трусики женские украина

На головну

 Рішення обернених задач теплопровідності для елементів конструкцій простої геометричної форми - Теплотехніка

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСІТЕТКАФЕДРА ПГД І ТМО

НА ТЕМУ: «розв'язання оберненої задачі ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ ДЛЯ

ЕЛЕМЕНТІВ КОНСТРУКЦІЙ простої геометричної форми »

ВИКОНАВ: СТ. ГР. МТ-98-1

ДАЦЕНКО И. Н.ДНЕПРОПЕТРОВСК

-2001

Постановки задач про теплообміні між твердим тілом або деякої системою і навколишнім середовищем розглядаються з точки зору співвідношень причина-наслідок. При цьому до причинним характеристикам теплообмінного процесу в тілі (системі) відповідно до прийнятої моделі віднесемо граничні умови і їхні параметри, початкові умови, теплофізичні властивості, внутрішні джерела тепла і провідності, а також геометричні характеристики тіла або системи. Тоді наслідком буде те чи інше теплове стан, обумовлений температурним полем досліджуваного об'єкта.

Встановлення причинно - наслідкових зв'язків становить мета прямих задач теплообміну. Навпаки, якщо за певною інформацією про температурний поле потрібно відновити причинні характеристики, то маємо ту чи іншу постановку оберненої задачі теплообміну.

Постановки обернених задач, на відміну від прямих, не відповідають фізично реалізованим подіям. Наприклад, не можна звернути хід теплообмінного процесу і тим більше змінити плин часу. Таким чином, можна говорити про фізичну некоректності постановки оберненої задачі. Природно, що при математичної формалізації вона проявляється вже як математична некоректність (найчастіше нестійкість рішення) і зворотні завдання являють собою типовий приклад некоректно поставлених задач в теорії теплообміну.

Гранична ОЗТ - відновлення теплових умов на кордоні тіла. До цього типу завдань віднесемо також завдання, пов'язане з продовженням рішення рівняння теплопровідності від деякої межі, де одночасно задані температура Т (х *, т) і щільність теплового потоку q (х *, т);

Організація охолодження конструкції камер згоряння є одним з найважливіших питань проектування і в порівнянні з іншими типами теплових машин ускладнюється тим, що теплові процеси протікають при високих температурахК і тиску. Так як високотемпературні продукти згоряння рухаються по камері з дуже великою швидкістю, то різко зростають коефіцієнт конвективної тепловіддачі від гарячих продуктів згоряння до стінок камери і конвективні теплові потоки, що доходять в критичному перетині сопла до 23,26 - 69,78. Крім того, теплообмін в конструкції характеризується високим рівнем радіації в камері, що призводить до великих променистим тепловим потокам / 13 /.

Внаслідок потужних сумарних конвективних і променистих теплових потоків в стінці камери температура її може досягати значень перевищують (1000 - 1500С. Величина цих потоків визначається значеннями режимних параметрів, складом продуктів згоряння в ядрі газового потоку і в пристеночном шарі, а також температурою внутрішньої поверхні конструкції. З -за зміни діаметра проточної частини по довжині теплопровід від продуктів згоряння виявляється нерівномірним. Нерівномірним є також розподіл температури по периметру, обумовлене зміною складу продуктів згоряння.

Коефіцієнт тепловіддачі від продуктів згоряння визначається з урахуванням спільного впливу конвективного і променистого теплового потоків у відповідному перерізі конструкції вузла за значеннями параметрів (тиск, склад і температура продуктів згоряння в ядрі газового потоку і в пристеночном шарі) на сталому режимі експлуатації / 13 /.

Час виходу аналізованих конструкцій на сталий тепловий режим порівнянно і може виявитися навіть більшим часу їх роботи при експлуатації. У цих умовах завдання визначення теплового стану в період роботи зводиться до розрахунку прогріву їх під впливом високотемпературних продуктів згорання / 1, 2 /.

Розглянемо наступну схему корпусу камери згоряння.

На поверхні в перетині розташовується по дві точки виміру, розташованих в діаметрально протилежних точках периметра корпусу.

У перетині I - I корпусу сопла можна представити у вигляді одношарової необмеженої пластини, двошарової - перетин II - II (Рис.1).

Розрахункові схеми елементів конструкції представлені на рісунке2 і 3.

Зворотній теплова задача для пластини формулюється таким чином. Потрібно по вимірах температуриі теплового потокак пластині (рис.2) при X = 0 знайти зміни температури і теплового потоку на поверхні X = 1.

Рішення зворотного теплової задачі в такій постановці доцільно побудувати з використанням рішення задачі Коші / 3 /.

У просторі переменнихзадана деяка гладка поверхня Г. З кожною точкойсвязивается деякий напрямок, некасательное Г.

В околиці поверхні Г потрібно знайти рішення рівняння.

задовольняє умовам Коші

де- безрозмірні час і координата.

Неважко переконатися, що рішення задачі (1), (2), записане у вигляді:

(3)

і є шуканим / 10 /.

Твердження про існування рішення (3), про аналітичності цього рішення і його єдиності в класі аналітичних функцій складають зміст відомої класичної теореми Коші - Ковалевської / 11 /.

Рішення (13) при заданнихіпозволяет знайти шукані зміни температуриі теплового потокаОднако в такій інтерпретації рішення (3), де функцііізвестни з експерименту з деякою заданою похибкою, необхідно враховувати і той факт, що обчислення операторів діфференцірованіянеустойчіво до збурень у вихідних даних / 12 /.

Таким чином, маємо типову некоректну задачу, для побудови стійкого вирішення якої необхідна побудова регулярізірующіх алгоритмів.

Збережемо у вирішенні (3) кінцеве число доданків N. Введемо позначення

(4)

Інтегруючи (4) отримаємо систему інтегральних рівнянь Вольтерра першого роду:

, (5)

де k = 1, 2, ..., N.

Співвідношення для теплового потоку в (3) записується аналогічно. Надалі будемо вважати, що на поверхні X = 0 знімання тепла відсутня, тобто стінка теплоізольована. Тоді рішення (3) з урахуванням позначень (4) записується у вигляді

(6)

Таким чином, граничні умови при X = 1 відновлюються співвідношенням (6), в якому функціінаходятся з рішення інтегральних рівнянь (5)

(7)

де права частина задається наближено, тобто

Тут- числовий параметр, що характеризує похибка правій частині рівняння (7).

Завдання (7) є, загалом випадки некоректно поставленої / 12 /. Найбільш поширеним в даний час ефективним регулярізующім алгоритмом для її вирішення є алгоритм, заснований на мінімізації функціонала А.Н.Тихонова / 12 /.

(8)

З подальшим вибором параметра регулярізацііпо так званим принципом нев'язки.

Наприклад, якщо-яка - небудь екстремали функціоналу (8), що реалізує його глобальний мінімум при заданномі фіксованому, то числовий параметр визначається з умови

(9)

Регулярізующій алгоритм (7) - (9) докладно вивчений в / 12 / і має стійкість до малих збурень правій частині (7).

Права частина рівняння (7) при вирішенні формувалася таким чином. Функціяхарактерізующая зміна температури поверхні, задавалася таблицею. Початкові умови для1, 2, ..., N-1) перебували зі співвідношення / 3 /:

(10)

де, - розподіл температури, задане в початковий момент часу. Звідки для рівномірного розподілу температури в початковий момент часу має

1, 2, ..., N-1 (11)

З аналізу теплофізичних і геометричних характеристик конструкції камери згоряння слід можливість представлення системи пластин теплового відносини (рис.1) у вигляді пластини з теплозахисного покриття і оболонки, яку можна розглядати як теплову ємність. Це дає можливість скористатися для побудови розв'язку оберненої теплової задачі для заданого вузла рішенням задачі Коші (3). У системі координат, представленої на Рис.1, поверхня при X = 0 будемо вважати теплоізольованої, тобто

(12)

Крім цього припустимо, система пластин в початковий момент часу прогріта рівномірно і, отже, початкові умови для функцііімеют вигляд (11).

При зроблених вище припущеннях умови Коші (12) для цього завдання мають вигляд

(13)

Де

Підставляючи значеніеіз умови (2) у вирішення задачі Коші (3) отримаємо

(14)

де

Таким чином, рішення цієї задачі має вигляд

(15)

гденам задана, а функції (n = 1, 2, ..., N) визначаються з рішення інтегральних рівнянь Вольтерра першого роду (5) методом регуляризації

(7) - (9).

Отже, шукані велічіниопределяются з рішення (4) з використанням регулярізірующего алгоритму (7) - (9).

Метод найменших квадратів.

Нехай функціязадана насвоіх значеннями в точках. Розглянемо сукупність функцій

(16)

лінійно незалежних на.Будем відшукувати лінійну комбінацію цих функцій

(17)

так, щоб сума квадратів її відхилень від заданих значенійфункціі в узлахімела б найменше можливе значення, тобто величина

(18)

приймала б мінімальне значеніе.Заметім, що згадана сума є функцією коефіцієнтів

. (19)

Тому для вирішення нашої задачі скористаємося відомим прийомом диференціального обчислення, а саме: знайдемо приватні похідні функцііпо всім змінним і прирівняємо їх нулю:

де

Звідси бачимо, що метод найменших квадратів приводить до необхідності вирішувати систему рівнянь алгебри

. (20)

Можна довести, що якщо серед точекнет співпадаючих і, то визначник системи (20) відмінний від нуля і, отже, ця система має єдине рішення (19). Підставивши його в (17), знайдемо шуканий узагальнений многочлен, ті є многочлен, що володіє мінімальним квадратичним відхиленням. Зауважимо, що при m = n коефіцієнти (19) можна визначити з условійпрічем в цьому випадку Ф = 0. Отже, ми приходимо тут до розглянутої раніше завданню інтерполяції.

Функції ,, як відомо, утворюють систему Чебушева на будь-якому сегменті і можуть бути використані для практичної реалізації описаного методу.

Легко бачити, що коефіцієнти і вільні члени системи (20) в цьому випадку представимо як

(21)

(22)

Зауважимо тут, що матріцаявляется сімметрічнойі позитивно певної, так як квадратична форманеотріцательна для будь-яких значень переменнихпрічемтолько пріДействітельно,

Нехай задана система алгебраїчних рівнянь

(23)

де- невироджена квадратна матриця m - го порядку, АІ вектор - стовпці, узгоджені в розмірністю матриці А.

Виділяють два класи методів вирішення таких систем: прямі та ітераційні.

Прямі методи засновані на розкладанні матриці А в творі більш простих матриць (діагональних, трикутних, ортогональних). У цьому випадку вихідна система рівнянь (23) розпадається на декілька більш простих систем, що вирішуються послідовно. Якщо при цьому всі обчислення проводити без заокруглень, то через цілком визначене заздалегідь відоме кінцеве число кроків вийде точне рішення системи (23).

Тому їх називають також точними. Альтернативою для зазначених методів є ітераційні алгоритми, в яких рішення знаходиться як межа пріпоследовательних наближень, де- номер ітерацій.

Залежності температури поверхні та експериментальної температури від часу, а також теплового потоку і коефіцієнта тепловіддачі представлені на малюнках 4, 5, 6, 7 і 8 відповідно.

 Т, К

 Рис. 8. Температура поверхні та експериментальна температура

 для двошарової пластини точки 2.

У реальних умовах вимірювані температури (тобто вихідні дані для зворотного теплової задачі) є випадковими величинами через дефекти виробництва, технології виготовлення, забруднення поверхні, похибки вимірювання та обробки експериментальної інформації. Вплив похибок вихідної інформації на вирішення оберненої задачі теплопровідності оцінювалося за допомогою методу статистичних випробувань Монте - Карло / 5-8 /. Аналіз результату статистичного моделювання розв'язання оберненої задачі дозволяє встановити коридор помилок шуканих граничних умов.

Одним з методів вирішення ОЗТ є метод статистичних випробувань Монте Карло, який полягає в статистичному моделюванні аналітичних рішень ОЗТ з урахуванням випадкового характеру вихідних даних / 121 /.

У методі Монте-Карло основним є випадкова вибірка вихідних даних / 24 /. У даній роботі для цього необхідне джерело випадкових чісел.Введем для вихідних даних позначення

(24)

де- математичне очікування j - го параметра в точках. Ошібкупредставім у вигляді

= (25)

де- максимально можлива похибка,

- Функція обурення, в загальному випадку різна у всіх точках.

Функція обурення має відпр обуренні по нормальному закону розподілу щільності ймовірностей при використанні правила "трьох сигм"; - випадкова величина, розподілена за нормальним законом з математичним очікуванням m = 0 і дисперсією Д = 1.

Використовуючи метод Монте - Карло можна дослідити вплив похибки вихідної інформації (геометричні розміри, місце установки температурного датчика, теплофізичні характеристики, вимірювання та обробки експериментальної температури внутрішніх точок тіла) на рішення ОЗТ. Коридор помилок відновленого рішення можна визначити за результатами статистичної обробки отриманих реалізації. Крім того, процедура Монте - Карло дозволяє розглядати вплив кожної вхідної величини на рішення ОЗТ. Знайдені таким шляхом статистичні характеристики рішення ОЗТ можна використовувати для того, щоб направити інженерні зусилля на зменшення саме тих випадкових варіацій, які найбільш сильно позначаються на вирішенні ОЗТ.

Проведені розрахунки для одношарової пластини показали, що похибка в завданні експериментальної температури до 5% викликає максимальні відхилення температури поверхні до 10% на тимчасовому інтервалі 0 - 55 сек, а на іншому часовому ділянці до 5%.

Максимальні відхилення теплового потоку на тих же тимчасових інтервалах становлять соотственно 20% і 10%.

Проведені розрахунки для двошарової пластини показали, що похибка в завданні експериментальної температури до 5% викликає максимальні відхилення температури до 10% на тимчасовому інтервалі 0 - 50 сек, а на іншому часовому ділянці до 5%. Максимальні відхилення теплового потоку на тих же тимчасових інтервалах становлять відповідно 20% і 10%.

Використана література

1. Алифанов О.В. Зворотні задачі теплообміну. - М: Машинобудування, 1988. - 280 с.

2. Алифанов О.В., Артюхін Е.А., Румянцев С.Я. Експериментальні методи розв'язання некоректних задач. - М .: Наука, 1988. - 288 с.

3. Веселовський В.Б., Лазученков Н.М, Швачич С.В. Обробка та інтерпретація результатів нестаціонарних експериментів при дослідженні процесів тепло - і масообміну // Прикладні питання аеродинаміки літальних апаратів. Київ: Наук. думка, 1984. - С. 138 - 140.

4. Веселовський В.Б. Рішення задач нестаціонарної теплопровідності для багатошарових теплозахисних покриттів // Прикладні питання аеродинаміки. - Київ: Наук. думка, 1987. - с. 95 - 100.

5. Веселовський В. Б. Нелінійні задачі теплопровідності для складених елементів конструкцій // Прикладні задачі гідродинаміки і тепломасообміну в енергетичних установках. - Київ: Наук. думка, 1989. - С. 113 - 117.

6. Веселовський В.Б. Нестаціонарне температурне поле складових елементів конструкцій // Математичні методи тепломасопереносу. - Дніпропетровськ: ДДУ, 1986, с. 107 -110.

7. Веселовський В.Б. Рішення прямих задач теплопровідності для багатошарових пластин і побудова алгоритмів відновлення граничних умов // Тези доповідей другого Республіканського симпозіуму з диференціальних та інтегральних рівнянь. - Одеса: Одеський ун - т, 1978. - с. 43 - 44.

8. Веселовський В.Б. Тепловий режим складових елементів конструкції літальних апаратів // Тепломассообмен - ММФ - Мінськ: ИТМО АНБ, 1996, - том IX (Обчислювальний експеримент в задачах тепломасообміну і теплопередачі).

С. 37 - 41.

9. Коваленко Н.Д., Шмукін А.А., Гужва М.І., Махін В.В. Нестаціонарні теплові процеси в енергетичних установках літальних апаратів. - Київ: Наук. думка, 1988. - 224 с.

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка