Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Про закони історії і математичні моделі - Філософія

С. А. Нефедов

Сорок років тому, в грудні 1958 р., великий історик Фернан Бродель заявив про народження "нової історичної науки" - la novelle historie. "Дуже нелегко переконати істориків і особливо викладачів суспільних наук, наполегливо бажаючих розуміти під історією те, чим вона була учора, - писав Фернан Бродель. - А тим часом, нова історична наука вже існує (курсив наш. - С.Н.), безперервно удосконалюючись і видозмінюючись... Я говорю вам, перед історією запалився вогонь нового дня! "1 Бродель затверджував, що зародження нової історії пов'язане з методом міждисциплінарного синтезу і появою школи "Анналов". Синтез історії, географії, економіки, соціології, демографії - так виглядала нова наука в очах великого історика.

Нова історія ставала точною наукою, в трудах своїх фундаторів - Франсуа Симіана і Ернеста Лабрусса - вона перетворювалася в статистичні описи, в довгі ряди чисел, що характеризують виробництво, ціни, заробітну плату. Ці ряди чисел аналізувалися математичними методами з метою виявлення циклічних закономірностей. "Я вірю в плідні наслідки статистичного аналізу, - писав Фернан Бродель. - Нова економічна і соціальна історія на перший план в своїх дослідженнях висуває проблему циклічної зміни, вона заворожена фантомом, але разом з тим і реальністю циклічного підйому і падіння цін"2.

Рис. 1. Логистическая крива і крива душевого споживання

Вже в перших роботах Симіана і Лабрусса, невдовзі після появи "Анналов", були виявлені циклічні коливання цін і реальної заробітної плати в XVI-XVIII вв.3 Таким чином, була виявлена повторюваність історичних процесів, тобто були знайдені закони історії. Правда, ні Симіан, ні Лабрусс спочатку не розуміли природи виявлених коливань, значення відкритих ними закономірностей. Розуміння прийшло нескоро, для розв'язання проблеми знадобилися труди багатьох дослідників з різних країн. Лише два десятиріччя опісля, в 1950-х рр., було визнано, що циклічні коливання мають в основі демографічну природу.

Ще на початку 20-х рр. американський біолог і демограф Раймонд Пірл показав, що зростання популяцій в живій природі описується так званим логистическим уравнением4

В цьому рівнянні N - чисельність населення, яка залежить від часу t; r - коефіцієнт природного приросту, K - максимальна чисельність при існуючих ресурсах. Рішення цього рівняння називається логистической кривою. Логистическая крива спочатку зростає досить повільно, потім зростання прискорюється, але через деякий час крива наближається до асимптоте N=K, повертає і далі рухається вдовж асимптоты. Це означає, що популяція наблизилася до меж екологічної ніші і голодна смертність скомпенсировала природну народжуваність. Рівень заповнення екологічної ніші - величина Р=N/K - називається демографічним тиском, і логистическая крива, взята у відносному масштабі, є крива зростання демографічного тиску. Оскільки продовольчі ресурси залишаються обмеженими, то по мірі зростання населення відповідно убуває душевое споживання (мал. 1). Рух населення по логистической кривій називається демографічним циклом. Кінцева стадія демографічного циклу відрізняється нестійкістю, випадкові коливання зовнішніх чинників можуть привести до демографічної катастрофи - загибелі значної частини населення, після чого демографічний тиск падає і починається новий демографічний цикл.

Логистическое рівняння було отримане Р. Пірлом при вивченні динаміки зростання біологічних популяцій, і багато які демографи сумнівалися в можливості поширення цієї теорії на популяцію homo sapiens. Однак в 1934 р. німецький історик Вільгельм Абель, проаналізувавши дані про економічну доңюнктуре в Німеччині в XII-XIV вв., показав, що зростання чисельності населення в цей період привело до вичерпання ресурсів орних земель; це в свою чергу привело до недостачі продовольства, зростанню цін на зерно і голоду5. Епідемія чуми, що вибухнула в умовах, коли мільйони людей були ослаблені постійним недоїданням, привела до катастрофічних наслідків - загинуло біля половини населення Європи. Це була демографічна катастрофа, що завершила демографічний цикл. Таким чином, було показано, що описані Р. Пірлом цикли реально існували в історії.

Роботи В. Абеля знайшли широкий відгук в середовищі істориків різних країн. Кількість робіт, присвячених даній тематиці, швидко зростала. Однак залишалося неясним, як судити про чисельність населення у відсутність надійних статистичних даних. У 1950 р. Майкл Постан показав, що в умовах аграрної економіки про зростання або убування населення можна судити по величині реальної заробітної плати сільськогосподарських рабочих6. При зростанні чисельності населення в селі з'являються безземельні селяни і робочі руки дешевіють; при скороченні чисельності населення селяни забезпечені землею і робоча сила дорожчає. Таким чином, циклічні коливання чисельності населення породжували цикли цін і заробітної плати. Стало ясно, що цикли, виявлені Симіаном і Лабруссом - це і є демографічні цикли Пірла. З цього часу для аналізу демографічної ситуації стали застосовуватися дані про ціни і реальну заробітну плату, т. е. про душевом споживання; побудова таких графіків (див., наприклад, мал. 2) стала основним способом підтвердження реальності демографічних і економічних циклів.

Рис. 2. Заробітна плата (крива душевого споживання) і ціна ржи в Німеччині. Заробітна плата виражена в кілограмах ржи; падіння споживання відображає зростання демографічного тиску в цикле XV-XVI вв. Графік, побудований по даним В. Абеля, відтворений в книзі Ф. Броделя. (Бродель Ф. Матеріальная цивілізація, економіка і капіталізм, XV-XVII вв. Т. 1. Структури повсякденності. М., 1986.)

Нова історія розроблялася зусиллями М. Постана, Д. Салмарша, Д. Рассела, Е. Міллера, Д. Тітова, Р. Хилтона в Англії; Ж. Мевре, П. Губера, Ф. Броделя, Е. Лабрусса, Р. Мунье, Е. Ле Руа Ладюрі, Е. Перруа, Е. Бутрюша у Франції; Ф. Лютге, Е. Кельтера, Е. Кейзера, К. Хеллейнера в Німеччині - в цей далеко не повний список включені лише самі відомі імена. Концепція демографічних циклів увійшла в енциклопедичні многотомные видання: "Кембриджская економічна історія Європи", "Економічна і соціальна історія Франції", "Історія Італії". Останнім часом ця концепція стає базою для учбових курсів по економічній історії. Як приклад можна привести опублікований в Оксфорді курс відомого історика і економіста

***

Метою справжньої роботи є побудова компактної моделі, що описує основні процеси, що протікають протягом демографічного циклу. Верифікація моделі проводилася на матеріалах, що відносяться до історії Китаю I-II вв. - для цього періоду в джерелах є відомості про чисельність населення і посівні площі, що дозволяє порівняти розрахункові дані з реальностью8.

Визначимо час (в роках) величиною t, площа ріллі - S(t), а чисельність населення - Y(t). Площа ріллі при даному розвитку продуктивних сил обмежена деякою максимальною величиною Sm, яка в I-II вв. складала біля 34 млн га. У зв'язку з цією обставиною площа ріллі не зростає пропорціонально чисельності населення: починаючи з деякого моменту вона прагне до асимптоте Sm. Залежність посівної площі S від чисельності населення Y можна описати за допомогою логистического рівняння

Початкову умову для цього рівняння має вигляд S(Y0)=S0, де Y0 =21, S0 =16.4 (в 57-м м. при чисельності населення в 21 млн посівні площі становили 16.4 млн га). Це рівняння має рішення

Константу З можна знайти з умови, що в 88-м м. при чисельності населення 43.4 млн чоловік посівні площі становили 33.8 млн га. Таким чином, ми можемо знайти закон зміни площі ріллі в залежності від чисельності населення. Нехай q - величина висіву на гектар ріллі (в нашому випадку 45 кг), тоді M=qS є маса зерна, що висівається. Далі, визначимо p0 мінімальне споживання на душу населення; в нашому випадку можна прийняти р0 рівним 215 кг зерна в рік. Величина P0=p0Y(t) є мінімальне сукупне споживання, а W=M+P0 - мінімальна кількість зерна, необхідна для споживання і посіву. Нехай X(t) - таке, що є після збору урожаю кількість зерна (урожай і запаси). Якщо X(t)>W, то селяни мають надлишки зерна, і u=(X(t) - M)/Y(t) - кількість зерна (на душу населення), яка може бути спожите в поточному році. Зрозуміло, селяни не проїдають все це зерно, залишаючи частину його про запас. Будемо вважати, що вони залишають про запас половину надлишків, що є. Визначимо максимальне споживання pm, тоді функція душевого споживання має вигляд

Реальне сукупне споживання буде таке, що дорівнює P1=р(u)Y(t), а реальні витрати на споживання і посів W1=M+P1, так що до часу збору наступного урожаю у селян залишаться перехідні запаси, рівні Zp=Х(t)-W1. Далі, нехай l0 - збір на одне зерно посіву (в наших умовах l0 =15-25); врожайність, зрозуміло, була непостійною, і ми врахуємо цю обставину, додавши до l0 випадкову величину dl0, так що реальна врожайність буде рівна l=l0+dl0. Урожай наступного року буде рівний lM; з цієї кількості треба відняти податки, які становлять 1/30 урожаї і 120 монет з кожного дорослого (23 монети з підлітка). У середньому кожний китаєць платив 60 монет; в урожайні роки ціна 1 ху (20 літрів - 16 кг) зерна становила 20 монет, отже, 60 монет еквівалентні 48 кг зерна. Таким чином, на сплату податків потрібно кількість зерна, рівне Н=lM/30+0.048Y(t). З урахуванням перехідних запасів кількість зерна після збору урожаю буде рівна

X(t+1)=lM - Н+Х(t) - W1.

Тепер залишається визначити чисельність населення Y(t+1). У класичній логистической моделі Р. Пірла

де r - коефіцієнт природного приросту в сприятливих умовах, а K - ємність екологічної ніші, т. е. максимально можлива чисельність населення при продовольчих ресурсах, що є. У нашому випадку До=P1/p0; крім того, ми будемо використовувати модернизированную модель, в якій член Y(t)/K замінюється на

де n - показник компенсації, введений Мейнардом Смітом і Слаткином9. Введення цього показника пояснюється тим, що в людському суспільстві голод приводить не тільки до високої смертності, але також до повстань і воєн, що різко збільшують коефіцієнт смертності.

Розглянемо тепер випадок, коли селяни випробовують нестачу зерна, тобто X(t)У міру того як селяни продають свої землі, поступово розвивається поміщицьке землеволодіння, а площа селянських земель меншає. Поміщики запрошують на свої землі орендарів, які віддають їм половину урожаю, отже, на одного орендаря доводиться вдвоє більша площа, ніж на селянина: приблизно 1,3 га. Якщо в поточному році селяни продали наділи площею Da, то на цих землях можна розмістити Na=Da/1.3 орендарів, і селянське населення меншає на величину Na.

Розглянемо тепер динаміку чисельності орендарів. Визначимо Sa площу земель, на яких господарюють орендарі, Ya(t) - чисельність орендарів в році t і Xa(t) - запаси хліба, що є у них за вирахуванням податків і посівного фонду. Маса зерна, що висівається орендарями рівна Ma=qSa, а мінімальне сукупне споживання Pa0=p0Ya(t). Якщо Xa(t)>Pa0, то орендарі мають надлишки зерна, і в цьому випадку душевое споживання орендарів (pua) розраховуються так само, як для селян. Реальні витрати на споживання складуть Pa=pua Ya(t), так що до часу збору наступного урожаю у орендарів залишаться запаси, рівні Xa(t)-Pa. Урожай наступного року буде рівний lMa, а податки - На =lMа /30+0.048Yа (t). Оскільки орендарю за вирахуванням податків і посівного фонду належить лише половина урожаю, то запаси зерна після збору урожаю будуть рівні Xa(t+1)=(lMa)/2+Xa(t)-Pa. Ємність екологічної ніші для орендарів визначається по формулі До=Pa/p0, а чисельність - так само, як для селян. До розрахункової чисельності кожний рік додається величина Na - число селян, що стали новими орендарями. Цим новим орендарям поміщики виділяють наділи в середньому 1,3 га на людину, а також позичають зерном, необхідним для посіву і річної норми споживання, - в середньому 250 кг на одну людину.

Поміщики зацікавлені в підтримці своїх орендарів, тому в роки великого голоду вони видають їм зернові позики, з тим щоб довести споживання до мінімуму ра1. У сприятливі роки селяни повертають свій борг.

Поміщики витрачають свої зернові ресурси не тільки в лихварських або споживчих цілях, але і на придбання ремісничих виробів і на зміст слуг. Нехай чисельність ремісників в рік t складає Yr(t) і у них є запаси хліба Xr(t). Мінімальне сукупне споживання становитиме Pr0=p0Yr(t). Якщо Xr(t)>Pr0, то ремісники мають надлишки зерна, і в цьому випадку їх душевое споживання (pur) розраховується так само, як для селян. Реальні витрати на споживання складуть Pr=purYr(t), так що до часу збору наступного урожаю у ремісників залишаться запаси, рівні Xr(t)-Pr. Податки складають Hr=0.48 Yr(t). Якщо покласти, що на частку ремісників доводиться kr % зерна, належного поміщикам, то запаси наступного року складуть Xr(t+1)=kr(lMa - Ha)/2-Hr+Xr(t)-Pr. Ємність екологічної ніші для ремісників визначається по формулі До=Pr/p0, а чисельність - так само, як для селян.

У роки голоду ремісники беруть зерно в борг у поміщиків, стараючись збільшити споживання хоч би до величини голодного мінімуму pr1. У сприятливі роки вони повертають свій борг разом з відсотками.

У роки голоду, коли селяни продають землю, частина з них намагається зайнятися ремеслом: одні йдуть в міста, інші займаються ремеслом як підсобним промислом. Для розрахунків зручніше розділяти ремісників і селян: наприклад, ми вважаємо, що четверо селян, одержуючих четверту частину доходу від ремесла, еквівалентні трьом селянам і одному реміснику. Селяни в основному живуть натуральним господарством, і ремісники продають свої товари тим, у кого є надлишок зерна - переважно поміщикам. Кількість "вакансій" ремісників, що знову відкриваються і слуг обмежена приростом доходу поміщиків від експлуатації розміщених в минулому році орендарів; якщо Da - землі нових орендарів, а Haa - податки, що сплачуються ними, то дохід поміщика з них складе

G=(0.65(l - 1) Da - Haa)/2.

З цього доходу ремісникам може поступити kr %, і при нормі споживання p0 чисельність нових ремісників і слуг може скласти krG/p0. Частину доходу, що Залишилася поміщики використовують на споживання і накопичення запасів; ми будемо вважати, що частки, що використовуються на споживання і накопичення, рівні. Держава також проводить накопичення запасів; відповідно до рекомендації трактату "Гуань-цзи" в державні комори відкладається половина зерна, що отримується державою як поземельний податок.

Математичні моделі звичайно містять деякі невизначені параметри, які підбираються шляхом чисельного експерименту. У нашому випадку найбільш важливий параметр n - коефіцієнт компенсації, що описує, зокрема, смертність населення при падінні споживання р(u) нижче "голодної норми" p0. Якщо розглядати традиційну логистическую модель (n=1), то при скороченні "голодної норми" наполовину чисельність населення убуває лише на 3%. Це явно нереальне, так само як варіанти n=2 і n=3, тому ми будемо розглядати випадки n=4-6.

***

Які ж результати розрахунків по описаній моделі? Розглянемо графіки, зображені на мал. 3. (для цього випадку n=6, r=1.03) Присутність випадкових коливань врожайності зумовлює "вібруючий" характер кривих, і при різних прогонах програми результати можуть мінятися в межах декількох відсотків. Приблизно до 100-го м. коливання врожайності не впливають на чисельність населення; як показують розрахунки, в цей період у селян є багаторічні запаси зерна і неврожай не приводить до голоду; крива зростання чисельності населення "загладжена" і стійка. Як можна укласти з графіка, розрахункова чисельність населення добре узгодиться з даними переписів. Узгодяться і загальні тенденції: У 57-85 рр. селяни інтенсивно розорювали землю і у них скупчилися великі запаси зерна (мал. 3).

Рис. 3. Чисельність населення (млн чол.), рілля (млн га) і споживання селян за розрахунковими даними

Споживання в цей період було високим, і чисельність населення швидко збільшувалася. Після 85-го м. з поступовим вичерпанням резервів вільних земель внутрішня колонізація сповільнилася, а населення продовжувало зростати, так що споживання стало перевищувати розміри урожаїв, і запаси стали скорочуватися. У 102-м м. запаси вичерпалися і почався голод. У умовах голоду селяни стали продавати землю, це дозволило багато чим з них уникнути голодної смерті, однак чисельність населення помітно знизилася. До цього часу джерела відносять першу хвилю селянських повстань.

Після першої кризи почався період стагнації. Продаж землі привів до дефіциту ріллю, що в свою чергу привело до голоду і нового продажу. Чисельність селян-власників постійно меншала за рахунок голодної смертності і переходу в орендарі або в ремісники. До цього часу джерела відносять бурхливе зростання міст і розвиток ремесел. Чисельність ремісників і орендарів зростала, однак це не означає, що їх рівень життя був високим; як показують розрахунки, душевое споживання знаходилося на рівні "голодної норми" і зростання йшов лише за рахунок притоки розорених селян.

Фактично період після закінчення внутрішньої колонізації був часом постійного голоду. Демографічний тиск в цей період залишається максимально високим і близький до межі, за якою починається загибель населення.

У історичних джерелах приводяться дані переписів населення до 157-го м. - після цього часу розкладання державного апарату досягло такої міри, що переписи перестали провестися. Що можуть сказати розрахунки про цей період?

Ми бачимо, що процес розорення селянства закінчується демографічною катастрофою, різким скороченням чисельності населення в 180-х рр. - і дійсно, в цей час сталося повстання "жовтих пов'язок", а потім почалися довгі міжусобні війни. Розрахунки виявляють механізм цієї демографічної катастрофи. У період 102-160 рр. відбувався процес розорення селянства, селяни жили в умовах постійного голоду і, щоб уникнути голодної смерті, продавали свої землі. Однак в міру того як селяни продавали землю, зростала диспропорція між їх чисельністю і площею селянських земель - катастрофічно наростало малоземелля (мал. 3). Зрештою землі залишилося так мало, що її продаж не міг врятувати селян - почався страшний голод, що супроводиться епідеміями і що привів до повстань. Потрібно особливо відмітити, що голод відбувався в роки стабільних урожаїв і уразив лише селян-власників, що становили до того часу меншу частину населення, однак повстання і війни залучили в свою орбіту все населення, і їх наслідки мали катастрофічний характер.

Інша, і мабуть, найбільш важлива обставина, що пояснює катастрофи, що періодично повторюються, - це нестійкість демографічних процесів в період стагнації. У цей період селяни практично не мають зернових запасів, тому, як показують розрахунки, повторення неврожайних років саме по собі може привести до демографічної катастрофи - незалежно від процесу розорення селянства.

Звісно, розрахунки по математичній моделі залежать від деяких параметрів, які насправді невідомі і підбираються емпірично. Можна міняти ці параметри - тоді зміняться час і масштаби катастрофи, але суть явища залишається незмінною: катастрофа все одно відбувається. Більш того в деяких випадках вона може бути набагато більш грізною, ніж показують приведені графіки. Можна збільшити розкид врожайності - тоді крива чисельності населення почне "вібрувати" сильніше, і можуть з'явитися інші катастрофи, пов'язані з неврожаями і стихійними лихами. Як би там не було, напрошується висновок про нестабільність традиційного селянського суспільства в епоху до промислової революції. Цикл епохи Хань був лише одним з багатьох демографічних циклів в історії Китаю - і природний хід подій завжди приводив до розорення селянства, повстанням і демографічним катастрофам.

Зрозуміло, закони екології і математики діяли не тільки на території Китаю - їм був підвладний весь світ, і він залишається в їх владі досі. Звісно, в наш час розвиток суспільства описується більш складними рівняннями, але ми не повинні відкидати досвід минулого і удавати, що історія нас не торкається. "Минуле - вчитель подів майбутнього", - писав міністр імператора У-ді, великий історик Сима Цянь.

Список літератури

1Braudel F. Histoire et sciences soсiales. La longue duree // Annales. 1958. Оctobre; Російський переклад: Бродель Фернан. Історія і суспільні науки. Історична тривалість // Філософія і методологія історії. М., 1977. С. 117, 128.

2 Там же. С. 118, 140.

3 См.: Simiand F. Recherches anciennes et nouvelles sur le mouvement general des prix au XVIe au XIXe siecles. Р., 1932; Labrousse C.-E. Esquisse du mouvement des prix et des revenus en France au XVIIIe siecle. Vol. 1-2. Р., 1933.

4 См.: Pearl R. The Introduction to Medical Biometry and Statistics. Philadelphia, 1930; Ibid. The Natural History of Population. L., 1939.

5 См.: Abel W. Bevolkerungsgang und Landwirtschaft im ausgehenden Mittelalter im Lichte der Preis - und Lohnbewegung //Schmollers Jahrbucher. 1934; Bd. 58; Idem. Agrarkrisen und Agrarkonjunktur in Mitteleuropa vom 13. bis zum 19. Jahrhundert. Berlin, 1935.

6Postan M. Same economic evidence of declining population in the later middle ages // The Economic History Review. Ser. 2. 1950. Vol. 2, № 3.

7 См.: Cameron R. A concise economic history. From paleolitic times to the present. N. Y.; Oxford, 1989.

8 См.: Lee Mabel Ping-hua. The Economic History of China. N. Y., 1921; Крюків М. В., Переломів Л. С., Софронов і інш. Древні китайці в епоху централізованих імперій. М., 1983; Кульпин Э. С. Человек і природа в Китаї. М., 1990.

9Smith J. Maynard, Slatkin M. The stability of the preedator-prey systems.// Ecology. 1973. Vol. 54. Р. 384-391.

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайта http://www.eunnet.net/
Узагальнюючий урок по аутекологіі
(Закономірності системи "середа-організм") Звучить банально, але найголовніша і найважливіша закономірність в системі "середовище-організм" - це нерозривний зв'язок і взаємний вплив середовища і організму. Як організм відчуває вплив середовища (дія комплексу екологічних

Сірано Савиньен Бержерак. Інше світло, чи Держави та імперії Місяця
О дев'ятій вечора автор і четверо його друзів поверталися з одного будинку в околицях Парижа. На Небі світив повний місяць, притягаючи погляди гуляк і збуджуючи дотепність, вже відточену об каміння бруківки. Один припустив, що це небесне слухове вікно, звідки просвічує сяйво блаженних. Інший

Обрізка плетистих троянд
Плетистие троянди Плетистие троянди рясно цвітуть, утворюючи красиві і густі суцвіття. До них відносяться п'ять груп троянд, між якими немає чітких меж, тому й способи їх обрізки не завжди чітко розділяються. При наявності достатнього простору нові прирости плетистих троянд переважно формувати

Орхідеї Kegeliella kupperi
William A. Rhodehamel Цей епіфітний родич Stanhopea заслуговує більш широкого розповсюдження. Саме незвичайне в колекціонуванні орхідей, по видимому, нескінченна різноманітність цього величезного сімейства рослин. Ледве ви відчули, що впоралися зі своїми рослинами, відкриваються нові перспективи

Географічні координати
Ці координати можна назвати застосуванням сферичної системи координат (головною віссю якої є вісь добового обертання Землі) до несферіческой поверхні Землі. Здавалося б, тут і говорити особливо нічого. Географічна широта точки А на поверхні Землі - це кут між площиною земного екватора і радіусом,

Целюлоза
Целюлоза, клітковина, головний будівельний матеріал рослинного світу, який утворює клітинні стінки дерев та інших вищих рослин. Сама чиста природна форма целюлози - волоски насіння бавовнику. Очищення і виділення. В даний час промислове значення мають лише два джерела целюлози - бавовна і

Задачі лінійної алгебри
Реферат підготував учень 1КД гр. Сергій Шрам Міністерство науки і утворення України ДГМА Краматорськ 2003 При рішенні різних задач математики дуже часто доводиться мати справу з таблицями чисел, званих матрицями. За допомогою матриць зручно вирішувати системи лінійних рівнянь, виконувати багато

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати