На головну    

 Дослідження законів граничної продуктивності - Економіко-математичне моделювання

I. Вступ.

II. Теоретична частина по темі гранична продуктивність.

III. Використана література.

ВСТУП

Виробнича функція (ПФ) висловлює залежність результату виробництва від витрат ресурсів. При описі економіки (точніше, її виробничої підсистеми) за допомогою ПФ ця підсистема розглядається як "чорний ящик", на вхід якого надходять ресурси R1, ..., Rn, а на виході виходить результат у вигляді річних обсягів виробництва різних видів продукції Х1, ... Хм.

В якості ресурсів (факторів виробництва) на макро рівні найбільш часто розглядається накопичений працю у формі виробничих фондів (капітал) К і справжній (живий) працю L, а в якості результату - валовий випуск і позначати Х, хоча це може бути і валовий випуск, і ВВП, і національний дохід.

Вибір того чи іншого складу До визначається метою дослідження, а також характером розвитку виробничої та невиробничої сфер в досліджуваний період. Якщо в цей період у невиробничу сферу вкладається приблизно постійна частка новоствореної вартості і невиробнича сфера робить на виробництво приблизно однаковий вплив, це служить підставою безпосередньо враховувати до ПФ тільки виробничі фонди.

Виробничі фонди складаються з основних і оборотних виробничих фондів. Якщо співвідношення між цими складовими частинами виробничих фондів приблизно постійно протягом усього досліджуваного періоду, то досить безпосередньо враховувати до ПФ тільки основні виробничі фонди. Далі До будемо називати фондами.

Таким чином, економіка заміщається своєю моделлю у формі нелінійної ПФ

X = F (K, L),

тобто випуск (продукція) є функція від витрат ресурсів (фондів і праці).

Виникає питання: як за допомогою ПФ виразити масштаб та ефективність виробництва? Це порівняно легко зробити, якщо випуск і витрати виражені в порівнянних одиницях, наприклад представлені в сумірною вартісної формі. Однак проблема порівняння сьогодення і минулого праці досі не вирішена задовільним чином. Тому скористаємося переходом до відносних (безрозмірним) показниками.

У відносних показниках мультиплікативна ПФ записується таким чином:

X Ka1La2

X0K0L0

(1)

Де Х0, К0, L0- значення випуску та витрат фондів і праці в базовий рік.

Безрозмірна форма (1) легко приводиться до первісного вигляду

Х0

Х = Ka1La2 = AKa1La2

К0a1L0a2

Х0

Таким чином, коефіцієнт А = отримує природну

К0a1L0a2

інтерпретацію - це коефіцієнт, який порівнює ресурси з випуском.

Якщо позначити випуск і ресурси у відносних (безрозмірних) одиницях виміру через X, K, L, то ПФ у формі (1) записується так:

X = Ka1La2 (2)

Знайдемо тепер ефективність економіки, представленої ПФ (2) .Нагадаємо, що ефективність - це відношення результату до витрат. У нашому випадку два види витрат: витрати минулої праці у вигляді фондів До і сьогодення праці L. Тому є два приватних показника ефективності:

Х Х

- Фондовіддача, - продуктивність праці.

До L

Оскільки приватні показники ефективності мають однакову розмірність (точніше, однаково безрозмірні), то можна знаходити будь середні з них. Так як ПФ виражена в мультиплікативної формі, то і середнє природно взяти в такій же формі, тобто среднегеометрической значення.

ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА ПО ТЕМІ "граничної продуктивності"

Хоча предмет мікроекономічної теорії виробництва іншої - проблеми виробничої діяльності підприємств, хід міркувань тут дуже близький до теорії споживання. Функціям корисності і кривим байдужості, що описує споживання, відповідають і ізокванти, що описують виробництво. Більш того, властивості цих функцій і форми кривих однакові. Отже, в програмах побудови графіків кривих байдужості і наближених обчислення за методом чисельного диференціювання, складених для дослідження споживання, досить поміняти лише заголовки, назви змінних і визначення функцій, щоб застосувати весь арсенал вже наявних у нас засобів для аналізу виробництва.

Почнемо з того, що визначимо виробничу діяльність як процес, в ході якого підприємства витрачають різні ресурси - речові блага і послуги (фактори виробництва), наприклад працю і капітальне обладнання, і в результаті випускають різноманітну, орієнтовану на ринок продукцію (продукти виробництва). Відправною точкою мікроекономічної теорії виробництва є ідея про те, що технологічно ефективна виробнича діяльність підприємства, в ході якої для випуску, наприклад, одного виду продукції Y витрачається два види ресурсів Х1, Х2, може бути описана за допомогою виробничої функції Y = F (X1, X2). Якщо для фіксованого випуску Y зобразити на площині (Х1, Х2) всі можливі поєднання необхідних ресурсів (Х1, Х2), ми отримаємо криву, звану изоквантой. Так само як і для функцій корисності і кривих байдужості, можна виділити, принаймні, чотири типи виробничих функцій і ізоквант.

1. Функції з повним взаимозамещения ресурсів, наприклад,

Y = a1X1 + a2X2

2. Неокласична виробнича функція, наприклад,

Y = X1a1X2a2, a1 + a2 <= 1

3. Функції з повним взаємодоповнення ресурсів, наприклад,

4. Функції змішаного типу, наприклад,

Y = y1 + y2: Xi => aiy1 + biy2, i = 1,2.

Не важко помітити, що форми цих функцій повністю збігаються з формами функцій корисності. Якщо говорити про неокласичної виробничої функції, то поняттю граничної корисності з теорії споживання і теорії виробництва відповідає поняття граничної продуктивності (dY / dXi), яке є тут одним з ключових. Закони ж спадної граничної корисності та спадної граничної норми заміщення, споживчих благ у теорії виробництва сформуліровонни як закон спадної граничної норми взаємного заміщення ресурсів. Перший з них свідчить, що при зростанні витрат одного з ресурсів (першого або другого) його гранична продуктивність, dY / dX1ілі dY / dX2, падає. Якщо уявити цей факт у вигляді формули, то ми отримаємо:

d2Y / dXi2 <0, i = 1,2.

Гранична норма заміщення (MRS) ресурсів - це граничне відношення заміни першого ресурсу другим, - dX2 / dX1, в ситуації, коли при постійному випуску Y скорочення витрат першого ресурсу на - dX1компенсіруется зростанням витрат другого ресурсу на dX2. Подібно теорії споживання, це відношення дорівнює відношенню приватних похідних проіізводственной функції, тобто граничних продуктивностей ресурсів:

dX2dY / dX1

MRS = - Y = const =

dX1dY / dX2

Ізокванти неокласичної функції, так-само як і криві байдужості, є гладкими увігнутими кривими, а гранична норма заміщення ресурсів поступово зменшується.

ОПИС та СКЛАДАННЯ ПРОГРАМИ

Складемо програму (MARG2), що дозволяє при фіксованому значенні виробничої функції Y = F (X1, X2) обчислити граничну продуктивність кожного з ресурсів, а також граничну норму заміщення ресурсів. В якості конкретної виробничої функції візьмемо функцію Кобба-Дугласа:

Y = X13 / 4X21 / 4.

Список змінних:

X1 = X1; X2 = X2;

MR = MRS - гранична норма заміщення;

D1 = dY / dX1; D2 = dY / dX2;

H - крок диференціювання (h).

Виробничої функції Кобба-Дугласа - сама извесная з усіх виробничих функцій некласичного типу - була відкрита в 20-х роках нашого століття економістом Дугласом у співпраці з математиком Коббом і отримала широке застосування в емпіричних дослідженнях. У цю програму включена виробнича функція, оценненая Дуглосом на основі даних по обробній промисловості США. Y - індекс виробництва, X1і X2- відповідно індекси найманої робочої сили та капітального обладнання. Якщо вважати, що Х1і Х2 це витрати праці і капіталу, то використовуючи виробничу функцію Кобба - Дугласа Y = AX1aX21a (0Гранична продуктивність праці: dY / dX1 = aA (X2 / X1) a-1.

Гранична продуктивність капіталу: dY / dY2 = (1 - a) A (X1 / X2) a

dY / dX1a X2

Гранична норма заміщення: MRS = = *

dY / dX21-a X1

У мікроекономічної теорії виробництва вважається, що гранична продуктивність праці дорівнює ціні праці (заробітної плати), а гранична продуктивність капіталу - ціною послуг капітальних благ (рентних платежах).

Передумовою для токого висновку є те, що підприємства складають свої виробничі плани (Y, X1, X2), керуючись насамперед принципом максимізації прибутку. Якщо позначити через р, q1і q2соответственно ціни продукції, першого і другого ресурсів, то оптимальним виробничим планом для підприємства буде рішення (Y *, X1 *, X2 *) завдання максимізації прибутку П = pY - q1X1- q2X2прі обмеженні Y = F (X1, X2). Виконавши необхідні підстановки, маємо П = pF (X1, X2) - q1X1- q2X2. Продифференцировав це вараженіе по кожному з факторів виробництва, отримаємо формальне підтвердження зробленому раніше висновку.

Іншими словами, оскільки

dП / dX1 = p * dF / dX1- q1 = 0,

dП / dX2 = p * dF / dX2- q2 = 0,

то скоротивши р, переконуємося, що

dF / dX1q1

=

dF / dX2q2

100 'граничні обчислення 2 [MARG2]

110 CLR: PRINT "гранична норма заміщення ресурсів виробництва"

120 DEF FN F (X1, X2) = X1 ^ .75 * X2 ^ .25

130 PRINT "Y = X1 ^ 0.75 * X2 ^ 0.25": PRINT

140 H = .001

150 INPUT "Y ="; Y

160 INPUT "X1 ="; X1

170 X2 = (Y / (X1 ^ .75)) ^ (1 / .25)

180 PRINT "X2 ="; X2

190 Y = FN F (X1, X2)

200 D1 = (FN F (X1 + H, X2) -Y) / H

210 D2 = (FN F (X1, X2 + H) -Y) / H

220 MR = D1 / D2

230 PRINT "--- РЕЗУЛЬТАТ ---

240 PRINT "dY / dX1 ="; D1

250 PRINT "dY / dX2 ="; D2

260 PRINT "MRS ="; MR: PRINT

270 GOTO 160

Гранична норма заміщення ресурсів виробництва

Y = X1 ^ 0.75 * X2 ^ 0.25

Y = 10

X1 = 8

X2 = 19.53125

--- РЕЗУЛЬТАТ ---

dY / dX1 = .9365081

dY / dX2 = .1277924

MRS = 7.328358

X1 = 13

X2 = 10

--- РЕЗУЛЬТАТ ---

dY / dX1 = .7505416

dY / dX2 = .2503164

MRS = 2.992395

X1 = 12

X2 = 5.787036

--- РЕЗУЛЬТАТ ---

dY / dX1 = .626564

dY / dX2 = .4320145

MRS = 1.450331

Використаної літератури

· В.А. Колеман "Математична економіка" Москва, ЮНИТИ 1998.

· О.О. Замків, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемних "Математичні методи в економіці" Москва, ДІС 1997

· '' Математична економіка на персональному комп'ютері '' під редакцією Кубоніва. Москва, '' Фінанси та статістіка''1997

© 8ref.com - українські реферати