Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Симетрія і принципи інваріантності у фізиці - Математика

В. І. Черепанов

Ми з готовністю сприймаємо лише ті фізичні теорії, які володіють витонченістю.

А. Ейнштейн

Слово "симетрія" ("symmetria") має грецьке походження і означає "відповідність". У повсякденній мові під симетрією розуміють найчастіше упорядкованість, гармонію, співмірність. Гармонійна узгодженість частин і цілого є головним джерелом естетичної цінності симетрії [1-4]. Кристали здавна захоплювали нас своєю досконалістю, суворої симметричностью форм. Симетричні мозаїки, фрески, архітектурні ансамблі будять в людях почуття прекрасного, музичні та поетичні твори викликають захоплення саме своєю гармонійністю. Таким чином, можна говорити про приналежність симетрії до категорії прекрасного.

Наукове визначення симетрії належить великому німецькому математику Герману Вейлю (1885-1955), який у своїй чудовій книзі "Симетрія" [1] проаналізував також перехід від простого чуттєвого сприйняття симетрії до її наукового розуміння. Згідно Вейлю, під симетрією слід розуміти незмінність (інваріантність) будь-якого об'єкта при певного роду перетвореннях. Можна сказати, що симетрія є сукупність інваріантних властивостей об'єкта. Наприклад, кристал може поєднуватися з самим собою при певних поворотах, відображеннях, зсувах. Багато тварин мають наближеною дзеркальною симетрією при відображенні лівої половини тіла в праву і навпаки. Однак підкорятися законам симетрії може не тільки матеріальний, а й, наприклад, математичний об'єкт. Можна говорити про інваріантності функції, рівняння, оператора при тих чи інших перетвореннях системи координат. Це в свою чергу дозволяє застосовувати категорію симетрії до законів фізики. Так симетрія входить в математику і фізику, де вона також служить джерелом краси і витонченості.

Поступово фізика відкриває все нові види симетрії законів природи: якщо спочатку розглядалися лише просторово-часові (геометричні) види симетрії, то в подальшому були відкриті її негеометріческіх види (перестановочне, калібрувальна, унітарна та ін.). Останні ставляться до законів взаємодій, і їх об'єднують загальною назвою "динамічна симетрія".

Принципи інваріантності відіграють дуже важливу роль в сучасній фізиці: з їх допомогою обґрунтовані старі і передбачені нові закони збереження, полегшено вирішення багатьох фундаментальних і прикладних завдань і, що особливо важливо, вдалося домогтися перших успіхів на шляху об'єднання фундаментальних взаємодій. Ці принципи мають велику спільністю. Видатний американський фізик-теоретик Ю. Вігнер [5] відзначив, що ці принципи ставляться до законів природи так само, як закони природи ставляться до явищ, тобто симетрія "управляє" законами, а закони "керують" явищами. Якби не було, наприклад, інваріантності законів природи щодо зсувів у просторі та часі, то навряд чи наука взагалі змогла б встановлювати ці закони.

Читачам, що цікавляться загальнонаукових і філософським значенням симетрії, можна порекомендувати вже згадувану книгу Г. Вейля [1], а також ряд статей і лекцій Ю. Вигнера, зібраних в його книзі "Етюди про симетрії" [5]. На широке коло читачів розрахована брошура А. компанійців [6]. Для більш підготовлених читачів рекомендуємо навчальну [7-9] і монографічну [10-12] літературу.

Метою цієї статті є короткий популярний виклад основних понять теорії симетрії і принципів інваріантності в сучасній фізіке.1. Просторово-часові види симетрії

Малюнок. Осі симетрії куба

Найбільш наочним видом симетрії є просторова (геометрична) симетрія, яка має ряд різновидів: обертальна, дзеркальна, трансляційна та ін. Наприклад, куля (або сфера) володіє повною обертальної симетрією, тобто обертання кулі навколо будь-якої осі, що проходить через його центр, на будь-який кут ? не міняє положення кулі в просторі; конус має повну одноосьовим симетрію; куб - три осі симетрії 4-го порядку (з поворотами на кути, кратні 2 ? / 4), шість осей симетрії 2-го порядку (??????) і чотири осі симетрії 3-го порядку (???? ) (див. рис.). Куля, конус і куб мають ще площини симетрії (перші два - нескінченне число, а куб - дев'ять площин симетрії).

Особливим видом симетрії є інверсійна симетрія, при якій кожна точка об'єкту з радіус-вектором r перетворюється в точку з радіус-вектором -r (при цьому радіус-вектор виходить з центру інверсії).

Зауважимо, що замість перетворень самого об'єкта можна виробляти відповідні перетворення системи координат: якщо після перетворення об'єкт в новій системі координат займає те ж положення, що і в старій, то таке перетворення координат є перетворення симетрії об'єкта. Таке визначення операцій симетрії зручніше, коли ми маємо справу з математичними об'єктами. Якщо математичний об'єкт (функція, оператор, рівняння) залишається інваріантним при певному перетворенні координат, то це перетворення вважається перетворенням (операцією) симетрії цього об'єкта. Наприклад, функції f = f (x2 + y2 + z2) і ? (x2 + y2) володіють в тривимірному просторі: перша - сферичної, а друга - аксіальної симетрією.

Сукупність операцій симетрії будь-якого об'єкта утворює групу симетрії цього об'єкта, основна властивість елементів якої полягає в тому, що послідовне застосування двох операцій симетрії g1 і g2 є знову-таки операція симетрії g3 цього об'єкта (звана твором цих операцій g3 = g1 x g2). Крім того, для кожної операції симетрії g в цій же сукупності є зворотна операція g-1, яка переводить об'єкт в початкове положення, тобто gg-1 = E - тотожне перетворення. Виконується також закон асоціативності (g1g2) g3 = g1 (g2g3). Зауважимо, що в загальному випадку g1g2?g2g1 (напр., Якщо це повороти навколо різних осей). Якщо ж для всіх елементів групи g1g2 = g2g1, то група називається абельовой. Частина елементів групи, знову володіє всіма властивостями групи, називається підгрупою.

Обертальні операції симетрії кулі (сфери) утворюють групу обертань R, конуса - групу C?, куба - групу O.

Всі елементи групи симетрії можна розбити на класи спряжених елементів, віднісши в кожен клас повороти навколо еквівалентних осей симетрії або відображення в еквівалентних площинах симетрії (еквівалентними називаються осі або площини, які можуть бути переведені один в одного за допомогою будь-яких операцій симетрії з цієї ж групи). Наприклад, група симетрії куба O має 5 класів: E, 6C4, 3C42, 6C2, 8C3.

Зі сказаного ясно, що можна говорити про симетрії фізичних законів, якщо останні виражаються математичними рівняннями. Наприклад, закон всесвітнього тяжіння свідчить, що сила взаємного тяжіння двох тіл пропорційна добутку їх мас і обернено пропорційна квадрату відстані між ними. Отже, сила тяжіння не залежить від положення цієї пари в просторі, а тільки від відстані між тілами. Це означає, що даний закон інваріантний щодо перенесення або обертання цієї пари тіл в цілому (або, з математичної точки зору, щодо перенесення або обертання системи координат). Це не було б так, якби простір не було однорідним і ізотропним. Така переносна (трансляційна) симетрія є ще одним різновидом просторової симетрії.

Іншим різновидом симетрії виступає инвариантность фізичних законів щодо зрушень у часі. Правда, згідно з уявленнями сучасної космології, в історії розвитку Всесвіту, мабуть, були періоди радикальних змін, однак ці зміни зрозумілі з позицій більш загальних законів, що залишаються незмінними з часом.

Менш очевидною є інваріантність фізичних законів при переході від однієї системи відліку до іншої, що рухається відносно першої прямолінійно і рівномірно. Однак експерименти показують, що неможливо встановити, яка з цих систем відліку спочиває, а яка рухається. Цей факт ліг в основу спеціальної теорії відносності, згідно з якою фізичні закони повинні бути інваріантні щодо перетворень Лоренца. Останні включають спеціальні перетворення не тільки координат, але й часу. Цей різновид симетрії фізичних законів також можна віднести до розряду геометричних (маючи на увазі чотиривимірну геометрію Маньківського).

Вище вже говорилося про інверсійної симетрії. Але чи мають такий симетрією фізичні закони? Довгий час вважалося, що володіють, поки досліди китаянки Цзяньсюнь Ву (США) з вивчення ?-розпаду орієнтованих в магнітному полі ядер кобальту 60Co, проведені в 1957 р, не показали, що на слабкі взаємодії 1 інверсійна симетрія не поширюється. Однак для більшості фізичних законів інверсійна симетрія дотримується.

Підкреслимо наступну важливу обставину. Якщо будь-яке рівняння инвариантно щодо певних операцій симетрії, то це не означає, що всі його рішення мають таку ж симетрією (хоча для частини рішень це можливо). Справа в тому, що на формування рішень впливають ще початкові і граничні умови. Наприклад, незважаючи на те, що гравітаційне поле Сонця можна вважати сферически симетричним, планети рухаються навколо Сонця не по кругових, а по еліптичних траєкторіях. Інший приклад - кристал, інваріантний при дискретних трансляціях (кратних постійним решітки), хоча електричні сили, що діють між його атомами, не змінюються при будь-яких зсувах кристала в цілому. Симетрія матеріальних структур, утворених за рахунок фундаментальних взаємодій, може бути набагато нижче, ніж симетрія останніх. Враховуючи це, можна говорити про структурну симетрії матеріальних об'єктів. Апріорне визначення можливих видів симетрії стійких матеріальних структур часто являє собою важку проблему.

Тим часом структурна симетрія рівноважного розташування атомів в молекулах або кристалах відіграє важливу роль у формуванні рішень основного рівняння квантової механіки (рівняння Шредінгера) для станів легшою підсистеми електронів в полі важких ядер атомів. Операції структурної симетрії можуть переставляти місцями тільки однотипні атоми, не змінюючи розташування структури в просторі. До груп структурної симетрії відносяться, наприклад, точкові групи 2 симетрії молекул, просторові і точкові кристалографічні групи симетрії. Відомі 32 точкові і 230 просторових груп симетрії кристалів. Перші описують симетрію оточення для тієї чи іншої позиції в кристалі. Другі, крім поворотів навколо осей симетрії, відображень у площинах симетрії, інверсійних перетворень кристала, включають ще дискретні трансляції кристала. 32 точкові кристалографічні групи були виведені Гесселем в 1830 р, а 230 просторових груп - відомим російським кристаллографом Е.Федоровим і німецьким вченим А.Шенфлісом в 1891 р Цікаво, що це було зроблено ще до відкриття атомної структури кристалів.

2. Подання груп симетрії та їх роль в квантовій теорії

Незважаючи на те, що симетрія рівняння, як зазначалося вище, не завжди притаманна рішенням цього рівняння, вона проте суттєво впливає на характер рішень. Щоб зрозуміти, в чому полягає цей вплив, пояснимо спочатку поняття приводяться і непріводімих уявлень груп симетрії.

Розглянемо перетворення декартових координат x, y, z і їхніх творів x 2, y 2, z 2, yz, xz, xy під дією операцій групи O (див. Вище).

Неважко помітити, що перетворюються під дією операцій групи O самі через себе 3. Друга сукупність також володіє цією властивістю, але на відміну від першої з вихідних x 2, y 2, z 2, yz, xz, xy можна скласти нові лінійні комбінації, які розбиваються на подсовокупности, преобразующиеся незалежно один від одного. Кажуть, що сукупність першого типу утворює базис неприводимого представленіяГ 4 групи O, а сукупність другого типу - базис приводиться уявлення Г, яке, однак, розкладається на суму непріводімих:

?o = x 2 + y 2 + z 2?Г 1,

{?1 = 2z 2-x 2-y 2; ?2 = ? (x 2-y 2)} ?Г 3,

{?1 = yz; ?2 = xz; ?3 = xy;} ?Г 5,

т. е. Г = Г 1 + Г 3 + Г 5,

(6) (1) (2) (3),

де внизу, в дужках, написані розмірності уявлень (тобто числа базисних функцій).

Якщо позначити базисні функції уявлення Г? через ?Г? (де індекс ? нумерує базисні функції), то результат дії операції G групи на базисну функцію можна записати у вигляді:

де f - розмірність уявлення Г?. Уявлення групи фактично утворюють матриці D (Г?) (g), бо, як можна легко показати, вони мають той же закон множення, що і елементи групи g, які вони представляють. Кожній групі належить нескінченно багато уявлень, проте число непріводімих уявлень завжди дорівнює числу класів. Наприклад, група O включає 5 класів: E, 6C 42, 6C 2, 8C 3 і, отже, має 5 непріводімих уявлень, які позначають Г 1, Г 2, Г 3, Г 4, Г 5.

Непріводімие уявлення груп симетрії відіграють найважливішу роль у квантовій фізиці. Рішення рівняння Шредінгера для стаціонарного випадку

(2)

H ? = E ?

(Де H- оператор Гамільтона, ? - хвильова функція системи, E- значення повної енергії) за певних граничних умовах призводить до набору дозволених значень енергії (енергетичному спектру) і хвильових функцій.

У разі існування декількох лінійно незалежних хвильових функцій для одного і того ж енергетичного рівня говорять про виродження цього рівня, а число незалежних хвильових функцій (станів), що належать цьому рівню, називають кратністю виродження. Якщо рівняння (2) инвариантно щодо перетворень деякої групи симетрії GH, то хвильові функції, які є рішеннями цього рівняння і належать одному енергетичному рівню, будуть обов'язково складати базис неприводимого уявлення групи GH. Це твердження становить зміст теореми Вігнера, що має, щоправда, застереження про випадкових виродження, на якій ми зупинятися не будемо.

Звідси випливає, що енергетичні рівні квантової системи можна класифікувати за непріводімим уявленням групи симетрії. Іншими словами, симетрія викликає об'єднання квантових станів в групи (мультіплети), які стосуються енергетичним рівням, кожен з яких характеризується непріводімим поданням групи симетрії.

Використання уявлень груп симетрії дозволяє дуже просто встановлювати так звані правила відбору для квантових переходів між енергетичними рівнями під дією різного роду нестаціонарних збурень (напр., Під дією світла), що дуже важливо для оптичної спектроскопії. Крім того, застосування уявлень груп симетрії істотно полегшує розгляд впливів стаціонарних зовнішніх впливів (електричних, магнітних полів, механічних напруг і т.д.), наприклад, на оптичні спектри квантових систем. Справа в тому, що "включення" зовнішнього впливу змінює симетрію задачі (зазвичай симетрія знижується від групи GH до однієї з її підгруп G '). Тим часом, подання Г, неприводимого в групі GH, може стати приводиться в підгрупі G ':

(3)

Г = ?j cjГj,

що означає розщеплення енергетичного рівня типу Г на ряд підрівнів, якi характеризуються непріводімимі уявленнями Г j групи G '. Це тягне за собою розщеплення відповідних ліній, смуг в оптичному діапазоні (так звані ефекти Штарка, Зеемана, пьезоспектроскопіческіе явища і т.д.). Проводячи розкладання (3), ми відразу дізнаємося, на скільки подуровней і якого типу розщепиться даний рівень. Відповідні розкладання легко проводяться з використанням таблиць характерів непріводімих уявлень груп симетрії (див. [7-9]).

3. негеометріческіх види симетрії

Фізичні закони можуть мати властивості симетрії іншого роду, ніж розглянуті вище. Наприклад, в квантової теорії важливу роль відіграє так звана перестановочне симетрія, тобто инвариантность рівняння Шредінгера щодо перестановок однакових часток 4. Найважливішим наслідком перестановною симетрії є існування двох класів частинок: бозонів і ферміонів, істотно різняться за своїми властивостями. До перших відносяться частинки з цілим спіном (в одиницях h = h / (2?), де h- постійна Планка), а до других - з напівцілим.

Хвильові функції двох станів системи частинок, що розрізняються перестановкою P однакових часток, фізично еквівалентні, тобто функції ? і P ? можуть відрізнятися тільки несуттєвим фазовим множником:

(4)

P? = exp (i?) ?.

Звідси, з одного боку, P2? = exp (2i?) ?, а з іншого - P2 = 1, тобто exp (2i?) = 1. Тоді exp (i?) = ?1, і (4) запишеться:

P ? = .

Отже, хвильова функція системи однакових частинок має бути симетричною P ? = + ? (бозони) або антисиметричною P? = -? (ферміони).

Видатний швейцарський фізик-теоретик Вольфганг Паулі (1900-1958) встановив зв'язок перестановною симетрії зі спіном частинок: частинки з цілим спіном - бозони, а з напівцілим - ферміони. Він же показав, що ферміони повинні підкорятися принципу заборони (широко відомому зараз як принцип Паулі): два фермиона не можуть перебувати в одному і тому ж стані. Очевидно, що перестановка фермионов в одному і тому ж стані не змінювала б хвильову функцію P? = ?, але, з іншого боку, зважаючи антисиметричність хвильової функції системи ферміонів P? = -?. Отже, ? = -? = 0, тобто такі стани не можуть існувати.

Принцип Паулі, як відомо, служить ключем до пояснення періодичного закону Д.І. Менделєєва. Якби не виконувався принцип Паулі, то всі електрони будь-якого атома перейшли б в щонайнижче по енергії 1s-стан, що призвело б до втрати того розмаїття хімічних властивостей атомів, яке спостерігається в природі. Це якнайкраще ілюструє важливе значення перестановною симетрії.

До не менш значимого виду симетрії можна віднести калибровочную симетрію рівнянь електродинаміки і релятивістської квантової механіки (рівнянь Дірака). Суть її полягає в наступному: якщо множення хвильової функції на постійний фазовий множник exp (i?) не змінює рівняння Дірака, то множення її на змінний фазовий множник exp (i? (x, y, z, t)) (так зване локальне калібрувальне перетворення) призводить до його зміни. У рівнянні з'являються додаткові доданки, що походять від диференціювання ? (x, y, z, t) за координатами і часу. Якщо, проте, постулювати принцип локальної калібрувальної інваріантності, то можна компенсувати додаткові доданки, вводячи взаємодія з деяким векторним полем. Останнє за своїми властивостями виявляється тотожним електромагнітного поля, яке підпорядковується рівнянням Дж. Максвелла. Виходить, що рівняння Максвелла можна вивести з принципу локальної калібрувальної симетрії! Тому електромагнітне поле можна назвати калібрувальним полем для електронів. Кванти цього поля (фотони) є переносниками електромагнітної взаємодії між електронами. Вони, як відомо, мають спін, рівний 1 (в одиницях h) і масу спокою, рівну 0. Ці дві властивості притаманні будь-яким калібрувальним полях (див. Нижче).

Китайський фізик Ч.Янг і американець Р. Міллс спробували поширити принцип локальної калібрувальної інваріантності на сильні взаємодії. Для сильних взаємодій адронов5 ще в 30-х рр. була встановлена глобальна ізотопічна инвариантность, підставою для якої послужила можливість об'єднати частину адронів в сімейства "схожих" частинок. Частинки кожного сімейства мають однакові внутрішні характеристики: спін, парність, баріонів заряд, дивина, чарівність, красу (виключаючи електричний заряд) і приблизно однакові маси. Такі сімейства адронів називають ізомультіплети. Найбільш відомі з них - ізодублет баріонів: протон-нейтрон n, p і ізотріплет мезонів: ? +, ?o, ?-.

Якщо згадати про релятивістської зв'язку між енергією і масою E = mc2, то частинки однакової маси, подібні за своїми властивостями з точки зору сильних взаємодій, можна розглядати як одну частинку, що знаходиться в різних квантових станах (але з однією і тією ж енергією). Отже, за теоремою Вигнера, ці частинки можна віднести до певного непріводімим поданням групи симетрії сильних взаємодій. Проблема полягає в тому, щоб правильно визначити цю групу симетрії.

Подібно до того, як для атома з двох базисних станів спина s = 1/2 з проекцією спина на виділений напрям ms = ?1 / 2, можна шляхом векторного додавання спинив побудувати спінові мультіплети з квантовим числом повного спина S = 0,1 / 2, 1,3 / 2,2 ... (відповідно з мультіплетності 2S + 1 = 1,2,3,4,5 ...), можливі ізомультіплети недивно адронів можуть бути знайдені з двох базисних станів u і d з проекціями ізоспіна mT = ?1 / 2 відповідно. Ці ізомультіплети характеризуються квантовим числом повного ізоспіна T і його (2T + 1) -й проекціями mT = = T, -T + 1, -T + 2 ... + T. З математичної точки зору, стану ms = ?1 / 2, як і стану (u, d), утворюють базис так званого фундаментального уявлення d (1/2) групи SU (2) 6, і послідовне перемножування d (1/2) xd (1/2) x ... xd (1/2) з наступним розкладанням на Непріводімие уявлення D (s) (або T) дає значення (або) в мультіплети.

Якщо у випадку однієї хвильової функції ? глобальне каліброване перетворення полягає в простому множенні на експонентний множник ? '= exp (i?) ?, то для двох станів глобальне каліброване перетворення має вигляд:

(5)

де матриця коефіцієнтів aik володіє спеціальними свойствамі7. Набір цих матриць збігається з відомими з теорії СПІНОР матрицями D (1/2) (?????), що описують перетворення спінових функцій (?-1/2, ? + 1/2) при обертанні системи координат, що задається кутами Ейлера ? ??. Тому глобальне каліброване перетворення (5) можна інтерпретувати як обертання в деякому внутрішньому ізоспіновом просторі.

Проте спроба Ч. Янга і Р.Миллс розглядати адрони як складаються з двох фундаментальних частинок u і d не вдалася. Двох базисних станів для побудови всіх спостережуваних адронів виявилося недостатньо. Тому американські фізики М.Гелл-Ман і У.Нейман звернулися до групи SU (3) унітарних перетворень трьох фундаментальних станів u, d, s. Ці стани і пов'язані їм ?u, ?s, ?d М.Гелл-Ман і Дж.Цвейг інтерпретували як дійсно елементарні частинки-кварки і антикварки відповідно. Якщо приписати кваркам дробові електричні заряди (+ 2/3, -1 / 3, -1 / 3 для u, d, s відповідно, і протилежні за знаками для антикварків ?u, ?s, ?d), а також певні значення спина , старанність, баріонів заряду, ізоспіна і його проекції, то з них можна побудувати більшість з відомих адронів.

Група SU (3) крім тривимірних непріводімих фундаментальних уявлень має ряд непріводімих уявлень з размерностями 1,6,8,10 ... Це цілком узгоджується з існуванням синглетів, октетів і декуплета частинок-адронів з близькими масами і однаковими спинами (в межах кожного мультіплета) 8. Деякий розкид значень мас в мультіплети, як з'ясувалося пізніше, пов'язаний з тим, що симетрія SU (3) f 9 насправді є наближеною.

У плані класифікації адронів успіх гіпотези SU (3) f і кварків був безсумнівним. Особливо велике враження справило теоретичне передбачення М.Гелл-Маном баріону ?-, який заповнив пусте місце в одному з декуплета. Гелл-Ман передбачив також приблизну масу цієї частки - 1675 МеВ (в енергетичних одиницях) і дивина S = -2. Через півтора року ця частка дійсно була виявлена експериментально з масою 1672 МеВ і дивиною S = -2. З цього моменту класифікація адронів на основі наближеної унітарної симетрії SU (3) f стала загальновизнаною, а М.Гелл-Ман в 1969 р був удостоєний Нобелівської премії з фізики.

Однак поряд з успіхами унітарної класифікації адронів виник ряд нових проблем, наприклад, існування деяких баріонів ? ++ = (u, u, u); ? - = (d, d, d); ? - = (s, s, s), кваркової складу яких (зокрема, баріонів, про-суперечить принципу Паулі, згідно з яким в одному і тому ж стані можуть перебувати не більше двох ферміонів з протилежними спинами (див. Вище). Інша трудність пов'язана з невдачами спроб виявлення вільних кварків.

Для подолання першої труднощі довелося ввести ще одну квантову характеристику кварків, яка може приймати три значення. Ця величина отримала назву колірної заряд (або просто колір), а три її значення умовно назвали червоним, жовтим і синім відтінками. Колір як фундаментальна характеристика кварків був введений російськими вченими М.Боголюбовим, Б.Струмінскім і А.Тавхелідзе, а також, незалежно від них, - Й.Намбу (США) в 1965 р Три кварка, що входять у наведені вище частинки ? ++ ; ?-; ?-, мають різний колірної заряд, тобто знаходяться в різних станах, і тому не порушується принцип Паулі. Комбінація (qr, qy, qb) становить "безбарвний" синглет. Антикварки мають антікрасний, антіжелтий або антісіній кольору. Баріони складаються з трьох кварків різного кольору. Мезони, що складаються з кварка і однойменного антікварка, також "безбарвні", як і баріони.

Введення кольору привело до відкриття ще одного виду симетрії для сильної взаємодії описуваної знову групою SU (3) С. Однак у цьому випадку роль трьох фундаментальних станів грають три кольори, що й відображено індексом (від "color" - колір). На відміну від SU (3) f симетрія SU (3) c є точною. Остання включає глобальні калібрувальні (унітарні) перетворення колірних станів при фіксованих ароматах кварків. Надання статусу локальних цим пробразованіям призводить до калібрувальним полях, що описує сильні взаємодії між кварками. Ці поля отримали назву глюони (від "glue" - клей).

Отже, подібно до того, як електричні заряди є джерелами електромагнітного поля, колірні заряди породжують глюонної полі. Якщо переносниками першого є фотони, то друга - глюони. І ті й інші електрично нейтральні і безмассових, але глюони мають колірним зарядом. З властивостей групи симетрії SU (3) c випливає існування восьми типів глюонів. Наявність колірних зарядів у них додає сильних взаємодій абсолютно незвичайні властивості, які проявляються, зокрема, в тому, що сила взаємодії між кварками убуває при зменшенні і росте при збільшенні відстані між ними 10. Це, мабуть, є причиною "полону" кварків усередині адронів, що і пояснює невдачі спроб виявлення вільних кварків.

Теорія сильних взаємодій, яка спирається на уявлення про колірних зарядах, отримала назву квантової хромодинаміки. Ця теорія практично завершена для малих відстаней між кварками, але для великих відстаней ще є труднощі.

Проте застосування принципів глобальної та локальної унітарної симетрії сприяло суттєвому просуванню в області класифікації адронів і опису сильних взаємодій. Разом з тим є ще ряд проблем на цьому шляху. Так, для класифікації та опису взаємодій найбільш важких і короткоживучих адронів (так званих резонансів) треба було ввести ще три кварка, що отримали назви c, b, t. Разом з лептонами кварки утворюють три покоління елементарних частинок:

 1 2 3

 u c t

 u, d, c, s, t, b- кварки,

 ????-нейтрино

 e-електрон

 ???-мезони

 d s b

 ?e ?? ??

 e ? ?

(Аналогічно слід розбити і античастинки). Мається теоретичне обгрунтування того, що число поколінь повинно вичерпуватися трьома. Ці повторення поколінь являють собою головну загадку фізики елементарних частинок. Можливо, вони знову вказують на складовою характер цих частинок і на нову, більш глибоку сімметрію.4. Прихована симетрія і об'єднання електромагнітних і слабких взаємодій

Великим досягненням, отриманим на основі принципу локальної калібрувальної інваріантності, став розвиток американськими фізиками Стівеном Вайнбергом, Шелдоном Глешоу і пакистанським вченим Абдусом Саламом теорії, що поєднує електромагнітне і слабке взаємодії (автори цієї теорії були удостоєні Нобелівської премії з фізики в 1979 г.).

Вони використовували ідеї Ч. Янга і Р. Міллса, про які говорилося вище, доповнивши їх принципом порушеною (прихованої) симетрії (інакше - принципом спонтанного порушення симетрії). Прямого застосування теорії Янга-Міллса до слабких взаємодій перешкоджав той факт, що кванти калибровочного поля мають нульову масу спокою, що суперечило малому радіусу слабкої взаємодії. Дійсно, згідно квантової теорії поля, перенесення взаємодії здійснюється віртуальними частинками, що народжуються на короткий час. Зі співвідношення невизначеності для енергії - часу ?E при енергії, необхідної для народження віртуальної частинки, ?E = m oc 2 (де mo - маса спокою частинки, c - швидкість світла) знаходимо "час життя" частинки ? h / m oc 2. За цей час частка зможе "пробігти" максимальну відстань r ?? h / moc. Отже, радіус дії сил пов'язаний з масою переносників цих сил обернено пропорційною залежністю. Якщо для електромагнітних взаємодій mo = 0, r = ? (дальнодействующіх сили), то для слабких взаємодій r?10-15см (короткодействующие сили), тобто переносники слабкої взаємодії повинні володіти масою спокою, рівною приблизно mo ?100ГеВ (це приблизно в 100 разів більше маси протона) 11.

Здавалося б, такі різні взаємодії неможливо об'єднати в єдине поле. Однак С. Вайнберг, Ш. Глешоу і А. Салам показали, що це не так. Вони припустили, що локальна калібрувальна симетрія типу SU (2) x U (1) єдиного електрослабкої взаємодії в минулому виявилася спонтанно порушеною при охолодженні гарячого Всесвіту після Великого вибуху. Спонтанне порушення симетрії SU (2) x U (1) імовірно відбулося в результаті фазового переходу у вакуумі при температурі T?10 15K. Наслідком цього порушення і став поділ єдиного взаємодії на слабке і електромагнітне. Математично це виражається в появі трьох масивних частинок - переносників слабкої взаємодії W +, W -, Z o і однієї безмассовой - фотона ?, що переносить електромагнітне взаємодія (всі зі спіном 1), а також однією бесспіновой частинки Хіггса (остання названа по імені британського фізика , який відкрив механізм порушення симетрії).

Теорія С. Вайнберга і А. Салама передбачила наступні маси W??-частинок - 82 ГеВ і Zo- частки - 93 ГеВ. У 1983 р в Женевському об'єднаному інституті ядерних досліджень такі частинки зафіксовані і виміряні їх маси: m W = (81 ?2) ГеВ, m Z = (94 ?2) ГеВ, що добре узгоджується з теоретичними передбаченнями. Крім того, на основі цієї теорії були пояснені так звані процеси з нейтральними струмами (типу розсіювання нейтрино на нуклонах). Однак частинки Хіггса досі не виявлені, що викликає почуття деякої незадоволеності. Можливо, їх маси занадто великі (теорія поки не може передбачити їх маси), щоб їх можна було створити в сучасних прискорювачах частіц.5. Симетрія і закони збереження

Існує глибокий зв'язок між симетрією і законами збереження. Ще Г.Гамель і Е.Нетер показали, що трансляційна симетрія призводить для замкнутої системи до закону збереження повного імпульсу, а обертальна симетрія - до закону збереження повного моменту кількості руху. Пізніше Е.Нетер встановила, що кожному виду симетрії відповідає свій закон збереження. Так, з інваріантності рівнянь механіки щодо зрушень у часі випливає закон збереження енергії, з калібрувальної інваріантності рівнянь електродинаміки - закон збереження електричного заряду. Сформульовано закони збереження і для ряду інших фізичних величин. Деякі з них виконуються для всіх взаємодій, інші - тільки для певного виду взаємодій. До першого можна віднести закон збереження баріонів заряду (застосовність якого до всіх взаємодій, втім, піддається сумніву). До других належать, наприклад, закони збереження дивацтва, ізоспіна, які строго виконуються для процесів з сильною взаємодією, але порушуються для процесів зі слабкою взаємодією. Вище ми згадували про інверсійної симетрії. Який же закон збереження відповідає цій симетрії? Якщо зажадати, щоб хвильові функції двох станів ? (x, y, z, t) і ? (-x, -y, -z, t), що відрізняються інверсійним перетворенням I, були фізично рівноцінні, то ? і I? можуть відрізнятися тільки фазовим множником:

I ? = exp (i ?) ?.

Звідси, аналогічно висновку (4), отримуємо

I ? = ,

тобто хвильова функція повинна бути або парної, або непарної. Парність стану зберігається з плином часу 12. Вона не є формальною величиною (як може здатися на перший погляд), так як виявляється, наприклад, у забороні процесів зі зміною парності, якщо взаємодії, відповідальні за ці процеси, інваріантніщодо інверсії. Парність зберігається для сильних і електромагнітних взаємодій, але, як вже зазначалося вище, інверсійна инвариантность, а отже, і закон збереження парності відсутні для слабких взаємодій. Видатний російський фізик-теоретик Лев Ландау застосував операцію комбінованої інверсії (інверсія плюс заміна частинок на античастинки) для формулювання закону збереження комбінованої парності. Цей закон виконується для більш широкого кола явищ, однак, Д.Кронін і В.Фитч із співробітниками (1964) встановили, що і цей закон збереження порушується при рідкісних розпадах K-мезонів. Разом з тим не піддається сумніву так звана CPT-теорема, тобто инвариантность взаємодій при комбінованої інверсії і зверненні времені.6. Симетрія і перспективи об'єднання фундаментальних взаємодій

Вище вже говорилося про роль симетрії у створенні єдиної теорії електрослабкої взаємодій. Ш.Глешоу і Х.Джорджі (1974) зробили спробу об'єднання електромагнітних, слабких і сильних взаємодій (так зване Велике об'єднання). В якості групи симетрії вони розглянули найменшу просту групу SU (3), що включає в себе як SU (3), так і SU (2) x U (1). В якості п'яти фундаментальних станів у цій теорії виступають три кварка одного аромату, але різного кольору і два лептона (все одного покоління). У цьому підході немає принципової відмінності між кварками і лептонами (передбачається, що відмінність пов'язана зі спонтанним порушенням симетрії). Відзначимо, що порушення симетрії і поділ сильних і електрослабкої взаємодії при охолодженні гарячого Всесвіту повинні були відбутися, за оцінками, при температурах T ?10 27K. Ця теорія (і її різновиди) дозволяє пояснити деякі експериментальні дані, але її основний результат - нестабільність протона - досі не підтверджений. Цікавим і важливим результатом теорії є невиконання закону збереження баріонів заряду. Цим можна пояснити переважання речовини над антиречовиною в осяжній частині Всесвіту.

Таким чином, розвиток фізики частинок високих енергій приводить до висновку про те, що із зростанням енергії взаємодіючих частинок симетрія фундаментальних взаємодій підвищується, що призводить до їх об'єднання, однак енергії, необхідні для такого об'єднання, надзвичайно великі (10 14-10 15ГеВ). Звідси народилася гіпотеза про те, що в перші миті після Великого вибуху закони природи мали дуже високим ступенем динамічної симетрії: можливо, три (а може бути, і всі чотири) виду фундаментальних взаємодій були об'єднані в одне єдине взаємодія. Саме на таке об'єднання націлені теорії суперсиметрії і супергравітації. Суперсиметрія була вперше введена російськими вченими Ю.А.Гольфандом і Е.П.Ліхтманом, а потім - Дж.Вессом і Б.Зуміно.

Суперсиметрія пов'язує воєдино поля і частинки з різною статистикою (ферміони і бозони). Кванти входять в одне суперполе Ферміон і бозони полів називають суперпартнерів. Відмітна особливість перетворень суперсиметрії полягає в тому, що вони перетворять не тільки внутрішні характеристики часток, а й просторово-часові координати. Суперсиметрія, таким чином, об'єднує геометричну і внутрішню симетрію, що надає їй особливу красу. Правда, на справжній стадії розвитку Всесвіту суперсиметрія могла б виявлятися тільки як спонтанно-порушена симетрія, що призводило б до істотного відмінності мас частинок і їх суперпартнерів (чим і пояснюється відсутність експериментальних доказів існування останніх). Енергії, необхідні для створення "счастіц" (суперчастіц), складають величину порядку 1000 ГеВ. Створення нового покоління прискорювачів частинок має допомогти їх виявленню.

Ідеї суперсиметрії інтенсивно розвиваються. З ними пов'язані, зокрема, надії на повне скорочення расходимостей в квантової теорії поля, що є каменем спотикання звичайних теорій. Якщо перетворенням суперсиметрії надати локальний характер, то вийде розширення загальної теорії відносності, зване супергравітацією. Супергравітації ставить метою об'єднання всіх чотирьох фундаментальних взаємодій. Однак теорії суперсиметрії і супергравітації ще далекі від свого завершенія.Заключеніе

Принципи симетрії вносять істотну ступінь детермінізму, впорядкованості в вірогідне поведінку квантових систем. Вони ніби протидіють хаосу мікросвіту, на них можна спиратися при дослідженні і теоретичному описі останнього.

Принципи симетрії не тільки допомагають класифікації квантових станів, встановленню законів збереження і правил заборони, але й мають евристичної цінністю. З їх допомогою створюються нові теорії, з одного боку, описують явища мікросвіту, а з іншого - мають важливі наслідки для космології. Розвиток квантової теорії поля і частинок, як видно з викладеного, відбувається по лінії підвищення симетрії, на яку спирається теорія. Група симетрії в теорії електромагнітного поля U (1) є підгрупою групи симетрії електрослабкої взаємодій SU (2) x U (1), яка в свою чергу є підгрупою групи симетрії Великого об'єднання SU (3) x SU (2) x U (1) і т.д. Можна навести наступний ланцюжок подгруппових зв'язків:

E8 x E8?E 6? SU (5) ?SU (3) x SU (2) x U (1) ?SU (2) x U (1) ?U (1).

Перші дві використовують в теорії суперструн і теоріях з числом просторових вимірів більше трьох, про решту говорилося вище. Таким чином, теоретики, звертаючись до початкових стадіях розвитку Всесвіту, розглядають все більш симетричні варіанти квантової теорії поля, проте кожен свій крок їм доводиться супроводжувати припущенням про спонтанне порушення цієї симетрії в світі, що розвивається. Інакше кажучи, у міру охолодження Всесвіту, що виникла, ймовірно, з дуже високим ступенем симетрії, відбувалося швидке її зниження з переходом вищих типів в приховану форму. Причини цього явища залишаються неясними. Вказує це на недосконалість самого світу або на недосконалість наших знань про світ? На це питання наука відповіді поки не дає.

Дивною рисою багатьох видів симетрії є їх вельми абстрактно-математичний характер. Їх опис та використання вимагає знання вищих розділів математики і, насамперед, методів теорії зображень безперервних груп. Ще Ю.Вігнер відзначав незбагненну ефективність математики при описі явищ природи [5]. Зауважимо, що це тим більше відноситься до теорії груп симетрії. В основі своїй світ влаштований за законами математики, симетрії, краси, але причини цього нам невідомі.

У короткій статті неможливо розповісти про всі важливі застосуваннях теорії симетрії. Ми не змогли зупинитися, наприклад, на симетрії щодо звернення часу, класифікації електронних і коливальних станів молекул і кристалів, описі фазових переходів у кристалах [7-13] .Спісок літератури

1. Див .: Вейль Г. Симетрія. М., 1968.

2. Див .: Шубников А.В., Копцік В.А. Симетрія в науці і мистецтві. М., 1972.

3. Див .: Урманцев Ю.А. Симетрія природи і природа симетрії. М., 1974.

4. Див .: Шеврин Л.Н. Про естетичність математики // Изв. УрГУ. 1995. № 4.

5. Див .: Вигнер Ю. Етюди про симетрії. М., 1971.

6. Див .: Компанієць А.С. Симетрія в мікро- і макросвіті. М., 1978.

7. Див .: Хейне В. Теорія груп у квантовій механіці. М., 1963.

8. Див .: Петрашень М.І., Трифонов Е.Д. Застосування теорії груп у квантовій механіці. М., 1967.

9. Див .: Ландау Л.Д., Ліфшиц Е.М. Квантова механіка. М., 1989. гл.12.

10. Див .: Вейль Г. Теорія груп і квантова механіка. М., 1986.

11. Див .: Елліот Дж., Добер П. Симетрія у фізиці: У 2 т. М., 1983.

12. Див .: Любарський Г.Я. Теорія груп і фізика. М., 1986.

13. Див .: Изюмов Ю.А., Сиромятников В.Н. Фазові переходи і симетрія кристалів. М., 1984.Прімечанія

1 У природі існують чотири відомих у даний час фундаментальні взаємодії: гравітаційне, електромагнітне, сильне і слабке.

2 Точкова група називають групу, що включає тільки такі операції симетрії, які залишають на місці хоча б одну точку простору.

3 Це означає, що перетворені координати виражаються через лінійні комбінації вихідних координат.

4 Рівняння класичної механіки також володіють перестановною симетрією, але там вона не тягне за собою будь-яких важливих наслідків.

5 До адронів відносять частинки, піддані сильним взаємодіям. Адрони можна розділити на баріони, що мають напівцілий спин (протон, нейтрон, частинки ??????? та ін.), І мезони, які мають цілий спін (??????? та ін.).

6 Група SU (2) є група спеціальних квадратних унітарних матриць.

7 Мається на увазі унітарність і Унімодулярна матриця.

8 Відсутність секстетів (число частинок одно 6) має своє пояснення при обліку колірних зарядів кварків.

9 Індекс f вказує на те, що група SU (3) f в даному випадку застосовується для опису симетрії ароматів (flavour) u, d, s.

10 Слід зазначити, що взаємодія між адронами, яке раніше називалося сильним, насправді є залишковим ефектом від взаємодії кварків, що становлять адрони.

11 Січня ГеВ = 10 Березня МеВ = 10 Вересня еВ.

12 В класичній фізиці такий фізичної величини
Целюлоза
Целюлоза, клітковина, головний будівельний матеріал рослинного світу, який утворює клітинні стінки дерев та інших вищих рослин. Сама чиста природна форма целюлози - волоски насіння бавовнику. Очищення і виділення. В даний час промислове значення мають лише два джерела целюлози - бавовна і

Екологічна надійність техногенних підземних каверн
Б.К. Лапочкін, кандидат геолого-мінералогічних наук (Інститут геоекології РАН), Л.К. Сильвестров, кандидат технічних наук Більш ніж 50-річний досвід використання техногенних каверн в кам'яних солях в якості сховищ вуглеводневих рідин і газів дозволив виявити ряд проблем, найважливішою з яких

Громадянське суспільство і екологічно орієнтована політика
О.В. Яковенко, Координатор програми "Чиста середу" Російської партії ЖИТТЯ Для того, щоб стратегічні цілі, поставлені Екологічної доктриною, чи не були звичайною декларацією, мертвими гаслами, необхідно закласти фундамент для їх досягнення. Орієнтирами нашими має стати суспільство

Гриби і їх роль в природі і в розвитку цивілізації
В. А. Мухин Мікологія, або наука про гриби, - область біології з великою історією і одночасно дуже молода наука. Це пояснюється тим, що лише в кінці ХХ століття, в зв'язки з корінним переглядом поглядів, що існували на природу грибів, мікологія, яка до цього розглядалася лише як розділ ботаніки,

Гаррієт Бічер-Стоу. Хатина дядька Тома
Дія роману відбувається на початку 1850-х рр. в США. Відкривається він розмовою «доброго» плантатора Шелбі з работорговцем Гейли, якому він хоче продати свого кращого негра дядька Тома на сплату боргів. Розводячись про гуманізм, понимаемом вельми своєрідно, Гейли висловлює точку зору багатьох

Перспективи рекреационного освоєння Російської Півночі
Л.І. Рогачева, кандидат історичних наук, С.Н. Голубчиков, кандидат географічних наук (філія Російського державного соціального університету в м. Дедовське Московської області)Чому вчить світовий досвід? У чому склався в Росії системі природокористування північні території, що займають 2/3

Інформатизація освіти і свобода вчителя
Боротьба за свободу в самих різних її проявах була й залишається предметом активності для найбільш ініціативної частини людства. До цих пір найбільш стурбовані намагаються домогтися свободи слова, свободи віросповідання, свободи вибору чого-небудь і т.д., і т.п. В цій боротьбі сторона, яка

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати