На головну

Різноманіття алгебраїчних систем - Математика

Л. Н. Шеврін

Алгебраїчною системою називається безліч, на якій заданий деякий набір алгебраїчних операцій; операцій в цьому наборі може бути як кінцеве число (зокрема, одна), так і нескінченно багато. Розуміння висловленого визначення передбачає знання математичних понять безлічі і алгебраїчної операції. Маючи на увазі переважно читач-нематематика, я не буду тут заглиблюватися і приводити відповідні роз'яснення, а проілюструю визначення на декількох, сподіваюся, цілком зрозумілих прикладах. Безліч N всіх натуральних чисел можна розглядати як алгебраїчну систему з однією операцією складання; або з однією операцією множення; або з набором з двох вказаних операцій; або, наприклад, з набором, який складається з двох вказаних операцій і нескінченної безлічі операцій зведення довільного числа у всілякі міри з натуральним показником. Таким чином, одна і та ж безліч (в даному прикладі - N) може бути перетворена в різні алгебраїчні системи. На безлічі всіх цілих чисел або безлічі всіх дійсних чисел можна крім перерахованих операцій розглядати, наприклад, операцію віднімання. Різні алгебраїчні операції природно розглядати не тільки на числових множинах, але і, наприклад, на множинах векторів, функцій, матриць, ланцюжків сигналів і багатьох інших множинах, службовцях предметом уваги і вивчення в різних розділах математики і її додатків. Тим самим ясно, що різного роду алгебраїчні системи дуже поширені в "математичному світі".

Алгебра, що є однією з найважливіших областей математики, в двадцятому віці сформувалася саме як наука про алгебраїчні системи. При цьому в ній вивчаються і властивості конкретних алгебраїчних систем, і різноманітні загальні властивості алгебраїчних систем, що виражаються в термінах заданих на них операцій. Однією з найважливіших мов для вираження властивостей алгебраїчних систем є мова тотожності. Тотожністю називають рівність буквених виразів, справедливу при всіх значеннях вхідних в нього букв. Поняття тотожності можна вважати унікальним по "дистанції", що охоплюється ним в математиці, - від самих початкових фактів, з якими знайомляться младшеклассники, до великих наукових досягнень останнього часу і відкритих проблем.

НайПростіші приклади тотожності доставляє та властивість складання і множення натуральних чисел, яке називається коммутативностью і яке в школі прийнято називати переместительным законом. Відповідна тотожність записується добре відомими формулами

х + у = у + х, х · у = у · х. (1)

У шкільному курсі до переместительному закону невдовзі додається сочетательный, що означає виконання для вказаних операцій властивості асоціативності, т. е. тотожності

(х + у) + z = х + (у + z), (х · у) · z = х · (у · z). (2)

Пізніше констатується так званий розподільний закон, що означає виконання тотожності дистрибутивности

х · (у + z) = х · у + х · z, (у + z) · х = у · х + z · х. (3)

Вказана тотожність розповсюджується на більш широкі числові множини: на цілі числа, раціональні, дійсні. Для числових множин в шкільній математиці відмічаються і інша тотожність, як правило, що виводяться з більш простих, серед яких, звісно, тотожність (1)-(3). Типові приклади такої тотожності:

(х + у)2 = x2 + 2·х·у + y2, x2 - y2 = (х + у) · (х - у).

Є немало прикладів важливої тотожності (як в рамках шкільної математики, так і особливо поза цими рамками), в яких беруть участь інші операції, задані на числових і нечислових множинах. Можна сказати, що тотожність є неодмінними учасниками багатьох математичних викладень, і у величезному числі робіт, що відносяться до самим різним областям математики, так чи інакше доводиться мати справу з тотожністю алгебраїчних систем. Варто відмітити, що майже всі основні типи алгебраїчних систем і визначаються в термінах тотожності.

Так, полугруппа - це безліч з однією асоціативною операцією; якщо ця операція позначена, скажемо, символом °, то асоціативність означає виконання тотожності

(х ° у) ° z = х ° (у ° z).

Зокрема, якщо така операція названа складанням [множенням], то полугруппа визначається першою [другим] з тотожності (2); тим самим, наприклад, безліч N всіх натуральних чисел є полугруппой і відносно складання, і відносно множення.

Група може бути визначена як полугруппа (з операцією, позначеною, скажемо, символом °), на якій задана додаткова операція, що зіставляє будь-якому елементу х елемент, що означається, скажемо, x', причому крім тотожності асоціативності виконана тотожність

х ° x' = x' ° х, (х ° х') ° у = у ° (х ° х') = у.

Групою, наприклад, буде безліч всіх цілих чисел, якщо як операція ° взяти складання, а роль x' буде грати елемент -x.

Кільце визначається як безліч з двома операціями, званими звичайно складанням і множенням, і додатковою операцією, що зіставляє будь-якому елементу х елемент -x, причому відносно складання і вказаної додаткової операції це група, складання комутативний, т. е. виконана перша з тотожності (1), а складання і множення пов'язані тотожністю дистрибутивности (3). НайПростіший приклад кільця - безліч всіх цілих чисел відносно звичайних операцій складання і множення.

Очевидно, що різної тотожності нескінченно багато, навіть якщо розглядати тільки тотожність, в якій фігурує якась одна операція. Більш того з будь-якої тотожності, що виконується в даній алгебраїчній системі, можна вивести нескінченно багато іншої тотожності, що виконується в тій же системі. Вже ці прості міркування наводять на думку про багатство ситуацій, в яких можуть виникати питання, пов'язані з розглядом тотожності. (Наприклад, одне з принципових питань такого роду полягає в з'ясуванні того, чи може вся тотожність, що виконується в даній алгебраїчній системі, бути виведені з кінцевого числа такої тотожності. Це так звана проблема кінцевого базису. Відомі приклади як позитивного, так і негативного розв'язання цієї проблеми для багатьох алгебраїчних систем, що вивчалися, - і в більшості випадків відповідні результати являють собою великі досягнення в сучасних алгебраїчних дослідженнях*). Проблематика, пов'язана з вивченням тотожності, надзвичайно багата і обумовила формування широкого напряму досліджень, званого теорією різноманіть. Різноманіттям в даному контексті прийнято називати всякий клас алгебраїчних систем, який може бути заданий деякою сукупністю тотожності. Важливими прикладами різноманіть є, як витікає з сказаного в трьох попередніх абзацах, такі "великі" класи, як клас всіх полугрупп, клас всіх груп, клас всіх кілець. У кожного з них є нескінченно багато підкласів, також що є різноманіттями; вони називаються подмногообразиями. Подмногообразия будь-якого різноманіття утворять так звану гратку (це також один з основних типів алгебраїчних систем, але, не забуваючи про читача-нематематику, я не буду приводити визначення гратки, яке, до речі, також може бути дано на мові тотожності). Значна частина досліджень по теорії різноманіть встановлює різноманітні зв'язки між різноманіттями і гратками їх подмногообразий.

Початок розвитку теорії різноманіть алгебраїчних систем був встановлений в 1935 році основоположною роботою американського математика Г. Біркгофа. У другій половині двадцятого віку теорія різноманіть перетворилася в один з магістральних напрямів в алгебрі. Цій теорії присвячене безліч досліджень, відображених, мабуть, в декількох тисячах робіт. Значне місце займає теорія різноманіть і в дослідженнях учасників екатеринбургского семінару "Алгебраїчні системи", керованого автором справжньої нотатки. У доповіді на ювілейній науковій конференції Уральського університету 17 жовтня 2000 року я стисло розказав про основні напрями досліджень по теорії різноманіть, що проводяться в семінарі. Можна виділити п'ять таких напрямів: тотожність, структурні аспекти, гратки різноманіть, вільні системи в різноманіттях, алгоритмічні проблеми; в кожному з них, в свою чергу, природно виділяються більш конкретні розділи. У доповіді були охарактеризовані типові проблеми, на рішення яких прямували зусилля багатьох учасників семінару. Серед них, наприклад, згадана в попередньому абзаці проблема кінцевого базису, проблема класифікації різноманіть з тими або інакшими обмеженнями на гратку їх подмногообразий і цілий ряд інших важливих проблем. Багато істотних результатів було отримано учасниками семінару в кожному з п'яти вказаних напрямів.

Але зміст згаданої доповіді не обмежився рамками оголошеної теми "Різноманіття алгебраїчних систем": в доповіді була змальована і загальна картина діяльності семінару протягом 34 років. Подальший текст даної нотатки відображає цю, другу, частину доповіді. Семінар "Алгебраїчні системи" почав роботу в Уральському університеті в листопаді 1966 року. До того часу навколо пишучого ці рядки згрупувалося дещо більш молодих дослідників - і виникла звичайна в таких випадках потреба крім індивідуальних бесід з кожним регулярно зустрічатися всім разом для обговорення результатів, що отримуються і взагалі для обговорення проблематики. Пізнє в традицію семінару увійшло також обговорення тез доповідей, що посилаються його учасниками на різні великі конференції. Чимала увага приділялася і вихованню у молодих дослідників уміння робити наукові доповіді. Спочатку на семінарі було біля 10 постійних учасників. У подальші роки їх число доходило до 20-25. Пік, мабуть, довівся на 80-е роки, коли на окремих засіданнях було присутнє до 30 чоловік. З середини 80-х років серед постійних учасників семінару, нарівні з учнями керівника семінару, з'явилися і учні його учнів. Число таких "наукових внуків" відтоді неухильно зростає; їх підготовкою успішно займаються В. А. Баранський, Ю. М. Важенін, М. В. Волков, Е. В. Суханов.

Об'єктом розглядів в семінарі служить ряд основних типів алгебраїчних систем: полугруппы, групи, кільця, гратки і деякі інші. Останнім часом тематика семінару збагатилася деякими питаннями, які прийнято відносити до дискретної математики, зокрема питаннями дискретної оптимізації. Дослідження в семінарі ведуться по цілому ряду напрямів. Теорія різноманіть складає одну з найбільш помітних ліній, про дослідження в цьому напрямі стисло сказано вище. Детальніше про дослідження в семінарі розказано в статті [5], де серед іншого перераховані всі дисертації, захищені учасниками семінару до 1999 року; до теперішнього часу захищене 45 кандидатських і 8 докторських дисертацій.

За роки існування семінару його учасниками опубліковано більше за 600 статей і більше за 500 тез доповідей на різних конференціях, головним чином всесоюзних і міжнародних. При цьому більше за 270 статей надруковано в центральних вітчизняних математичних журналах, більше за 130 - в міжнародних журналах або трудах міжнародних конференцій, більше за 110 - в "Математичних записках Уральського університету" (що виходили в 60-80-х роках). Відмічу узагальнюючі публікації по областях досліджень, яким в семінарі приділялася особливо велика увага і в які учасники семінару внесли помітний (а в деяких питаннях - що визначає) внесок. Це оглядові статті [6]-[13], а також монографії [14] і [15]; друга з монографій являє собою не просто англійський переклад, а модифіковану і розширену версію першої. Трохи із згаданих оглядових статей, як безпосередньо видно по їх назвах, присвячені проблематиці тотожності і іншим аспектам теорії різноманіть. У вказаних трудах оглядаються всі основні досягнення у відповідних областях, належні численним авторам з різних країн. Розділ [16] довідкової монографії по загальній алгебрі присвячений алгебраїчній теорії полугрупп загалом і дає маючий енциклопедичний характер розгорнений нарис цієї теорії (включаючи додатки до теорій формальних мов, автоматів і кодів) за станом на початок 90-х років. Аналогічний характер мають більш ранні публікації автора даної нотатки в Великій радянській енциклопедії (3-е изд.) і пятитомной Математичній енциклопедії (1977-1985): для першої була написана стаття "Полугруппа", для другої - цикл з 40 статей по теорії полугрупп. Недавно декількома учасниками семінару (М. В. Волковим, А. П. Замятіним і І. О. Коряковим) під керівництвом і за участю автора даної нотатки підготовлений цикл з 11 статей для однотомної енциклопедії "Дискретна математика", вихід якої очікується в 2001 році.

Крім оригінальних публікацій, певна увага була приділена нами і переказам на російську мову декількох фундаментальних зарубіжних трудів в областях, вхідних в коло інтересів учасників семінару. Це двотомна монографія [17], основним перекладачем якої був В. А. Баранський (він перевів 11 розділів з 12, один розділ переведений В. Г. Жітомірським), монографія [18] і учбова допомога [19], переведені І. О. Коряковим. Вказані перекази виконані під редакцією пишучого ці рядки.

Семінар брав участь в організації декількох великих алгебраїчних конференцій, в тому числі всіх трьох всесоюзних симпозіумів по теорії полугрупп, проведених в Свердловське Уральським університетом в 1969, 1978 і 1988 роках, і двох міжнародних конференціях по теорії полугрупп і її додаткам в честь Е. С. Ляпіна, проведених в Санкт-Петербурге в 1995 і 1999 роках (Уральський університет був соорганизатором цих двох конференцій). З учасників семінару перебувала редколегія збірника невирішених проблем по теорії "полугрупп Свердловська зошит", який тричі випускався Уральським університетом після кожного всесоюзного симпозіуму.

Засідання семінару проходять протягом учбового року щотижня (з рідкими пропусками і, як правило, перервою на зимову сесію). До 2001 року відбулося 880 засідань. З початком публікації випусків серії "Математика і механіка" журналу "Звістки Уральського державного університету" в них стали публікуватися досить інформативні звіти про засідання семінару - з тезами багатьох зроблених на йому доповідей. У трьох випусках цієї серії, що вийшли до теперішнього часу вміщені звіти про засідання з 800-го по 872-е. З кінця 60-х років крім свердловских (екатеринбургских) учасників на семінарі час від часу виступають іногородні, а з 1989 року - і іноземні алгебраїсти. Усього за час роботи семінару на ньому виступили більше за 200 доповідачів, в тому числі більше за 120 іногородніх (з 43 міст колишнього Радянського Союзу і 11 міст ряду зарубіжних країн: Австралії, Австрії, Великобританії, Угорщини, Іспанії, Канади, Монголії, Польщі, США). Трохи вихованців семінару працюють зараз в зарубіжних університетах; деякі з них провідують рідне місто, використовуючи такі візити і для виступів на семінарі, де проходило їх наукове становлення.

Кожне 100-е ( "ювілейне") засідання семінару проводиться по спеціальній програмі: обговорюються основні підсумки роботи семінару за минулі сто засідань і перспективи досліджень на найближчі роки, повідомляється статистика, що відноситься до доповідачів і публікацій. 500-е засідання було особливим: ми зробили його розширеними і запросили багатьох так чи інакше пов'язаних з семінаром колег з різних міст СРСР. Номінально одне засідання насправді складалося з п'яти окремих засідань і проходило протягом трьох днів - з 31 січня по 2 люті 1985 року. Фактично вийшла своєрідна всесоюзна алгебраїчна конференція, в роботі якої взяли участь більше за 90 чоловік з 20 міст, в тому числі більше за 40 іногородніх. На розширеному 500-м засіданні було зроблено 36 доповідей.

У більш або менш обозримом майбутньому бачиться день, коли семінар збереться і на своє 1000-е засідання: це приблизно може статися в 2005 році. Сподіваюся, що в найближчі роки учасники семінару успішно продовжать свою дослідницьку діяльність як в напрямах, що стали для семінару традиційними, так і, можливо, в тих або інакших нових напрямах. Хочеться також сподіватися, що і надалі семінар буде поповнюватися молодими дослідниками.Список літератури

1 Шеврін Л. Н. Тождества в алгебрі // Соросовський Освітній Журнал. 1996. N 7. С. 111-118.

2 Шеврін Л. Н. Тождества в алгебрі // Сучасне природознавство: Енциклопедія. Т. 3. Математика. Механіка. М., 2000. С. 17-22.

3 Вовків М. В. Проблема кінцівки базису тотожності // МІФ. Екатеринбург, 1996/97. N 2. С.4-15.

4 Бахтурін Ю. А., Ольшанський А. Ю. Тождества // Сучасні проблеми математики. Фундаментальні напрями. Т. 18. М., 1988. С. 117-240.

5 Шеврін Л. Н. Про семінар "Алгебраїчні системи" // Звістки Уральського державного університету. 1998. N 10. (Математика і механіка. Вип. 1). С. 167-173.

6 Shevrin L. N., Ovsyannikov A. J. Semigroups and their subsemigroup lattices // Semigroup Forum. 1983. Vol. 27. P. 1-154.

7 Shevrin L. N., Martynov L. M. Attainability and solvability for classes of algebras // Semigroups (Coll. Math. Soc. J. Bolyai. 39. Eds. G.Pollбk, ' t.Schwarz, O.Steinfeld). Amsterdam-Oxford-New York, 1985. P. 397-459.

8 Шеврін Л. Н., Вовків М. В. Тождества полугрупп // Ізв. вузів. Математика. 1985. N 11. С. 3-47.

9 Важенін Ю.М. Разрешимость теорій першого порядку класів полугрупп // Алгебраїчні системи і їх різноманіття. (Матем. записки УрГУ. Т. 14, тетр. 3). 1988. С.23-40.

10 Шеврін Л. Н., Суханов Е. В. Структурние аспекти теорії різноманіть полугрупп // Ізв. вузів. Математика. 1989. N 6. С. 3-39.

11 Kelarev A. V. Radicals of semigroup rings of commutative semigroups // Semigroup Forum. 1994. Vol. 48. P. 1-17.

12 Kharlampovich O. G., Sapir M. V. Algorithmic problems in varieties // Inter. J. Algebra and Comput. 1995. Vol.5. P.379-602.

13 Volkov M. V. The finite basis problem for finite semigroups // Scientiae Mathematicae Japonicae. 2000. Vol.53, N 1. P.171-199.

14 Шеврін Л. Н., Овсянников А. Я. Полугруппи і їх подполугрупповые гратки. Свердловск, 1990. Ч. 1; 1991. Ч. 2.

15 Shevrin L. N., Ovsyannikov A. J. Semigroups and their subsemigroup lattices. Dordrecht-Boston-London, 1996.

16 Шеврін Л. Н. Полугруппи // Загальна алгебра /Під ред. Л.А.Скорнякова. М., 1991. Т. 2. С.11-191.

17 Кліффорд А., Престон Г. Алгебраїчеська теорія полугрупп. М., 1972. Т.1, 2.

18 Лаллеман Ж. Полугруппи і комбинаторные додатки. М., 1985.

19 Лідл Р., Пільц Г. Прікладная абстрактна алгебра. Екатеринбург, 1

© 8ref.com - українські реферати
8ref.com