до перевіряється безлічі і повторного побудови іншого нового елемента і т.д. швидше за все, цим і можна пояснити ситуацію з діагональним методом. Тут доречно згадати Б. Рассела і запитати: чому Рассел замість того, щоб розібратися в суті підстав теорії множин та їх протиріч, виставляв на передній план слідства з виявлених ним парадоксів? Чому? Нам здається тому, що критикувати і руйнувати завжди легше, ніж творити, що деконструювати, ламати легше, ніж конструювати. Аналогічним чином йдуть справи і у випадку останніх антіканторовскіх виступів А.А. Зенкина.

У його статті [9] на основі хибних умовиводів також дискредитується канторовской теорія множин. На наш погляд, у ній має місце найпростіше змішання кінцевого з безкінечним [9 с.80-81]. Дійсно, там розглядаються дві знакові конструкції (5) і (6). Знакова конструкція (5) - це відповідний запис натурального ряду:

1, 2, 3, ..., w, w + 1, w + 2, w + 3, ...,

де символ w є довільне кінцеве натуральне число. Відповідно три крапки між натуральним числом 3 і натуральним числом w означає, що на його місці знаходиться w-4 натуральних чисел, тобто цілком певне кінцеве кількість w-4 натуральних чисел. Знакова конструкція (6) - це, як каже автор, "знаменитий канторовской ряд трансфінітних чисел":

1, 2, 3, ..., ?, ? + 1, ? + 2, ? + 3, ..., ? ? 2, ? ? 2 + 1, ? ? 2 + 2, ? ? 2 + 3, ...

(Насправді це не ряд трансфінітних чисел, а нескінченний ряд порядкових чисел. Порядкові ж числа включають в себе і кінцеві порядкові числа, і нескінченні, тобто трансфінітні, числа.) Тут символ ? означає найменшу трансфинитное число. Відповідно багатокрапки між числами 3 і ?, з одного боку, і між числами ? + 3 і ? ? 2, з іншого боку, говорять про те, що на місці першого багатокрапки знаходиться нескінченна кількість кінцевих натуральних чисел 4, 5, ..., а на місці другого багатокрапки знаходиться таке ж нескінченну кількість трансфінітних чисел ? + 4, ? + 5, ? + 6, ... порівнюючи чисто візуально конструкції (5) і (6), автор робить такий висновок (там же с.81) : "таким чином ми фактично побудували (довели побудовою) 1-1-відповідність між безліччю трансфінітних цілих (порядкових) чисел Кантора (6) і безліччю всіх кінцевих натуральних чисел із збереженням порядку". Як можна встановити (1-1) -Відповідність, тобто взаємно однозначна відповідність, між безліччю кінцевих чисел (конструкція (5)) і безліччю порядкових чисел, що включають в себе кінцеві порядкові числа і трансфінітні числа (конструкція (6)), невідомо нікому . Тому правильно про це сказано в коментарі до даної статті. А встановити це відповідність неможливо тому, що трансфінітні числа конструкції (6) - це порядкові типи рахункових цілком упорядкованих множин, які складають незліченну безліч [12, с. 69-70]. Автор же всупереч цьому стверджує на с.81, що "Добре відомо, що канторовской ряд (6) ... є рахунковим безліччю", чого насправді немає [12, с. 69-70]. А вся справа в тому, що автор всіма силами намагається повалити нескінченність і тому ототожнює кінцеве з нескінченним допомогою надуманого їм (1-1) -Відповідність між конструкціями (5) і (6). Причому, автор неточний і в тому, що конструкцію (6) називає "безліччю трансфінітних чисел", хоча в неї входять і кінцеві числа (вони що - теж трансфінітні числа ?!). Треба сказати більше. На с.93 у відповіді автора на згаданий коментар знову стверджується, що конструкція (6) є лічильної. Але це невірно! Конструкція (6), як мінімум, має потужність стандартного континууму ?1 = 2?, про що говорять і П.С. Александров [12, с. 69 і теорема 18 на с. 70], і Ю.І. Манін [13, с. 105]. Це - перше. По-друге, автор наполегливо стверджує [9, с. 81, 93] про ізоморфізмі конструкцій (5) і (6) зі збереженням природного порядку натурального ряду. Але цього теж не може бути, оскільки в конструкції (5) будь-яке натуральне число n (крім першого) має попередника n-1, а в конструкції (6) є нескінченно багато порядкових чисел (так званих граничних) ?, ? ? 2, ? ? 3, ..., які не мають попередників (див., наприклад, у Ю.І. Маніна [13, с. 104] або в математичній енциклопедії [10, Т.4, стаття "Порядкове число"]), внаслідок чого в конструкції (6) перед граничними трансфінітамі ?, ? ? 2, ? ? 3, ... є як би "дірки", або "чорні діри", в яких містяться міріади лічильно нескінченних множин, а в конструкції (5) таких немає і тому між конструкціями (5) і (6) ніяк не може бути ізоморфізму, тим більше, із збереженням природного порядку натурального ряду.

таким чином, ніякого (1-1) -Відповідність між лічильної конструкцією (5) і незліченну конструкцією (6) немає і бути не може. Відповідно немає і бути не може ніякої мови про зведення нескінченного до кінцевого, що намагався зробити Зенкин.

З усього вищесказаного випливає тільки одне: повалення канторовской теорії множин не має під собою ніяких підстав. Суперечності? Так - в ній є протиріччя, але їх подолання та усунення є цілком посильними і реальними [11].

Перейдемо до другого названому нами концептуальному протиріччя - фактичної відсутності визначення початкової актуальної нескінченності. Вразливим в теорії множин є початкова безліч, в якості якого виступає безліч натуральних чисел N = 0,1,2,3, ..., n, ... Воно називається також рахунковим безліччю. Вивчається воно як актуальне безліч, що має потужність ?. Нескінченність ? є найменша нескінченність, оскільки всі числа, менші цієї нескінченності, входять в безліч N, яке включає в себе тільки кінцеві числа. Відомим протиріччям є той факт, що безліч N містить тільки кінцеві числа - воно ще називається безліччю всіх кінцевих чисел - і, незважаючи на це, постулюється, що воно містить нескінченну кількість ? кінцевих чисел. З точки зору класичної логіки цього не може бути, оскільки кількість чисел в безлічі N має збігатися з максимальним числом цієї множини, тобто число ?, або принаймні число ?-1, повинно входити в безліч N. Але це не так - число ? не входить в ряд N, воно називається граничним, до якого прагнуть числа натурального ряду, що записують як :. Причому, в цій та багатьох інших подібних записах має місце нечіткість у розумінні символів нескінченності. Так, запис n > ? повинна розумітися просто як фраза "n прямує до нескінченності". Рівність же межі limn трансфініту ? цілком конкретно, хоча очевидно, що ? ? ?. Не маючи попередника (число ?-1 в теорії множин заборонено), число ? виявляється і магічним, і містичним, і фантастичним. Внаслідок цього між числом ? і всіма кінцевими числами N має місце "дірка", яка одночасно може бути і "чорною дірою", в яку можуть відлітати міріади нескінченних множин N, і "чорної антідирой", з якої можна черпати також міріади нескінченних множин. Незважаючи на всю цю екзотику, безліч натуральних чисел залишається незмінним за своєю потужністю, тобто за своєю кількістю елементів. Такий стан речей знаходиться в явному протиріччі з класичною логікою, з її принципом "частина не може дорівнювати цілому". Це, напевно, й спонукало Г. Кантора і Р. Дедекинда ввести в теорію нескінченних множин принцип "частина може дорівнювати цілому" (цей принцип ввів в ужиток ще Микола Кузанський).

Оскільки ми відмовилися від цього принципу, то очевидно, що треба знайти визначення актуальної нескінченності, що відповідає дійсному стану речей. А воно, тобто дійсний стан речей, є наступним. По-перше, оскільки суперечності в нескінченному виникають через порушення принципів класичної логіки, то головним методологічним принципом у визначенні нескінченності повинні бути принципи класичної логіки. По-друге, необхідно мати несуперечливе визначення рахункового множини. Нарешті, по-третє, треба дати чітке і ясне несуперечливе визначення початкової актуальної нескінченності.

Отже, що ж являє собою рахункове безліч? Чи є воно нескінченним, як це загальноприйнято, або ж воно насправді є кінцевим, хоча і необмеженим? Те, що це вельми важливо, видно з наступного. Якщо припустити, що рахункове безліч є кінцевим, то тоді знімуться всі його суперечності. По-перше, воно буде містити не нескінченна кількість ? елементів, а кінцеве кількість N, яке, як і ?, буде граничним числом для всіх кінцевих чисел, але не нескінченним, а кінцевим, причому таким незбагненно великим кінцевим числом, що всі кінцеві числа n будуть менше його, тобто nА тепер покажемо, що визначення рахункового безлічі як нескінченної кількості ? є фундаментально суперечливим.

Можна, звичайно, згадати, що рахункове безліч спочатку визначається алгоритмом освіти його елементів n за допомогою самого звичайного рахунку: n = (n-1) +1. І немає ніяких аргументів на користь того, що серед елементовможет знайтися такий елемент, який може породити послідовника n + 1, що має нескінченно велике значення. Тому й кажуть, що ? - це найменше нескінченне число, а всі числа, менші ?, є кінцевими числами. Насправді все не так: серед чисел стандартного рахункового множестваможно знайти і нескінченні числа.

Дійсно, візьмемо і запишемо всі числа n рахункового безлічі N в звичайній двійковій системі числення: "0" = ... 000, "1" = ... 001, "2" = ... 010, ..., "n "= ... rl ... r2r1r0 (rl = 0,1; l = 0,1,2, ..., L, l - номери двійкових розрядів) і т.д. очевидно, що для запису всіх чисел потрібна деяка кількість L двійкових розрядів. Завідомо відомо, що воно менше нескінченної кількості ? самих чисел n рахункового безлічі N. Та це легко і доводиться - як з використанням теореми Кантора 2?> ?, так і без неї. Якщо не використовувати теорему Кантора, то треба зауважити, що оскільки всі числа рахункового безлічі є кінцевими, то і кількість L двійкових розрядів для їх запису є кінцевим. Але в такому випадку, як відомо з арифметики, кількість чисел, яке може бути записано за допомогою кінцевого числа L розрядів, так само 2L. Оскільки L кінцеве, то і 2L є кінцевим числом. Але це суперечить тому, що кількість всіх кінцевих чисел рахункового безлічі згідно з визначенням є нескінченним. При використанні теореми Кантора треба зауважити те, що виконавчі розряди rl являють собою безліч L, а всі його підмножини - це не що інше як всі кінцеві числа N. Кількість же підмножин множини L одно 2L, яке є також нескінченне число ?, тобто 2L = ?, звідки безпосередньо випливає, що L повинно бути нескінченним. По теоремі ж Кантора ? = 2L> L, тобто L Отже, рахункове безліч є або кінцевим і тоді ніяких пов'язаних з ним протиріч не існує, або воно є нескінченним безліччю, що містить як кінцеві числа, так і нескінченні, наприклад, число w. Але оскільки ми не знаємо - як з як завгодно великого кінцевого числа n за допомогою операції n + 1 може з'явитися нам нескінченне число ?, то треба визнати, що рахункове безліч N є кінцевим.

З усього щойно сказаного ми робимо два фундаментальні висновки. Перший висновок: рахункове безліч N = 0,1,2, ..., n, ... сучасної стандартної математики є кінцевим безліччю, потужність якого дорівнює граничному числу N, які не є нескінченним і яке можна називати найбільшим кінцевим числом за аналогією з тим , як називали його найменшим нескінченним числом. Другий висновок: найменшого нескінченної кількості не існує і не існує його в тому сенсі, що для будь-якого нескінченної кількості ? існує субстрат-безліч w (безліч двійкових розрядів), потужність якого w є строго меншої потужності ? вихідного безлічі. Іншими словами, поряд з відомим твердженням теорії множин про те, що "не існує найбільшого нескінченної кількості", має місце і твердження про те, що "не існує і найменшого нескінченної кількості". Всі ці проблеми детально вивчені в книзі [11].

Само собою зрозуміло, що граничним безліччю для всіх кінцевих множин n є рахункове безліч N всіх натуральних чисел n і воно є кінцеве безліч. Для нескінченних кардинальних чисел wp існує два граничних кардинала: ? + - найбільший граничний кардинал, якого прагнуть великі кардинали ?1, ?2, ?3, ..., і ?- - найменший граничний кардинал, якого прагнуть малі кардинали ?-1, ? -2, ?-3, ... Всі кардинали, в тому числі і кінцеві кардинали nk, пов'язані між собою не тільки відомим теоретико-множинним відношенням "безліч всіх підмножин 2M безлічі M", але і зворотним цьому відношенню інформаційно-субстратним ставленням IS = log2M (окремим випадком якого є безліч двійкових розрядів для представлення того чи іншого безлічі чисел {0,1,2, ...}). При цьому нескінченний кардинал ?0 = ? є потужністю початкового нескінченної кількості.

Таким чином, замість двох суперечливих підстав теорії нескінченних множин "частина може дорівнювати цілому" і "рахункове безліч є початкова нескінченна безліч" висунуті і використовуються наступні концептуальні положення:

- Перша: "частина не може дорівнювати цілому", що мовою множин означає: ніяка власна частина ніякого безлічі не може бути еквівалентною самому безлічі;

- Другий: відоме рахункове безліч натуральних чисел N = 0,1,2, ... є кінцевим безліччю, які мають потужність, рівну граничному кінцевому числу N;

- Третій: для будь-якого безлічі існує як відоме теоретико-множинне ставлення "безліч всіх підмножин 2M", так і зворотне йому інформаційно-субстратне ставлення "log2M";

- Четверте: початковим нескінченним безліччю є безліч, що має потужність, рівну початкового нескінченного кардиналу ?0 = ?.

З першими трьома положеннями ми вже розібралися. Залишилося розглянути четверте - який об'єкт є початковим нескінченним безліччю? Цей об'єкт має онтологічні підстави і, загалом-то, знаком і відомий. Він чомусь вважається вторинним по відношенню до стандартного счетному безлічі. Отримують його таким чином. Зазвичай кажуть: відкладемо на прямій x від точки "0" одиничний відрізок з кінцем, позначеним через "1", від точки "1" відкладемо ще один одиничний відрізок з кінцем, позначеним через "2", і так до нескінченності. Отримані таким чином точки на прямій геометрично ілюструють безліч натуральних чисел (див., Наприклад, [14, с. 33-34]). Насправді ж первинним у знанні не є числа, а пряма, або одномірний континуум x. Він символізує першосутності онтологічну нескінченність. Можна сказати, що це про неї говорив Архіт Тарентський. Вона є актуальна нескінченність, але нескінченність континуальна, на відміну від нескінченності множинною. Ось її-то, тобто пряму x, ми і приймаємо в якості початкової онтологічної нескінченності, яку і позначаємо відомим символом "?", надаючи йому таким чином статус визначеності. Тут нам достатньо її розуміння як нескінченної величини, або довжини. Ця нескінченна величина єдина. Ось тепер, якщо ми відкладемо на прямій x одиничний відрізок e і візьмемо ставлення ? / e, то отримаємо початкову теоретико-множинну нескінченність ? = ? / e. Це відношення є актуальне розбиття актуальною прямий ? на ? кінцевих відрізків e. Воно несе в собі глибокий онтологічний і гносеологічний сенс відносини між актуальним нескінченним ? і актуальним кінцевим e, або просто - між кінцевим і нескінченним. Розбиття ? породжує багато чого з єдиного і це багато що є початкова актуальне нескінченна безліч ? = {e1, e2, ..., e?}, що складається з ? одиничних відрізків e. Про все це докладно йдеться в книзі [11].

Апологію нескінченності ми завершимо зіставленням нескінченного ряду W всіх порядкових чисел з нашим нескінченним числовим рядом ?, що є розвитком і поглибленням сутності ряду порядкових чисел.

Нескінченний ряд W порядкових чисел має вигляд:

W = {0,1,2,3, ..., n, ...;

?, ? + 1, ? + 2, ? + 3, ..., ? + n, ...; ...; ? ? n, ? ? n + 1, ? ? n + 2, ? ? n + 3, ..., ? ? n + n, ...; ...

...; ?1, ?1 + 1, ...; ?2, ?2 + 1, ...; ...; , + 1, ...; ...}.

Його початком є вже рассматривавшаяся вище знакова конструкція (6), або канторовской нескінченний ряд порядкових чисел. Він володіє вже згадуваними вище властивостями: за всіма кінцевими числами n слід найменше трансфинитное число ?, яке вказує також кількість попередніх йому кінцевих чисел. Саме ж число ? не має попередника, тобто лівого сусіднього з ним числа ?-1. Будь-яке нескінченне число виду ?, ? ? n, ?n, і т.д. є граничним і не має попередника. Не мають попередників і всі числа, кратні, якщо можна так сказати, початкової нескінченності ?. Це означає, що перед усіма цими числами є "дірки". Кажуть, що ряд W не має найбільшого нескінченного числа. Логічно це те ж саме, що говорити, що безліч кінцевих чисел не має найбільшого кінцевого числа.

Нескінченний числовий ряд ?, вільний від концептуальних протиріч, виглядає наступним чином:

? = {0,1,2, ..., N-1;

N, N + 1, ..., 2N-1 ;; ...; nN, nN + 1, ..., (n + 1) N-1; ; ...; 2N-N, 2N-N + 1, ..., 2N-1;

?- = 2N, ?- + 1, ?- + 2 ..., ?-n-1, ?-n, ?-n + 1, ..., ?-1-1, ?-1, ? -1 + 1, ...

..., ?0-1, ?0, ?0 + 1, ..., ?1, ..., ?i, ..., ? +}.

Ряд ? має фундаментальні відмінності від ряду W. По-перше, він не має ніяких концептуальних протиріч. Зокрема, він простий по суті: на ньому справедливі принципи класичної логіки і кінцевої арифметики. По-друге, його рахункове безліч є не нескінченним, а кінцевим. І по-третє, ряд ? не має у відомому сенсі не тільки найбільшого нескінченного числа, а й найменшого нескінченного числа. Цей факт в ряді ? відображений символами граничних нескінченностей: ?-- найменшою і ? + - найбільшою нескінченностей. Його архітектура істотно відрізняється від архітектури ряду W і полягає в тому, що ряд ? може бути розбитий на п'ять класів:

-початковий клас, він же - рахункове безліч N = 0,1,2, ..., N-1 всіх кінцевих чисел. Його кардинал N називається кінцевим числом Кагота. Кагот - герой оповідання чукотського письменника Юрія Ритхеу [15] (Кагот шукав числа, які вже не кінцеві, але ще й не нескінченні, і вважав, що той, хто знайде їх, буде щасливий і все дізнається). Про граничний числі Nздесь говориться, що воно не існує в канторовской сенсі, тобто в тому сенсі, в якому мовиться у відомій теорії множин про неіснування найбільшою нескінченності в ряді W;

-промежуточний клас чисел від N, N + 1, N + 2, ... до 2N-1, який являє собою числа, вже не є кінцевими, а й не є ще нескінченними. Називаються вони числами Кагота;

-клас малих нескінченних чисел від ?- = 2N, ?- + 1, ?- + 2, ... до ?0-1. Найменша нескінченне число ?- називається нескінченним числом Кагота. Про його неіснування йдеться в тому ж сенсі, що і про неіснування числа N;

-початковий нескінченне число ? = ?0 = ? / e. Воно є онтологічним підставою всіх нескінченних кардинальних чисел - і великих ?1, ?2, ..., і малих ?-1, ?-2, ...;

-клас великих нескінченних чисел від ? + 1, ? + 2, ... до найбільшого кардинала ? +, про неіснування якого йдеться той же, що і про неіснування чисел N і ?-.

З опису ряду ? видно, що кінцеві числа пов'язані з нескінченними числами співвідношенням ?- = 2N, яке називається аксіомою кінцевого-нескінченного, або гіпотезою Кагота.

Якщо відволіктися від концептуальних протиріч ряду W, то можна відзначити наступні його схожості та відмінності з нескінченним рядом ?. Перше: всі кінцеві числа в обох рядах являють собою, в общем-то, одне і те ж рахункове безліч N, але в ряді W воно постулюється нескінченним з потужністю ?, а в ряді ? воно обґрунтовується як кінцеве безліч з потужністю N. Крім цього , число ? в ряді W не має попередника, а число N у ряді ? має в якості попередника число N-1 (число N- це (L + 1) -розрядної двійкове число 10 ... 00, а число N-1- це L-розрядне двійкове число 1 ... 11). Друге: всі числа в ряді W, наступні за кінцевими числами і менші першого незліченної безлічі ?1, є рахунковими трансфінітних числами і характеризують всі рахункові цілком впорядковані множини, тобто це лічильно нескінченні числа, складові разом з кінцевими числами незліченну безліч потужності ?1 = 2? [ 12, с. 69-70]; в ряді ж ? за кінцевими числами слід клас чисел Кагота, вже не кінцевих, але ще й не нескінченних, які разом з кінцевими числами складають найменшу нескінченна безліч ?- = 2N. У певному сенсі формально, а саме в тому сенсі, що якщо числу ? з W зіставляється число N з ?, а числу ?1 з ряду W- число ?- з ?, то початкова частина ряду W, наявних потужностей представляє собою знакову конструкцію (6), є така ж початкова частина ряду ?, яка, однак, включає в себе поряд з кінцевими числами числа Кагота, не є ще нескінченними, але вже і не кінцеві, і має (граничну) найменшу нескінченну потужність ?-. Звичайно, це так в тому сенсі, що не має особливого значення - скільки протиріч має ряд W - стільки ж або на одне більше. Далі в ряді порядкових чисел W йдуть просто трансфінітні числа, що мають потужності ?1, ?2, ... У ряді ж ? за числами Кагота йдуть спочатку числа малих нескінченних потужностей ? -, ..., ?-2, ?-1, потім - початкове нескінченне число ?0, а за ним - числа потужності ?0, і тільки потім вже йдуть числа великих нескінченних потужностей ?1, ?2, ..., ? +. як бачимо, ряд W містить в собі як підмножини сходи кардиналів ?, ?1, ?2, ..., яка має початковий кардинал і не має останнього кардинала, ряд же ? має істотно іншу сходи кардиналів ..., ?-2, ? -1, ?0, ?1, ?2, ..., яка вже не має не тільки останнього кардинала, але і першого, що показує, що безліч трансфінітних чисел стає більш цікавим і багатим.

Таким чином, незважаючи ні на які суперечності, нескінченність у всіх своїх іпостасях була, є і буде. Аристотель казав: "Infinitum Actu Non Datur!" (Актуальна нескінченність не існує!), Ми ж говоримо: "Infinitum Actu Datur!" (Актуальна нескінченність існує!). Список літератури

1. Чанишева А.Н. Курс лекцій з стародавньої філософії. М., 1981.

2. Рузавин Г.І. Філософські проблеми підстав математики. М., 1983.

3. Бурова І.М. Парадокси теорії множин і діалектика. М., 1976.

4. .Бурова І.М. Розвиток проблеми нескінченності в історії науки. М., 1987.

5. Теребілов О.Ф. Логіка математичного мислення. Л., 1987.

6. Успенський В.А. Що таке нестандартний аналіз? М., 1987.

7. Зенкин А.А. Помилка Георга Кантора. // Питання філософії. 2000, №2.

8. Зенкин А.А. Infinitum Actu Non Datur. // Питання філософії. 2001, №9.

9. Зенкин А.А. Когнітивна візуалізація трансфінітних об'єктів класичної (канторовской) теорії множин. // Бесконечность в математиці: філософські та історичні аспекти. М., 1997.

10. Математична енциклопедія. М., 1977, Т.1, 1984, Т.4.

11. Станішевський О.Б. Аритмологія (Введення в онтологію): Бесконечность і рефлексивна сутність Буття. Таганрог, 2003.

12. Александров П.С. Введення в теорію множин і загальну топологію. М., 1977.

13. Манін Ю.І. Доказові і недовідне. М., 1979.

14. Волков В.А. Елементи теорії множин і розвиток поняття числа. Л., 1978.

15. Ритхеу Ю. Числа Какота. - Вибране. Л., 1982, Т.2.
Пережитки кельтського язичества в новітні часи
Падіння кельтського державного язичницького культу почалося в Британії дещо раніше, ніж в сусідній Ірландії. Справедливість ради треба визнати, що перший удар кельтському язичеству нанесла не проповідь християнства, а суворий гуманізм і суворе правосуддя римлян. Римляни, як ніякий інший народ

Будівельне матеріалознавство на рубежі століть
В. І.Соломатов, академік РААБН XX століття - століття небувалого технічного прогресу і зухвалих наукових відкриттів глобального значення, що змінили спосіб життя і мислення суспільства. На фоні і під впливом цих технічних і соціальних факторів і основоположних досягнень фундаментальних наук

Десять видатних архітекторів і творів архітектури XX століття
Відділення архітектури РААБН звернулося до членів Академії з проханням назвати імена десяти видатних, на їх думку, архітекторів і творів архітектури XX століття. Опубліковані нижче підсумки опитування, природно, не відображають всіх конкретних суджень з даного питання, але є деякою їх результуючої.

Історія Hip-Hop
Історія хіп-хопу, як можна віднімати з великої червоної радянської енциклопедії, почалася в 1969 році в Південному Бронксі - чорному гетто Нью-Йорка. Правда, слівця "hip-hop" тоді ще не було - DJ Африка Бамбаатаа вигадав його п'ять років, коли подорослішала культура вже потребувала

Меморіальний будинок-музей Бюль-Бюля в Баку
Бюль-Бюль (1897-1961) (в перекладі з азербайджанської Соловей) - неповторне явище в вокальному мистецтві, його акторське життя золотими літерами вписана в історію світової культури. Він увійшов в число корифеїв світового та азербайджанського музичного мистецтва. Бюль-Бюль пройшов великий

Азербайджанські килими і килимові вироби
Одним з головних визначників рівня культури є ступінь розвитку декоративно-прикладного мистецтва - складової частини загальної матеріальної культури, тісно пов'язаної з економічною, культурною та суспільно-політичним життям народу. Вироби декоративно-прикладного мистецтва давали народу можливість

Інтернет в діяльності російських шкіл на сучасному етапі
Хуторський Андрій Вікторович, докт. пед. наук, академік Міжнародної педагогічної академії, директор Центра дистанційної освіти "Ейдос", м. Москва Використання комп'ютерних телекомунікацій у вітчизняних школах бере свій початок з 1989 року. Тоді декілька шкіл з Москви, С.-Петербурга,

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати