Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Рух тіл змінної маси - Математика

Д. ф.-м. н. Б.Л.Воронов

Завдання 1. Однорідна непружна ланцюг довжиною L і масою М перекинута через блок. Частина ланцюга лежить на столі висотою h, а частина на підлозі. Знайти швидкість рівномірного руху ланок ланцюга (рис. 1).

Завдання 2. Однорідна нерозтяжна коло підвішене на нитці так, що нижній кінець її стосується кришки столу. Нитка перепалюють. Знайти силу тиску ланцюжка на стіл в той момент, коли над ним знаходиться частина ланцюга довжиною h. Маса ланцюга - М, її довжина - L, удар кожної ланки вважати абсолютно непружним (рис. 2).

Завдання 3. З якою силою тисне на землю кобра, коли вона, готуючись до стрибка, піднімається вертикально вгору з постійною швидкістю v (рис. 3)? Маса змії - M, її довжина - L.

Почнемо з добре відомою ситуації. Нехай тіло можна вважати матеріальною точкою (наприклад, можна знехтувати його структурою і розмірами або вести мову тільки про центр мас тіла) або всі частини протяжного тіла мають одну і ту ж швидкість v. Тоді 2-й закон Ньютона, в теоретичної механіки частіше говорять - рівняння руху, для такого тіла має вигляд:

де m - незмінна маса тіла, F - діюча на тіло зовнішня сила. У загальному випадку протяжних тіл окремі частини тіла рухаються кожна зі своєю швидкістю, і опис руху всіх частин з урахуванням їх взаємодії різко ускладнюється.

Однак бувають випадки, коли рух деяких частин складеного тіла можна описати порівняно просто. Одним з таких випадків є випадок руху тіл змінної маси. Нехай є складова система і нехай в ній можна виділити деяку частину, підсистему, що рухається зі швидкістю v, причому склад її змінюється певним чином. Будемо називати цю підсистему тілом змінної маси, якщо виконані наступні умови. У кожен момент часу можна вважати, що це тіло або є матеріальною точкою, або всі його частини мають однакову швидкість v. З плином часу від тіла безперервно відділяються деякі (нескінченно) малі його частини, причому кожна зі своєю незалежною швидкістю v '; або, навпаки, до тіла безперервно додаються нові малі частини, які до «прилипання» мали свою швидкість v '(можливо і те і інше). Таким чином, при русі тіла змінюється не тільки його швидкість v = v (t), а й маса m = m (t), причому відома швидкість зміни массиСлучай <0 означає, що за проміжок часу t ? t + dt від тіла відокремлюються які -то частини масою -dm; випадок Випадок> 0 означає, що за той же проміжок часу до тіла додаються якісь частини масою dm. Прикладом першого випадку є ракета і поливна машина, прикладом другого випадку - снігова лавина. Ми обмежимося ситуаціями, коли всі отделяющиеся або додаються частини мають в кожен момент часу одну і ту ж швидкість v '= v' (t), отже, одну і ту ж швидкість u = v '- v відносно тіла. Цю швидкість u = u (t) називають відносною швидкістю. Якщо вона відома поряд з (наприклад, у випадку ракети вона визначається приготуванням, у разі сніжної лавини v '= 0, стало бути, u = -v), то говорять про рух тіла змінної маси.

2-й закон Ньютона для тіл змінної маси має вигляд:

де F - сумарна зовнішня сила, яка діє в даний момент часу як на тіло (змінної маси m), так і на його відділяються або додаються частини (маси -dm або dm відповідно). Цю тонкість треба постійно мати на увазі. Може статися, що вся зовнішня сила або кінцева її складова прикладена саме до цих частин: під дією кінцевої зовнішньої сили (нескінченно) мала маса (-dm або dm) за (нескінченно) малий проміжок часу t ? t + dt змінює свою швидкість на кінцеву величину, від v до v 'або від v' до v, випробовуючи (нескінченно) велике прискорення. Саме цей випадок реалізується у наведених нижче завданнях. Звичайно, може статися, що зміна швидкості отделяющихся або додавати частин забезпечується внутрішніми силами. Так йде справа, наприклад, у випадку космічної ракети або сніжної лавини.

2-й закон Ньютона для тіл змінної маси можна переписати в еквівалентній формі (особливо зручною в другому випадку):

Відміну від звичного випадку постійної маси полягає в тому, що m = m (t) є тепер відомою функцією часу, а до зовнішньої силі F додається реактивна сила

Дамо висновок 2-го закону Ньютона для тіл змінної маси (при першому читанні цей абзац можна пропустити). Він випливає з 2-го закону Ньютона для будь-який, в тому числі складовою системи, в наступній загальній формі:

тобто прирощення dp повного імпульсу p системи за інтервал часу t ? t + dt одно імпульсу Fdt діючої на систему зовнішньої сили F. Системою в розглянутому інтервалі часу t ? t + dt є тіло змінної маси разом з відокремлюються або додавати частинами. У будь-якому випадку (> 0 або <0) зміна dp імпульсу p за проміжок часу t ? t + dt дається формулою:

dp = p (t + dt) - p (t) = (m + dm) (v + dv) - dmv '- mv.

Висновок цієї формули надаємо читачеві як вправа. Зазначимо лише, що перший доданок праворуч відноситься до часу t + dt, третій доданок - до часу t, а другий доданок (-dmv ') належить до моменту t + dt у разі відокремлюється частин (масою -dm> 0, <0) і до моменту t в разі Додавати частин (масою dm,> 0). Розкриваючи праву частину

dp = mdv - dm (v '- v) + dmdv = mdv - dmu + dmdv

і прирівнюючи її Fdt, маємо:

Ділячи обидві частини останньої рівності на dt, переходячи до переділу dt ? 0 і відкидаючи прагне до нуля слагаемоеполучаем остаточно:

З висновку слід вказане вище зміст поняття зовнішньої сили F.

Тепер перейдемо до вирішення завдань.

Завдання 1.Возьмем в якості тіла змінної маси лежить на столі ділянку ланцюга. Ланцюг вважається нерозтяжної, товщина ланцюга - пренебрежимо малої, тому можна вважати, що вся ця ділянка займає пренебрежимо малий обсяг (зосереджений в точці) в основі лівого вертикального ділянки кола. Рух носить одновимірний характер, уздовж вертикальної осі y (початок відліку на підлозі), тому досить розглядати лише y-компоненту 2-го закону Ньютона (значок «y» для у-компонент векторів v, u, F надалі опускаємо):

(Інші компоненти рівнянь руху мають вигляд 0 = 0). Саме це рівняння має визначити швидкість рівномірного руху вертикальних ланок ланцюга, оскільки вони відокремлюються від нашого тіла.

У кожен момент часу всі ланки розглянутого ділянки вільно, без натягу, лежать на столі, v = 0, відповідно, сила тяжіння компенсується силою реакції стола. Відділяється перший зверху ланка, що лежить в основі вертикального ділянки, йде вгору з постійною в часі вертикальною швидкістю v '> 0. Ця швидкість і є шуканої. Відносна швидкість u = v '- v = v'. Маса тіла m = ?l, де l - довжина розглянутого ділянки, - лінійна щільність ланцюга. Довжина l, а значить, і маса m, зменшуються за рахунок йдуть вгору ланок; внаслідок нерозтяжна ланцюга

відповідно

Залишається визначити вертикальну компоненту F зовнішньої сили F. Вона дорівнює натягненню Th лівої вертикальної частини ланцюга на нижньому її кінці, що знаходиться на висоті y = h. Прикладена ця сила до відділяється від тіла перші зверху ланці, тоді як всі ланки тіла лежать вільно (див. Вище про зовнішній силі F). Th в свою чергу визначається умовами руху вертикальних ділянок ланцюга. Якщо вони рухаються рівномірно, як це і приймається в умові завдання, і, крім того, ланцюг праворуч лягає на підлогу вільно, тобто натяг T0 правого вертикального ділянки на нижньому його кінці, у підлоги, на висоті y = 0, дорівнює нулю (T0 = 0), то Th дорівнює різниці ваги Pправ правої ділянки і ваги Pлев лівого вертикального ділянок ланцюга: Th = Pправ - Pлев.

Ми залишаємо читачеві відповідні міркування, зазначимо лише, що при рівномірному русі будь-якого вертикального ділянки кола його вага компенсується різницею натяжений на кінцях цієї ділянки, крім того, при безинерціонной блоці (що неявно приймається), натяг ланцюга праворуч і ліворуч від блоку однаково. Різниця ваг визначається різницею мас, отже, різницею довжин відповідних ділянок:

Pправ - Pлев = ?hg,

так що

F = ?hg> 0.

З урахуванням сказаного 2-й закон Ньютона приймає вигляд:

- (-?v ') V' = ?hg,

або: v'2 = hg,

звідки знаходимо шукану швидкість:

В якості вправи читачеві пропонується вирішити задачу, взявши в якості тіла змінної маси деякий ділянку вертикальної ланцюга. Мабуть, найпростіше вибрати деякий нижній відрізок лівого вертикального ділянки з фіксованим верхньою ланкою (але не заввишки!). Тонкість буде у визначенні сили F: натяг ланцюга Th на нижньому кінці тепер, коли ланка, що лежить в основі і має швидкість v ', включається до складу тіла змінної маси, дорівнює нулю (Th = 0), а колишнє натяг ланцюга Th = ?hg є тепер внутрішньою силою. Цікаво, що відповідь не залежить від довжини вибраного відрізка і його можна взяти як завгодно малим, досить розглядати в кожен момент часу тільки ланка, що лежить в основі ланцюга. Це ж ясно і з попереднього розгляду.

Завдання 2. В якості тіла змінної маси візьмемо вертикальний, падаючий, ділянка ланцюга змінної довжини l = h, h - висота ланцюга над столом. Як і в попередній задачі, рух одномірне, уздовж вертикальної осі y, тому внаслідок нерозтяжна ланцюга всі падаючі ланки мають одну і ту ж швидкість v, і 2-й закон Ньютона має колишній вигляд:

Виявляється, додаткові міркування однозначно визначають закон руху, тим самим однозначно визначається ліва частина останнього рівняння, що дозволяє знайти силу F, а потім і силу N тиску ланцюжка на стіл.

Розглянемо ці міркування.

По-перше, оскільки відділяються від тіла, що впали на стіл ланки мають швидкість v '= 0 (удар абсолютно непружний), відносна швидкість u = v' - v = -v, і 2-й закон Ньютона в даному окремому випадку приймає вигляд:

По-друге, як і в попередній задачі, m = ? l = ? h, ? =. Як наслідок, маса тіла зменшується разом з висотою h, яка змінюється зі швидкістю v тіла, v <0. У третьому, як і в попередній задачі, остання ланка вільно лягає на стіл, отже, натяг T0 ланцюга на нижньому кінці падаючого ділянки дорівнює нулю (T0 = 0). На верхньому його кінці натяг, очевидно, дорівнює нулю, тому кожна ланка вертикальної ланцюжка, за винятком впав останньої ланки, падає вільно з прискоренням. Як відомо, при вільному падінні з нульовою початковою швидкістю поточна швидкість v визначається пройденим шляхом s :. Для верхньої ланки, а значить, і будь-якої ланки вертикального ділянки, при висоті h цей шлях s = L - h, тому.

Отримані дані визначають силу F, що діє на вертикальну ділянку ланцюжки, включаючи останнє, покоїться, ланка:

Тепер силу F потрібно зв'язати з силою тиску N всього ланцюга на стіл. Сила F складається з сили тяжіння і сили реакції столу ?N> 0, діючої на вертикальну ділянку в точці падіння ланок. По 3-му закону Ньютона ?N дорівнює силі тиску вертикального ділянки на стіл в цій точці (стандартно мається на увазі величина цієї сили, спрямованої вниз):

F = ?N - mg.

Але ?N однозначно пов'язана з повною силою тиску N: N складається з сили тиску ?N вертикального ділянки і ваги P = (M - m) g вільно лежить на столі частині ланцюжка:

N = ?N + p = ?N + (M - m) g,

звідки ?N = N - (M - m) g.

Стало бути, F = ?N - mg = N - Mg,

звідки, підставляючи відоме значення F:

Остаточно:

Здається корисним прокоментувати як сам відповідь, так і окремі моменти рішення. Відповідь демонструє цікаву розривну залежність сили тиску N ланцюга на стіл від часу. У початковий момент часу (t = 0), коли h = L, сила тиску N = 0.

Потім, зі зменшенням висоти h за законом вільного паденіяона квадратично зростає з часом за законом. Нарешті, в момент часу t = tмакс =, коли падає остання ланка ланцюга з максимальною скоростьюі h = 0, сила тиску досягає максимального значення Nмакс = 3Mg - потрійний вага ланцюга. Але вже в наступний момент після падіння і пізніше, коли вся ланцюг вільно лежить на столі, сила тиску дорівнює просто вазі ланцюжка: N = Mg при t> tмакс (див. Малюнок).

Звернемо увагу ще на одну тонкість. Коли ми робили висновок про вільному падінні вертикального ділянки кола, ми виключали з нього нижню точку - Останнім впало, що відокремилося, ланка, яка має нульову швидкість. Сила, що діє на тіло, була тільки силою тяжіння, Fт = - mg. Коли ж ми обговорювали силу F = ?N - mg, то це була зовнішня сила, що діє на весь вертикальний ділянку, включаючи нижню точку, - останнє впало ланка. Саме його зупиняє сила ?N реакції столу (див. Знову-таки обговорення змісту зовнішньої сили F при виводі 2-го закону Ньютона). Ми бачимо, що кінцевий внесок

в повну силу тиску N пов'язаний з останнім останавливающимся ланкою, що передає свій імпульс столу. (Порівняйте це явище з тиском молекулярного газу на стінку.)

І, нарешті, останнє зауваження. В якості тіла змінної маси можна взяти ділянку ланцюга, що лежить на столі. При такому виборі будемо мати: швидкість v = 0, маса m = ? (L - h) і збільшується за рахунок падаючих на стіл ланок, їх швидкість

тому, відносна швидкість u = v '- v = v', сила F = N - mg, 2-й закон Ньютона

приймає вигляд: - (- ?v ') v' = N-mg, звідки, як і раніше,

На цей раз останнім впало, тепер додає, ланка відноситься до лежачої на столі частині ланцюга. Ось такі «хитрощі». Їх можна уникнути, а рішення задачі спростити, якщо розглянути цілком весь ланцюг і застосувати 2-й закон Ньютона до руху всього ланцюга.

Список літератури

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://www.1september.ru/
Ідеологія самодержавства
Переконання російських консерваторів першої чверті XIX віку Мінаков А. Ю. Ідеологія офіційної народності отримала остаточне оформлення стараннями міністра освіти графа С.С. Уварова на початку 30-х рр. XIX віку. Нині досить добре відомі німецькі джерела, які обумовили появу формули Уварова:

Русь початкова і "зіткнення цивілізацій"
Русь початкова і "зіткнення цивілізацій" Галкина Е. С. Виховання громадянськості і національної ідентичності будується передусім на знанні вітчизняної історії. Проблема ролі і місця Росії у всесвітньо-історичному процесі не втрачає актуальності і обговорюється на всіх рівнях, включаючи

Вчення В.І.Леніна про комуністичне виховання і освіту
Н.А.Константінов, Е.Н.Мединський, М.Ф.Шабаєва В. І. Ленін в своїй теоретичній і практичній діяльності постійно і незмінно приділяв величезну увагу справі виховання і утворення трудящих. Творче розвиваючи вчення К. Маркса і Ф. Енгельса про виховання, В. І. Ленін вказував, що питання, виховання

Пішки в минуле або Прогулянка по залах Палеонтологичеського музею
Лаломов А. В. Палеонтологичеський музей - один з самих великих і сучасних естественнонаучных музеїв не тільки в Москві, але, напевно, і у всій Росії. Він розташовується в мальовничій лісопарковій зоні на південному заході столиці в приміщенні з червоної цегли, чомусь що нагадує середньовічну

Тріполі
Тріполі - друге за величиною місто Лівану - знаходиться зовсім недалеко від Бейрута. Всього в 85 кілометрах. Але різниця між ними дуже велика. В Бейруті, та й в інших ліванських містах виникає відчуття, що ти - в Західній Європі. А Тріполі виглядає як типовий місто Арабського Сходу. Навіть

Історія розвитку вітчизняного фотонабора
Ю.Н. Самарін, кандидат технічних наук, Московський державний університет друку Ідея фотонабора народилася в Росії біля ста років тому. У 1950-1980 рр. фотонаборные автомати електронно-механічного типу стали широко застосовуватися для отримання фотографічного зображення рядків і гранок тексту.

Ватикан: карликова наддержава
За ланцюгами, що оздоблюють площу Святого Петра, в «обіймах» знаменитої колонади, Італія кінчається і починається інша держава. Ви - у Ватикані, самій маленькій країні світу. Вона займає всього 44 гектари (0,44 км2), що порівнянно з Заячому островом, на якому стоїть Петропавловська фортеця

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати