трусики женские украина

На головну

 Теорія масового обслужіваніяс очікуванням. - Логістика

зміст

Введення в теорію масового обслуговування з очікуванням _________________ 2

1. Постановка завдання .____________________________________________________ 3

2. Складання рівнянь ._______________________________________________ 4

3. Визначення стаціонарного рішення .__________________________________ 5

4. Деякі підготовчі результати .______________________________ 6

5. визначення функції розподілу тривалості очікування .___________ 7

6. Середня тривалість очікування .______________________________________ 8

Висновок. Додаток теорії до руху повітряного транспорту ______ 10

Список використаної літератури _______________________________________ 13

Введення

Долю вимог, які при надходженні в систему обслуговування застають все прилади зайнятими, визначають за допомогою завдання типу системи обслуговування. Один з типів систем є система з очікуванням.

Системи з очікуванням - можливо очікування для будь-якого числа вимог, які не можуть бути обслужені відразу. Вони складають чергу, і за допомогою деякої дисципліни обслуговування визначаються, в якому порядку очікують вимоги вибираються з черги для обслуговування. [1]

Зобразимо дану систему графічно (рис. 1). Тут кружечок 1 - обслуговуючий прилад, трикутник - накопичувач, кружечок Про - джерело вимог. Вимога, що виникає в джерелі в момент закінчення фіктивної операції "очікування вимог", надходить в накопичувач. Якщо в цей момент прилад 1 вільний, то вимога негайно надходить на обслуговування. Якщо ж прилад зайнятий, то вимога залишається в накопичувачі, стаючи в кінець наявної черги.

Як тільки прилад 1 закінчує вироблену ним операцію, негайно приймається до обслуговування вимога з черги тобто з накопичувача, і починається нова операція обслуговування. Якщо вимог у накопичувачі немає, то нова операція не починається, стрілкою а показаний потік вимог від джерела до накопичувача, стрілкою b - потік обслужених вимог. [2]

Система масового обслуговування з очікуванням

1. Постановка завдання.

Ми вивчимо тут класичну задачу теорії масового обслуговування в тих умовах, в яких вона була розглянута і вирішена Ерланген. На m однакових приладів надходить найпростіший потік вимог інтенсивності l. Якщо в момент надходження вимоги є хоча б один вільний прилад, воно негайно починає обслуговуватися. Якщо ж всі прилади зайняті, то знову надійшла вимога стає в чергу за всіма тими вимогами, які надійшли раніше і ще не почали обслуговуватися. Звільнився прилад негайно приступає до обслуговування чергового вимоги, якщо тільки є черга. Кожна вимога обслуговується тільки одним приладом, і кожен прилад обслуговує в кожен момент не більше одного вимоги. Тривалість обслуговування є випадкову величину з одним і тим же розподілом ймовірностей F (x). Передбачається, що при

x ? 0

F (x) = 1 - e-mx, (1)

де m> 0 - постійна.

Ерланг вирішив цю задачу, маючи на увазі постановки питань що виникли до того часу в телефонному справі.

Вибір розподілу (1) для опису діяльності обслуговування проведений не випадково. Справа в тому, що в цьому припущенні завдання допускає просте рішення, яке з задовільною для практики точності описує хід даного нас процесу. Ми побачимо, що розподіл (1) грає в теорії масового обслуговування виняткову роль, яка значною мірою викликана наступним властивістю:

При показовому розподілі тривалості обслуговування розподіл діяльності решти роботи по обслуговуванню не залежить від того, скільки воно вже тривало.

Дійсно, нехай fa (t) означає ймовірність того, що обслуговування, яке вже триває час a, триватиме ще не менше ніж t. У припущенні, що тривалість обслуговування розподілено показово, f0 (t) = e-mt. Далі ясно, що f0 (a) = e-maі f0 (a + t) = em (a + 1). А так як завжди f0 (a + t) = f0 (a) fa (t), то em (a + t) = e-maf0 (t) і, отже,

fa (t) = e-mt = fo (t).

Необхідну доведено.

Безсумнівно, що в реальній обстановці показове час обслуговування є, як правило, лише грубим наближенням до дійсності. Так, нерідко час обслуговування не може бути менше ніж, ніж деяка певна величина. Припущення ж (1) призводить до того, що значна частка вимог потребує лише короткочасною операції близькою до 0. Пізніше перед нами постає завдання звільнення від зайвого обмеження, що накладається припущенням (1). Необхідність цього була зрозуміла вже самому Ерланген, і він у ряді робіт робив зусилля знайти інші вдалі розподілу для тривалості обслуговування. Зокрема, їм було запропоновано так зване розподіл Ерланга, щільність розподілу якого дається формулою

де, m> 0, а k - ціле позитивне число.

Розподіл Ерланга являє собою розподіл суми k незалежних доданків, кожне з яких має розподіл (1).

Позначимо для випадку розподілу (1) через h час обслуговування вимоги. Тоді середня тривалість обслуговування дорівнює

Це рівність дає нам спосіб оцінки параметра m по досвідченим даним. Як легко обчислити, дисперсія тривалості обслуговування дорівнює

 при t ? 0,

 при t> 0,

2. Складання рівнянь.

система з очікуванням у разі найпростішого потоку і показового часу обслуговування являють собою випадковий процес Маркова.

Знайдемо ті рівняння, яким задовольняють ймовірності Pk (t). Одне з рівнянь очевидно, а саме для кожного t

. (2)

Знайдемо спочатку ймовірність того, що в момент t + h все прилади вільні. Це може статися наступними способами:

в момент t всі прилади були вільні й за час h нових вимог не надходило;

в момент t один прилад був зайнятий обслуговуванням вимоги, всі інші прилади вільні; за час h обслуговування вимоги було завершено і нових вимог не надійшло.

Інші можливості, якось: були зайняті два або три прилади і за час h робота на них була закінчена - мають ймовірність o (h), як легко в цьому переконається.

Імовірність першого із зазначених подій дорівнює

ймовірність другої події

Таким чином,

Звідси очевидним чином приходимо до рівняння

(3)

Перейдемо тепер до складання рівнянь для Pk (t) при k ? 1. Розглянемо окремо два різних випадки: 1 ? k У момент t система перебувала у стані Ek, за час h нових вимог не надійшло і жоден пристрій не закінчив обслуговування. Імовірність цієї події дорівнює

У момент t система перебувала у стані Ek-1, за час h надійшло нову вимогу, але жодне раніше знаходилося вимога не було закінчено обслуговуванням. Імовірність цієї події дорівнює

У момент t система перебувала у стані Ek + 1, за час h нових вимог не надійшло, але одну вимогу було обслуговано. Імовірність цього дорівнює

Всі інші мислимі можливості переходу в стан Ekза проміжок часу h мають ймовірність, рівну 0 (h).

Зібравши воєдино знайдені ймовірності, отримуємо таке рівність:

Нескладні перетворення приводять нас до такого рівнянню для 1 ? k (4)

Подібні ж міркування для k ? m призводять до рівняння

`(5)

Для визначення ймовірностей Pk (t) ми отримали нескінченну систему диференціальних рівнянь (2) - (5). Її рішення являє безсумнівні технічні труднощі.

3. Визначення стаціонарного рішення.

У теорії масового обслуговування зазвичай вивчають лише усталене рішення для t ® ?. Існування таких рішень встановлюється так званими ергодичними теоремами, деякі з них пізніше будуть нами встановлено. У розглянутій задачі виявляється, що граничні або, як кажуть зазвичай, стаціонарні ймовірності існують. Введемо для них позначення Pk. Зауважимо додатково, (цього ми також зараз не станемо доводити), чтопрі t® ?.

Сказане дозволяє зробити висновок, що рівняння (3), (4) і (5) для стаціонарних ймовірностей приймають такий вигляд:

(6)

при 1 ? k (7)

при k ? m

(8)

До цих рівнянь додається нормирующее умова

(9)

Для вирішення отриманої нескінченної алгебраїчної системи введемо позначення: при 1 ? kпри k ? m

Система рівнянь (6) - (8) у цих позначеннях принемает такий вигляд:

z1 = 0, zk-zk + 1 = 0 при k ? 1

Звідси полягає, що при всіх k ? 1 zk = 0

тобто при 1 ? k kmPk = lPk-1 (10)

і при k?mmmPk = lPk-1 (11)

Введемо для зручності запису позначення

r = l / m.

Рівняння (10) дозволяє зробити висновок, що при 1 ? k (12)

При k ? m з рівняння (11) знаходимо, що

і отже, при k ? m

(13)

Залишається знайти P0. Для цього в (9) підставляємо вирази Pkіз (12) і (13). В результаті

Так нескінченна сума, що стоїть у квадратних дужках, знаходиться лише за умови, що

r то при цьому положенні знаходимо рівність

(15)

Якщо умова (14) не виконано, тобто якщо r ? m, то ряд, що стоїть у квадратних дужках рівняння для визначення P0, розходиться і, значить, P0должно дорівнювати 0. Але при цьому, як випливає з (12) і (13), при всіх k ? 1 виявляється Pk = 0.

Методи теорії ланцюгів Маркова дозволяють укласти, що при r ? m з часом чергу прагне до ? по ймовірності.

4. Деякі підготовчі результати.

У вступі ми вже говорили, що для задачі з очікуванням основний характеристикою якості обслуговування є тривалість очікування вимогою початку обслуговування. Тривалість очікування є випадкову величину, яку позначимо літерою g. Розглянемо зараз тільки задачу визначення розподілу ймовірностей тривалості очікування у вже сталому процесі обслуговування. Позначимо далі через P {g> t} ймовірність того, що тривалість очікування перевершить t, і через Pk {g> t} ймовірність нерівності, зазначеного в скобці, за умови, що в момент надходження вимоги, у черзі вже знаходиться k вимог. В силу формули повної ймовірності маємо рівність

P {g> t} =. (16)

Перш ніж перетворити цю формулу до вигляду, зручного для користування, приготуємо деякі необхідні нам для подальшого відомості. Насамперед для випадків m = 1 і m = 2 знайдемо прості формули для P0. нескладні перетворення призводять до таких равенствам: при m = 1

P0 = 1-r, (17)

а при m = 2

(18)

Обчислимо тепер ймовірність того, що всі прилади будуть зайняті якоюсь навмання взятий момент. Очевидно, що ця ймовірність дорівнює

(19)

Ця формула для m = 1 приймає особливо простий вигляд:

p = r, (20)

при m = 2

(21)

Нагадаємо, що у формулі (19) r може приймати будь-яке значення від 0 до m (включно). Так що у формулі (20) r <1, ??а в (21) r <2.

5. визначення функції розподілу тривалості очікування.

Якщо в момент надходження вимоги у черзі вже перебували km вимог, то оскільки обслуговування відбувається в порядку черговості, знову надійшла вимога повинна очікувати, коли будуть обслужені k-m + 1 вимог. Нехай qs (t) означає ймовірність того, що за проміжок часу тривалості t після надходження даного нас вимоги закінчилося обслуговування рівно вимог. Ясно, що k ? m має місце рівність

Так як розподіл тривалості обслуговування припущено показовим і незалежним ні від того, скільки вимог знаходиться в черзі, ні від того, як великі тривалості обслуговування інших вимог, то ймовірність за час t не завершена жодного обслуговування (тобто ймовірність того, що ні звільниться жоден з приладів) дорівнює

Якщо всі прилади зайняті обслуговуванням і ще є достатня чергу вимог, які очікують обслуговування, то потік обслужених вимог буде найпростішим. Дійсно, в цьому випадку всі три умови - стационарность, відсутність післядії і ординарність - виконані. Ймовірність звільнення за проміжок часу t рівно s приладів дорівнює (це можна показати і простим підрахунком)

Отже,

і, отже,

Але ймовірності Pkізвестни:

тому

очевидними перетвореннями наводимо праву частину останньої рівності до виду

З формул (13) і (19) випливає, що, тому при t> 0

(22)

Само собою зрозуміло, що при t <0.

Функціяімеет в точці t = 0 розрив безперервності, рівний ймовірності застати все прилади зайнятими.

6. Середня тривалість очікування.

Формула (22) дозволяє знаходити всі цікаві для нас числові характеристики тривалості очікування. Зокрема, математичне очікування тривалості очікування початку обслуговування або, як воліють говорити, середня тривалість очікування дорівнює

Нескладні обчислення призводять до формули

(23)

Дисперсія величини g дорівнює

.

Формула (23) дає середню тривалість очікування одного вимоги. Знайдемо середню втрату часу вимогами, які прийшли в систему обслуговування протягом проміжку часу T. За час T в систему надходить lT вимог в середньому; загальна втрата ними часу на очікування в середньому дорівнює

(24)

Наведемо невеликі арифметичні підрахунки, які продемонструють нам, як швидко зростають сумарні втрати часу на очікування зі зміною величини r. При цьому ми обмежуємося випадком T = 1 і розглядаємо лише самі малі значення m: m = 1 і m = 2.

При m = 1 в силу (20)

При r = 0.1; 0.3; 0.5; 0.9; значення al приблизно дорівнює 0.011; 0.267; 0.500; 1.633; 8.100.

При m = 2 в силу (21)

При r = 0.1; 1.0; 1.5; 1.9 значення al приблизно дорівнює 0.0003; 0.333; 1.350; 17.587.

Наведені дані ілюструють добре відомий факт щодо великий чутливості систем обслуговування, вже досить сильно завантажених, до зростання завантаження. Споживач при цьому відразу відчуває значне зростання тривалості очікування. Цей факт обов'язково слід враховувати при розрахунку завантаження обладнання в системах масового обслуговування. [3]

Додаток теорії до руху повітряного транспорту

З деякими поняттями, пов'язаними з управлінням рухом повітряного транспорту, ми познайомилися в ілюстративному додатку першого розділу. Пірсі розглянув додатки деяких ідей теорії масового обслуговування до організації посадки літаків. У даному випадку зазвичай становить інтерес скорочення часу посадки. Обчислимо спочатку ймовірність того, що один за одним n-1 літаків очікують приземлення.

Припустимо, що літаки наближаються до зони управління з випадкових напрямків через випадкові проміжки часу, розподілені за експоненціальним законом, з постійною інтенсивністю прибуття, яка приймається рівною одній одиниці. Отже, et- розподіл проміжків часу між моментами прибуття. Літак, який прибуває через проміжок часу, менший мінімального часу, необхідно для безпечного попереднього літака, затримується на мінімальний час. Відношення мінімального часу, необхідного для безпечної посадки, до середньої тривалості проміжку часу між прибулими літаками позначається T (для простоти будемо вважати, що для даного аеропорту ця величина постійна). Зазвичай становить інтерес випадок T <1. Ймовірність того, що прибув літак не затримується, дорівнює

(14.54)

Ймовірність того, що буде затриманий один літак, знайдемо, розглянувши всі затримки одиночних літаків між двома незадержіваемимі літаками. Літак, який буде затриманий, повинен прибути через проміжок часу t12T-t1. Таким чином, шукана ймовірність спільного появи цих двох подій дорівнює

Ймовірність того, що буде затримано два літаки, знаходиться аналогічно (розглядається два затриманих літака між двома незадержіваемимі) шляхом обчислення ймовірності спільного появи подій:

t1 t2 <2T- t1- для другого задерживаемого літака, наступного за першим затримуваних;

t <3T- t1- t2 -для незадержіваемого літака, наступного безпосередньо за двома затримується.

В результаті для двох затриманих літаків отримуємо

. (14.55)

Загальний вираз для ймовірності того, що затримується n-1 літаків, має вигляд anTn-1e-nT, де an- коефіцієнт, що залежить тільки від n. Очевидно, що повинно виконуватися співвідношення

(14.56)

або

(14.57)

де величина U?Te-Tдля малих T визначається однозначно, отже, T можна виразити як функцію від U:

(14.58)

Використовуючи ту обставину, що початок координат - кратний полюс, маємо

(14.59)

Отже, розклавши підінтегральний вираз в ряд і вибравши коефіцієнт при T-1, можна знайти відрахування.

Ймовірність того, що один за іншим затримуються n-1 літаків, дорівнює

(14.60)

Використовуючи формулу Стірлінга для n !, Пірсі наводить ряд кривих для цього розподілу.

Середнє число літаків, що знаходяться в системі (з урахуванням першого літака, коїть посадку без очікування), так само

(14.61)

Цей вираз можна легко знайти, диференціюючи вираз (14.56) по T і виробляючи спрощення. (Зауважимо, що при T = 1 затримуються все літаки). Аналогічно знаходимо другий початковий момент, він дорівнює.

Частка затриманих літаків визначається як відношення середнього числа літаків, що знаходяться в системі, без урахування літака, коїть посадку, до середнього числа літаків:

.

Розподіл тривалості посадки знайдемо шляхом наступних міркувань. Всі проміжки часу тривалістю tT, з'являється з частотою 1-T появи незадержіваемих літаків, помноженої на ймовірність їх прибуття, тобто на e- (t + T). Використовуємо одиничну функцію H (T- t) (яка дорівнює одиниці для позитивних значень аргументу і дорівнює нулю для негативних; її похідна є дельта-функцією) і дельта-функцію d (Tt), щоб представити цей розподіл у вигляді

Тепер, використовуючи інтегральне рівняння Линдли, можна отримати розподіл часу очікування. Шляхом детального аналізу Пірсі знаходить вираз для розподілу в проміжку часу t, mT звідки після інтегрування по t (0 ? t ? ?) він визначає T як частку затриманих літаків. Зауважимо, що при підсумовуванні по m необхідно розглядати інтервали (mT, (m + 1) T). Звідси знаходимо також середній час очікування

.

Зауважимо, що час очікування збільшується зі зростанням T. Наведене вище розподіл дає критерії для визначення необхідної пропускної спроможності аеропорту. [4]

Список літератури

1. Д.Кеніг, Д.Штойян. Методи теорії масового обслуговування: Пер. з нім. / Під. ред. Г.П.Клімова. М., 1981.

2. Г.І.Івченко, В.А.Каштанов, І.Н.Коваленко. Теорія масового обслуговування. М., 1982.

3. Б.В.Гнеденко, І.Н.Коваленко. Введення в теорію масового обслуговування. М., 1987.

4. Т.Л.Сааті. Елементи теорії масового обслуговування та її застосування: Пер. з англ. / Під. ред. І.М. Коваленко, вид-ие 2. М., 1971.

[1] [1] стор. 23-24

[2] [2] стор. 50-51

[3] стор 25-35

[4] стор. 384 - 387

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка