На головну

 Перетворення Фур'є - Математика

Анатолій Карташкин

В основі перетворення Фур'є (ПФ) лежить надзвичайно проста, але виключно плідна ідея - майже будь-яку періодичну функцію можна представити сумою окремих гармонійних складових (синусоид і косинусоид з різними амплітудами A, періодами Т і, отже, частотами ?). Приклад однієї з таких функцій S (t), що складається з гармонік Сi (t), наведено на рис.1.

Рис. 1. Представлення прямокутного імпульсу сумою гармонійних складових

Поняття «зобразити в частотній області якусь функцію від часу» і «намалювати спектр цієї функції» - рівнозначні. Якщо ковзнути по рис.1 поглядом по горизонталі зліва направо, то здійсниться перехід від якої-небудь функції часу до її спектру - завдяки «магічного склу» ПФ. А нижня частина малюнка є ілюстрація одного з основних принципів ПФ - спектр сумарною функції часу дорівнює сумі спектрів її гармонійних складових.

Незаперечною перевагою ПФ є його гнучкість - перетворення може використовуватися як для безперервних функцій часу, так і для дискретних. В останньому випадку воно називається дискретним ПФ - ДПФ.

Для отримання дискретної функції часу треба піддати процесу дискретизації безперервну функцію часу. Це зображено на рис.2. Вирізаємо окремі значення з неперервної функції, вибудовуючи дискретну функцію часу. Період одного циклу його роботи Tдназивается «періодом дискретизації», або «інтервалом дискретності».

Рис. 2. Дискретне уявлення неперервної функції

ПФ часто застосовується при вирішенні задач, що виникають в теорії автоматичного регулювання та керування, в теорії фільтрації і т.д. Розберемо один з прикладів. Є якийсь лінійний фільтр - виготовлений чи то у вигляді набору спаяних між собою резисторів, конденсаторів і котушок індуктивності, чи то у вигляді модульної конструкції інтегральних мікросхем. Відомий також вхідний сигнал (на рис.3 в якості вхідного сигналу зображена дельта-функція, тобто імпульс зникаюче короткій тривалості і нескінченно великої амплітуди). Необхідно визначити, який сигнал з'явиться на виході нашого фільтра.

Рис. 3. Дослідження лінійного фільтра

Хід вирішення цього завдання залежить від того, яку позицію ми віддамо перевагу. Виберемо тимчасової шлях вирішення (верхня половина рис.4) - доведеться вхідний сигнал записати як функцію часу SBX (t) і використовувати імпульсну характеристику фільтра h (t), тобто математичну запис його роботи в часі. Відправимося по частотному шляху (нижня половина рис.4) - потрібно буде оперувати вже не з самим вхідним сигналом, а з його спектром gbx (?). ?а і алгоритм роботи нашого фільтра буде потрібно представити в частотній області - у вигляді частотної характеристики K (?). ?ля цього скористаємося допомогою знов-таки «магічного скла» ПФ.

Рис. 4. Швидке перетворення Фур'є

Отже, два шляхи - який з них обрати? Мабуть, той, який простіше. У всякому разі, у більшості практичних завдань перевага віддається частотному напрямку.

Якщо виконувати ДПФ вхідний послідовності, так би мовити, прямо - строго по вихідній формулі, то буде потрібно багато часу (особливо якщо кількість вхідних відліків велике). Конструктивніше використовувати принцип «розділяй і володарюй», що лежить в основі алгоритму ШПФ. Згідно з ним вхідна послідовність ділиться на групи (наприклад, парні і непарні відліки), і для кожної з них виконується ДПФ, а потім отримані результати об'єднуються. У підсумку виходить ДПФ вхідний послідовності - і істотна економія часу. Тому описаний алгоритм так і назвали - швидке перетворення Фур'є.

Список літератури

Лаврус В.С. Практика вимірювань в телевізійній техніці. - К .: НиТ, 1996.

Карташкин А. Піти, щоб повернутися.

© 8ref.com - українські реферати
8ref.com