На головну    

 Кількісні методи в управлінні - Економіко-математичне моделювання

Зміст.

Содержание... 2

1. Оптимальне виробниче планування ... ... 3

1.1 Лінійна задача виробничого планування ... ... 3

1.2 Двоїста задача лінійного програмування ... ... 4

1.3 Завдання про комплектному плане... 5

1.4 Оптимальний розподіл инвестиций... 6

2. Аналіз фінансових операцій та інструментів ... ... 9

2.1 Прийняття рішень в умовах невизначеності ... ... 9

2.2 Аналіз прибутковості та ризикованості фінансових операцій ... 11

2.3 Статистичний аналіз грошових потоків ... ... 13

2.4 Завдання формування оптимального портфеля цінних паперів ... 17

3. Моделі співпраці і конкуренції ... ... 19

3.1 Співпраця та конкуренція двох фірм на ринку одного товару ... 19

3.2 Кооперативна біматричних гра як модель співпраці та конкуренції двох учасників. 20

3.3 Матрична гра як модель конкуренції і співробітництва ... .. 22

4. Соціально-економічна структура суспільства ... ... 24

4.1 Модель розподілу багатства в суспільстві ... ... 24

4.2 Розподіл суспільства по одержуваному доходу ... ... 26 1. Оптимальне виробниче планування. 1.1 Лінійна задача виробничого планування.

48 30 29 жовтня - питомі прибутку

норми витрати - 3 2 4 3 198

2 3 1 2 96 - запаси ресурсів

6 5 1 0 228

Позначимо x1, x2, x3, x4 - число одиниць 1-й, 2-й, 3-й, 4-й продукції, які плануємо провести. При цьому можна використовувати лише наявні запаси ресурсів. Метою є отримання максимального прибутку. Отримуємо наступну математичну модель оптимального планування:

P (x1, x2, x3, x4) = 48 * x1 + 30 * x2 + 29 * x3 + 10 * x4 -> max

3 * x1 + 2 * x2 + 4 * x3 + 3 * x4 <= 198

2 * x1 + 3 * x2 + 1 * x3 + 2 * x4 <= 96

6 * x1 + 5 * x2 + 1 * x3 + 0 * x4 <= 228

x1, x2, x3, x4> = 0

Для вирішення отриманої завдання в кожне нерівність додамо неотрицательную змінну. Після цієї нерівності перетворяться на рівності, в силу цього додаються змінні називаються балансовими. Виходить завдання ЛП на максимум, всі змінні невід'ємні, всі обмеження є рівності, і є базисний набір змінних: x5 - в 1-му рівність, x6 - у 2-му і x7 - в 3-му.

P (x1, x2, x3, x4) = 48 * x1 + 30 * x2 + 29 * x3 + 10 * x4 + 0 * x5 + 0 * x6 + 0 * x7 -> max

3 * x1 + 2 * x2 + 4 * x3 + 3 * x4 + x5 = 198

2 * x1 + 3 * x2 + 1 * x3 + 2 * x4 + x6 = 96

6 * x1 + 5 * x2 + 1 * x3 + 0 * x4 + x7 = 228

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7> = 0

 48 30 29 10 0 0 0

 H i / qis

 З Б Н Х1 Х2 Х3 Х4 ??Х5 Х6 Х7

 0 Х5 198 3 2 4 3 1 0 0 66

 0 Х6 96 2 3 1 2 0 1 0 48

 0 Х7 228 6 5 1 0 0 0 1 38

 Р 0 -48 -30 -29 -10 0 0 0

 0 Х5 84 0 -0.5 3.5 3 1 0 -0.5 24

 0 Х6 20 0 1.33 0.67 2 0 1 -0.33 30

 48 Х1 38 1 0.83 0.17 0 0 0 0.17 228

 Р 1824 0 10 -21 -10 0 0 8

 29 Х3 24 0 -0.14 1 0.86 0.29 0 -0.14

 0 Х6 20 0 1.43 0 1.43 -0.19 1 -0.24

 48 Х1 34 1 0.86 0 -0.14 -0.05 0 0.19

 Р 2328 0 7 0 8 6 0 5

Так як всі оціночні коефіцієнти невід'ємні, то отримано оптимальне рішення. Оптимальне рішення: x1 = 34, x2 = 0, x3 = 24, x4 = 0, x5 = 0, x6 = 20, x7 = 0. Максимум цільової функції Pmax = 2328.

Ресурси 1 і 3 є «вузьким місцем» виробництва, так як при виконанні оптимального плану вони використовуються повністю (без залишку) .1.2 Двоїста задача лінійного програмування.

вихідна задача двоїста задача

CX -> max YB -> min

AX <= B, X> = 0 YA> = C, Y> = 0

P = 48 * x1 + 30 * x2 + 29 * x3 + 10 * x4 -> max S = 198 * y1 + 96 * y2 + 228 * y3 -> min

3 * x1 + 2 * x2 + 4 * x3 + 3 * x4 <= 198 3 * y1 + 2 * y2 + 6 * y3> = 48

2 * x1 + 3 * x2 + 1 * x3 + 2 * x4 <= 96 2 * y1 + 3 * y2 + 5 * y3> = 30

6 * x1 + 5 * x2 + 1 * x3 + 0 * x4 <= 228 4 * y1 + 1 * y2 + 1 * y3> = 29

x1, x2, x3, x4> = 0 3 * y1 + 2 * y2 + 0 * y3> = 10

y1, y2, y3> = 0

Перший спосіб:

За першою теоремою двоїстості, оптимальні рішення двоїстої задачі (y1, y2, y3) рівні оціночними коефіцієнтами при балансових змінних останньої симплекс-таблиці: у1 = 6, у2 = 0, у3 = 5. А екстремум двоїстої задачі Smin = 2328.

Другий спосіб:

За другою теоремі подвійності, якщо якась компонента оптимального рішення вихідної задачі відмінна від нуля, то відповідне їй обмеження двоїстої задачі на її оптимальному рішенні виконується як суворе рівність. А якщо якесь із обмежень вихідної задачі на її оптимальному рішенні виконується як суворе нерівність, то відповідна компонента оптимального рішення двоїстої задачі обов'язково дорівнює нулю.

Так як балансова змінна другого обмеження (х6) відмінна від нуля, отже воно виконується на оптимальному рішенні як суворе нерівність, а тому у2 = 0. Так як х1 і х3 відмінні від нуля, то отримуємо наступну систему рівнянь: 3 * у1 + 6 * у3 = 48

4 * у1 + у3 = 29

Вирішуючи їх, отримуємо оптимальні рішення двоїстої задачі: у1 = 6, у2 = 0, у3 = 5.1.3 Завдання про комплектному плані.

Маємо співвідношення: x3: x1 = 1; x4: x2 = 3 або х3 = х1; х4 = 3 * х2. Підставивши ці вирази, отримаємо задачу ЛП з двома змінними.

77 * х1 + 60 * х2 a max

7 * х1 + 11 * х2 ? 198

3 * х1 + 9 * х2 ? 96

7 * х1 + 5 * х2 ? 228

Наносимо ці обмеження на площину х1х2 і шукаємо на допустимому безлічі максимум функції. Для цього будуємо градієнт grad (77,60). Шукана точка з координатами х1 = 0; х2 »28.29 і максимум прибутку max» 2178.

1.4 Оптимальний розподіл інвестицій.

Маємо: 4 фірми, інвестиції в розмірі 700 тис. Рублів. За цим 4 фірмам їх потрібно розподілити. Розмір інвестицій кратний 100 тис. Рублів. Ефект від напрямку i-й фірмі інвестицій у розмірі m (сотень тис. Рублів) виражається функцією fi (m). Приходимо до задачі:

f1 (x1) + f2 (x2) + f3 (x3) + f4 (x4) -> max

x1 + x2 + x3 + x4 <= 7

x1, x2, x3, x4> = 0

де xi - невідомий розмір інвестицій i-й фірмі. Це завдання вирішується методом динамічного програмування: послідовно шукається оптимальний розподіл для k = 2,3 і 4 фірм. Нехай першим двом фірмам виділено m інвестицій, позначимо z2 (m) величину інвестицій 2-й фірмі, при якій сума f2 (z2 (j)) + f1 (m-z2 (j)), 0 <= j <= m максимальна, саму цю максимальну величину позначимо F2 (m). Далі діємо також: знаходимо функції z3 і F3 і т.д. На k-му кроці для знаходження Fk (m) використовуємо основне рекурентне співвідношення:

Fk (m) = max {fk (j) + F {k-1} (m-j): 0 <= j <= 7}

Вихідні дані:

Таблиця №1.

 x 0 100 200 300 400 500 600 700

 f 1 (x 1) 0 28 45 65 78 90 102 113

 f 2 (x 2) 0 25 41 55 65 75 80 85

 f 3 (x 3) 0 15 25 40 50 62 73 82

 f 4 (x 4) 0 33 33 42 48 53 56 58

Заповнюємо наступну таблицю. Значення f2 (x2) складаємо зі значеннями F1 (m-x2) = f2 (m-x2) і на кожній північно-східній діагоналі знаходимо найбільше число, яке відзначаємо і вказуємо відповідне значення z2.

Таблиця №2.

 m-x 2 0 100 200 300 400 500 600 700

 x 2

 f 2 (x 2) / F 1 (m-x 2) 0 28 45 65 78 90 102 113

 0 0 0 28 45 65 78 90 102 113

 100 25 25 53 70 90 103 115 127

 200 41 41 69 86 106 119 131

 300 55 55 83 100 120 133

 400 65 65 93 110 130

 500 75 75103120

 600 80 80 108

 700 85 85

Блакитним кольором позначений максимальний сумарний ефект від виділення відповідного розміру інвестицій 2-му підприємствам.

Таблиця №3.

 m 0 100 200 300 400 500 600 700

 F 2 (m) 0 28 53 70 90 106 120 133

 z 2 (m) 0 0 100 100 100 200 300 300

Продовжуючи процес, табулируем функції F3 (m) і z3 (m).

Таблиця №4.

 m-x 3 0 100 200 300 400 500 600 700

 x 3

 f 3 (x 3) / F 2 (mx 3) 0 28 53 70 90 106 120 133

 0 0 0 28 53 70 90 106 120 133

 100 15 15 43 68 85 105 121 135

 200 25 25 53 78 95 115 131

 300 40 40 68 93 110 130

 400 50 50 78 103 120

 500 62 62 90 115

 600 73 73 101

 700 82 82

Блакитним кольором позначений максимальний сумарний ефект від виділення відповідного розміру інвестицій 3-му підприємствам.

Таблиця №5.

 m 0 100 200 300 400 500 600 700

 F 3 (m) 0 28 53 70 90 106 121 135

 z 3 (m) 0 0 0 0 0 0 100 100

У наступній таблиці заповнюємо тільки одну діагональ для значення m = 700.

Таблиця №6.

 m-x 4 0 100 200 300 400 500 600 700

 x 4

 f 4 (x 4) / F 3 (mx 4) 0 28 53 70 90 106 121 135

 0 0 0 28 53 70 90 106 121 135

 100 20 20 48 73 90 110 126 141

 200 33 33 61 86 103 123 139

 300 42 42 70 95 112 132

 400 48 48 76 101 118

 500 53 53 81 106

 600 56 56 84

 700 58 58

 m 0 100 200 300 400 500 600 700

 F 4 (m) 0 28 53 73 90 110 126 141

 z 4 (m) 0 0 0 0 0 100 100 100

Зведемо результати в таблицю №7.

 m 0 100 200 300 400 500 600 700

 F1 (m) = f 1 (x 1) 0 28 45 65 78 90 102 113

 z1 = x1 0 100 200 300 400 500 600 700

 F 2 (m) 0 28 53 70 90 106 120 133

 z 2 (m) 0 0 100 100 100 200 300 300

 F 3 (m) 0 28 53 70 90 106 121 135

 z 3 (m) 0 0 0 0 0 0 100 100

 F 4 (m) 0 28 53 73 90 110 126 141

 z 4 (m) 0 0 0 0 0 100 100 100

Тепер F4 (700) = 141 показує максимальний сумарний ефект по всім 4-м фірмам, а z4 (700) = 100 - розмір інвестицій в 4-у фірму для досягнення цього максимального ефекту. Після цього на частку перших 3-х фірм залишилося (700-100) і для досягнення максимального сумарного ефекту по першій 3-му фірмам в третьому треба вкласти 100 і т.д. Блакитним кольором відзначені оптимальні значення інвестицій по фірмах і значення ефектів від них.

Таким чином, найкращим є наступний розподіл капітальних вкладень по підприємствах: х1 * = 300; х2 * = 200; х3 * = 100; х4 * = 100. Воно забезпечує виробничому об'єднанню найбільший можливий приріст прибутку 141 тис.руб.2. Аналіз фінансових операцій та інструментів. 2.1 Прийняття рішень в умовах невизначеності.

Припустимо, що ОПР (Особа, що приймає Рішення) обдумує чотири можливих рішення. Але ситуація на ринку невизначена, вона може бути однією з чотирьох. За допомогою експертів ЛПР становить матрицю доходів Q. Елемент цієї матриці q [i, j] показує дохід, отриманий ЛПР, якщо ним прийнято i-е рішення, а ситуація виявилася j-я. У цій ситуації повної невизначеності можуть бути висловлені лише деякі міркування про те, яке рішення прийняти. Спочатку побудуємо матрицю ризиків. Будується ця матриця так: в кожному стовпці матриці доходів знаходимо максимальний елемент d [j], після чого елементи r [i, j] = d [j] -q [i, j] і утворюють матрицю ризиків.

Сенс ризиків такий: якби ЛПР знав що в реальності має місце j-я ситуація, то він вибрав би рішення з найбільшим доходом, але він не знає, тому, приймаючи i-е рішення він ризикує недобрати d [j] -q [i , j] - що і є ризик.

матриця доходів

 Варіанти (ситуації) max min Вальд Гурвіц: l * max + + (1-l) * min; l = 1/3

 Рішення 0 1 2 8 8 0 2,67

 2 3 4 10 10 2 2 4,67

 0 4 6 10 10 0 3,32

 2 6 8 12 12 2 2 5,32

матриця ризиків

 Варіанти (ситуації) max Севідж

 Рішення 2 5 6 6 квітня

 0 3 4 2 4

 2 2 2 2 2

 0 0 0 0 0 0

Правило Вальда називають правилом крайнього песимізму: ЛПР впевнений, що якесь б рішення він не прийняв, ситуація складеться для нього найгірша, так що, приймаючи i-е рішення, він отримає мінімальний дохід q [i] = min {q [i, j]: j = 1..4}. Але тепер уже з чисел q [i] ЛПР вибирає максимальне і приймає відповідне рішення.

За правилом Севіджа знаходять в кожному рядку матриці ризиків максимальний елемент r [i] і потім з чисел r [i] знаходять мінімальне і приймають відповідне рішення.

За правилом Гурвіца для кожного рядка матриці доходів знаходять величину z [i] = l * max {q [i, j]: j = 1..4} + (1-l) * min {q [i, j]: j = 1..4}, потім знаходять з чисел z [i] найбільше і приймають відповідне рішення. Число l кожен ЛПР вибирає індивідуально - воно відображає його ставлення до доходу і ризику, при наближенні l до 0 правило Гурвіца наближається до правилу Вальда, при наближенні l до 1 - до правила рожевого оптимізму, в нашому випадку l дорівнює 1/3.

Отже, за правилом Вальда нам слід прийняти або другого, або четверта рішення. Севідж і Гурвіц нам радять прийняти четвертий рішення.

Нехай тепер нам відомі ймовірності ситуацій - p [j]. Маючи матрицю доходів Q тепер можна сказати, що дохід від i-го рішення є с.в. Q [i] з доходами q [i, j] і ймовірностями цих доходів p [j]. Крім того, ризик i-го рішення також є с.в. R [i] з ризиками r [i, j] і ймовірностями цих ризиків p [j].

Тоді М (Q [i]), М (R [i]) - середній очікуваний дохід і середній очікуваний ризик i-го рішення. Приймати рішення (проводити операцію) потрібно таке, у якого найбільший середній очікуваний дохід, або найменший середній очікуваний ризик.

 Варіанти (ситуації) М (Q [i]), М (R [i])

 Доходи 0 1 2 8 лютого

 2 3 4 10 квітня

 0 4 6 10 4

 2 6 8 12 червень

 Ризики 2 5 6 4 квітня

 0 3 4 2 2

 2 2 2 2 2

 0 0 0 0 0

 p [j] 1/3 1/3 1/6 1/6

М (Q [i]) = S (q [i, j] * p [j]) М (R [i]) = S (r [i, j] * p [j])

Блакитним кольором виділено найбільший середній очікуваний дохід (четвертий рішення), а червоним кольором - найбільший середній очікуваний ризик (четвертий рішення). Як бачимо, вони відповідають одному й тому ж рішення. Його і слід прийняти.

Операції: 1-а - (4, 2), 2-а - (2, 4), третє - (2, 4), 4-а - (0; 6).

Червоним кольором висвітлені домінованих точки (операції), а зеленим - недомініруемих, тобто оптимальні за Парето. Оптимальною по Парето є 4-я операція.

Була проведена пробна операція, яка значно змістила розподіл ймовірностей.

 Варіанти (ситуації) М (Q [i]), М (R [i]) М * (Q [i]), М * (R [i])

 Доходи 0 1 2 8 2 7,2

 2 3 4 10 4 9,2

 0 4 6 10 4 9

 2 6 8 12 6 11

 Ризики 2 5 6 4 4 3,8

 0 3 4 2 2 1,8

 2 2 2 2 2 лютого

 0 0 0 0 0 0

 p [j] 1/3 1/3 1/6 1/6

 p * [j] 0,1 0 0 0,9

Де p * [j] - імовірності після проведення пробної операції. М * (Q [i]), М * (R [i]) - середній очікуваний дохід і ризик після проведення пробної операції.

Максимально виправдана вартість пробної операції дорівнює М * (Q [i]) - М (Q [i]) = 11 - 6 = 5.

Тепер виберемо які-небудь дві операції (1-ю та 4-ю), припустимо, що вони незалежні один від одного і знайдемо операцію, що є їх лінійною комбінацією і більше хорошу, ніж будь-яка з наявних.

1-а операція = (4,2); 4-я операція = (0,6)

Результат: не можна підібрати такий операції, що є лінійною комбінацією першого і 4-ої операції, яка б домінувала всі наявні операції.

Нехай взвешивающая формула f (Q) = М [Q] / M [R], при M [R] не рівним нулю, тоді для 1- 4 операцій f1 = 0,5; f2 = 2; f3 = 2; f4 = ?. Отже 4-я операція є найкращою (max = ?), а 1-а - сама худшая.2.2 Аналіз прибутковості та ризикованості фінансових операцій.

Нехай дохід від операції Q є с.в., яку будемо позначати також як і саму операцію Q. Математичне сподівання M [Q] = S (q [i] * p [i]) називають ще середнім очікуваним доходом, а ризик операції r = s = OD [Q] = O (M [Q2] -M2 [Q]) ототожнюють із середнім квадратичним відхиленням.

 номер операції Доходи (Q) та їх ймовірності (Р) M [Q] r

 1 0 1 5 14 4,2 5,19

 1/5 2/5 1/5 1/5

 2 2 4 6 18 6,8 5,74

 1/5 2/5 1/5 1/5

 3 0 8 16 20 8 8,72

 1/2 1/8 1/8 1/4

 4 2 12 18 22 16,25 6,12

 1/8 1/8 1/2 1/4

Необхідні розрахунки:

Червоним кольором висвітлені домінованих точки (операції), а зеленим - недомініруемих, тобто оптимальні за Парето. Оптимальними за Парето є 1-а, 2-а і 4-а операції.

Тепер виберемо дві операції (1-ю: Q1і 4-ю: Q4), припустимо, що вони незалежні один від одного і з'ясуємо, чи немає операції, що є їх лінійною комбінацією і більше хорошою, ніж будь-яка з наявних.

Нехай Q1і Q4две фінансові операції з середнім очікуваним доходом 4,2 і 16,25 і ризиками 5,19 і 6,12 відповідно. Нехай t - яке-небудь число між 0 і 1. Тоді операція Qt = (1-t) Q1 + tQ4називается лінійною комбінацією операцій Q1, Q4. Середній очікуваний дохід операції Qt дорівнює M [Qt] = 4,2 * (1-t) + 16,25 * t, а ризик операції Qt дорівнює rt = O (26,94 * (1-t) 2 + 37,44 * t2). Була знайдена операція Q *, що є лінійною комбінацією вихідних операцій, із середнім очікуваним доходом 9,14 і ризиком 3,96, яка перевершує всі наявні операції по ризику.

Визначити кращу і гіршу операції можна також за допомогою зважувати формули f (Q) = 2 * M [Q] - r. Маємо: f (Q1) = 3,21; f (Q2) = 7,86; f (Q3) = 7,28; f (Q4) = 26,38. Отже, 4-а операція є найкращою, а 1-а - самої худшей.2.3 Статистичний аналіз грошових потоків.

Вихідні дані для аналізу: щоденні (сумарні) грошові вклади населення в відділення ощадбанку протягом 4-х тижнів (або аналогічний який-небудь грошовий потік).

Вихідні дані:

 1-й тиждень 2-й тиждень 3-й тиждень 4-й тиждень

 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

 6 5 13 15 14 13 9 9 9 9 9 9 12 12 12 12 12 12 3 1 17 19 5 4

Грошовий потік:

 6 5 13 15 14 13 9 9 9 9 9 9 12 12 12 12 12 12 3 1 17 19 5 4

Ранжируваних ряд:

 1 3 4 5 5 6 9 9 9 9 9 9 12 12 12 12 12 12 13 13 14 15 17 19

Дискретний варіаційний ряд:

 значення 1 3 4 5 6 9 12 13 14 15 17 19

 частоти 1 1 1 2 1 6 6 2 1 1 1 1

 частости 1/24 1/24 1/24 2/24 1/24 6/24 6/24 2/24 1/24 1/24 1/24 1/24

Багатокутник частот:

Інтервальний варіаційний ряд:

 Межі інтервалів 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

 Середини інтервалів 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

 Частоти 1 1 3 1 6 0 8 2 1 1

 Частості 1/24 1/24 3/24 1/24 6/24 1/24 8/24 2/24 1/24 1/24

Багатокутник частостей:

Вибіркова функція розподілу:

Статистичні характеристики:

 За вихідного ряду За дискретному ряду За інтервального ряду

 Вибіркова середня 10,4 10,4 10,42

 Вибіркова дисперсія 18,79 18,79 19,88

 Вибіркове СКО 4,33 4,33 4,46

 Несмещенная оцінка ген. диспер. 19,61 19,61 20,75

Необхідні формули і розрахунки:

2.4 Завдання формування оптимального портфеля цінних паперів.

3. Моделі співпраці і конкуренції. 3.1 Співпраця та конкуренція двох фірм на ринку одного товару.

Розглянемо дві фірми, i = 1,2, що випускають один і той же товар. Нехай витрати i-й фірми при випуску x [i] рівні a [i] * x [i] (таким чином, a [i] є собівартість випуску однієї одиниці товару i-й фірмою). Вироблений обома фірмами товар надходить на загальний ринок. Ціна на товар лінійно падає в залежності від вступника на ринок загальної його кількості: p (x) = c-bx, c, b> 0, де x = x [1] + x [2]. Отже, прибуток i-ої фірми дорівнює W [i] (x [1], x [2]) = x [i] * (c-bx) -a [i] * x [i] = bx [i] * (d [i] - (x [1] + x [2])), де d [i] = (с-a [i]) / b. Поведінка кожної фірми визначається її прагненням максимізувати свій прибуток.

Дано: a [1] = 5, a [2] = 6, b = 9, c = 77.

Тоді: p (x) = 77-9 * xd [1] = (с-a [1]) / b = (77-5) / 9 = 8 d [2] = (с-a [2]) / b = (77-6) / 9 = 7,89

W [1] (x [1], x [2]) = bx [1] * (d [1] - (x [1] + x [2])) = 9 * x [1] * (8- (x [1] + x [2]))

W [2] (x [1], x [2]) = bx [2] * (d [2] - (x [1] + x [2])) = 9 * x [2] * (7, 89- (x [1] + x [2]))

Припустимо, що перша фірма дізналася стратегію другий, тобто обсяг її випуску x [2]. Токда вона вибрала б свій випуск з умови максимізації прибутку:

¶W [1] / ¶x [1] = b * (d [1] - (x [1] + x [2])) - b * x [1] = 0, тобто x * [1] = (d [1] -x [2]) / 2 = (8-x [2]) / 2

Аналогічно для другої фірми: x * [2] = (d [2] -x [1]) / 2 = (7,89-x [1]) / 2

x * [2], x * [1] - оптимальні випуски першого і другого фірм за умови, що вони знають випуск конкурента.

Тепер припустимо, що виробничі цикли фірм збігаються, тобто a [1] = a [2] = 5. Пуcть фірми вибирають свої оптимальні випуски, знаючи обсяг виробництва свого конкурента за минулий період. Припустимо, що d [1] / 2d [1] / 2Нанесемо на площину x [1] x [1] прямі-множини стратегій фірм у відповідь на відому стратегію іншої фірми x * [1] = (8-x [2]) / 2 і x * [2] = (8-x [1]) / 2 і знайдемо точку їх перетину. x [1], х [2] = d / 3 = 8/3 = 2,67. Далі визначимо прибутку фірм W [1], W [2] = b * d2 / 9 = 9 * 64/9 = 64, p = c-2 * b * d / 3 = 77-2 * 9 * 8/3 = 29.

Тепер подивимося, як діє модель Курно. Нехай 7,8 і 0,1 - випуски фірм за минулий рік і кожна фірма знає цей випуск свого конкурента. Тоді, знаючи його вона застосовує свою оптимальну стратегію з метою максимізувати прибуток. Переконаємося, що після деякої кількості ітерацій вони опиняться в точці Курно.

 N Випуск Ціна Прибутки

 1-а фірма 2-я фірма 1-а фірма 2-я фірма

 0 7,8 0,1

 1 3,95 0,1 40,55 140,42 3,56

 2 2,99 2,03 31,89 80,33 54,45

 3 2,75 2,51 29,72 64,93 62,09

Як видно вже при третьому операції випуски і прибутку першого та другого фірми і ціна значно наблизилися до точки Курно. Подивимося це графічно.

Зеленим кольором позначені точки послідовних ітерацій, а червоним - точка Курно.3.2 Кооперативна біматричних гра як модель співпраці та конкуренції двох учасників.

Математичною моделлю конфліктів з двома учасниками є біматричних гри. Така гра 2х2 задається біматріцей (aij, bij). У кооперативному варіанті такої гри гравці можуть узгоджено вибирати елемент біматріци. Якщо вони вибрали елемент (a, b), то Перший гравець отримує a, а Другий отримує b. Мети гравців однакові - виграти якомога більше з розрахунку на партію в середньому. Нехай (x, y), (a, b) - дві точки з CE. Кажуть, що (x, y) домінує (a, b) якщо x> = a, y> = b і хоча б одна з цих нерівностей суворе. Недомініруемих точки називаються оптимальними за Парето, а їх безліч - безліччю оптимальності по Парето. Ще більш вузьке безліч називається переговорним. Воно визначається так: нехай Vk - максимальний виграш, який k-й гравець може забезпечити собі при будь-якої стратегії іншого гравця, тоді переговорний безліч визначається як безліч тих точок безлічі Парето, у яких k-я координата не менш Vk. Для знаходження Vk на до вирішити два завдання ЛП:

V1 -> max, a11 * x + a21 * (1-x)> = V1, a11 * x + a12 * (1-x)> = V1, 0 <= x <= 1;

V2 -> max, a11 * y + a12 * (1-y)> = V2, a21 * y + a22 * (1-y)> = V2, 0 <= y <= 1.

Дано:

біматріца

 2 лютого 6 червня

 7 серпня 1 вересня

Нанесемо на площину елементи біматріци і накреслимо опуклу оболонку.

Де червоним і зеленим кольором позначено безліч оптимальності по Парето, а зеленим - та його частина, яка є переговорним безліччю. V1 = 8, V2 = 4.

Ціна гри першого гравця V1находітся легко, так як в матриці аijесть сідлова точка а [2,1] = 8. Основна теорема матричних ігор стверджує, що для будь-матричної гри max {min {M [P, Q]: Q}: P} = min {max {M [P, Q]: P}: Q}, тобто в безлічі змішаних стратегій є сідлова точка, що дає оптимальне рішення гри. Тому V1 = а [2,1] = 8, а оптимальна стратегія 1-го гравця Р * = (0 1), так як йому вигідно вибирати весь час 2-й рядок.

Для того, щоб знайти ціну гри та оптимальну стратегію 2-го гравця необхідно вирішити задачу ЛП. Якщо все розділити на V2 і зробити заміну змінних, то отримаємо:

V2 -> max y / V2 = x1 x1 + x2 amin

2 * y + 6 * (1-y)> = V2, (1-y) / V2 = x2 2 * x1 + 6 * x2> = 1

7 * y + 1 * (1-y)> = V2, 7 * x1 + 1 * x2> = 1

0 <= y <= 1. x1, x2 ?0

Вирішуючи її знаходимо V2 = 4.

Отже, ціна гри 2-го гравця V2 = 43.3 Матрична гра як модель конкуренції і співробітництва.

4. Соціально-економічна структура суспільства. 4.1 Модель розподілу багатства в суспільстві.

Такою моделлю є так звана «діаграма або крива Лоренца».

Розглянемо функцію розподілу багатства в суспільстві d (z), яка повідомляє, що z-а частина найбідніших людей товариства володіє d (z) -й частиною всього суспільного багатства. Далі наведено графік функції d (z). Площа заштрихованої лінзи називається коефіцієнтом Джіні J. Ця величина не більше 1/2. Чим вона менша, тим рівномірніше розподілений багатство в суспільстві. При J> 0.2 розподіл багатства називається небезпечно несправедливим - це переддень соціальних заворушень. З функції d (z) можна отримати іншу функцію w (z), вона повідомляє частку суспільного багатства, якою володіє z-а частина найбагатших людей (w (z) = 1-d (1-z)). Ще одну функцію можна отримати з d (z): S (x) = d (1/2 + x) -S (1/2-x). Вона показує, що частина суспільства, яка багатшими, ніж (?-х) найбідніших, але біднішими (?-х) найбагатших, володіє S (x) -й частиною всього суспільного багатства. Графік функції S розташований лише над відрізком [0, 1/2]. Кажуть, що в суспільстві є середній клас, якщо d (3/4) -d (1/4)> = 1/2 або, що те ж саме S (1/4)> = 1/2.

Дано: d (z) = exp ((7/2) * ln (z))

Як видно на графіках d (0,5) = 0,09, тобто. половина найбідніших членів суспільства володіє лише 9% всього суспільного багатства. Обчислимо коефіцієнт Джинні:

? - J = (0?1 (exp (7/2 * ln (z)) dz) = 0,22, значить J = 0,28. Так як 0,28> 0,2, то розподіл багатства в суспільстві небезпечно несправедливо.

s (x) = exp ((7/2) * ln (1/2 + х)) - exp ((7/2) * ln (1/2-х))

w (z) = 1 - exp ((7/2) * ln (1-z))

Так як s (0,25) = 0,36 і 0,36 <0,5, то можна зробити висновок про відсутність в даному суспільстві середнього класу. w (0,1) = 0,31 означає, що десята частина найбагатших володіє 31% всього суспільного багатства.

Похідні функцій d (z) і w (z): 4.2 Розподіл суспільства по одержуваному доходу.

Нехай F (z) є частка мають місячний дохід менше z по відношенню до всіх, що мають який-небудь грошовий дохід (всіх таких членів суспільства назвемо платниками податків). Функцію F (z) цілком правильно трактувати як функцію розподілу випадкової величини I - місячний дохід випадкового платника податків. С.в. I можна вважати безперервною. Функція F (z) може бути цікава податкової інспекції. За допомогою функції F (z) можна знайти кілька цікавих характеристик суспільства. Наприклад, середній дохід, який знаходиться як інтеграл від 0 до безкінечності функції z * dF (z). Іншої подібної характеристикою є коефіцієнт Мосту, який знаходиться як відношення рішень рівнянь F (z) = 0.9 і F (z) = 0.1, тобто цей коефіцієнт показує відношення доходів 10% членів суспільства з найвищими доходами до доходів 10% з найнижчими доходами. Якщо це відношення перевищує 20, то розподіл доходів називається несправедливим, інакше нормальним.

Дано: F (z) = 1 - exp (6 * ln (500 / (500 + z)))

Як видно на графіку 1, F (9) = 0,1 і F (234) = 0,9. Це говорить про те, що 10% низькодохідних членів суспільства мають дохід не більше 9 у.о., а 10% високоприбуткових мають дохід понад 234 у.е. Якщо взяти ці числа як відношення, то отримаємо Коефіцієнт Мосту. Так як 234/9 = 26 і 26> 20, то розподіл доходів в даному суспільстві можна вважати несправедливим.

© 8ref.com - українські реферати