Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Про деякої загальній схемі формування критеріїв оптимальності в іграх з природою - Економіка

Л.Г. Лабскер, професор кафедри "Математичне моделювання економічних процесів" Анотація

Пропонується деяка загальна схема формування критеріїв вибору оптимальних стратегій в іграх з природою. В рамках цієї схеми вводяться поняття функції ігри, показників гри і показників оптимальності та неоптимальності стратегій. На основі запропонованої схеми виділяються деякі класи критеріїв, які, з одного боку, включають в себе відомі класичні критерії, такі як критерії Вальда, Севіджа, Гурвіца та ін., А з іншого боку, дають можливість отримувати нові критерії оптимальності. Встановлюється еквівалентність деяких з розглянутих критеріїв. Наводиться приклад знаходження оптимальних стратегій за розглянутими критеріями.

? Часто в багатьох задачах фінансово-економічної сфери доводиться приймати рішення в умовах недостатньої обізнаності або повної необізнаності про стани навколишнього ці завдання середовища. Математичні моделі подібних ситуацій називаються "іграми з природою", де під "природою" розуміється навколишнє середовище. Позначимо її буквою П. Особа, що приймає рішення або вибирає стратегію дій, називається гравцем. Позначимо його через А.

Вважаються відомими всілякі стану П1, П2, ..., Пn природи П, які вона проявляє випадковим чином незалежно від дій гравця А, не протидіючи зловмисно його стратегіям. Природа може перебувати тільки в одному із зазначених станів, але в якому саме - невідомо, хоча в деяких випадках можуть бути відомі лише ймовірності цих станів

Відомі також можливі стратегії A1, A2, ..., An гравця А і його виігришіпрі кожної з стратегійі кожному з станів природи Пj. Ці виграші можна розташувати у вигляді матриці виграшів:

 Пj

 Ai П1 П2 ... Пn

 А1 а11 а12 ... А1N

 (Aij) = А2 а21 a22 ... a2n

 ... ... ... ... ...

 Аm аm1 am2 ... amn

 qj q1 q2 ... qn

У нижньому рядку матриці вказані ймовірності qj станів природи Пj, j = 1, ..., n.

Припустимо, що гравець А, не знаючи стану природи, вибрав стратегію Аi. Якщо природа взяла стан Пj, то виграш гравця А буде аij. Але якби гравець А заздалегідь знав, що природа візьме стан Пj, то він вибрав би стратегію Аi0, при якій досягається найбільший виграш аi0j, тобто

(1)

Різниця (2)

між виігришемігрока А при заздалегідь відомому йому стані природи Пj і виграшем аij при незнанні гравцем А стану природи називається ризиком при стратегії Аi і стан природи Пj. Таким чином, ризик rij є та частина найбільшого виігришапрі стані природи Пj, яку гравець А не виграв, застосовуючи стратегію, через незнання стану природи.

Матриця

 Пj

 Аi П1 П2 ... Пn

 A1 r11 r12 ... r1n

 (Rij) = A2 r21 r22 ... r2n

 ... ... ... ... ...

 Am rm1 rm2 ... rmn

 qj q1 q2 ... qn

називається матрицею ризиків. В останньому рядку вказані ймовірності станів природи qj, j = 1, ..., n. Так як (праве нерівність випливає з (1)), то з (2) отримуємо, що.

Вероятностьсостоянія природи Пj є очевидно ймовірністю виігришаі ріскапрі кожної стратегії Ai, i = 1, ..., m.Поетому кожну стратегіюможно інтерпретувати як дискретну випадкову величину, яка може приймати значення, рівні виграшами ai1, ..., ain або ризикам ri1, ..., rin з відповідними вероятностями q1, ..., qn.

Завдання гравця А полягає у виборі з можливих стратегій Ai, ..., Am оптимальною. Таким чином, мова йде про рішення задачі в чистих стратегіях ([1], с. 502, 508). Оптимальність стратегії розуміють в різних сенсах і вибирають її за різними критеріями. Відзначимо, наприклад, класичні критерії Байєса ([2], с. 119 *; [3], с. 46), Лапласа ([1], с. 500; [2], с. 119; [4], с. 103), Вальда ([1], с. 504; [3], с. 91; [5], с. 56), Севіджа ([1], с. 504; [3], с. 92; [5 ], с. 57), Гурвіца ([1], с. 505; [2], с. 120; [3], с. 47; [5], с. 57).

Мета цієї статті - запропонувати деяку загальну схему формування критеріїв вибору оптимальних стратегій, на основі якої можна виділити деякі класи критеріїв, що включають в себе відмічені класичні критерії і дають можливість отримувати нові критерії оптимальності.

? Результат гри в загальному випадку залежить від трьох числових параметрів: виграшів а гравця А, ризиків r, які з'являються при виборі гравцем А тієї чи іншої стратегії, і ймовірностей q сoстояній природи. Бажання "згорнути" ці три параметри в один показник призводить до деякої числової функції, що залежить від цих трьох параметрів. Позначимо її G (a, r, q) і назвемо функцією гри. Характер залежності функції гри G від а, r і q мотивується логікою застосовуваного критерію. Значення

функції гри назвемо показниками гри. Ці показники утворюють матрицю гри

 Пj

 Ai П1 П2 ... Пn

 A1 G11 G12 ... G1n

 (Gij) = A2 G21 G22 ... G2n

 ... ... ... ... ...

 Am Gm1 Gm2 ... Gmn

Критерій припускає завдання деякої числової функції ? векторного аргументазначеніе якої

назвемо показником стратегії Ai.

Потім серед показників Gi стратегій Ai вибирається екстремальний. Для одних критеріїв це максимальне значення: Ext = max, а для інших мінімальне: Ext = min.

Якщо Ext = max, то показник Gi назвемо показником оптимальності стратегії Ai; якщо ж Ext = min, то Gi назвемо показником неоптимальності стратегії Ai.

Оптимальною за критерієм називається стратегія Ai0, для якої досягається екстремум показника Gi, тобто

Застосовуючи описану схему, сформуємо деякі класи критеріїв.

? Максимина критерії (крайнього песимізму).

Для цих критеріїв

(3)

а показники стратегій Ai визначаються наступним чином:

і є, в силу (3), показниками оптимальності стратегій.

Таким чином, Gi є найгіршим показником гри при стратегії Ai. Звідси випливає, що функція гри G (a, r, q) повинна бути неубивающей по виграшу а й незростаюча за ризиком r.

На показники гри також впливають ймовірності станів природи q. Так, наприклад, якщо найгірший, тобто найменший виграш аij при стратегії Ai має досить малу ймовірність qj, то вважати його практично найменшим вже недоцільно. Щоб цей виграш залишався і практично найменшим, він повинен мати достатньо велику ймовірність. З ризиками обстоит все навпаки: щоб найгірший, тобто найбільший ризик rij при стратегії Ai залишався практично найбільшим, його ймовірність повинна бути також досить великий. Це говорить про те, що функція гри повинна незростаюча за ймовірністю q.

Отже, логіка максимінної критерію визначає характер поведінки функції гри залежно від виграшу а, ризику r і ймовірності q:

G (a, r, q) U по a; O по r; O по q.

Для зручності відмінностей в подальшому для максимінної критерію позначимо функцію гри G через W, показники гри Gij через Wij, показники оптимальності Gi стратегій Ai через Wi.

Таким чином, для максимінної критерію функція гри

W (a, r, q) U по a; O по r; O по q, (4)

показники гри

Wij = W (aij, rij, qj), i = 1, ..., m; j = 1, ..., n,

показники оптимальності стратегій

Wi =

Оптимальною по Максимина критерієм вважається стратегія Ai0, для якої

.

Максимін критерій є критерієм крайнього песимізму особи, що вибирає стратегію, оскільки орієнтує його на найгірше для нього прояв станів природи і як наслідок - на вельми обережне поводження при прийнятті рішення.

Конкретна функція гри W (a, r, q) може бути обрана по-різному, але з неодмінним вимогою володіння властивостями (4).

Прикладами Максимина критеріїв з конкретними функціями гри W (a, r, q) можуть служити наступні критерії:

3.1. W (a, r, q) = a;

3.2. W (a, r, q) = (1-q) a;

3.3. W (a, r, q) = a-r;

3.4. W (a, r, q) = (1-q) a-qr.

Те, що кожна з цих функцій має властивості (4), можна перевірити за знаком приватних похідних.

У критерії 3.1 показниками ігри є виграші: Wij = aij, а тому він не враховує ні ризиків, ні ймовірностей станів природи. Критерій 3.1 є критерієм Вальда ([1], с. 504; [3], с. 91; [5], с. 56), що дозволяє обґрунтувати вибір рішення в умовах повної невизначеності, тобто в умовах незнання ймовірностей станів природи. Критерій 3.2 враховує виграші і ймовірності станів природи, але не враховує ризики. У критерії 3.3 враховуються виграші і ризики без урахування ймовірностей станів природи. І нарешті, в критерії 3.4 враховуються виграші, ризики та ймовірності станів пріроди.Мінімаксние критерії (крайнього песимізму).

Для мінімаксного критерію функцію гри позначимо через S (a, r, q). Вона повинна бути незростаюча по виграшу а й неубивающей за ризиком r і за ймовірністю q станів природи:

S (a, r, q) O по а; U по r; U по q. (5)

Тоді Sij = S (aij, rij, qj) - показники гри. Показники стратегій визначаються наступним чином:

(6)

Стратегіясчітается оптимальною, якщо

. (7)

В силу (7) показники Si є показниками неоптимальності стратегій Аi.

Те, що функція гри S (a, r, q) повинна мати властивості (5) мотивується аналогічно мотивуванні в п. 3 з урахуванням (6) і (7).

Наведемо деякі мінімаксні критерії з конкретними функціями гри S (a, r, q), що задовольняють умовам (5):

4.1. S (a, r, q) = r;

4.2. S (a, r, q) = qr;

4.3. S (a, r, q) = r-a;

4.4. S (a, r, q) = qr- (1-q) a.

Критерій 4.1, в якому показники гри - ризики, не враховує ні виграшів, ні ймовірностей станів природи. Це є критерій Севіджа ([1], с. 504; [3], с. 92, [5], с. 57).

Порівнюючи Максимина і мінімаксні критерії, можна висловити наступне.

Твердження 1. Максимина критерії 3.3 та 3.4 еквівалентні відповідно мінімаксним критеріям 4.3 і 4.4:

3.3 U 4.3, 3.4 U 4.4.

Перша з цих еквіваленцій означає, що стратегія Ai є оптимальною за критерієм 3.3 тоді і тільки тоді, коли вона оптимальна за критерієм 4.3.

Аналогічне пояснення відноситься і до другої еквіваленціі.

Доказ. Доведемо спочатку еквіваленцію 3.3 U 4.3. Так як функції гри W і S відповідно критеріїв 3.3 і 4.3 задовольняють рівності S = -W, то і показники гри задовольняють аналогічного рівності Sij = -Wij. Тоді

звідки

.

Таким чином, Si буде мінімальним для номера i, для якого Wi буде максимальним, і еквіваленція 3.3 U 4.3 доведена.

Цілком аналогічно доводиться і еквіваленція 3.4 U 4.4. n

? Максімаксние критерії (крайнього оптимізму).

В даному випадку функція гри, яку ми позначимо через M (a, r, q), повинна не спадати по виігришуі по вероятностісостояній природи і не зростатиме за ризиком:

M (a, r, q) U а; O по r; по U q. (8)

Показники гри Mij = M (aij, rij, qj). Показники оптимальності стратегій

Оптимальною називається стратегія Ai0, для якої

.

Максімаксние критерії є критеріями крайнього оптимізму, оскільки припускають, що природа буде знаходитися в найбільш сприятливому для гравця А стані і тому в якості оптимальної вибирається стратегія, при якій максимальний показник гри - показник оптимальності максимальний серед максимальних показників всіх стратегій.

В якості максімаксних критеріїв з конкретними функціями гри M (a, r, q), що володіють властивостями (8), можна взяти, наприклад, такі:

5.1. M (a, r, q) = а;

5.2. M (a, r, q) = qa;

5.3. M (a, r, q) = a-r;

5.4. M (a, r, q) = qa- (1-q) r.

У критерії 5.1 показниками ігри є виграші Mij = aij, і ми отримуємо максімаксний критерій щодо виграшів ([2], с. 42).

? Мініміні критерії (крайнього оптимізму).

Функція ігри, позначимо її через E (a, r, q), вибирається незростаюча по виграшу а й по ймовірності q станів природи і неубивающей за ризиком r:

E (a, r, q) O по а; U по r; O по q. (9)

Як показники неоптимальності стратегій Аi беруться

де Eij = E (aij, rij, qi) - показники гри.

Оптимальною призначається стратегія Ai0, що мінімізує показник неоптимальності, тобто

Мініміні критерії також є критеріями крайнього оптимізму, оскільки під оптимальною стратегією розуміється стратегія, при якій показник неоптимальності мінімальний серед показників неоптимальності всіх стратегій.

Прикладами Мініміні критеріїв з функціями гри E (a, r, q) з властивостями (9) можуть бути:

6.1. E (a, r, q) = r;

6.2. E (a, r, q) = (1-q) r;

6.3. E (a, r, q) = r -a;

6.4. E (a, r, q) = (1-q) r -qa.

Показниками гри в критерії 6.1 є ризики, і він, таким чином, перетворюється на Мініміні критерій щодо ризиків.

Твердження 2. Максімаксние критерії 5.3 та 5.4 еквіваленти відповідно Мініміні критерієм 6.3 і 6.4:

5.3 U 6.3, 5.4 U 6.4.

Доказ аналогічно доказу твердження 1, а саме для критеріїв 5.3 і 6.3 маємо: E = -M і, отже, Eij = -Mij, звідки

Тому

Таким чином, еквіваленція 5.3 U 6.3 доведена.

Аналогічно доводиться і еквіваленція 5.4 U 6.4. n

Для кращої видимості стрілок, що вказують в (4), (5), (8) і (9) на незростання або неубиванія функцій гри розглянутих критеріїв у пп. 3, 4, 5, 6 залежно від виграшів а, ризиків r і станів природи q, зведемо їх в наступну таблицю.

Таблиця 1

 Аргументи Функції гри і критерії

 функцій гри W (a, r, q) S (a, r, q) M (a, r, q) E (a, r, q)

 max min min max max max min min

 a U O U O

 r O U O U

 q O U U O

З цієї таблиці видно, що стоять в першому рядку стрілки, що позначають поведінку функцій гри залежно від виграшів а, відповідають першому значку в назві критерію: max - U, min - O,, max - U, min - O. А стрілки в другому рядку, що позначають поведінку функцій гри залежно від ризиків r, протилежні стрільцям першого рядка.

? Критерії максимізації зваженого середнього показника оптимальності стратегій.

Функція гри L (a, r, q) повинна неубутна по виграшу a і незростаюча за ризиком r:

L (a, r, q) U по а; O по r. (10)

Показники оптимальності стратегій Ai0 визначаються наступним чином:

(11)

де Lij = L (aij, rij, qj) - показники гри.

За визначенням оптимальною є стратегія Ai0, максимизирующая показник оптимальності Li:

В якості функцій гри L (a, r, q), що задовольняють умовам (10), можна взяти функції:

7.1. L (a, r, q) = qa;

7.2. L (a, r, q) = q (a-r).

Якщо в критерії 7.1 q1 = ... qn =, то показники гри приймають вид

а показники оптимальності стратегій Ai перетворюються (див. (11)) в середнє арифметичне виграшів при стратегії Ai:

Такий критерій був запропонований Байес ([2], с. 119; див. Також виноску на с. 2). Цей критерій також називають ([1], c. 503) "критерієм недостатнього підстави" Леополіс (тобто у нас немає достатньої підстави віддати перевагу якому-небудь станом природи).

Якщо в критерії 7.1 ймовірності станів природи q1, ..., qn різні, то показники гри

а показники оптимальності стратегій Ai будуть являти собою зважене середнє виграшів при стратегії Ai, взятих з вагами q1, ..., qn:

Одержаний критерій називають критерієм Лапласа ([2], c. 119.).

? Критерії мінімізації зваженого середнього показника неоптимальності стратегій.

Для даного критерію функція гри K (a, r, q) незростаюча по виграшу а й неубутна за ризиком r:

K (a, r, q) O по а; U по r, (12)

показники гри Kij = K (aij, rij, qj), показники неоптимальності стратегій Ai

.

Оптимальною вважається стратегія Ai0, що мінімізує показник неоптимальності Ki:

Прикладами таких критеріїв з функціями гри K (a, r, q), що задовольняють умовам (12), можуть служити критерії:

8.1. K (a, r, q) = qr;

8.2. K (a, r, q) = q (r-a).

У критерії 8.1 показники неоптимальності стратегії Ai являють собою зважене середнє ризиків при стратегії Ai з вагами q1, ..., qn, і критерій 8.1, таким чином, є критерієм мінімізації зваженого середнього ризику.

Щодо критеріїв 7 і 8 має місце наступне.

Затвердження 3. Всі чотири критерії 7.1, 7.2, 8.1, 8.2 еквівалентні між собою:

7.1 ? 7.2 ? 8.1 ? 8.2. (13)

Доказ. Розглянемо, наприклад, критерії 7.1 та 8.2. Показники оптимальності в критерії 7.1 і неоптимальності в критерії 8.2 стратегій відповідно рівні

и

Складиваясі використовуючи при цьому визначення ризику (2), отримаємо

(14)

де- зважене середнє максимальних виграшів при кожному стані природи Пj. З (14) маємо:

.

Аналогічним чином можна отримати вираз Ki через Li для інших пар критеріїв 7.1 і 8.1, 7.2 і 8.2. Отримані вирази представлені в табл. 2.

Таблиця 2

 Критерії Критерії 8.1 8.2

 Показники неоптимальності

 стратегій

 критерію 8

 Показники

 оптимальності

 стратегій критерію 7

 7.1

 7.2

З цієї таблиці очевидно, що посколькудля даної матриці виграшів (aij) є незмінною, то показник неоптимальності Ki в кожній клітині звертається в мінімум при тому ж значенні i, при якому показник оптимальності Li звертається в максимум. Отже, маємо наступні еквіваленціі критеріїв:

7.1 ? 8.1, 7.1 ? 8.2, 7.2 ? 8.1, 7.2 ? 8.2, з коториx слід необхідна еківаленція (13).

Відзначимо, що еквіваленція 7.1 ? 8.1 - відомий факт (доведений, наприклад, в [1], с. 502).

З еквіваленціі (13) можна зробити висновок про те, що з критеріїв 7.1, 7.2, 8.1, 8.2 досить застосувати один, причому з більш простою функцією гри.

? Максимина-максімаксние критерії.

Такі критерії являють собою комбінації максимінної і максімаксного критеріїв. Як показник оптимальності стратегііберется величина

де ? ? [0,1] - коефіцієнт оптимізму, АІ показники оптимальності стратегії Ai відповідно в Максимина і максімаксном критеріях (див. п. 3 та п. 5). При цьому функції гри в цих двох критеріях доцільно використовувати відповідні один одному. Це відповідність показано в табл. 3.

Таблиця 3

 Критерії

 Виграші

a

 Ризики

r

 Ймовірності

 станів природи

 q W (a, r, q) M (a, r, q)

 9.1 + a a

 9.2 + + (1-q) a qa

 9.3 + + a-r a-r

 9.4 + + + (1-q) a-qr qa- (1-q) r

Оптимальною вважається стратегія Ai0, максимизирующая показник оптимальності Нi (?):

Коефіцієнт оптимізму ? вибирається суб'єктивно в межах від 0 до 1, включаючи кінці, залежно від небезпеки ситуації: чим більш небезпечною видається ситуація, тим менше оптимізму і тим менше коефіцієнт оптимізму ?; чим більш сприятлива ситуація, тим більше оптимізму і значить ? можна вибирати ближче до 1.

При найменшому значенні коефіцієнта оптимізму ? = 0 даний критерій перетворюється на Максимина критерій крайнього песимізму, а при найбільшому значенні коефіцієнта оптимізму ? = 1 розглянутий критерій перетворюється на максімаксний критерій крайнього оптимізму. При ? = 1/2 Максимина-максімаксний критерій можна вважати критерієм реалізму.

Критерій 9.1 є критерієм Гурвіца щодо виграшів ([1], с. 505; [2], с. 120; [3], с. 47; [5], с. 57).

? мінімаксна-Мініміні критерії.

Мінімаксна-Мініміні критерії є результатом комбінації мінімаксного і Мініміні критеріїв. Показник неоптимальності стратегії Ai визначається таким чином:

де ? ? [0,1] - коефіцієнт оптимізму, АІ показники неоптимальності стратегії Ai відповідно в мінімаксна і Мініміні критеріях (див. п. 4 та п. 6). Функції гри в цих двох критеріях краще вибирати відповідними один одному, як це зазначено в табл. 4.

Таблиця 4

 Критерії

 Виграші

a

 Ризики

r

 Ймовірності

 станів природи

 q S (a, r, q) M (a, r, q)

 10.1 + r r

 10.2 + + qr (1-q) r

 10.3 + + r-a r-a

 10.4 + + + qr- (1-q) a (1-q) r-qa

Оптимальною за критерієм є стратегія Ai0, для якої

.

Даний критерій перетворюється на мінімаксний критерій при ? = 0, в Мініміні критерій при ? = 1, в критерії Гурвіца щодо ризиків при (критерій 10.1).

Затвердження 4. При одному і тому ж коефіцієнті оптімізмамаксімінно-максімаксние критерії 9.3 і 9.4 еквіваленти відповідно мінімаксна-Мініміні критеріям 10.3 і 10.4.

Доказ. Для критеріїв 10.3 і 9.3 маємо:

звідки

тобто показник неоптимальності Di (?) буде мінімальним для того значення i, для якого показник оптимальності Hi (?) буде максимальний. Таким чином, еквіваленція 9.3 ? 10.3 доведена.

Еквіваленція 9.4 ? 10.4 доводиться аналогічно. n

ПРИКЛАД. Розглянемо гру з природою, в якій гравець А має можливість застосувати одну з чотирьох стратегій А1, А2, А3, А4, а природа П може перебувати в одному з трьох станів П1, П2, П3 з імовірностями відповідно q1 = 0,7; q2 = 0,1; q3 = 0,2. Відомі виграші (aij) гравця А. Знайдемо оптимальні стратегії по розглянутим вище критеріям.

Випишемо таблиці показників гри і в додаткових стовпчиках - показники оптимальності та неоптимальності для відповідних критеріїв. При цьому на підставі тверджень 1-4 з еквівалентних критеріїв будемо розглядати тільки один.

 Таблиця для критеріїв 3.1 і 5.1 Таблиця для критерію 3.2

 Пj

 Ai П1 П2 П3 Wi Mi

 Пj

 Ai П1 П2 П3 Wi

 A1 4 7 1 1 7 * A1 1,2 6,3 0,8 0,8

 (Aij) = A2 4 3 5 3 * 5

 A2 1,2 2,7 4,0 1,2

 A3 6 5 2 2 6 A3 1,8 4,5 1,6 1,6 *

 A4 0 6 3 0 6 A4 0,0 5,4 2,4 0,0

Таблиця для критеріїв 4.1 і 6.1 Таблиця для критерію 4.2

 Пj

 Ai П1 П2 П3 Si Ei

 Пj

 Ai П1 П2 П3 Si

 A1 2 0 4 4 0 * A1 1,4 0,0 0,8 1,4

 (Rij) = A2 2 4 0 4 0 * (qjrij) = A2 1,4 0,4 0,0 1,4

 A3 0 2 3 3 * 0 * A3 0,0 0,2 0,6 0,6 *

 A4 6 1 2 6 1 A4 4,2 0,1 0,4 4,2

Таблиця для критерію 3.3 і 5.3 Таблиця для критерію 3.4

 Пj

 Ai П1 П2 П3 Wi Mi

 Пj

 Ai П1 П2 П3 Wi

 A1 2 7 -3 -3 7 * A1 -0,2 6,3 0,0 -0,2

 (Аij-rij) = A2 2 -1 5 -1 * 5 ((1-qj) аij- qjrij) = A2 -0,2 2,3 4,0 -0,2

 A3 6 3 -1 -1 * 6 A3 1,8 4,3 1,0 1,0 *

 A4 -6 5 1 -6 5 A4 -4,2 5,3 2,0 -4,2

Таблиця для критерію 5.2 і 7.1 Таблиця для критерію 6.2

 Пj

 Ai П1 П2 П3 Mi Li

 Пj

 Ai П1 П2 П3 Ei

 A1 2,8 0,7 0,2 2,8 3,7 A1 0,6 0,0 3,2 0,0 *

 (Qj аij) = A2 2,8 0,3 1,0 2,8 4,1 ((1-qj) rij) = A2 0,6 3,6 0,0 0,0 *

 A3 4,2 0,5 0,4 4,2 * 5,1 * A3 0,0 1,8 2,4 0,0 *

 A4 0,0 0,6 0,6 0,6 1,2 A4 1,8 0,9 1,6 0,9

Таблиця для критерію 5.4

 Пj

 Ai П1 П2 П3 Mi

 A1 2,2 0,7 -3,0 2,2

 (Qj aij - (1-qj) rij) = A2 2,2 -3,3 1,0 2,2

 A3 4,2 -1,3 -2,0 4,2 *

 A4 -1,8 -0,3 -1,0 -0,3

Тепер випишемо таблиці показників оптимальності для критеріїв 9 з коефіцієнтом оптимізму ? = 1/2.

Таблиця для критерію 9.1 Таблиця для критерію 9.2

 Ai

 Wi =

 Mi =

 Hi (1/2) = Ai

 Wi =

 Mi =

 Hi (1/2) =

 A1 7 січня 4 * A1 0,8 2,8 1,8

 A2 3 5 4 * A2 1,2 2,8 2,0

 A3 2 червень 4 * A3 1,6 4,2 2,9 *

 A4 0 3 червень A4 0,0 0,6 0,3

Таблиця для критерію 9.3 Таблиця для критерію 9.4

 Ai

 Wi =

 Mi =

 Hi (1/2) = Ai

 Wi =

 Mi =

 Hi (1/2) =

 A1 -3 2 Липня A1 -0,2 2,2 1,0

 A2 -1 2 травня A2 -0,2 2,2 1,0

 A3 -1 6 2,5 * A3 1,0 4,2 2,6 *

 A4 -6 5 -0,5 A4 -4,2 -0,3 -2,25

Випишемо таблиці показників неоптимальності для критеріїв 10.

 Таблиця для критерію 10.1 Таблиця для критерію 10.2

 Ai

 Si =

 Ei =

 Hi (1/2) = Ai

 Si =

 Ei =

 Hi (1/2) =

 A1 4 0 2 A1 1,4 0,0 0,7

 A2 4 0 2 A2 1,4 0,0 0,7

 A3 3 0 1,5 * A3 0,6 0,0 0,3 *

 A4 1 червня 3,5 A4 4,2 0,9 2,55

Зірочкою * у всіх таблицях відзначені оптимальні за відповідним критерієм стратегії.

Для кращої видимості зведемо отримані результати в таблицю.

Таблиця оптимальних стратегій за різними критеріями

 № критерію Критерії. Функції гри

 Оптимальна

 стратегія

 3 Максимина критерії (крайнього песимізму)

 3.1 W (a, r, q) = a A2

 3.2 W (a, r, q) = (1-q) a A3

 3.3 W (a, r, q) = a-r A2, A3

 3.4 W (a, r, q) = (1-q) a-qr A3

 4 мінімаксна критерії (крайнього песимізму)

 4.1 S (a, r, q) = r A3

 4.2 S (a, r, q) = qr A3

 5 Максімаксние критерії (крайнього оптимізму)

 5.1 М (a, r, q) = а А1

 5.2 М (a, r, q) = qа А3

 5.3 М (a, r, q) = а-r A1

 5.4 М (a, r, q) = qa- (1-q) r А3

 6 Мініміні критерії (крайнього оптимізму)

 6.1 E (a, r, q) = r A1, A2, A3

 6.2 E (a, r, q) = (1-q) r A1, A2, A3

7

 Критерій максимізації зваженого середнього виграшу

 (Критерій Лапласа)

 7.1 L (a, r, q) = qа А3

9

 Максимін-максімаксние критерії з коефіцієнтом

 оптимізму ? = 1/2

 9.1 W (a, r, q) = М (a, r, q) = а A1, A2, A3

 9.2 W (a, r, q) = (1-q) a; М (a, r, q) = qа А3

 9.3 W (a, r, q) = М (a, r, q) = a-r А3

 9.4 W (a, r, q) = (1-q) a-qr; М (a, r, q) = qa- (1-q) r А3

 10

 Мінімаксна-Мініміні критерії з коефіцієнтом

 оптимізму ? = 1/2

 10.1 S (a, r, q) = E (a, r, q) = r А3

 10.2 S (a, r, q) = qr; E (a, r, q) = (1-q) r А3

З цієї таблиці видно, що в якості оптимальної стратегії A1 і A2 виступають по 5 разів, стратегія А3 - 16 разів, а стратегія А4 - жодного разу. n

Тому, якщо у особи, що приймає рішення, немає серйозних заперечень, то стратегію А3 можна вважати оптімальной.Спісок літератури

Вентцель Е.С. Дослідження операцій. М .: Радянське радіо, 1972.

Дубров А.М., Лагоша Б.А., Хрустальов Є.Ю. Моделювання ризикових ситуацій в економіці та бізнесі. М .: Фінанси і статистика, 1999.

Князівське Н.В., Князевський В.С. Ухвалення ризикованих рішень в економіці та бізнесі. М .: ЕБМ - Контур, 1998.

Федосєєв В.В. Економіко-математичні методи і моделі в маркетингу. М .: Финстатинформ, 1996.

Чернов В.А. Аналіз комерційного ризику. М .: Фінанси і статистика, 1998.

Дослідження операцій в економіці / Під ред. проф. Н.Ш. Кремера. М .: ЮНИТИ, 1
Місце казки в дошкільній освіті
Н. Я. Большунова Необхідність зміни системи утворення дошкільнята в цей час не береться під сумніву. Однак спроби змінити форми і зміст освіти приводять до виявлення ряду проблем. Перша проблема - некритичне перенесення в нашу культуру освітніх систем, що отримали своє обгрунтування і розвиток

Сучасні маркетингові аспекти розвитку інтернет-комерції
Ефективність дій в бадмінтоні - темп або точність? Кандидат педагогічних наук, доцент О.В. Жбанков, заслужений тренер Росії Б.В. Глібович, Московський державний технічний університет ім. Н.Е. Баумана Часто доводиться чути від бадмінтоністів навіть високого класу: "У техніці своєму супернику

Зовнішнє фінансування і економічне зростання: проблеми взаємодії в розвиваються і "перехідних" країнах
Е.А. Звонова, доцент, докторант кафедри "Фінанси" РЕА ім. Г.В. Плеханова У сучасній економічній літературі розгляд та аналіз комплексу проблем, пов'язаних з міжнародною системою зовнішнього фінансування, що розвиваються і "перехідних" країн, традиційно переплітається з дослідженням

Синдром Саванта - окремий випадок аутизма
Аутізм - хворобливий стан психіки; відхід індивіда від контактів з навколишньою дійсністю і орієнтація на мир власних переживань. Аутизм веде до втрати здібності до розуміння навколишньої дійсності, до неадекватної поведінки індивіда в суспільстві. Розрізнюють ранній дитячий аутизм Каннера,

Полярні сяйва
Полярні сяйва частіше за все спостерігаються в двох неправильної форми зонах, навколишніх північний і південного магнітні полюсы Землі і що тягнуться на широтах 60-70°. Полярні сяйва іноді називають Північною і відповідно Південною Авророю -в честь римської богині ранкової зорі. Іноді полярні

Исламизация на ринку капіталу (на прикладі Пакистана)
Зафар Ікбаль Захид (Пакистан) аспірант кафедри "Цінні папери і біржова справа" Питання функціонування фінансових систем ісламських країн дуже рідко освітлюються на сторінках російських наукових видань. Тим часом вони, безсумнівно, заслуговують спеціального аналізу, враховуючи роль

Адаптація до навчання в школі
Роженко А .В. Специфіка психоемоційної адаптації до навчання в школі дітей, які виховуються в умовах реабілітаційного центру на етапі адаптації до шкільного навчання. Проблема труднощів адаптації дітей до умов початкової школи в даний час має високу актуальність. За даними сучасних досліджень

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати