Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Суворе тяжіння до нормального закону для стаціонарних послідовностей з рівномірно сильним перемішуванням - Математика

С.А. Клоков, Омський державний університет, кафедра математичного аналіза1. Введення. Позначення. Постановка завдання

Пусть- стаціонарна (у вузькому сенсі) послідовність випадкових величин (с.в.) ,, - Алгебри, породжені сімействами ,. Кажуть, чтоудовлетворяет умові рівномірно сильного перемішування (РСП), якщо коефіцієнт перемішування

прагне до нуля при.

Як звичайно, черезобозначім дисперсію суми, а через- нормальну с.в. з нульовим математичним очікуванням і одиничною дисперсією. Сімволиіобозначают збіжність з розподілу і рівність розподілів с.в., · - норму в L2, 1 (A) - індикатор множини A. Черезобозначім зрізання, через- дисперсію суми. Разом з последовательностьюбудет розглядатися последовательностьтакіх с.в., чтоінезавісіми. У випадку, якщо функції f і g пов'язані співвідношенням, де const - абсолютна константа, будемо писати, а есліі, то.

Будемо вважати відомими визначення правильно мінливих і повільно мінливих функцій (див., Наприклад, [5]).

Кажуть, що послідовність с.в.прітягівается до нормального закону, якщо при деякому виборі нормують констант An імає місце співвідношення ,. У випадку, якщо с.в.імеют кінцеві другого моменти, дисперсія суммиіговорят, що до послідовності застосовна центральна гранична теорема (ЦПТ).

Перші граничні теореми для слабо залежних величин були доведені І.А. Ібрагімовим на початку 60-х років. Умова РСП дає можливість доводити результати про збіжність до нормального закону без будь-яких припущень про швидкість перемішування (стремленіяк нулю). У цьому випадку будемо говорити, що справедливо суворе тяжіння до нормального закону. В [?] Доведена

Теорема 1. Пусть- стаціонарна послідовність с.в., яка задовольнить умові РСП ,, для некоторогоі. Тоді до последовательностіпріменіма ЦПТ.

Для послідовності незалежних однаково розподілених с.в. ЦПТ справедлива, якщо зажадати існування лише другий моментів. Виходячи з цього, в [1] висловлена

Гіпотеза (Ібрагімов, 1965).

Пусть- стаціонарна послідовність с.в., яка задовольнить умові РСП, і. Тоді до последовательностіпріменіма ЦПТ.

Пусть- послідовність незалежних однаково розподілених с.в., що не мають других моментів. Тоді распределеніепрінадлежіт області тяжіння нормального закону тоді і тільки тоді, коли функціяявляется ММФ. Іосіфеску сформулював наступне предположеніе.Гіпотеза (Ібрагімов-Іосіфеску).

Пусть- стаціонарна послідовність с.в., яка задовольнить умові РСП с, і H (x) - ММФ. Тогдапрітягівается до нормального закону.

Гіпотези Ібрагімова і Ібрагімова-Іосіфеску не доведені і не спростовані досі.

Добре відомі два достатніх умови для повільного зміни H (x): існування кінцевого другого моменту () і правильне зміна хвоста розподілу одного доданка (- ПМФ порядку -2). В роботі [4] доведена

Теорема 2. Пусть- стаціонарна послідовність с.в., яка задовольнить умові РСП, причому. Нехай, виконано співвідношення

(1)

де h (x) - ММФ. Тогдапрітягівается до нормального закону.

У цій роботі показано, що теорема 2 залишається справедливою, якщо на функцію h (x) з (1) накласти більш слабке обмеження, ніж повільна зміна. У монографії Е.Сенети запропоновано узагальнення поняття ММФ. Функція h (x) називається SO-мінливої [3], якщо існують такі позитивні постійні C1 і C2, що для всехвиполнено

(2)

Очевидно, що ММФ h (x) задовольняє (2), але не навпаки. Прикладами SO-мінливих функцій можуть служити будь-які функції, відокремлені від нуля і від нескінченності. Таким чином, введене розширення класу ММФ є нетривіальним.

Основним результатом роботи є узагальнення теореми 2:

Теорема 3. Пусть- стаціонарна послідовність с.в., яка задовольнить умові РСП, і виконано співвідношення

(3)

де h (x) - SO-змінна функція. Тогдапрітягівается до нормального закону.

Узагальнення результату M. Пеліграда стало можливим завдяки уточненню доведення теореми 2, даного в роботі [4] .2. Допоміжні результати

З (2) очевидним чином слід

Лема 1. Нехай h (x) - SO-змінна функція. Тогдадля будь-якого фіксірованногоі для будь функціідостаточно повільно.

Визначимо последовательностьсоотношеніем.

Лема 2. Нехай виконано (3). Тоді

а) для будь-якого x???0 ілідостаточно повільно;

б) якщо ціле число k фіксовано або целочисленная последовательностьдостаточно повільно, то.

Доказ. З визначення an легко виводиться, що

(4)

З (4) і леми 1 випливає, що

(5)

Пункт а) доведений. Тепер доведемо б). Нехай D???0 - деяка константа. З (4) і леми 1, аналогічно (5), виводимо для будь-якого фіксованого k ілідостаточно повільно, що

.

Вибором досить великий константиможно добитися, що, звідки випливає, що. Вибираючи досить малу константу D = D2, одержимо, що. Таким чином ,.

Лема 3. Пусть- схема серій с.в. з кінцевими другими моментами, в кожній серії с.в.образуют стаціонарну послідовність, що задовольняє умові РСП з одним і тим же коефіцієнтом перемешіваніяпрічем. Нехай Tn, j ,. Тоді

(6)

Доказ. Перше нерівність в (6) доведено в реченні 3.3 з [4], а другий виведено в [3, лемма3.3].

Лемма 4. Для будь-якого фіксованого k ілідостаточно повільно виконано співвідношення.

Доказ. Схема докази наведена в [?, Теорема 18.2.3].

Лемма 5. Нехай k = k (n) - целочисленная послідовність, досить повільно прагне до нескінченності, і має місце (3). Тоді

(7)

гдепрі.

Доказ. Для проведення оцінки (7) використовуються ідеї M. Пеліграда, запропоновані в [4]. В силу пункту б) леми 2 існує така константа C???0, що. Пусть- така числова послідовність, чтоі zn = o (Ck1 / 2). Тоді, маючи на увазі пункт а) леми 2, легко бачити, що для

 (8)

З (8) виводимо

де ??0 - деяка константа. Користуючись пунктом а) леми 2, неважко вирахувати, чтопрі.3 Доказ основного результату

У роботі А.Г. Гриня [?] Введено поняття універсальної унормує послідовності (УНП). Там же доведена

4. Пусть- стаціонарна послідовність, яка задовольнить умові РСП. Для того чтобипрітягівалась до нормального закону, достатньо, а якщо, і необхідно, щоб при будь-якому. Нехай k = k (n) - целочисленная послідовність, яка прагне до нескінченності настільки повільно, що одночасно справедливі леми 2, 4, 5. Тоді, маючи на увазі ще й лемму 3, одержуємо

 (9)

Разом з визначенням УНП (9) означає, чтоі an2 = o (bn2). Нехай послідовність q = q (n) прямує до нескінченності настільки повільно, що an2 = o (q-1bn2). Користуючись пунктом а) леми 2, маємо для будь-якого

при. Згідно з теоремою 4, последовательностьпрітягівается до нормального закону. Теорема доказана.Спісок літератури

Ібрагімов І.А., Линник Ю.В. Незалежні і стаціонарно зв'язані величини. М .: Наука, 1965. 524 с.

Гринь А.Г. Про областях тяжіння для сум залежних величин // теорії ймовірностей. і її застосований. 1990. Т. 35. N2. С. 255-270.

Peligrad M. An invariance principle for-mixing sequences. - Ann. Probab. 1985. V. 13. N4. Р. 1304-1313.

Peligrad M. On Ibragimov-Iosifescu conjecture for-mixing sequences // Stochastic Processes and their Applications. 1990. V. 35. P. 293-308.

Сенета Е. Правильно мінливі функції. М .: Наука, 1985. 142
Жак Леб
Леб, ЖАК (Loeb, Jacques) (1859-1924), американський біолог німецького походження. Народився 7 квітня 1859 в Маєн поблизу Кобленца. Навчався в університетах Берліна, Мюнхена і Страсбурга. В 1884 отримав ступінь магістра. В 1886-1888 був асистентом Вюрцбургского університету, в 1889-1891 викладав

Жорж Кюв'є
Кюв'є, ЖОРЖ (Cuvier, Georges) (1769-1832), французький зоолог, один із реформаторів порівняльної анатомії, палеонтології і систематики тварин. Народився 23 серпня 1769 в Монбельярі (Ельзас). Закінчив Каролінську академію в Штутгарті (1788). В 1795 поступив на посаду асистента Музею природної

Ананас
Ананас крупнохохолковий (Ananas comosus), тропічна трав'яниста рослина сімейства бромелієвих (Bromeliaceae) родом з Південної Америки, разводимое заради крупного їстівного супліддя. У їжу його можна вживати у свіжому вигляді, але зараз 90% всієї продукції консервується, і консерви з ананаса

Бабочки нічні
Бабочки нічні, група сімейств загону бабочек, або чешуекрылых (Lepidoptera), другого по числу видів в класі комах. Більшість, як випливає з назви, веде присмерковий або нічний образ життя. Крім того, нічні бабочки відрізняються від денних і особливостями будови. Тіло у них більш товсте, а

Круп
Круп, раптове звуження гортані або трахеї у дитини. Терміном «круп» у сучасній педіатрії позначають не якесь певне захворювання, а синдром (групу симптомів). Подібно багатьом синдромам, круп може мати кілька причин, причому тяжкість стану часто залежить саме від причини. На відміну від дорослих

Сузір'я Орел, Малий кінь, Дельфін, Стріла
Орел Альтаїр, або альфа Орла, - біла, гаряча і вельми близька до нас зірка (5 пк). За світності він всього в 8, а по діаметру в 2,2 рази перевершує Сонце. Поряд з таким гігантом, як Денеб, Альтаир здасться самої звичайною зіркою. Судячи по спектру, відстань між Альтаиром і нами скорочується

Сузір'я Лисичка, Щит
Планетарні туманності далеко не завжди за своїм зовнішнім виглядом нагадують диски планет. Останнє є радше винятком, ніж правилом. Форми планетарних туманностей дуже складні і відмінності, принаймні зовнішні, між ними бувають дуже великими. У сузір'ї Лисички є яскрава (див. Фотогалерею), велика

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати