трусики женские украина

На головну

 Логічні парадокси - Логіка

План:

I. Вступ

II. Апорії Зенона

- Ахілл і черепаха

- Дихотомія

- Стадій

III. Парадокс брехуна

IV. Парадокс Рассела

I. Вступ.

Парадокс - це два протилежних, несумісних твердження, для кожного з яких є здаються переконливими аргументи. Найбільш різка форма парадоксу - антиномія, міркування, що доводить еквівалентність двох тверджень, одне з яких є запереченням іншого.

Особливою популярністю користуються парадокси в самих строгих і точних науках - математиці і логіці. І це не випадково.

Логіка - абстрактна наука. У ній немає експериментів, немає навіть фактів у звичайному розумінні цього слова. Будуючи свої системи, логіка виходить в кінцевому рахунку з аналізу реального мислення. Але результати цього аналізу носять синтетичний характер. Вони не є констатациями будь-яких окремих процесів або подій, які повинна була б пояснити теорія. Такий аналіз не можна, мабуть, назвати спостереженням: спостерігається завжди конкретне явище.

Конструюючи нову теорію, учений звичайно відштовхується від фактів, від того, що можна спостерігати в досвіді. Як би не була вільна його творча фантазія, вона повинна вважатися з однією неодмінною обставиною: теорія має сенс тільки в тому випадку, коли вона узгоджується з відносяться до неї фактами. Теорія, що розходиться з фактами і спостереженнями, є надуманою і цінності не має.

Але якщо в логіці немає експериментів, немає фактів і немає самого спостереження, то чим стримується логічна фантазія? Які якщо не факти, то чинники беруться до уваги при створенні нових логічних теорій?

Розбіжність логічної теорії з практикою дійсного мислення нерідко виявляється у формі більш-менш гострого логічного парадокса, а іноді навіть у формі логічної антиномії, що говорить про внутрішню суперечливість теорії. Цим якраз пояснюється те значення, яке надається парадоксів в логіці, і то велика увага, якою вони в ній користуються.

Один з перших і, можливо, кращих парадоксів був записаний Евбулід, грецьким поетом і філософом, що жили на Криті в VI столітті до н. е. У цьому парадоксі критянин Епіменід стверджує, що всі крітяни - брехуни. Якщо він говорить правду, то він бреше. Якщо він бреше, то він каже правду. Так хто ж Епіменід - брехун чи ні?

 Інший грецький філософ Зенон Елейський склав серію парадоксів про нескінченність - так звані "апорії" Зенона.

Те, що сказав Платон, є брехня.

Сократ

Сократ говорить тільки правду.

Платон

II. Апорії Зенона.

Великий внесок у розвиток теорії простору і часу, в дослідження проблем руху внесли Елейська школа (мешканці міста Елея в південній Італії). Філософія елеатів спиралася на висунуту Парменидом (вчителем Зенона) ідею про неможливість небуття. Будь-яка думка, стверджував Парменід, завжди є думка про існуючий. Тому неіснуючого немає. Немає і руху, так як світовий простір заповнене все цілком, а значить, світ єдиний, у ньому немає частин. Всяке безліч є обман почуттів. З цього випливає висновок про неможливість виникнення, знищення. За Парменід ніщо не виникає і не знищується. Цей філософ був першим, хто почав доводити висунуті мислителями положення

Елеати доводили свої припущення запереченням твердження, зворотного припущенням. Зенон пішов далі свого вчителя, що дало підставу Арістотелем бачити в Зенона родоначальника "діалектики" - цим терміном тоді називалося мистецтво досягати істини в суперечці шляхом з'ясування протиріч у судженні супротивника і шляхом знищення цих протиріч.

Ахілл і черепаха. Почнемо розгляд зеноновських труднощів з апорії про рух "Ахілл і черепаха". Ахілл - герой і, як би ми зараз сказали, видатний спортсмен. Черепаха, як відомо, одне з найбільш повільних тварин. Тим не менш, Зенон стверджував, що Ахілл програє черепасі змагання в бігу. Приймемо наступні умови. Нехай Ахілла відокремлює від фінішу відстань 1, а черепаху - ?. Рухатися Ахілл і черепаха починають одночасно. Нехай для визначеності Ахілл біжить в 2 рази швидше черепахи (тобто дуже повільно йде). Тоді, пробігши відстань ?, Ахілл виявить, що черепаха встигла за той же час подолати відрізок ? і раніше знаходиться попереду героя. Далі картина повторюється: пробігши четверту частину шляху, Ахілл побачить черепаху на одній восьмій частині шляху попереду себе і т. Д. Отже, всякий раз, коли Ахілл долає відділяє його від черепахи відстань, остання встигає поповзти від нього і раніше залишається попереду. Таким чином, Ахілл ніколи не наздожене черепаху. Почавши рух, Ахілл ніколи не зможе його завершити.

Знаючі математичний аналіз зазвичай вказують, що ряд сходиться до 1. Тому, мовляв, Ахілл подолає весь шлях за кінцевий проміжок часу і, безумовно, обжене черепаху. Але ось що пишуть з цього приводу Д. Гільберт і П. Бернайс:

"Зазвичай цей парадокс намагаються обійти міркуванням про те, що сума нескінченного числа цих тимчасових інтервалів все-таки сходиться і, таким чином, дає кінцевий проміжок часу. Однак це міркування абсолютно не торкається один істотно парадоксальний момент, а саме парадокс, який полягає в тому, що якась нескінченна послідовність наступних один за одним подій, послідовність, завершаемості якої ми не можемо собі навіть уявити (не тільки фізично, але хоча б в принципі), насправді все-таки повинна завершитися ".

Принципова незавершаемость даної послідовності полягає в тому, що в ній відсутня останній елемент. Всякий раз, вказавши черговий член послідовності, ми можемо вказати і наступний за ним. Цікаве зауваження, також вказує на парадоксальність ситуації, зустрічаємо у Г. Вейля:

"Уявімо собі обчислювальну машину, яка виконувала б першу операцію за ? хвилини, другу - за ? хвилини, третю - за ? хвилини і т. Д. Така машина могла б до кінця першої хвилини" перерахувати "весь натуральний ряд (написати, наприклад, рахункове число одиниць). Ясно, що робота над конструкцією такої машини приречена на невдачу. Так чому ж тіло, що вийшло з точки А, досягає кінця відрізка В, "відрахувавши" рахункове безліч точок А1, А2, ..., Аn, .. .? "

 Стародавні греки тим більше не могли собі уявити завершену нескінченну сукупність. Тому висновок Зенона про те, що рух через необхідність "перерахувати" нескінченне число точок не може закінчитися, ще тоді справив велике враження. На схожих аргументах ґрунтується Апорія про неможливість почати рух.

Дихотомія. Міркування дуже просте. Для того, щоб пройти весь шлях, рух тіло спочатку має пройти половину шляху, але щоб подолати цю половину, треба пройти половину половини і т. Д. До нескінченності. Іншими словами, при тих же умовах, що і в попередньому випадку, ми будемо мати справу з перевернутим поруч точок: (?) n, ..., (?) 3, (?) 2, (?) 1. Якщо у випадку апорії Ахілл і черепаха відповідний ряд не мав останньої крапки, то в Дихотомії цей ряд не має першої точки. Отже, робить висновок Зенон, рух не може розпочатися. А оскільки рух не тільки не може закінчитися, але й не може початися, руху немає. Існує легенда, про яку згадує А. С. Пушкін у вірші «Рух»:

Движенья немає, сказав мудрець брадатий.

Інший змовчав і став перед ним ходити.

Сильніше б не міг заперечити;

Хвалили все відповідь хитромудрий.

Але, панове, кумедний випадок цей

Інший приклад на пам'ять мені призводить:

Адже кожен день перед нами сонце ходить,

Проте ж прав впертий Галілей.

Дійсно, згідно з легендою, один з філософів так і "заперечив" Зенону. Зенон велів бити його палицями: адже він не збирався заперечувати чуттєве сприйняття руху. Він говорив про його негаданій, про те, що суворе роздум про рух призводить до нерозв'язних протиріч. Тому, якщо ми хочемо позбавитися від апорії в надії, що це взагалі можливо (а Зенон якраз вважав, що неможливо), то ми повинні вдаватися до теоретичних аргументів, а не посилатися на чуттєву очевидність. Розглянемо одне цікаве теоретичне заперечення, яке було висунуто проти апорії Ахілл і черепаха.

 "Уявімо собі, що по дорозі в одному напрямку рухаються прудконогий Ахілл і дві черепахи, з яких Черепаха-1 дещо ближче до Ахілла, ніж Черепаха-2. Щоб показати, що Ахілл не зможе перегнати Черепаху-1, розмірковуємо наступним чином. За те час, як Ахілл пробіжить розділяє їх спочатку відстань, Черепаха-1 встигне поповзти трохи вперед, поки Ахілл буде пробігати цей новий відрізок, вона знову-таки просунеться далі, і таке становище буде нескінченно повторюватися. Ахілл буде все ближче і ближче наближатися до Черепахе- 1, але ніколи не зможе її перегнати. Такий висновок, звичайно ж, суперечить нашому досвіду, але логічного протиріччя у нас поки немає.

Нехай, проте, Ахілл прийметься наздоганяти більш далеку Черепаху-2, не звертаючи ніякої уваги на ближню. Той же спосіб міркування дозволяє стверджувати, що Ахілл зуміє впритул наблизитися до Черепаху-2, але це означає, що він пережене Черепаху-1. Тепер ми приходимо вже до логічного протиріччя ".

Тут важко щось заперечити, якщо залишатися в полоні образних уявлень. Необхідно виявити формальну суть справи, що дозволить перевести дискусію в русло строгих міркувань. Першу апорію можна звести до наступних трьох тверджень:

1. Який би не був відрізок [AB], що рухається від А до В тіло повинно побувати у всіх точках відрізка [AB].

2. Будь відрізок [AB] можна представити у вигляді нескінченної послідовності відбувають за довжиною відрізків [A a1] [a1 a2] [a2 a3] ... [an an + 1].

3. Оскільки нескінченна послідовність аi (1 ? i Проілюструвати отриманий висновок можна по-різному. Найбільш відома ілюстрація - "найшвидше ніколи не зможе наздогнати саме повільне" - була розглянута вище. Але можна запропонувати більш радикальну картину, в якій обливався потом Ахілл (що вийшов з пункту А) безуспішно намагається наздогнати черепаху, спокійнісінько гріються на Сонці (в пункті В) і навіть не думає втікати. Суть апорії від цього не змінюється. Ілюстрацією тоді стане куди більш гостре висловлювання - "найшвидше ніколи не зможе наздогнати нерухоме". Якщо перша ілюстрація парадоксальна, то друга - тим більше.

При цьому ніде не стверджується, що убуваючі послідовності відрізків aiдля [AB] і ai 'для [A' B '] повинні бути однакові. Навпаки, якщо відрізки [AB] і [A 'B'] нерівні по довжині між собою, їх розбиття на нескінченні послідовності відбувають відрізків виявляться різними. У наведеному міркуванні Ахілла відокремлює від черепах 1 і 2 різні відстані. Тому ми маємо два різних відрізка [A B1] і [AB] з загальною початковою точкою А. Нерівні відрізки [A B1] і [AB] породжують різні нескінченні послідовності точок, і неприпустимо використовувати одну з них замість іншої. Тим часом саме ця "незаконна" операція застосовується в аргументах про двох черепахам.

Якщо не змішувати ілюстрації та істота апорії, то можна стверджувати, що апорії Ахілл і Дихотомія симетричні по відношенню один до одного. Справді, Дихотомія також водиться до наступних трьох тверджень:

1. Який би не був відрізок [AB], що рухається від А до В тіло повинно побувати у всіх точках відрізка [AB].

2. Будь відрізок [AB] можна представити у вигляді нескінченної послідовності відбувають за довжиною відрізків [bn + 1 bn] ... [b3 b2] [b2 b1] ... [b1 B].

3. Оскільки нескінченна послідовність biне має першої точки, неможливо побувати в кожній з точок цієї послідовності.

Таким чином, Апорія Ахілл грунтується на тезі про неможливість завершити рух через необхідність відвідати послідовно кожну з точок нескінченного ряду, впорядкованого за типом ? (т. Е. За типом порядку на натуральних числах), який не має останнього елемента. У свою чергу Дихотомія стверджує неможливість початку руху через наявність нескінченного ряду точок, впорядкованих за типом ? * (так впорядковані цілі від'ємні числа), який не має першого елемента.

Проаналізувавши більш ретельно дві наведені апорії, ми виявимо, що обидві вони спираються на припущення про безперервність простору і часу в сенсі їх нескінченної подільності. Таке припущення безперервності відрізняється від сучасного, але мало місце в давнину. Без допущення тези про те, що будь просторовий або часовий інтервал можна розділити на менші за довжиною інтервали, обидві апорії руйнуються. Зенон прекрасно це розумів. Тому він наводить аргумент, що виходить з прийняття допущення про дискретності простору і часу, т. Е. Допущення про існування елементарних, далі неподільних, довжин і часів.

Стадій. Отже, припустимо існування неподільних відрізків простору і інтервалів часу. Розглянемо наступну схему, на якій кожна клітина таблиці представляє неподільний блок простору. Є три ряду об'єктів А, В і С, що займають по три блоки простору, причому перший ряд залишається нерухомим, а ряди В і С починають одночасний рух у напрямку, вказаному стрілками:

 A1 A2 A3

 В3 В2 В1 >

 < С1 С2 С3

 Початкове положення

 А1 А2 А3

 В3 В2 В1

 С1 С2 С3

 Кінцеве положення

Ряд С, стверджує Зенон, за неподільним момент часу пройшов одне неподільне місце нерухомого ряду А (місце А1). Однак за той же самий час ряд З пройшов два місця ряду В (блоки В2 і В3). Згідно Зенону, це суперечливо, т. К. Мав зустрітися момент проходження блоку В2, зображений на наступною схемою:

 В3 В2 В1

 С1 С2 С3

 Проміжне становище

Але де в цей проміжне положення знаходився ряд А? Для нього просто не залишається відповідного місця. Залишається або визнати, що руху немає, або погодитися з тим, що ряд А ділимо не так на три, а на більшу кількість місць. Але в останньому випадку ми знову повертаємося до припущення про нескінченну подільність простору і часу, знову потрапляючи в глухий кут апорії Дихотомія і Ахілл. При будь-якому результаті рух виявляється неможливим.

Основна думка апорії Зенона Елейського полягає в тому, що дискретність, множинність і рух характеризують лише чуттєву картину світу, але вона свідомо недостовірна. Справжня картина світу осягається тільки мисленням і теоретичним дослідженням.

Якщо не вникати в глибину апорії, можна ставитися до них зверхньо і дивуватися, як це Зенон не додумався до очевидних речей. Але про Зенона не перестають сперечатися, а історія науки показує, що якщо про щось довго сперечаються, то це, як правило, не дарма. Безсумнівно, роздуми над апоріями допомогли створити математичний аналіз, відіграли певну роль у фізичній революції ХХ століття і, цілком можливо, що у фізиці XXI століття їх значення буде ще більш істотним.

III. Парадокс брехуна.

Вже майже дві з половиною тисячі років однією з логічних загадок, мучать людей, що намагаються гармонізувати підстави свого мислення, є «парадокс брехуна». Незважаючи на те, що в даний час відомі десятки семантичних, логічних і математичних парадоксів і апорії, «парадокс брехуна» займає особливе місце:

- По-перше, він є найбільш доступним з безлічі парадоксів і, в силу цього, найбільш відомим з них.

- По-друге, він первинний по відношенню до багатьох інших парадоксів і, отже, останні непереборні, поки не дозволений «парадокс брехуна».

Найпростішим варіантом парадоксу брехуна є вислів "Я брешу". Якщо висловлення помилкове, то мовець сказав правду, і значить, сказане ним не є брехнею. Якщо ж висловлювання не є хибним, а мовець стверджує, що воно хибне, то це його висловлювання брехливо. Виявляється, таким чином, що, якщо опонент бреше, він говорить правду, і навпаки.

«Парадокс брехуна» має і ряд інших схожих один на одного формулювань. Нижче наведені лише деякі з них:

- «Все крітяни - брехуни» (тезу, висловлену критянином Епіменід);

- «Я висловлюю зараз помилкове пропозиція»;

- «Все, що X стверджує в проміжок часу Р - брехня»;

- «Це твердження хибно»;

- «Це твердження не належить до класу істинних висловлювань".

Хоча наведений список далеко не повний, він дає деяке уявлення про суть проблеми. Логічна проблема полягає в тому, що припущення про хибність наведених висловлювань веде до їх істинності і навпаки.

Стародавніх греків дуже займало, яким чином, здавалося б, цілком осмислене твердження не може бути ні істинним, ні хибним без того, щоб при цьому не виникло протиріччя. Філософ Хрізіпп написав шість трактатів про парадокс брехуна, жоден з яких не зберігся до нашого часу. Ходить легенда, що якийсь Філет, зневірившись вирішити цей парадокс, покінчив із собою. Кажуть також, що один з відомих давньогрецьких логіків, Діодор Кронос, уже на схилі років дав обітницю не приймати їжу до тих пір, поки не знайде рішення «брехуна», і незабаром помер, так нічого і не добившись.

У середні століття цей парадокс був віднесений до так званих нерозв'язним пропозицій і зробився об'єктом систематичного аналізу. Тепер «Брехун» - цей типовий колишній софізм - нерідко іменується королем логічних парадоксів. Йому присвячена велика наукова література. І тим не менш, як і у випадку багатьох інших парадоксів, залишається не цілком ясним, які саме проблеми ховаються за ним і як слід позбавлятися від нього.

Розглянемо першу формулювання: приписуване Епіменід твердження логічно суперечливо, якщо припустити, що брехуни завжди брешуть, а нелжеци завжди говорять правду. При такому припущенні твердження "Все крітяни брехуни" не може бути істинним, бо тоді Епіменід був би брехуном і, отже, те, що він стверджує, було б неправдою. Але це твердження не може бути і помилковим, бо це означало б, що крітяни говорять тільки правду і, отже, те, що сказав Епіменід, також істинно.

Історія логіки знає безліч спроб і підходів до вирішення даного парадоксу. Одна з перших - спроба вистави "парадоксу брехуна" як софізму. Суть такого подання в тому, що в реальному житті жоден брехун не говорить тільки брехня. Отже, парадокс - софізм, заснований на помилковій посилці.

Але таке пояснення прийнятно лише для першої (ранньої) формулювання парадоксу, але не "знімає" парадокс в його більш точних сучасних формулюваннях. Існує кілька рішень парадоксу брехуна в його сучасному формулюванні. Яке з рішень правильне? Всі правильні. Як таке може бути? Тому, що парадокс - це міркування, провідне до протиріччя. Позбутися від протиріччя можна різними способами. Всі вони зводяться до заміни деякого сумнівного шматочка міркувань на більш правильний. У результаті виходить міркування, аналогічне раніше, але без видимих ??протиріч. Крім того, різні рішення наводяться через різні види логік.

Замінювати можна різні шматочки. У кожному випадку вийдуть різні рішення, а яке з них віддати перевагу - справа смаку. Одному самим сумнівним видається один шматочок, іншому - інший. Іноді найперший сумнівний шматочок помітний і очевидний.

Мабуть, найпоширенішим варіантом вирішення парадоксу брехуна є поділ мови і метамови:

Зараз «Брехун» зазвичай вважається характерним прикладом тих труднощів, до яких веде змішання двох мов: мови, на якому говориться про що лежить поза його дійсності, і мови, якою говорять про найперший мовою.

У повсякденній мові немає відмінності між цими рівнями: і про дійсність, і про мову ми говоримо однією і тією ж мовою. Наприклад, людина, рідною мовою якого є російська мова, не бачить ніякої особливої ??різниці між твердженнями: «Скло прозоро» і «Вірно, що скло прозоро», хоча одне з них говорить про скло, а інше - про висловлювання щодо скла.

Якби у когось виникла думка про необхідність говорити про світ на одній мові, а про властивості цієї мови - на іншому, він міг би скористатися двома різними існуючими мовами, допустимо російською та англійською. Замість того, щоб просто сказати: «Корова - це іменник», сказав би «Корова is a noun», а замість: «Твердження« Скло не прозоре »- хибно» вимовив би «The assertion« Скло не прозоре »is false». При такому використанні двох різних мов сказане про світ ясно відрізнялося б від сказаного про мову, за допомогою якого говорять про світ. Справді, перші висловлення відносилися б до російської мови, в той час як другі - до англійської.

Якби далі нашому знавцю мов захотілося висловитися з приводу якихось обставин, що стосуються вже англійської мови, він міг би скористатися ще однією мовою. Припустимо німецьким. Для розмови про це останньому можна було б удатися, покладемо, до іспанської мови і т.д.

Виходить, таким чином, своєрідна драбинка, або ієрархія, мов, кожен з яких використовується для цілком певної мети: на першому говорять про предметному світі, на другому - про це перший мовою, на третьому - про другу мову і т.д. Таке розмежування мов по області їх застосування - рідкісне явище у звичайному житті. Але в науках, що спеціально займаються, подібно логіці, мовами, воно іноді виявляється досить корисним. Мова, якою міркують про світ, звичайно називають предметною мовою. Мова, що використовується для опису предметної мови, іменують метамовою.

Ясно, що, якщо мова і метамова розмежовуються зазначеним чином, твердження «Я брешу» уже не може бути сформульоване. Воно говорить про хибність того, що сказано російською мовою, і, значить, відноситься до метамови і має бути висловлено англійською мовою. Саме воно повинно звучати так: «Everything I speak in Russian is false» («Все сказане мною російською хибно»); в цьому англійському затвердження нічого не говориться про нього самого, і ніякого парадоксу не виникає.

Розрізнення мови і метамови дозволяє усунути парадокс «брехуна». Тим самим з'являється можливість коректно, без протиріччя визначити класичне поняття істини: істинним є вислів, відповідне описуваної їм дійсності.

Поняття істини, як і всі інші семантичні поняття, має відносний характер: воно завжди може бути віднесено до певної мови.

Як показав польський логік АТарскій, класичне визначення істини повинне формулюватися в мові більш широкому, ніж та мова, для якого воно призначене. Іншими словами, якщо ми хочемо вказати, що означає зворот «висловлювання, істинне в даній мові», потрібно, крім виразів цієї мови, користуватися також висловами, яких у ньому немає.

Тарський ввів поняття семантично замкнутого мови. Така мова включає, крім своїх виразів, їх імена, а також, що важливо підкреслити, висловлювання про істинність формульованих в ньому пропозицій. Межі між мовою і метамовою в семантично замкнутому мові не існує. Засоби його настільки багаті, що дозволяють не тільки щось стверджувати про позамовною реальності, але й оцінювати істинність таких тверджень. Цих коштів достатньо, зокрема, для того, щоб відтворити в мові антиномію «Брехун». Семантично замкнутий мова виявляється, таким чином, внутрішньо суперечливим. Кожен природна мова є, очевидно, семантично замкнутим.

Єдино прийнятний шлях для усунення антиномії, а значить, і внутрішньої суперечливості, згідно Тарського, - відмова від вживання семантично замкнутого мови. Цей шлях прийнятний, звичайно, тільки в разі штучних, формалізованих мов, що допускають ясне підрозділ на мову і метамова. У природних же мовах з їх неясною структурою і можливістю говорити про все на одному і тому ж мовою такий підхід не дуже реальний. Ставити питання про внутрішньої несуперечності цих мов не має сенсу. Їх багаті виразні можливості мають і свою зворотну сторону - парадокси.

Існують і інші рішення парадоксу брехуна, наприклад, рішення Оккама і рішення Бурідана:

Отже, існують висловлювання, говорять про свою власну істинність або хибність. Ідея, що такого роду висловлювання не є осмисленими, дуже стара. Її відстоював ще давньогрецький логік Хрисипп. У середні століття англійський філософ і логік У. Оккам заявляв, що твердження «Усяке висловлення помилкове» безглуздо, оскільки воно говорить в числі іншого і про свою власну хибність. З цього твердження прямо випливає протиріччя. Якщо всяке висловлення помилкове, то це відноситься і до самого даного твердженням; але те, що воно помилкове, означає, що не всяке висловлювання є хибним. Аналогічно йде справа і з твердженням «Усяке висловлення правдиве». Воно також має бути віднесено до безглуздим і також веде до протиріччя: якщо кожне висловлювання істинно, то правдивим є і заперечення самого цього висловлення, тобто вислів, що не всяке висловлювання істинно.

Чому, однак, висловлення не може осмислено говорити про свою власну істинність або хибність? Уже сучасник Оккама, французький філософ XIV в. Ж. Буридан, не був згоден з його рішенням. З точки зору звичайних уявлень про безглуздість, вирази типу «Я брешу», «Усяке висловлення правдиве (хибне)» і т.п. цілком осмислені. Про що можна подумати, про те можна висловитися, - такий загальний принцип Бурідана. Людина може думати про істинність твердження, яке він вимовляє, значить, він може і висловитися про це. Не всі твердження, що говорять про самих себе, відносяться до безглуздим. Наприклад, твердження «Ця пропозиція написано по-російськи» є істинним, а твердження «У цій пропозиції десять слів» ложно. І обидва вони зовсім осмислені. Якщо допускається, що твердження може говорити і про самого себе, то чому воно не здатне зі змістом говорити і про таку свою властивість, як істинність?

Сам Буридан вважав вислів «Я брешу" не безглуздим, а помилковим. Він обгрунтовував це так. Коли людина стверджує якусь пропозицію, він стверджує тим самим, що воно істинне. Якщо ж пропозиція говорить про себе, що воно саме є хибним, то воно являє собою тільки скорочену формулювання більш складного вираження, стверджує одночасно і свою істинність, і свою хибність. Цей вираз суперечливо і, отже, помилково. Але воно не безглуздо.

Аргументація Бурідана і зараз іноді вважається переконливою.

Є й інші напрямки критики того рішення парадоксу «Брехун», яке було в деталях розвинене Тарським. Чи справді в семантично замкнутих мовами - а такі адже всі природні мови - немає ніякого протиотрути проти парадоксів цього типу?

Якби це було так, то поняття істини можна було б визначити строгим чином тільки в формалізованих мовах. Тільки в них вдається розмежувати предметний мова, якою міркують про навколишній світ, і метамова, на якому говорять про це мовою. Ця ієрархія мов будується за зразком засвоєння іноземної мови за допомогою рідного. Вивчення такої ієрархії призвело до багатьох цікавих висновків, і в певних випадках вона істотна. Але її немає в природній мові. Чи дискредитує це його? І якщо так, то в якій саме мірі? Адже в ньому поняття істини все-таки вживається, і звичайно без всяких ускладнень. Чи є введення ієрархії єдиним способом виключення парадоксів, подібних «Брехунові?»

У 30-ті роки відповіді на ці питання представлялися безсумнівно ствердними. Однак зараз колишньої одностайності вже немає, хоча традиція усувати парадокси даного типу шляхом «розшаровування» мови залишається панівною.

Останнім часом все більше уваги привертають егоцентричні вирази. У них зустрічаються слова, подібні «я», «це», «тут», «тепер», і їх істинність залежить від того, коли, ким, де вони вживаються. У затвердження «Це висловлювання є хибним» зустрічається слово «це». До якого саме об'єкту воно належить? «Брехун» може говорити про те, що слово «це» не відноситься до сенсу даного твердження. Але тоді до чого воно відноситься, що позначає? І чому даний сенс не може бути все-таки позначений словом «це»?

Не вдаючись у деталі, варто відзначити тільки, що в контексті аналізу егоцентричних виразів «Брехун» наповнюється зовсім іншим змістом, ніж раніше. Виявляється, він вже не застерігає від змішування мови і метамови, а вказує на ризики, пов'язані з неправильним вживанням слова «це» і подібних йому егоцентричних слів.

Проблеми, що зв'язували протягом століть з «Брехуном», радикально змінювалися залежно від того, чи розглядалося він як приклад двозначності, або ж як вираження, зовні видається як зразок змішання мови і метамови, або ж, нарешті, як типовий приклад невірного вживання егоцентричних виразів. І немає впевненості в тому, що з цим парадоксом не опиняться зв'язаними в майбутньому й інші проблеми.

Відомий сучасний фінський логік і філософ Г. фон Врігт писав у своїй роботі, присвяченій «Брехунові», що даний парадокс ні в якому разі не повинен розумітися як локальне, ізольоване перешкоду, переборні одним винахідливим рухом думки. «Брехун» торкається багатьох найбільш важливі теми логіки і семантики. Це і визначення істини, і тлумачення суперечності і докази, і ціла серія важливих відмінностей: між пропозицією і виражається їм думкою, між вживанням вираження і його згадкою, між змістом імені та позначається їм об'єктом.

"Парадокс брехуна" (як це не дивно), вкрай близький за своєю логічною формою і характером логічної помилки багатьом іншим "парадоксів", які прийнято вважати цілком самостійними. До їх числа відноситься і знаменитий "парадокс Рассела".

III. Парадокс Рассела

Самим знаменитим з відкритих вже в минулому столітті парадоксів є антиномія, виявлена ??Б. Расселом і повідомлена ним у листі до Г. Фергі. Рассел відкрив свій парадокс, що відноситься до області логіки і математики, в 1902р. Цю ж антиномію обговорювали одночасно в Геттінгені німецькі математики 3. Цермело (1871- 1953) і Д. Гільберт. Ідея носилася в повітрі, і її опублікування справило враження бомби, що розірвалася. Цей парадокс викликав в математиці, на думку Гільберта, ефект повної катастрофи. Нависла загроза над найпростішими і важливими логічними методами, самими звичайними і корисними поняттями. Виявилося, що в теорії множин Кантора, яка із захопленням була прийнята більшістю математиків, є дивні суперечності, від яких неможливо, або, принаймні, дуже важко, позбутися. Парадокс Рассела (точніше, Рассела - Цермело) особливо яскраво виявив ці протиріччя. Над його дозволом, так само, як і над вирішенням інших знайдених парадоксів канторовской теорії множин, трудилися найвидатніші математики тих років.

Відразу ж стало очевидним, що ні в логіці, ні в математиці за всю довгу історію їх існування не було вироблено рішуче нічого, що могло б послужити основою для усунення антиномії. Явно виявився необхідним відхід від звичних способів мислення. Але з якого місця і в якому напрямку? Наскільки радикальним повинен був стати відмова від усталених способів теоретизування? З подальшим дослідженням антиномії переконання в необхідності принципово нового підходу неухильно зростала. Через півстоліття після її відкриття фахівці з підстав логіки і математики Л. Френкель і І.Бар-Хиллел вже без всяких застережень стверджували: «Ми вважаємо, що будь-які спроби вийти з положення за допомогою традиційних (тобто мали ходіння до XX сторіччя) способів мислення , досі незмінно провалюються, свідомо недостатні для цієї мети ». Сучасний американський логік X. Каррі писав трохи пізніше про це парадоксі: «У термінах логіки, відомої в XIX ст., Становище просто не піддавалося поясненню, хоча, звичайно, в наш освічений вік можуть знайтися люди, які побачать (або подумають, що побачать ), в чому ж полягає помилка ».

Парадокс Рассела в первісній його формі пов'язаний з поняттям множини, або класу. Можна говорити про множини різних об'єктів, наприклад, про безліч всіх людей або про безліч натуральних чисел. Елементом першого безлічі буде всякий окрема людина, елементом другого - кожне натуральне число. Припустимо також самі безлічі розглядати як деякі об'єкти і говорити про множини множин. Можна ввести навіть такі поняття, як безліч всіх множин або безліч всіх понять. Щодо будь-якого довільно взятого безлічі видається осмисленим запитати, є воно своїм власним елементом чи ні. Множини, що не містять себе в якості елемента, назвемо звичайними. Наприклад, безліч всіх людей не є людиною, так само як безліч атомів - це не атом. Незвичайними будуть множини, є власними елементами. Наприклад, безліч, що об'єднує всі множини, являє собою безліч і, отже, містить само себе в якості елемента.

Розглянемо тепер безліч всіх звичайних множин. Оскільки воно безліч, про нього теж можна питати, звичайне воно чи незвичайне. Відповідь, однак, виявляється бентежить. Якщо воно звичайне, то, згідно своїм визначенням, має містити само себе в якості елемента, оскільки містить всі звичайні множини. Але це означає, що воно є незвичайним безліччю. Допущення, що наше безліч являє собою звичайне безліч, приводить, таким чином, до протиріччя. Значить, воно не може бути звичайним. З іншого боку, воно не може бути також незвичайним: незвичайне безліч містить само себе в якості елемента, а елементами нашого безлічі є тільки звичайні множини. У підсумку приходимо до висновку, що безліч всіх звичайних множин не може бути ні звичайним, ні незвичайним безліччю.

Отже, безліч всіх множин, які не є власними елементами, є свій елемент в тому і тільки тому випадку, коли воно не є таким елементом. Це явне протиріччя. І отримано воно на основі самих правдоподібних припущень і за допомогою безперечних ніби кроків. Протиріччя говорить про те, що такого безлічі просто не існує. Але чому воно не може існувати? Адже воно складається з об'єктів, що задовольняють чітко певній умові, причому саме умова не здається якимось винятковим або неясним. Якщо настільки просто і ясно заданий безліч не може існувати, то в чому, власне, полягає відмінність між можливими і неможливими множинами? Висновок про не існування розглянутого безлічі звучить несподівано і вселяє занепокоєння. Він робить наше загальне поняття безлічі аморфним і хаотичним, і немає гарантії, що воно не здатне породити якісь нові парадокси.

Парадокс Рассела чудовий своєю крайньою спільністю. Для його побудови не потрібні які-небудь складні технічні поняття, як у випадку деяких інших парадоксів, досить понять «безліч» і «елемент множини». Але ця простота якраз і говорить про його фундаментальності: він зачіпає найглибші підстави наших міркувань про множини, оскільки говорить не про якихось спеціальних випадках, а про множини взагалі.

Інші варіанти парадоксу Парадокс Рассела не має специфічно математичного характеру. У ньому використовується поняття множини, але не зачіпаються якісь особливі, пов'язані саме з математикою його властивості.

Це стає очевидним, якщо переформулювати парадокс в чисто логічних термінах. Про кожному властивості можна, цілком ймовірно, питати, застосовні воно до самого себе чи ні. Властивість бути гарячим, наприклад, непріложімо до самого себе, оскільки сама не є палким; властивість бути конкретним теж не відноситься до самого себе, бо це абстрактне властивість. Але ось властивість бути абстрактним, будучи абстрактним, застосовні до самого себе. Назвемо ці непридатні до самих себе властивості непріложіми. Чи застосовно властивість бути незастосовні до самого себе? Виявляється, не приложимость є непріложіми тільки в тому випадку, якщо вона не є такою. Це, звичайно, парадоксально. Логічна, що стосується властивостей різновид антиномії Рассела, настільки ж парадоксальна, як і математична, що відноситься до множинам, її різновид.

Рассел запропонував також наступний популярний варіант відкритого ним парадоксу. Уявімо, що рада одного села так визначив обов'язки цирульника: голити всіх чоловіків села, котрі не голяться самі, і тільки цих чоловіків. Чи повинен він голити самого себе? Якщо так, то він буде ставитися до тих, хто голиться сам, а тих, хто голиться сам, він не повинен голити. Якщо ні, він буде належати до тих, хто не голиться сам, і, значить, він повинен буде голити себе. Ми приходимо, таким чином, до висновку, що цей брадобрей голить себе в тому і тільки тому випадку, коли він не голить себе. Це, зрозуміло, неможливо.

Міркування про брадобрей спирається на припущення, що такий брадобрей існує. Отримане протиріччя означає, що це допущення помилково, і немає такого жителя села, який голив би всіх тих і лише тих її жителів, котрі не голяться самі. Обов'язки брадобрея Чи не здаються на перший погляд суперечливими, тому висновок, що його не може бути, звучить дещо несподівано. Але цей висновок не є все-таки парадоксальним. Умова, якому повинен задовольняти сільський брадобрей, насправді внутрішньо суперечливе і, отже, нездійсненно. Подібного перукаря не може бути в селі з тієї ж причини, з якої в ній немає людини, яка була б старше самого себе або який народився б до свого народження.

Міркування про брадобрей може бути названо псевдопарадокси. За своїм ходу воно строго аналогічно парадоксу Рассела і цим цікаво. Але воно все-таки не є справжнім парадоксом.

Інший приклад такого ж псевдопарадокси являє собою відоме міркування про каталог. Якась бібліотека вирішила скласти бібліографічний каталог, в який входили б усі ті і тільки ті бібліографічні каталоги, які не містять посилання на самих себе. Чи повинен такий каталог включати посилання на себе? Неважко показати, що ідея створення такого каталогу нездійсненна; він просто не може існувати, оскільки повинен одночасно і включати посилання на себе і не включати.

Цікаво відзначити, що складання каталогу всіх каталогів, що не містять посилання на самих себе, можна представити як нескінченний, ніколи не завершується процес. Припустимо, що в якийсь момент був складений каталог, скажімо К1, що включає, всі відмінні від нього каталоги, що не містять посилання на себе. Зі створенням К1 з'явився ще один каталог, який не містить посилання на себе. Так як завдання полягає в тому, щоб скласти повний каталог всіх каталогів, чи не упоминающих себе, то очевидно, що К1 не є її вирішенням. Він не згадує один з таких каталогів - самого себе. Включивши в К1 це згадка про нього самого, отримаємо каталог К2. У ньому згадується К1, але не сам К2. Додавши до К2 така згадка, отримаємо КЗ, який знову-таки не повний через те, що не згадує самого себе. І далі без кінця.

Можна згадати ще один логічний парадокс - "парадокс голландських мерів", схожий з парадоксом брадобрея. Кожен муніципалітет в Голландії повинен мати мера, і два різних муніципалітету не можуть мати одного і того ж мера. Іноді виявляється, що мер не проживає у своєму муніципалітеті. Припустимо, що виданий закон, згідно з яким деяка територія S виділяється виключно для таких мерів, які не живуть у своїх муніципалітетах, і велить усім цим мерам оселитися на цій території. Припустимо, далі, що цих мерів виявилося стільки, що територія S сама утворює окремий муніципалітет. Де повинен проживати мер цього Особливої ??Муніципалітету S? Просте міркування показує, що якщо мер Особливої ??Муніципалітету проживає на території S, то він не повинен проживати там, і навпаки, якщо він не проживає на території, то він якраз і повинен жити на цій території. Те, що цей парадокс аналогічний парадоксу брадобрея, абсолютно очевидно.

Рассел одним з перших запропонував варіант вирішення "свого" парадоксу. Запропоноване ним рішення, отримало назву "теорії типів": безліч (клас) і його елементи відносяться до різних логічним типами, тип безлічі вище типу його елементів, що усуває парадокс Рассела (теорія типів був використана Расселом і для вирішення знаменитого парадоксу "Брехун") . Багато математики, однак, не прийняли расселовского рішення, вважаючи, що воно накладає дуже жорсткі обмеження на математичні твердження.

Аналогічно йде справа і з іншими логічними парадоксами. «Антиномии логіки, - пише фон Врігг, - спантеличили з моменту свого відкриття і, ймовірно, будуть спантеличувати нас завжди. Ми повинні, я думаю, розглядати їх не стільки як проблеми, які очікують рішення, скільки як невичерпне сирий матеріал для роздумів. Вони важливі, оскільки роздум про них зачіпає найбільш фундаментальні питання всієї логіки, а значить, і всього мислення ».

Список використаної літератури:

1 Френкель А.А., Бар-Хиллел І. "Підстави теорії множин"

2. B.Russell. "Introduction to mathematical philosophy".

3. Russell B. "The principles of mathematics".

4. Задоя А.І. "Введення в логіку"

5. Гільберт Д. - Аккерман В., "Основи теоретичної логіки".

6. Лакофф Дж. "Прагматика у природній логіці. Нове в лінгвістиці".

7. Якобсон Р. "Погляди Боаса на граматичне значення."

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка