На головну

Геофізичний "діалект" мови математики - Математика

В.Н. Страхов

Об'єднаний інститут фізики Землі ім. О.Ю. Шмідта РАН, м. Москва

1. У 1995 р. в статті " Геофізіка і математика", див. [1], автор уперше сформулював наступне твердження: математика є мовою науки загалом, але кожна конкретна наука повинна " розмовляти" на власному (специфічному) діалекті цієї мови.

2. У XX віці впровадження математичних методів в геофизику (" освоєння мови математики") йшло в основному шляхом запозичення готових результатів і методів, передусім з математичної фізики і теорії некоректно поставлених задач, але також з теорії імовірностей і математичної статистики, обчислювальної математики, теорії диференціальних і інтегральних рівнянь.

Однак, на думку автора, епоха розробки методів постановки і рішення задач, виникаючих до геофизике на етапі інтерпретації даних спостережень різних елементів фізичних полів, на основі запозичення результатів і методів, розроблених в різних розділах математики, закінчилася. Необхідно усвідомити справжню суть " геофизического діалекту" мови математики і почати формування принципово нової математичної геофизики.

3. Над вказаними загальними міркуваннями автор роздумував останні 5 років; важливий етап в формуванні його розуміння суті " геофизического діалекту" мови математики перебував в усвідомленні нестач (по його термінології - " дефектности") класичних конструкцій аддитивий параметровой регуляризации конечномерных лінійних некоректних задач (стаття " Критичний аналіз класичної теорії лінійних некоректних задач", див. [2]).

4. Щоб краще (точніше і глибше) зрозуміти суть " геофизического діалекту" мови математики, доцільно за основу взяти основоположні установки, з одного боку - математичної фізики і класичної теорії некоректно поставлених задач (ототожнюючи ці установки з установками математики загалом ), а з іншого боку - нової математичної геофизики (що знаходиться, на думку автора, ще в процесі становлення).

При цьому доцільним представляється виділення наступних трьох типів установок:

I) базових математичних теорій, що відносяться до вибору при вивченні фізичних полів, до ідейних постановок задач і способів їх дослідження;

II) що відносяться до обліку апріорної інформації про властивості шуканого рішення і перешкод у вхідних даних - у разі некоректно поставлених задач (і передусім - у разі конечномерных лінійних некоректних задач);

III) чисельних алгоритмів, що відносяться до розробки і тих конкретних комп'ютерних технологій рішення задач, які є основним робочим інструментом і які надаються в розпорядження дослідників.

Нижче дається більш докладна характеристика вказаних трьох типів установок (в математичній фізиці і класичній теорії некоректних задач - з одного боку, і в математичної геофизике - з іншою).

5. Почнемо з характеристики установок першого типу. Установки математичної фізики і теорії некоректних задач перераховуються (тут і всюди нижче) під буквою А, установки ж математичної геофизики - під буквою Б.

А. Іспользуются виключно теорії континуальных фізичних полів, що описуються диференціальними рівняннями або системами подібних рівнянь, в приватних похідних (в основному - лінійними) для основних елементів полів (скалярних або векторних потенціалів). Основні задачі, що вивчаються в рамках континуальных теорій - прямі і зворотні, а також крайові (якщо поля залежать від часу). Основні аналітичні об'єкти, що розглядаються в рамках континуальных теорій фізичних полів - бесконечномерные (функції, що є елементами банаховых просторів; оператори, діючі з одних функціональних просторів в інші; бесконечномерные функционалы, визначені на елементах банаховых просторів, і т.д.). Основні задачі, що вирішуються - типу операторных рівнянь в банаховых (або більш вузько - гильбертовых) просторах, задачі знаходження значень операторів (частіше за все - лінійних, але необмежених) на елементах функціональних (банаховых, гильбертовых) просторів, задачі мінімізації (умовні і безумовні) бесконечномерных функционалов. Використовується класифікація задач, що вирішуються (бесконечномерных) на коректно і некоректно поставлені. Основні позиції, що використовуються при аналізі задач: 1) проблема існування рішень задач при певних (бесконечномерных) даних; 2) проблема единственности рішень задач; 3) проблема стійкості рішень задач. Основні результати досліджень задач: а) теореми існування, единственности і стійкості - для коректно поставлених задач; б) теореми умовного існування, умовної единственности і умовної стійкості - для некоректно поставлених задач; в) теореми регуляризации (збіжності) для методів рішення некоректних задач.

Процедури дискретизації просторових змінних, відповідно дискретизації диференціальних рівнянь використовуються тільки в локальному варіанті - при розробці чисельних методів рішення крайових (початково-крайових) задач. Загальна методологія аппроксимационного підходу при рішенні основних (бесконечномерных) задач не формулюється. Створення комп'ютерних технологій рішення задач не вважається головним.

Б. Наряду з теоріями континуальных фізичних полів використовуються також теорії дискретних фізичних полів (які виникають при дискретизації усього трьохмірного евклидова простору, а також при конечномерной апроксимації диференціальних рівнянь); при цьому замість крайових умов використовуються конструкції регуляризации. Результати, отримані в рамках математичної фізики для конечномерных аналітичних об'єктів і задач (теореми единственности, теореми збіжності і т.д.) використовуються в обмеженому об'ємі. Основне значення додається розробці єдиного аппроксимационного підходу до побудови рішень бесконечномерных задач, тобто переходу від бесконечномерных об'єктів і задач до конечномерным, яким надається визначальне значення. Конечномерные задачі, що Вирішуються також поділяються на коректно і некоректно поставлені, основне значення додається проблемі знаходження наближених рішень лінійних некоректно поставлених задач, тобто знаходження наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь з наближеними даними. При цьому головною метою всіх теоретичних побудов є створення ефективних комп'ютерних технологій.

6. Переходимо до характеристики установок другого типу.

А. В математичній фізиці і класичній теорії некоректних задач, хоч і приймається, що рішення некоректних задач можуть бути отримані лише при використанні так званої апріорної (додаткової) інформації про властивості шуканого рішення і перешкод у вхідних даних, однак фактично приймається стратегія використання мінімальних обсягів апріорної інформації. Саме, використовується тільки та апріорна інформація, яка забезпечує факт регулярності методів, що пропонуються (що розробляються), тобто збіжності рішень до точних при зниженні інтенсивності перешкод (в прийнятих метриках) до нуля. При цьому основні методи, що розробляються відносяться до бесконечномерным задач, на конечномерные вони розповсюджуються без всяких змін.

Проблема підвищення точності і надійності рішень, що отримуються за рахунок використання максимально можливих обсягів апріорної інформації по суті не розглядається.

Б. В математичної геофизике основне значення додається проблемі отримання максимально надійних і точних рішень конечномерных задач, і передусім - задач знаходження стійких наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь з наближеними даними. У зв'язку з цим в розгляд вводиться безліч різних (по типах перешкод у вхідних даних, по обсягах апріорної інформації, що є про перешкоди) постановок некоректних задач. Як самостійна (що має принципове значення) розглядається задача знаходження різних характеристик перешкод безпосередньо по тих заданих (з спостережень) величинах, по яких шукаються рішення задач.

7. Далі переходиться до характеристик установок третього типу.

А. В рамках математичної фізики і класичній теорії некоректних задач проблема створення чисельних алгоритмів і ефективних комп'ютерних технологій не розглядається як така, що має принципове значення. Це, так би мовити, чисто технічна проблема, яка в кожному конкретному випадку повинна вирішуватися по-своєму. Ніяка загальна методологія, на основі якої повинна розроблятися проблема створення чисельних алгоритмів і ефективних комп'ютерних технологій, не створюється.

Б. В рамках же математичній геофизики проблемі, що розглядається надається першорядне значення. Затверджується, що в чисельних алгоритмах, що розробляються і комп'ютерних технологіях передусім повинні реалізовуватися установки загальної методології інтерпретації геофизических даних, і передусім - концепція методообразующих ідей [3]. Останні мають ієрархічну будову, на верхньому рівні фундаментальних ідей останніх всього п'ять:

1) ідея використання аналітичних апроксимацій (функцій, що вивчаються, рівнянь і задач);

2) ідея критериальности (використання спеціальних критеріїв, яким повинні задовольняти шукані рішення);

3) ідея алгебраизации (бажано рішення задач шукати як рішення однієї, або деякої сукупності, систем лінійних алгебраїчних рівнянь);

4) ідея узгодження безлічі допустимих рішень (внаслідок наявності невизначеності в апріорній інформації, що використовується число допустимих - що не суперечать апріорній інформації - рішень може бути ціла безліч; але користувачу бажано мати в кінцевому результаті всього одне рішення, звідси необхідність в конструюванні остаточного рішення по безлічі допустимих);

5) ідея використання методів розпізнавання образів - в рамках як чисельних алгоритмів, що розробляються, що так і створюються комп'ютерних технологій.

У математичної геофизике принципово важливим приймається використання методів розпізнавання образів - як при формуванні тих обсягів апріорної інформації, яка далі використовується в алгоритмах знаходження шуканих рішень некоректних задач, так і при аналізі ходу обчислювального процесу, при управлінні цим ходом.

8. Необхідно підкреслити ще ряд важливих позицій, по яких є принципова відмінність між установками математичної фізики і теорії некоректно поставлених задач - з одного боку, і нової математичної фізики - з іншою. Цих позицій вісім.

а) В математичної геофизике фундаментальне значення має проблема комплексного використання даних декількох геофизических методів - з метою побудови найбільш надійних і точних моделей будови земних надр, а також протікаючих в них геодинамических процесів. У математичній фізиці і класичній теорії некоректних задач дана проблема по суті не розглядається.

б) В цілому ряді геофизических методів (гравиметрия, магнитометрия, геоэлектрика) найважливіше значення має проблема побудови метрологічних лінійних апроксимацій функцій, що описують елементи фізичних полів, що вивчаються на поверхні Землі і в її зовнішності. Такі аналітичні апроксимації повинні будуватися безпосередньо за даними вимірювань різних характеристик зовнішніх полів - в кінцевому числі точок, довільно розташованих на поверхні Землі і в її зовнішності. Розв'язання даної проблеми дозволить принципово змінити інформаційну основу геофизики - аналітичні апроксимації повинні замінити карти. У рамках математичної фізики і класичній теорії некоректних задач проблема побудови аналітичних апроксимацій елементів фізичних полів по суті не розглядається.

в) Алгоритми рішення задач (відповідно - реалізуючий їх комп'ютерні технології), що Створюються в рамках математичної геофизики організуються так, щоб виходили деякі внутрішні оцінки надійності і точність рішень, що отримуються. Такі оцінки виявляються можливими тому, що і дані спостережень, і апріорна інформація, що є поділяються на дві частини: по-перше, що безпосередньо використовується в обчислювальному процесі, тобто в процесі знаходження шуканого рішення задачі, а по-друге, що не використовується в обчислювальному процесі, але що використовується в спеціальних процедурах оцінки точності і надійності отриманих рішень (інакше - контрольні дані). При отриманні незадовільних оцінок процедура знаходження рішення задачі повинна повторюватися - при інакшій організації даних, що використовуються і апріорній інформації. Така переорганизация процедури знаходження рішення може вироблятися декілька разів. Ясно, що в рамках математичної фізики і теорії некоректних задач подібного роду аспекти знаходження рішень задач не розглядаються зовсім.

г) В рамках математичної фізики розглядається ціла безліч моделей перешкод у вхідних даних, які фактично не розглядаються в класичній теорії некоректних задач. По-перше, це моделі мультипликативно-аддитивий перешкод, при цьому кожна з складових цієї моделі характеризується цілим набором числових величин. По-друге, це моделі перешкод різнорідних і разноточных, тобто з " блоковою характеристикою". Інакше говорячи, вектор перешкоди наділяється блоковою структурою, і кожний блок (парциальный вектор перешкоди) наділяється власними (різними) характеристиками перешкоди. Використовується ще і ряд інших моделей перешкод у вхідних даних задач, що вирішуються.

д) В математичної геофизике використовується принципово новий метод знаходження аналітичних апроксимацій елементів фізичних полів - метод інтегральних уявлень, який покликаний замінити класичний метод інтегральних рівнянь. При цьому найважливішим окремим випадком цього методу є метод лінійних інтегральних уявлень. Дані методи, див. [3,4], створені саме в математичної геофизике, вони не розроблялися в математичній фізиці і класичній теорії некоректних задач.

е) У рамках математичною геофизики найважливішою обчислювальною проблемою признається проблема знаходження стійких наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь з наближеними даними, великої (Р=NM=108-109) і сверхбольшой (Р=NM  1010) розмірність (тут N - число рівнянь в системі, М - число належних визначенню невідомих - компонент вектора х). Внаслідок цього в ній запропонований цілий ряд принципово нових конструктивних ідей, що використовуються при розробці алгоритмів знаходження шуканих рішень лінійних систем, див. [5-21]. Тут передусім потрібно відмітити ідею редукції систем до канонічної форми (в якій вектор правої частини системи має усього одну ненульову компоненту), ідею редукції систем в канонічній формі до рішення одного рівняння з однією невідомою, ідею адаптивної регуляризации (заснованої на використанні спеціальних - так званих кореляційних ортогональных перетворень матриць систем (Прім. автора: тут особливо потрібно підкреслити той факт, що в рамках тієї нової теорії регуляризации систем лінійних алгебраїчних рівнянь, яка розробляється автором в останні роки, див. [ ], використання нових ортогональных перетворень (що не розглядалися раніше в обчислювальній лінійній алгебрі) має в деякому розумінні визначальне значення.)) і цілий ряд інших конструктивних ідей, на яких тут немає можливості зупинятися. Створені в рамках математичної геофизики нові алгоритми знаходження наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь є новими і для обчислювальної лінійної алгебри.

ж) В рамках нової математичної геофизики розробляється принципово новий підхід до рішення зворотних геофизических задач, передусім - в гравиметрии і магнитометрии, в якому відпадає необхідність в рішенні складних (по аналітиці) прямих задач. (Нагадаємо тут, що основний метод рішення зворотних задач геофизики засновується на багаторазовому варіюванні моделей геологічної середи, що вивчається, рішенні відповідних задач для кожної з моделей і зіставленні обчислених - для кожної моделі - величин з даними спостережень.) У рамках нового підходу, що використовується в рамках теорій дискретних фізичних полів, використовуються два прийоми:

по-перше, прийом побудови еквівалентних розподілів джерел полів,

по-друге, прийом перетворення модельних джерел поля, що приймаються у відповідні ним еквівалентні.

У цей час виникає важлива задача впровадження нового підходу в практику інтерпретації геофизических даних, передусім - даних гравітаційних і магнітних спостережень.

3) Математична геофизика і класична теорія некоректних задач не є " прив'язаними" до додатків в якійсь конкретній науці. Їх місія - розробка тих основних теоретичних положень, які можуть (і по суті - повинні!) використовуватися в самих різних науках. Саме в цьому і складається мотивація що тих використовуються в математичній фізиці і класичної теорії некоректних задач і приведених вище установок (трьох типів) і які природним образом відрізняються (зобов'язані відрізнятися!) від установок (нової) математичної геофизики. Дійсно, математична геофизика, по даній автором переформулировке класичного вислову Клаузевіца (Прім. автора:Мова йде про наступний вислів: "Війна є продовження політики іншими коштами".), має суто підлегле значення: " Математична геофизика є реалізація установок загальної методології інтерпретації геофизических даних коштами математики".

Саме цим визначається відмінність в загальних установках, саме цим визначаються дані вище сім додаткових позицій, саме в цьому складається восьма позиція.

9. На закінчення автор хотів би підкреслити ще три моменти.

Перший момент. Приведені вище твердження і міркування ще не стали " загальним місцем", ще не сформували новий стереотип мислення геофизиков, що займаються питаннями теорії і практики інтерпретації геофизических даних. Необхідна величезна робота в цьому напрямі.

Другий момент. Викладені в роботі ідеї ніколи не стануть ефективним засобом рішення задач геофизики, якщо на їх основі не буде створено (за єдиним планом!) відповідні комп'ютерні технології. Потрібна спеціальна (високого рівня, бажано - державного) програма створення таких технологій.

Третій момент. Викладені в роботі ідеї не зможуть бути швидко впроваджені в свідомість широкого кола геофизиков-виробничників, якщо вони не будуть (притому самим найшвидшим образом) впроваджені у вищу геофизическое освіту. Подібне ж впровадження вимагає цілого ряду заходів, і передусім - написання принципово нових підручників.

Автор сподівається, що висловлені ним міркування, твердження і пропозиції стануть предметом обговорення на сторінках геофизических журналів.

Грунтовна конкретизація, у власне математичному плані, приведених в роботі положень і тверджень, буде дана в серії подальших робіт автора.

Список літератури

1. Страхів В.Н. Геофізіка і математика // Фізика Землі. 1995. № 12. С.4-23.

2. Страхів В.Н. Крітічеський аналіз класичної теорії лінійних некоректних задач // Геофізіка. 1999. № 3. С.3-9.

3. Страхів В.Н. Трі парадигми в теорії і практиці інтерпретації потенційних полів (аналіз минулого і прогноз майбутнього) // Звістки секції наук про Землю РАЕН. 1999. № 2. С.95-135.

4. Страхів В.Н. Про побудову аналітичних апроксимацій аномальних гравітаційних і магнітних полів // Основні проблеми теорії інтерпретації гравітаційних і магнітних аномалій. М.: ОИФЗ РАН, 1999. С.65-125.

5. Страхів В.Н. Общая теорія знаходження стійких наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь з приблизно заданими правими частинами і матрицями, виникаючих при рішенні задач геофизики // Питання теорії і практики геологічної інтерпретації гравітаційних, магнітних і електричних полів. М.: ОИФЗ РАН, 1997.С.38-42.

6. Страхів В.Н. Математічеський апарат, що використовується при конструюванні алгоритмів знаходження стійких наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь, виникаючих в задачах гравиметрии і магнитометрии // Питання теорії і практики геологічної інтерпретації гравітаційних, магнітних і електричних полів. М.: ОИФЗ РАН, 1997. С.43-75.

7. Страхів В.Н. Екстремальние задачі, непараметричної регуляризация і фільтрація в теорії знаходження стійких наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь з приблизно заданими правими частинами і матрицями // Питання теорії і практики геологічної інтерпретації гравітаційних, магнітних і електричних полів. М.: ОИФЗ РАН, 1997. С.76-88.

8. Страхів В.Н. Обобщенние QR-алгоритми знаходження стійких наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь з приблизно заданою правою частиною, виникаючих при рішенні лінійних задач гравиметрии і магнитометрии // Питання теорії і практики геологічної інтерпретації гравітаційних, магнітних і електричних полів. М.: ОИФЗ РАН, 1997. С.87-88.

9. Страхів В.Н. Третья парадигма в теорії і практиці інтерпретації потенційних полів (гравітаційних і магнітних аномалій). науч. журн. "Вісник ОГГГГН РАН", № 1(3)'1998, М.:ОИФЗ РАН, 1998.

URL: http://www.scgis.ru/russian/cp1251/dgggms/1-98/3par3_00.htm

10. Страхів В.Н., Страхів А.В. Основние методи знаходження стійких наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь, виникаючих при рішенні задач гравиметрии і магнитометрии. I. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 40 з.

11. Страхів В.Н., Страхів А.В. Основние методи знаходження стійких наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь, виникаючих при рішенні задач гравиметрии і магнитометрии. II. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 52 з.

12. Страхів В.Н., Страхів А.В. До теорії регуляризации лінійних некоректних задач гравиметрии і магнитометрии. Ч. I // Електр. науч. журн. "Вісник ОГГГГН РАН", № 1(7)'1999, М.:ОИФЗ РАН, 1999.

URL: http://www.scgis.ru/russian/cp1251/h_dgggms/1-99/strakh-1.htm#begin

13. Страхів В.Н., Страхів А.В. До теорії регуляризации лінійних некоректних задач гравиметрии і магнитометрии. науч. журн. "Вісник ОГГГГН РАН", №3(9)'1999, М.:ОИФЗ РАН, 1999.

URL: http://www.scgis.ru/russian/cp1251/h_dgggms/3-99/strakh-2.htm#begin

14. Страхів В.Н., Страхів А.В. Про рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь з приблизно заданою правою частиною, виникаючих при рішенні задач гравиметрии і магнитометрии. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 68 з.

15. Страхів В.Н., Страхів А.В. Про рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь, виникаючих при рішенні задач гравиметрии і магнитометрии. 1. Редукція до систем в канонічній формі // Докл. РАН. 1999. Т.368, № 4. С.545-548.

16. Страхів В.Н., Страхів А.В. Про рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь, виникаючих при рішенні задач гравиметрии і магнитометрии. 2. Методи рішення систем в канонічній формі // Докл. РАН. 1999. Т.368, № 5. С.683-686.

17. Страхів В.Н., Страхів А.В.Аппроксимационний підхід до рішення задач гравиметрии і магнитометрии. I. Основная обчислювальна проблема - регуляризация систем лінійних алгебраїчних рівнянь // Російський журнал наук про Землю. Т.1, № 4, липень 1999. С.271-299.

18. Страхів В.Н., Страхів А.В. Аппроксимационний підхід до рішення задач гравиметрии і магнитометрии. II. Нові методи знаходження стійких наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь з приблизно заданою правою частиною // Російський журнал наук про Землю. Т.1, № 5, вересень 1999. С.353-400.

19. Страхів В.Н. Основи нової теорії регуляризации систем лінійних аналітичних рівнянь з наближеними даними // Питання теорії і практики геологічної інтерпретації гравітаційних, магнітних і електричних полів: матеріали 27-й сесії Міжнародного семінару ім. Д.Г. Успенського, Москва, 31 січня - 4 лютого 2000 р. М.: ОИФЗ РАН, 2000. С.178-179.

20. Страхів В.Н. Субоптімальние алгоритми знаходження стійких наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь, виникаючих при рішенні задач гравиметрии і магнитометрии // Докл. РАН. 2000. Т.373, № 4.

21. Страхів В.Н., Страхів А.В. Метод блокового координатного спуску для знаходження стійких наближених рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь з приблизно заданою правою частиною великої і сверхбольшой розмірності, виникаючих при рішенні задач гравиметрии і магнитометрии // Докл. РАН. 2000.

© 8ref.com - українські реферати
8ref.com