На головну

 Багатофункціональність вправи і многофакторность вміння - Математика

А.В. Ястребов, Ярославський державний педагогічний університет

У роботі сформульовані два положення, пов'язані з процесом формування математичних умінь. Проведено їх обговорення з точки зору деяких сучасних концепцій викладання математики.

Основні твердження

Перше твердження, яке ми назвемо багатофункціональністю вправи, формулюється так: вправа формує, як правило, не одне вміння, а цілу групу умінь.

Проілюструємо це на матеріалі курсу алгебри і теорії чисел. Для цього розглянемо наступну задачу.

Задача. Подкольцо Z кільця R породжує бінарне відношення T на R наступним чином:

.

Чи є T відношенням еквівалентності? Якщо так, то знайдіть фактор-безліч R / T.

Насамперед відзначимо, що поява такого завдання при вивченні відносин еквівалентності цілком природно. Дійсно, при побудові теорії чисел в рамках базового курсу алгебри і теорії чисел ми замість включення Z? R використовуємо включення Gm? Z, де Gm - безліч чисел, кратних m? 0, ? 1, а замість бінарного відношення T - відношення порівняння ? по модулю m; самі ж відносини T і ? визначаються одноманітно.

Доказ того факту, що T - відношення еквівалентності, заснована на властивостях операцій над числами. Наприклад, транзитивність доводиться наступним чином:

Переходячи до опису фактор-множини неважко помітити, що будь-які різні числа полусегмента [0, 1) попарно нееквівалентний, і що будь-яке дійсне число евківалентно одному з чисел даного полусегмента. Таким чином, фактор-безліч побудовано, однак результат побудови недостатньо хороший, оскільки з тим же підставою можна назвати фактор-множиною багато інших об'єктів, наприклад, полусегмент [a, a + 1) при довільному a, напівінтервал (а, а + 1] , об'єднання сегмента і інтервалаі т.д. Для канонічного опису фактор-множини потрібно згадати, що полусегмент [0, 1) знаходиться у взаємно-однозначним дотриманням полусегментом [0, 2?), який, у свою чергу, знаходиться під взаємно- однозначній відповідності з колом S, заданої стандартними параметричними рівняннями. Утворюючи композицію цих відповідностей, ми можемо отримати канонічне відображення, яке визначається параметричними рівняннями

Отже, фактор-безліч є колом: R / T = S.

Наведена схема рішення показує, що завдання за своїм походженням є алгебраїчною, результат формулюється на геометричному мовою, а значна частина докази здійснюється за допомогою техніки, характерної для математичного аналізу. Дійсно, дана задача формує групу різнохарактерних умінь.

Відступимо від основної лінії викладу і намітимо розвиток даної задачі в двох напрямках, геометричному і алгебраическом.

Ставлення T на R породжує бінарне відношення T1на безлічі R2, яке визначається таким чином:

Іншими словами, дві точки з R2 знаходяться в бінарному відношенні T1, якщо їх перші координати еквівалентні в сенсі отношеніяT.

Неважко довести, що T1 - відношення еквівалентності. З його визначення випливає, що для факторизації R2 = R? R по T1 потрібно профакторізіровать по T перший множник декартова твори, звідки випливає, що R2 / T1 = (R / T) ? R = S? R. Очевидно, що декартовій твір окружності S на пряму R є циліндром.

Аналогічно, ставлення T на R породжує бінарне відношення T2 на безлічі R2, яке визначається таким чином:

Іншими словами, дві точки з R2 знаходяться в бінарному відношенні T2, якщо їхні відповідні координати еквівалентні в сенсі ставлення T.

Неважко довести, що T2 - відношення еквівалентності. З його визначення випливає, що для факторизації R2 = R? R по T2 потрібно профакторізіровать по T кожен множник декартова твори, звідки випливає, що R2 / T2 = (R / T) ? (R / T) = S? S. Декартово твір двох кіл - це тор. Таким чином, вихідна алгебраїчна задача отримала гарну геометричне продовження.

Цю ж задачу можна розглядати з точки зору теорії груп, оскільки (R, +) - це група. Кожне дійсне число a породжує клас еквівалентності a? R / T. Якщо визначити операцію складання на R / T за допомогою формулито можна довести, що це визначення коректно і що пара (R / T, +) утворює групу.

Згадаймо тепер про ототожнення фактормножество з окружністю: класи еквівалентності a ииз фактормножество відповідно ототожнюються з точкамііна кола. У силу цього операція додавання класів індукує операцію складання точок :. Природно поставити питання про те, як знайти положення точки C на колі, знаючи положення точок A і B. Цілком аналогічно можна побудувати операції над точками циліндра і тора і поставити завдання про з'ясування геометричного сенсу цих операцій. Таким чином, як вихідна задача, так і її продовження формує цілу групу умінь з різних розділів математики.

Друге з основних тверджень, яке ми назвемо многофакторностью вміння, формулюється так: вміння формується, як правило, під впливом багатьох різнохарактерних вправ.

Справа в тому, що вміння не можна вважати сформованим в момент повідомлення студенту його формально-логічної бази, тобто формули, теореми, алгоритму і т.д. Для його повного формування необхідна як стадія пропедевтики, так і стадія застосування. Остання, у свою чергу, складається з двох частин: безпосереднього застосування та входження вміння в якості складової частини в більш складний комплекс розумових дій. Наприклад, навряд чи можна вважати, що учень опанував тригонометричними формулами в той момент, коли вони були вперше виведені викладачем або навіть отримані самостійно. Їх повне освоєння відбувається в процесі рішення тригонометричних рівнянь і нерівностей, докази тригонометричних тотожностей, дослідження тригонометричних функцій, обчислення тригонометричних інтегралів, дій з комплексними числами, записаними в тригонометричної формі, і.т.д. Уміння приводити матрицю до ступінчастого вигляду виявляється повністю сформованим в результаті рішення систем лінійних рівнянь, дослідження таких систем з параметрами, застосування методу невизначених коефіцієнтів у алгебрами і математичному аналізі, виконання більш ніж півтора десятків алгоритмів лінійної алгебри. Уміння диференціювати формується не тільки при виконанні вправ на техніку диференціювання, але також при дослідженні функцій і побудові їх графіків, при диференціюванні інтегралів із змінною верхньою межею, при дослідженні функцій багатьох змінних, при вивченні функцій комплексного змінного.

Перелічені та багато інших приклади виявляють одне об'єктивна обставина: багато математичні вміння і навички, які почали формуватися ще в школі, доводяться до досконалості у вузі в процесі вирішення вправ і завдань найрізноманітніших типів.

Основні твердження у світлі деяких методичних концепцій

Розглянемо сформульовані вище основні твердження з погляду трьох методичних концепцій: авторської концепції навчання математики як моделі наукових досліджень [5], теоретичних основ підготовки викладачів профільних шкіл О.А. Іванова [1] і технології наочно-модельного навчання Є.І. Смирнова [4].

Відповідно до першої з них навчання математики в педвузі має бути моделлю дослідної роботи у сфері математики і методики її викладання [5. С.17]. При цьому однією з властивостей наукової роботи, що підлягають відтворенню в навчальному процесі, є сучасність ведуться досліджень. Моделювання цієї властивості припускає введення студентів в коло об'єктів, досліджуваних наукою в даний введення студентів в коло об'єктів, досліджуваних наукою в даний час, знайомство з типовими дослідницькими завданнями [5. С.19-20]. Для педагогічних вузів, на відміну від класичних університетів, це надзвичайно складне завдання, оскільки викладачі змушені залишатися в рамках державних освітніх стандартів, які, на жаль, досить бідні.

Покажемо, що незважаючи на свою простоту, завдання попереднього розділу готують студентів до сприйняття таких сучасних математичних понять, як групи Лі та однорідні простору. У попередньому розділі було показано, що на колі, циліндрі і торі можна ввести алгебраїчні операції, що задовольняють аксіомам групи. Тим самим у поле зору студентів виникає незвичайне явище, коли предмет вивчення несе на собі одночасно дві різнотипні структури, а саме, є і геометричним об'єктом, і групою. Ретроспективний погляд показує, що ця ситуація зустрічалася досить часто, хоча їй бути може, і не приділялося належної уваги. Дійсно, цілий ряд добре знайомих геометричних об'єктів несе на собі групову структуру: пряма (група R по додаванню), пряма з виколоти точкою (група R * = R \ ? 0? по множенню), відкритий промінь (група позитивних чисел по множенню), площину (група R2 по додаванню), площину з виколоти точкою (група C * = C \ ? 0? по множенню). До цього списку з восьми прикладів можна при бажанні додати спіралі на комплексній площині

кожна з яких утворює мультипликативную групу. Їх вивчення природно вписується як в курс математичного аналізу, так і в курс диференціальної геометрії. У перспективі, при вивченні кватернионов, можна розглянути мультипликативную групу кватерніонів з одиничною нормою, або іншими словами, тривимірну сферу, несучу на собі групову структуру. Відзначимо, що вивчення кватерніонів до недавнього часу включалося в програму педагогічних вузів: див., Наприклад, [2. С. 299]. Таким чином, ми отримуємо досить багату "зоологію" особливих математичних об'єктів, відштовхуючись від якої можна почати систематичне вивчення груп Лі. Важливо, що цей список прикладів виник на базі вельми простий математичної техніки.

Для введення уявлень про однорідних просторах наповнимо визначення дії групи на безлічі: група G діє на множині M, якщо поставлено відображення A: G? M ??? M, що задовольняє властивостям

Aghx = Ag (Ah) x, g, h ? G, x ? M.

Aex = x;

тут- одиниця групи.

Кожна дія A породжує відношення еквівалентності T 'на безлічі M задане таким чином:

Фактормножество M / T 'називається однорідним простором щодо групи G.

Наведена конструкція, незважаючи на свою високу абстрактність, має саме безпосереднє відношення до курсу математики в педагогічному вузі. Дійсно, у випадку, коли G = Z, M = R, а дія задається рівністю Ag (x) = g + x, проста перевірка показує, що T = T ', і, отже, окружність є однорідним простором щодо групи Z. Природно , що циліндр і тор також виявляються однорідними просторами. У тезах доповідей [6] показано, що подання про трьох класичних геометріях - евклідової, сферичної і Лобачевського - як про однорідних просторах може бути сформовано в базовому курсі геометрії для педагогічного вузу; більш повне виклад см. в [7. С.177-184]. Отже, ми знову бачимо, що прості завдання дозволяють долучати студентів до первинних понять просунутої математичної теорії.

Необхідність такого прилучення стає очевидною, якщо звернутися до теоретичних основ підготовки викладачів математичних шкіл. Визначаючи цілі їх підготовки, О.А. Іванов пише: "Навчання на математичних факультетах університетів має бути спрямоване на підготовку фахівця - вчителі вищої кваліфікації - з професійними навичками науковця і вчителя-методиста". При цьому на перше місце ставляться так звані інтегративні курси, які характеризуються двома особливостями: по-перше, виклад матеріалу відбувається не строго послідовно, а групується навколо певних понять, математичних ідей та тверджень; по-друге, в цьому викладі поняття та ідеї елементарної математики зв'язуються із загальними математичними поняттями, ідеями та твердженнями, відомими студентам з базових універсітетсткім курсам [1. С.53]. Теоретико-методичною основою відповідного практикуму щодо вирішення завдань є поняття пучка завдань, під яким розуміється "така їх сукупність, визначальною характеристикою якої є наявність різнотипних взаємозв'язків між окремими складовими цю сукупність завданнями, що забезпечує включення зворотного зв'язку в процес їх вирішення" [1. С. 58]. (Курсив мій - А.Я.)

Неважко бачити, що обговорювалися вище математичні завдання якраз і характеризуються наявністю різнотипних взаємозв'язків між розглянутими об'єктами, групуючи при цьому навколо одного поняття - відносин еквівалентності. Таким чином, вони можуть розглядатися і в якості маленького фрагмента інтегративного лекційного курсу, і в якості пучка завдань з супутнього йому практикуму.

Технологія наочно-модельного навчання приділяє значну увагу процесу сприйняття математичних об'єктів. Так, Є.І. Смирнов пише: "Процес сприйняття ... припускає наявність вузлових, опорних, характерних, специфічних властивостей і якостей об'єкта сприйняття, будь то прийоми діяльності, що відображають окреме математичне знання, або організований набір знань.

... Актуальною є проблема такої організації процесу навчання математики, коли уявлення, що виникають в мисленні учнів, відображають основні, істотні, ключові сторони предметів і явищ ... "[4. С. 103].

Наведені вище багатофункціональні вправи повною мірою враховують зазначену закономірність, оскільки формують уявлення про фундаментальні прийомах діяльності математика: про факторизації і про ототожнення ізоморфних об'єктів. Їх вузловий, опорний характер обумовлений, крім іншого, їх повторюваністю в часі. Дійсно, до них можна звертатися з різних точок зору при вивченні відносин еквівалентності, комплексних чисел, теорії груп, теорії функцій комплексного змінного, підстав геометрії, оскільки окружність можна трактувати самими різними способами: як безліч комплексних чисел з одиничним модулем, як мультипликативную підгрупу групи C *, як безліч чисел виду ei?, як однорідне простір.

Можливість багатозначною трактування одного і того ж математичного явища "формує у майбутніх учителів важливе професійне вміння - бачити за єдиною формою різноманітне зміст, об'єднане єдиною логічною основою" [4. С. 209].

Ми бачимо, що багатофункціональні вправи, що виникли, здавалося б, із суто математичних міркувань, виявляються корисними з точки зору трьох різних педагогічних концепцій, що виникли незалежно один від одного. Ми трактуємо цю обставину як прояв закономірності, сформульованої А. Пуанкаре: "Міркувати про те, яким чином найкраще впровадити поняття в незайманий розум дитини, - значить в той же час роздумувати про те, яким чином ці поняття були придбані нашими предками; значить, отже, роздумувати про їх дійсне походження, а це, по суті, означає роздумувати про їх істинну природу "[3. С. 286].

Список літератури

Іванов О.А. Теоретичні основи побудови спеціальної математичної та методичної підготовки викладачів профільних шкіл. СПб .: Изд-во С.-Петерб. ун-ту, 1997.

Куликов Л.Я. Алгебра і теорія чисел. М .: Вища школа, 1979.

Пуанкаре А. Про науку. М .: Наука, 1983.

Смирнов Є.І. Технологія наочно-модельного навчання математиці. Ярославль: Изд-во Ярославського держ. пед. ун-ту, 1998.

Ястребов А.В. Наукове мислення та навчальний процес - паралелі і взаємозв'язку. Ярославль: Изд-во Ярославського держ. пед. ун-ту, 1997.

Ястребов А.В. Досвід викладу в задачах найпростіших фактів геометрії Лобачевського // Міжнародна наукова конференція "Лобачевський і сучасна геометрія. Казань, 18-22 серпня 1992. Тези доповідей ч.II. Казань: Изд-во Казанського ун-ту, с.83-84.

Ястребов А.В. Моделювання наукових досліджень як засіб оптимізації навчання студента педагогічного вузу: Дис. ... Д-ра пед. наук. / Ярославський. держ. пед. ун-т ім. К.Д. Ушинського. / Ярославль, 1997. 386 с.

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://www.yspu.yar.ru

© 8ref.com - українські реферати
8ref.com