трусики женские украина

На головну

 Вибіркові спостереження (лекції та методичні вказівки) - Статистика

4. МЕТОД вибіркових спостережень

4.1. Вибіркове дослідження

При статистичному дослідженні економічних явищ можуть застосовуватися вибіркові спостереження, при яких характеристики генеральної сукупності виходять на підставі вивчення частини генеральної сукупності, званої вибіркової сукупністю або вибіркою.

Вибіркове спостереження (вибіркове дослідження) полягає в обстеженні певного числа одиниць сукупності, відібраного, як правило, випадковим чином. При вибірковому методі обстеженню підлягає порівняно невелика частина всієї досліджуваної сукупності (зазвичай до 5-10%, рідше до 15-20%). Відбір одиниць з генеральної сукупності проводиться таким чином, щоб вибіркова сукупність була представницька

(Репрезентативна) і характеризувала генеральну сукупність. Ступінь показності вибірки залежить від способу організації вибірки і від її обсягу. Повної репрезентативності вибірки досягти не вдається. Тому необхідна оцінка надійності результатів вибірки і можливості їх розповсюдження на генеральну сукупність.

Залежно від характеристик вибіркових сукупностей вибірки можуть бути представницькими, розшарування, засміченими і цензурувати.

Представницька вибірка - вибірка спостережень з генеральної сукупності, найбільш повно і адекватно представляє її властивості.

Розщеплену вибірка - вибірка, що включає ряд вибіркових сукупностей, взятих з відповідних верств генеральної сукупності. Широко використовується при вибірковому обстеженні в економіці, демографії та соціології.

Засмічена вибірка - вибірка спостережень, що містить "грубі" помилки. Основна маса елементів засміченою вибірки є реалізацією випадкової величини X, закон розподілу якої відомий. Такі елементи - "типові" - з'являються в сукупності з ймовірністю. З вероятностьюелементи сукупності виявляються реалізацією інший випадкової величини Y, закон розподілу якої в загальному випадку невідомий. Такі елементи називаються "грубими" помилками. Звичайні оцінки, наприклад, середня арифметична вибіркова, на засміченою вибірці втрачають свої оптимальні властивості (ефективність, Незміщеність) із зростанням інтенсивності засмічення.

Цензурувати вибірка - вибірка, отримана з варіаційного ряду спостережень шляхом відкидання деякого числа екстремальних спостережень. Якщо відкидання проводиться за ознакою виходу спостережень за межі заданого інтервалу, то такий прийом називається цензурування першого типу. У цьому випадку число залишилися спостережень є випадковою величиною. Якщо відкидається фіксована долякрайніх малих значень і фіксована долякрайніх великих значень, то це називається цензуруванням другого типу уровняПрі цьому, число залишилися в розгляді спостережень є величиною заздалегідь заданої.

Проведення вибіркових досліджень статистичної інформації складається з наступних етапів:

- Формулювання мети статистичного спостереження;

- Обґрунтування доцільності вибіркового спостереження;

- Відмежування генеральної сукупності;

- Встановлення системи відбору одиниць для спостереження;

- Визначення числа одиниць, які підлягають відбору;

- Проведення відбору одиниць;

- Проведення спостереження;

- Розрахунок вибіркових характеристик і їх помилок;

- Поширення вибіркових даних на генеральну сукупність.

Вибіркове дослідження здійснюється з мінімальними витратами праці і засобів і в більш короткі терміни, ніж суцільне спостереження, що підвищує оперативність статистичної інформації, зменшує помилки реєстрації. У проведенні ряду досліджень вибірковий метод є єдино можливим, наприклад, при контролі якості продукції, що супроводжується руйнуванням перевіряється вироби.

Вибірковий метод дає досить точні результати, тому він може застосовуватися для перевірки даних суцільного спостереження. Мінімальна чисельність обстежуваних одиниць дозволяє провести дослідження більш ретельно і кваліфіковано. Наприклад, при переписах населення практикуються вибіркові контрольні спостереження для перевірки правильності записів суцільного спостереження.

В основі теорії вибіркового спостереження лежать теореми законів великих чисел, які дозволяють вирішити два взаємозалежних питання вибірки: розрахувати її обсяг при заданої точності дослідження і визначити помилку при даному обсязі вибірки.

При використанні вибіркового методу зазвичай використовуються два види узагальнюючих показників: відносну величину альтернативного ознаки і середню величину кількісної ознаки.

Відносна величина альтернативного ознаки характеризує частку (питома вага) одиниць у статистичній сукупності, які мають досліджуваним ознакою. У генеральної сукупності ця частка одиниць називається генеральної часткою (p), а в вибіркової сукупності - вибіркової часток (w).

Середня величина кількісної ознаки в генеральній сукупності називається генеральної середньої (), а в вибіркової сукупності - вибіркової середньої ().

4.2. Види відбору при вибірковому спостереженні

Процес утворення вибірки називається відбором, який здійснюється в порядку неупередженого, випадкового відбору одиниць з генеральної сукупності.

Основною умовою проведення вибіркового спостереження є попередження виникнення систематичних (тенденційних) помилок, що виникають внаслідок порушення принципу рівних можливостей потрапляння у вибірку кожної одиниці сукупності. Попередження систематичних помилок досягається в результаті застосування науково обґрунтованих способів формування вибіркової сукупності. Існують різні способи відбору: індивідуальний, груповий (серійний), комбінований, повторний (поворотний), бесповторного (безповоротний), одноступінчатий, багатоступінчастий, власне-випадковий, механічний, типовий, двофазний і багатофазних відбір

При індивідуальному відборі у вибірку відбираються окремі одиниці сукупності. Відбір повторюється стільки разів, скільки необхідно відібрати одиниць.

Груповий (серійний) відбір полягає у відборі серій (наприклад, відбір виробів для перевірки їх цілими партіями). Якщо обстеження піддаються всі одиниці відібраних серій, відбір називається серійним, а якщо обстежується тільки частина одиниць кожної серії, що відбираються в індивідуальних порядку із серії, то - комбінованим.

Якщо в процесі відбору відібрана одиниця не виключається із сукупності, тобто повертається у сукупність, і може бути повторно відібраної, то такий відбір називається повторним або поворотним, в іншому випадку - бесповторного або безповоротним. Серійний відбір, як правило, безповоротний.

При повторному відборі ймовірність потрапляння в вибіркову сукупність всіх одиниць генеральної сукупності залишається однаковою. При бесповторном - для решти одиниць сукупності ймовірність потрапляння у вибірку збільшується.

При одноступінчастому відбираються одиниці сукупності (або серії) безпосередньо для спостереження. При многоступенчатом відбираються спочатку великі серії одиниць (перша ступінь відбору), спостереженню вони не піддаються. Потім з них відбираються серії, менші за чисельністю одиниць (другий ступінь), спостереженню не піддаються, і так до тих пір, поки не будуть відібрані ті одиниці сукупності (серії), які будуть піддані спостереженню.

Власне-випадковий відбір полягає у відборі одиниць (серій) з усієї генеральної сукупності в цілому за допомогою жеребкування або на підставі таблиць випадкових чисел.

Жеребкування полягає в тому, що на кожну одиницю відбору складається картка, якою присуджується порядковий номер. Після ретельного перемішування по черзі витягають картки, поки не буде відібрано необхідне число одиниць.

Випадковими числами називаються ряди чисел, що є реалізаціями послідовності взаємно незалежних і однаково розподілених випадкових величин. Ці послідовності чисел виходять або за допомогою фізичних генераторів (підкидання кубиків з нанесеними на їх сторонами цифрами; витягуванням з урни карток з написаними на них цифрами, перетворення випадкових сигналів та ін. Фізико-технічні процеси), або за допомогою програмних генераторів (аналітичним методом з допомогою програм для ЕОМ). Числа, які є результатами відповідної обчислювальної процедури, називаються псевдовипадковими числами. Послідовність псевдовипадкових чисел носить детермінований характер, але в певних межах вона задовольняє властивостям рівномірного розподілу і властивості випадковості.

Випадкові числа можуть бути обрані за таблицею випадкових чисел (додаток 1), яка містить 2000 випадкових чисел, об'єднаних для зручності користування таблицею в 500 блоків по 4 значення) Наприклад,

5489, 5583, 3156, 0835, 1988, 3912.

Застосування комбінацій цих цифр залежить від розміру сукупності: якщо в генеральній сукупності 1000 одиниць, то порядковий номер кожної одиниці повинен складатися з двох чисел від 000 до 999. У цьому випадку перші 8 номерів одиниць вибіркової сукупності наступні:

548, 955, 833, 156, 083, 519, 883, 912.

При довільному обсязі генеральної сукупності, що відрізняється від 100, 1000, 10000 можуть використовуватися псевдовипадкові числа, сформовані на ЕОМ, або з таблиці випадкових чисел формується послідовність випадкових величин, розподілених в інтервалі від 0 до 1. Наприклад, у наведеному вище прикладі

0,5489; 0,5583; 0,3156; 0,0835; 0,1988; 0,3912 і т.д.

Якщо генеральна сукупність складається з 2000 одиниць, то у вибіркову сукупність повинні увійти одиниці з номерами:

2000 Ч 0,5489 = 1097,8 чи 1099;

2000 Ч 0,5583 = 1116,6 чи 1117;

2000 Ч 0,3156 = 631,2 або 631;

2000 Ч 0,0835 = 167,0 або 167;

2000 Ч 0,1988 = 397,6 або 398;

2000 Ч 0,3912 = 782,4 або 782.

Процес формування випадкових чисел і визначення номера відбирається одиниці продовжується до тих пір, поки не буде отриманий заданий обсяг вибіркової сукупності.

Можна запропонувати інший спосіб випадкового відбору одиниць у вибірку. Припустимо, що вибірка складається з 75 одиниць, а генеральна сукупність - з 780. З таблиці випадкових чисел вибираються, наприклад, такі

5489, 5583, 3156, 0835, 1988, 3912.

До вибірки можуть увійти тільки одиниці, порядкові номери яких дорівнюють тризначних чисел менше 780. Тому, використовуючи тільки три останні цифри кожного числа, відбирається необхідні 75 номерів: 489, 583, 156 і т.д. Можна використовувати і перші три цифри кожного числа, тоді відібрані номери: 548, 558, 315, 83, 198, 391. Можна розбити випадкові чотиризначні випадкові числа на ряд, що складається з тризначних чисел:

548, 955, 833, 156, 083, 519, 883, 912

і відібрати з них номери, які менше 780, а саме: 548, 156, 83, 519.

Механічний відбір полягає в тому, що складається список одиниць генеральної сукупності і залежно від числа відбираються одиниць (серій) встановлюється крок відбору, тобто через який інтервал слід брати для спостереження одиниці (серії). Наприклад, у найпростішому випадку, при 10% -му відборі, відбирається кожна десята одиниця за цим списком, тобто якщо перший взята одиниця за № 1, то наступними відбираються 11-а, 21-а і т.д. У такій послідовності проводиться відбір, якщо одиниці сукупності розташовані в списку без урахування їх "рангів", тобто значущості по досліджуваним ознаками. Початок відбору в цьому випадку не має значення, його можна почати в наведеному прикладі від будь-якої одиниці з першого десятка. При розташуванні одиниць сукупності в ранжированном порядку за початок відбору має бути прийнята середина інтервалу (кроку відбору) щоб уникнути систематичної помилки вибірки.

При досить великій сукупності цей спосіб відбору близький до власне випадковому, за умови, що застосовуваний список не складений таким чином, щоб якісь одиниці сукупності мали більше шансів потрапити у вибірку.

При типовому відборі генеральна сукупність розбивається на типові групи одиниць по якомусь ознакою (формуються однорідні сукупності), а потім з кожної з них виробляється механічний або власне-випадковий відбір. Відбір одиниць з типів виробляється трьома методами: пропорційно чисельності одиниць типових груп, непропорційно чисельності одиниць типових груп і пропорційно коливання ознаки в групах.

З метою економії коштів дані по деяких цікавлять дослідника ознаками можна аналізувати на підставі вивчення всіх одиниць вибіркової сукупності, а за іншими ознаками - на підставі частини одиниць вибіркової сукупності, які представляють підвибірку з одиниць первісної вибірки. Цей метод називається двофазним відбором. За наявності декількох підвибірок - метод багатофазного відбору.

Багатофазний відбір за своєю структурою відрізняється від багатоступінчастого відбору, так при многофазном відборі використовуються на кожній фазі одні й ті ж відібрані одиниці, при многоступенчатом відборі на різних щаблях застосовуються одиниці відбору різних порядків. Багатофазним відбором найчастіше користуються в тих випадках, коли різному число одиниць, необхідних для визначення окремих показників із заданою точністю. Це пов'язано як з відмінностями в ступеня коливання ознак, так і з різною точністю, необхідної для розрахунків. Помилки при багатофазної вибірці розраховуються на кожній фазі окремо.

Всі види відбору, оскільки вони можуть бути повторними або бесповторном, мають різновиди (табл.1)

Таблица1

 Вид відбору Різновиди відбору в залежності від

 повторюваності відбору одиниць сукупності від величини серій або пропорційності відбору одиниць сукупності в групах

 Власне випадковий

 1. Власне випадковий

 повторний

 2. Власне випадковий

 бесповторного

 Механічний

 1. Механічний

 повторний

 2. Механічний

 бесповторного

 Серійний

 1. Серійний з повторним

 відбором серій

 2. Серійний з бесповтор-

 вим відбором серій

 1.1. Серійний з повторним відбором

 рівновеликих серій

 1.2. Серійний з повторним відбором

 неравновелікіх серій

 2.1. Серійний з бесповторном відбором

 рівновеликих серій

 2.2. Серійний з бесповторном відбором

 неравновелікіх серій

 Комбінова-ний

 1. Комбінований з

 повторним відбором

 серій

 2. Комбінований з

 бесповторного відбором

 серій

 1.1. Комбінований з повторним

 відбором рівновеликих серій

 1.2. Комбінований з повторним

 відбором неравновелікіх серій

 2.1. Комбінований з бесповторного

 відбором рівновеликих серій

 2.2. Комбінований з бесповторного

 відбором неравновелікіх серій

 Типовий

 1. Типовий з повторним

 випадковому відборі всередині

 груп

 2. Типовий при бесповторном випадковому відборі

 всередині груп

 1.1. Типовий з повторним випадковому

 відборі всередині груп, пропорціональ-

 ном обсягом груп

 1.2. Типовий з повторним випадковому

 відборі всередині груп, непропорціо-

 нальном обсягом груп

 1.3. Типовий з повторним випадковому

 відборі всередині груп, пропорціональ-

 ном коливання в групах

 2.1. Типовий з бесповторного випадковому

 відборі всередині груп, пропорціональ-

 ном обсягом груп

 2.2. Типовий з бесповторного випадковому

 відборі всередині груп, непропорціо-

 нальном обсягом груп

 2.3. Типовий бесповторного випадковому

 відборі всередині груп, пропорціональ-

 ном коливання в групах

4.3. Помилки вибіркового відбору

Різниця між показниками вибіркової і генеральної сукупності називається помилкою вибірки. Помилки вибірки поділяються на помилки реєстрації та помилки репрезентативності.

Помилки реєстрації виникають через неправильні або неточних відомостей. Джерелами таких помилок можуть бути нерозуміння суті питання, неуважність реєстратора, пропуск або повторний рахунок деяких одиниць сукупності, описки при заповненні формулярів і т.д.

Серед помилок реєстрації виділяються систематичні, обумовлені причинами, діючими в якомусь одному напрямку і спотворюють результати роботи (наприклад, округлення цифр, тяжіння до повним п'ятіркам, десяткам і т.д.), і випадкові, які проявляються в різних напрямках, що врівноважують один одного і лише зрідка дають помітний сумарний підсумок.

Розбіжність між значеннями досліджуваного ознаки вибіркової і генеральних сукупностей є помилкою репрезентативності (представи-ності). Вона може бути випадковою і систематичною. Випадкова виникає в силу того, що вибіркове статистичне спостереження є несуцільним спостереженням, і вибірка недостатньо точно відтворює (репрезентує) генеральну сукупність.

Систематичні помилка репрезентативності виникають через неправильне, тенденційного відбору одиниць, при якому порушується основний принцип науково організованою вибірки - принцип випадковості.

При визначенні величини репрезентативною помилки передбачається, що помилка реєстрації дорівнює нулю. Визначення помилки проводиться за формулами помилки вибіркової частки і помилки вибіркової середньої. Систематична помилка репрезентативності виникає внаслідок порушення правил відбору одиниць генеральної сукупності, зокрема принципу неупередженого, ненавмисного відбору. Систематична помилка може призвести до повної непридатності результатів спостережень.

Розглянемо на прикладі, наскільки відрізняються вибіркові й генеральні показники за даними про успішність студентів (дві 10% -е вибірки):

 Оцінка Число студентів, чол

 Генеральна сукупність Перша вибірка Друга вибірка

2

3

4

5

 100

 300

 520

 80

9

 27

 54

 10

 12

 29

 52

7

 Разом 1000 100 100

Середній бал для генеральної сукупності

по першій вибірці

по другій вибірці

Частка студентів, що одержали оцінки "4" і "5":

по генеральної сукупності

по першій вибірці

по другій вибірці

Різниця між показниками вибіркової і генеральної сукупності є випадковою помилкою репрезентативності (помилкою вибірки).

Помилки репрезентативності:

Як видно з розрахунків, вибіркова середня і вибіркова частка є випадковими величинами, які можуть приймати різні значення в залежності від того, які одиниці сукупності потрапили у вибірку.

4.3.1. Помилка вибіркової середньої

Помилка вибіркової середньої являє собою розбіжність (різниця) між вибіркової среднейі генеральної середньої, виникає внаслідок несплошного вибіркового характеру спостереження. Величина помилки вибіркової середньої визначається як межа отклоненіяот, гарантоване із заданою вірогідністю:

де- гарантійний коефіцієнт, що залежить від імовірності, з якою гарантується невихід разностіза межі; - середня помилка вибіркової середньої.

Значення гарантійного коеффіціентаі відповідні їм вероятностіпріведени в табл.4.1. Зазвичай ймовірність приймається рівною 0,9545 або 0,9973, апри цьому одно відповідно 2 і 3.

Таблиця 4.1

Значення гарантійного коефіцієнта

 1,00

 1,10

 1,20

 1,30

 1,40

 1,50

 1,60

 0,6827

 0,7287

 0,7699

 0,8064

 0,8385

 0,8664

 0,8904

 1,70

 1,80

 1,90

 2,00

 2,10

 2,20

 2,30

 0,9109

 0,9281

 0,9426

 0,9545

 0,9643

 0,9722

 0,9786

 2,40

 2,50

 2,60

 2,70

 2,80

 2,90

 3,00

 0,9836

 0,9876

 0,9907

 0,9931

 0,9949

 0,9963

 0,9973

Н. В. Смирнов, І.В.Дунін-Барковський. Курс теорії ймовірностей і математичної статистики для технічних додатків. - М .: Наука, 1965. 512 с.

Стор.173

Середня помилка визначається як середнє квадратичне відхилення середньої величини в генеральній сукупності (середньої генеральної)

У математичній статистиці доводиться, що величина середньої квадратичної стандартної помилки простої випадкової повторної вибірки може бути визначена за формулою

де- дисперсія ознаки у генеральній сукупності.

Дисперсія суми незалежних величин дорівнює сумі дисперсій доданків

Якщо всі величини Xiімеют однакову дисперсію, то

Тоді дисперсія середньої

Тоді середня помилка при визначенні середньої

Між дисперсіями в генеральної і вибіркової сукупностях існує наступне співвідношення:

де- дисперсія ознаки у вибірці.

Якщо n досить велике, тоблізко до одиниці і дисперсію в генеральної сукупності можна замінити на дисперсію у вибірці.

Тоді середня помилка середньої в генеральній сукупності може бути як середнє квадратичне відхилення середньої величини в вибіркової сукупності (середньої вибіркової)

Середня помилка вибіркової середньої

Значення середньої помилки вибірки визначаються за формулою

де- дисперсія у генеральній сукупності.

Між дисперсіями в генеральної і вибіркової сукупностях існує наступне співвідношення:

де- дисперсія у вибірці.

Якщо n досить велике, тоблізко до одиниці і дисперсію в генеральної сукупності можна замінити на дисперсію у вибірці.

При повторному відборі середня помилка визначається наступним чином:

де- середня величина дисперсії кількісної ознаки, яка розраховується за формулою середньої арифметичної незваженої

або середньої арифметичної зваженої

де fi- статистичний вагу.

Формули розрахунку середньої помилки вибіркової середньої для різних, найбільш часто використовуваних способів відбору вибіркової сукупності наведені в табл.4.2.

Таблиця 4.2

Формули розрахунку середніх помилок вибіркової частки

і вибіркової середньої

 Метод відбору вибірки

 Середня помилка

 вибіркової частки

 вибіркової середньої

 Механічний або власне-випадковий повторний відбір

 Механічний або власне-випадковий бесповторного відбір

 Серійний відбір при повторному відборі рівновеликих серій

 Серійний відбір при бесповторном відборі рівновеликих серій

 Типовий відбір при повторному випадковому відборі всередині груп, пропорційному обсягом груп

 Типовий відбір при бесповторном випадковому відборі всередині груп, пропорційному обсягом груп

де N - чисельність генеральної сукупності;

- Межсерийная дисперсія вибіркової частки;

r - число відібраних серій;

R - число серій у генеральній сукупності;

- Середня з групових дисперсій вибіркової частки;

- Дисперсія ознаки x у вибірці;

- Межсерийная дисперсія вибіркових середніх;

- Середня з групових дисперсій вибіркової середньої.

При бесповторном волоку з кожної відібраної одиницею або серією ймовірність відбору залишилися одиниць або серій підвищується, при цьому середня помилка вибіркової середньої зменшується в порівнянні з повторним відбором і має наступний вигляд:

для механічного або власне випадкового бесповторного відбору

При достатньо великому обсязі сукупності N можна скористатися формулою

для серійного бесповторного відбору рівновеликих серій

При досить великому числі серій у генеральній сукупності R можна скористатися формулою

для типового відбору з бесповторного випадковому відборі всередині груп, пропорційному обсягом груп

.

Межсерийная дисперсія вибіркових средніхі середня з вибіркових дисперсій типових группвичісляются наступним чином:

де- середнє значення показника в j - ї серії;

- Дисперсія ознаки x в j - й типової групі;

nj- число одиниць в j -й типової групі.

І.Г.Венецкій, В.І.Венецкая. Основні математико-статистичні поняття і формули в економічному аналізі. - М .: Статистика, 1974. 279 с.

Середні помилки вибірки при типовому методі відбору, пропорційному обсягом груп і коливання ознаки в групі наведені в табл.3

Таблиця 3

Формули розрахунку середніх помилок вибіркової середньої

і вибіркової частки при типовому методі відбору

 Метод відбору вибірки

 Середня помилка

 вибіркової частки

 вибіркової середньої

 повторний випадковий відбір усередині груп, непропорційний обсягом груп

 бесповторного випадковий відбір усередині груп, непропорційний обсягом груп

 повторний випадковий відбір усередині груп, пропорційний коливання ознаки в групах

 бесповторного випадковий відбір усередині груп, пропорційний коливання ознаки в групах

де Nj- число одиниць в j -й типової групі;

nj- число відібраних одиниць в j -й типової групі;

- Вибіркова дисперсія ознаки x в j - й типової групі

(Дисперсія ознаки у вибірці з j - й типової групи);

- Вибіркова дисперсія частки в j - й типової групі

(Дисперсія частки у вибірці з j - й типової групи);

- Середнє квадратичне відхилення ознаки x у вибірці з

j - й типової групі;

Середні помилки вибірки при комбінованій вибірці з рівновеликими серіями наведені в табл.4

Таблиця 4

Формули розрахунку середніх помилок вибірки при комбінованій

вибірці з рівновеликими серіями

 Метод відбору вибірки

 Середня помилка

 вибіркової частки

 вибіркової середньої

 повтор-ний відбір серій

 бесповторного відбір серій

де- загальне число одиниць у відібраних серіях ();

n - вибране число одиниць, що піддаються обстеженню, з відібраних

серій.

При многоступенчатом відборі на кожному ступені відбору може бути знайдена своя середня помилка. При відборі, наприклад, великих груп з генеральної сукупності середня помилка вибірки -; при отборемелкіх груп з великих середня помилка вибірки -; при отбореотдельних одиниць сукупності з дрібних груп середня помилка вибірки -. Якщо чисельність груп однакова, то середня помилка, як для середньої, так і для частки, трехступенчатого відбору може бути визначена за формулою

Гранична помилка виражається наступним чином:

і залежить від варіації досліджуваного ознаки в генеральній сукупності, обсягу і частки вибірки, способу відбору одиниць з генеральної сукупності і від величини ймовірності, з якою гарантуються результати вибіркового спостереження.

Середня величина кількісної ознаки в генеральній сукупності визначається з у четом граничної помилки вибіркової середньої

Іноді для визначення розмірів граничної помилки велічінаопределяется з емпіричної формули (І.Г.Венецкій, В.І.Венецкая. Основні математико-статистичні поняття і формули в економічному аналізі. - М .: Статистика, 1974. 279 с. - Стр.188)

4.3.2. Помилка вибіркової частки

Вибіркова частка є ставлення числа одиниць, які мають даними ознакою або даними його значенням (m) до загального числа одиниць вибіркової сукупності (n)

(Цю статистичну характеристику не слід плутати з часткою вибірки, що є відношенням числа одиниць вибіркової сукупності до числа одиниць генеральної сукупності).

Помилка вибіркової частки являє собою розбіжність (різниця) між часткою в вибіркової сукупності (w) і часткою у генеральній сукупності (p), що виникає внаслідок несплошного характеру спостереження. Величина помилки вибіркової частки визначається як межа відхилення w від p, гарантоване із заданою вірогідністю:

де- гарантійний коефіцієнт, що залежить від імовірності, з якою гарантується невихід різниці w -p за межі; - середня помилка вибіркової частки.

Середня помилка вибіркової частки визначається за формулою

Або, як було доведено вище,

де- дисперсія частки у генеральній сукупності (дисперсія генеральної частки);

- Дисперсія частки у вибірці (дисперсія вибіркової частки).

Наведена формула середньої помилки вибіркової частки застосовується при повторному відборі.

Для визначення дисперсії альтернативної ознаки припустимо, що загальне число одиниць сукупності одно n. Число одиниць, які мають даними ознакою - f, тоді число одиниць, що не володіють даними ознакою, так само nf. Ряд розподілу якісного (альтернативного) ознаки

 Значення змінної Частота повторень

1

0

f

 n-f

 Разом

n

Середня арифметична такого ряду дорівнює:

тобто дорівнює відносній частолте (частості) появи даного ознаки, яку можна позначити через p, тоді

Таким чином, частка одиниць, які мають даними ознакою дорівнює p; відповідно частка одиниць, що не володіють даними ознакою, дорівнює q; p + q = 1. Тоді дисперсія альтернативної ознаки визначається за формулою

Для показника частки альтернативного ознаки у вибірці (вибіркової частки) дисперсія визначається за формулою

При бесповторном відборі чисельність генеральної сукупності скорочується, тому дисперсія множиться на коеффіціентФормули розрахунку середніх помилок вибіркової частки для різних способів відбору одиниць з генеральної сукупності наведено в табл. 4.2; 3 і 4.

Дисперсії в формулах розрахунку середніх помилок вибіркової частки в табл.4.2. розраховуються наступним чином:

- Межсерийная дисперсія вибіркової частки

де wj- вибіркова частка в j -й серії;

- Середня величина частки у всіх серіях;

- Середня з групових дисперсій

де wj- вибіркова частка в j -й типової групі;

nj- число одиниць в j -й типової групі;

k - число типових груп.

Для випадку, коли частка (частость) навіть приблизно невідома, можна провести "грубий" розрахунок середньої помилки вибірки для частки, використовуючи в розрахунку максимальну величину дисперсії частки, рівну 0,25. Тоді для

повторного відбору

бесповторного відбору

Граничне значення помилки вибіркової частки визначається за такою формулою:

Величина середньої помилки вибіркової долізавісіт від частки досліджуваного ознаки в генеральній сукупності, числа спостережень і способу відбору одиниць з генеральної сукупності для спостереження, а величина граничної ошібкізавісіт ще й від величини ймовірності, з якою гарантуються результати вибіркового спостереження.

Поширення вибіркових даних на генеральну сукупність здійснюється з урахуванням довірчих інтервалів. Частка альтернативної ознаки в генеральній сукупності дорівнює

Приклад

Сутність процесу випадкового відбору та основні властивості простий повторної вибірки можна показати на умовному прикладі.

Генеральна сукупність складається з трьох одиниць (N = 3), наприклад

 Порядковий номер робітника 1 2 3 4

 Тарифний розряд, x i 3 4 4 5

Генеральна середня

розряд;

генеральна дисперсія

частка робітників у генеральної сукупності, що мають 4 тарифний розряд

Задача. Визначити параметри генеральної сукупності (середній розряд, дисперсію і частку робітників з тарифним розрядом, рівним 4) за результатами проведення простої випадкової повторної вибірки об'ємом 2 одиниці (n = 2).

У даному прикладі з однаковим ступенем ймовірності могла б з'явитися будь-яка з 16 можливих комбінацій одиниць, тобто будь-яка з 16 можливих вибірок. Результати 16 вибірок наведено в табл. 1

Таблиця 1

 Номер вибірки Номери одиниць, що входять у вибірку Значення ознаки за даними вибірки

 Вибіркова середня

 Відхилення вибіркової середньої від генеральної середньої

 Вибо-

 Рочной частка

 1 січня; 3 січня; 3 3,0 -1,0 0,0

 1 лютому; 2 Березня; 4 3,5 -0,5 0,5

 3 січня; 3 березня; 4 3,5 -0,5 0,5

 1 квітня; 4 березня; 5 4,0 0,0 0,0

 5 лютого; 1 квітня; 3 3,5 -0,5 0,5

 2 червня; 4 лютого; 4 4,0 0,0 1,0

 2 липня; 4 березня; 4 4,0 0,0 1,0

 8 лютого; 4 квітня; 5 4,5 +0,5 0,5

 3 вересня; 1 квітня; 3 3,5 -0,5 0,5

 10 березня; 4 лютого; 4 4,0 0,0 1,0

 11 березня; 4 березня; 4 4,0 0,0 1,0

 3 грудня; 4 квітня; 5 4,5 +0,5 0,5

 13 квітня; 1 травня; 3 4,0 0,0 0,0

 14 квітня; 5 лютого; 4 4,5 +0,5 0,5

 15 квітня; 5 Березня; 4 4,5 +0,5 0,5

 16 квітня; 4 Травня; 5 5,0 +1,0 0,0

Можливі варіанти значень вибіркових середніх і відхилення їх від генеральної середньої представлені у вигляді ряду розподілу (табл.2)

Таблиця 2

 Вибіркові середні розряди робітників

 Число вибірок з даної вибіркової середньої

 f j

 Відхилення вибіркової середньої від генеральної середньої

 Імовірність появи даного значення вибіркової середньої (або величини відхилення вибіркової середньої від генеральної)

 3,0 1 -1,0 0,0625

 3,5 4 -0,5 0,2500

 4,0 6 0,0 0,3750

 4,5 4 +0,5 0,2500

 5,0 1 +1,0 0,0625

 Разом 16

 1,0000

У розподілі величин вибіркових середніх і їх відхилень спостерігаються певні закономірності.

1. З можливих результатів випадкової повторної вибірки найбільш вірогідні такі, при яких величина вибіркової середньої буде близька до величини генеральної середньої. Таким чином, чим більше величина випадкової помилки вибірки, тим менш вірогідна поява такої помилки.

2. У прикладі не зустрічаються помилки більше одиниці за абсолютною величиною, тобто завжди існує межа розбіжностей між вибірковою і генеральною середньою.

За даними табл.2, де представлені всі можливі варіанти вибіркових середніх і їх відхилення від генеральної середньої, визначається величина стандартної помилки вибірки

Однак на практиці дослідник оперує даними якоїсь однієї конкретної вибірки, а тому зазначеним способом визначити стандартну помилку середньої неможливо.

Середню помилку можна визначити за формулою, використовуючи величину дисперсії в генеральної сукупності (в даному прикладі генеральна дисперсія ознаки дорівнює 0,5)

Розподіл вибіркової частки представлено в табл.3

Таблиця 3

 Вибіркова частка

 Число вибірок з даної вибіркової часткою

 f j

 Відхилення вибіркової частки від генеральної

 0,0 4 -0,5 0,0 1,0

 0,5 8 0,0 4,0 0,0

 1,0 4 +0,5 4,0 1,0

 Разом 16

 8,0 2,0

В середньому для всіх можливих варіантів вибірок величина вибіркової частки збігається з часткою ознаки у генеральній сукупності

Середня квадратична помилка частки у генеральній сукупності

Середню квадратичну помилку частки у генеральній сукупності можна визначити, використовуючи частку ознаки в генерального сукупності (p = 0,5),

У формули середніх помилок вибірки

;

входять дисперсії ознаки і частки у генеральній сукупності, величини яких, як правило, при проведенні вибіркового спостереження невідомі. Тому для розрахунку середніх помилок вибірки доводиться використовувати вибіркові дисперсії в якості оцінки генеральної сукупності.

4.4. Обсяг вибірки

Визначення необхідного обсягу вибірки n ґрунтується на формулах граничних помилок вибіркової частки і вибіркової середньої. Наприклад, для повторного відбору граничні помилки рівні

звідси обсяги вибірок для розрахунку вибіркової частки nwі вибіркової середньої nxследующіе:

Аналогічним чином визначаються обсяги вибірок при різних способах відбору вибіркової сукупності. Для серійного відбору визначається число відібраних серій. Формули розрахунку наведені в табл.4.3.

Таблиця 4.3

Формули розрахунку обсягу вибірки

 Метод відбору вибірки

 Обсяг вибірки або число серій для визначення

 вибіркової частки

 вибіркової середньої

 Механічний і власне-випадковий повторний відбір

 Механічний і власне-випадковий бесповторного відбір

 Серійний відбір при повторному відборі рівновеликих серій

 Серійний відбір при бесповторном відборі рівновеликих серій

 Типовий відбір при повторному випадковому відборі всередині груп, пропорційному обсягом груп

 Типовий відбір при бесповторном випадковому відборі всередині груп, пропорциональ-ном обсягом груп

де nw, nx- обсяги вибірок відповідно визначення помилок вибіркової частки і вибіркової середньої;

rw, rx- число відібраних серій відповідно визначення помилок вибіркової частки і вибіркової середньої;

- Граничні помилки відповідно вибіркової частки і вибіркової середньої.

Варіація () ознаки існує об'єктивно, незалежно від дослідника, але до початку вибіркового спостереження вона невідома. Для наближеної оценкііспользуются такі способи:

- Дисперсія визначається на основі результатів проведення "пробного" обстеження (зазвичай невеликого обсягу). За даними кількох пробних обстежень вибирається найбільше значення дисперсії;

- Дисперсія приймається з попередніх досліджень;

- За правилом "трьох сигм" загальний розмах варіації Н укладається в 6 сигм, середнє квадратичне відхилення приймається рівним

Для більшої точності розмах ділиться на 5;

- Якщо хоча б приблизно відома середня величина досліджуваного ознаки, то

- При вивченні альтернативного ознаки (вивченні частки), якщо немає навіть приблизних відомостей про частку одиниць, які мають заданим значенням цієї ознаки, приймається максимально можлива величина дисперсії, рівна 0,25.

У зв'язку з тим, що генеральна дисперсія оцінюється приблизно, рекомендується розрахований обсяг вибірки округляти в більшу сторону.

Часто на практиці задається не величина абсолютної граничної помилки, а величина відносної похибки, виражена у відсотках до середньої величини

звідки

У цьому випадку обсяг вибірки

Якщо відомий коефіцієнт варіацііто обсяг вибірки

Наприклад, за даними пробного обстеження коефіцієнт варіації становить 40%. Скільки необхідно відібрати одиниць, щоб з ймовірністю 0,954 гранична відносна похибка вибірки не перевищувала 5%?

При

При серійному або типовому відборі, що не пропорційному обсягом груп, загальне число відбираються одиниць ділиться на кількість груп. Отримана величина є обсягом вибірки з кожної групи.

При відборі, пропорційному числу одиниць у групі, число спостережень по кожній групі визначається за формулою

де nj- обсяг вибірки з j -й групи;

n- загальний обсяг вибірки;

Nj- обсяг j -й групи;

N- обсяг генеральної сукупності.

При відборі з урахуванням варіації ознаки, що приводить до мінімальної помилку вибірки, відсоток вибірки з кожної типової групи повинен бути пропорційний середньому квадратичному відхиленню в цій групі. Розрахунок чисельності вибірки проводиться за формулами:

для середньої

для частки

4.5. Мала вибірка

Під малою вибіркою розуміється таке вибіркове спостереження, чисельність одиниць якого не перевищує 20-30 і може становити 5-6. Зі збільшенням чисельності вибіркової сукупності підвищується точність вибіркових даних, проте доводиться іноді обмежуватися малим числом спостережень. Ця необхідність виникає, наприклад, при перевірці якості продукції, пов'язаної зі знищенням перевіряється одиниці продукції. У математичній статистиці доводиться, що при малих вибірках характеристики вибіркової сукупності можна поширювати на генеральну, але розрахунок середньої та граничної помилок вибірки має особливості.

Раніше вказувалося, що при великому обсязі вибіркової сукупності (n> 100) коефіцієнт, на який необхідно помножити вибіркову дисперсію, щоб отримати генеральну, не грає великої ролі. Але коли вибіркова сукупність невелика, цей коефіцієнт необхідно брати до уваги. Середня помилка малої вибірки () обчислюється за формулою

де- дисперсія в малій вибірці, яка визначається таким чином:

Гранична помилка має вигляд

Значення коефіцієнта доверіязавісіт не тільки від заданої довірчої ймовірності, але і від чисельності одиниць вибірки n. Англійський вчений Стьюдент довів, що у випадках малої вибірки діє особливий закон розподілу ймовірності. У табл.4.4 приводяться значення, що характеризують ймовірність () того, що гранична помилка малої вибірки не перевищить-кратну середню помилку:

Таблиця 4.4

Розподіл ймовірностей малих вибірках залежно

від значення коеффіціентаі чисельності вибірки

n

 5 7 10 12 16 18 20

 1,0

 1,5

 2,0

 2,5

 3,0

 0,626

 0,792

 0,884

 0,933

 0,960

 0,644

 0,816

 0,908

 0,953

 0,976

 0,657

 0,832

 0,923

 0,966

 0,985

 0,662

 0,838

 0,930

 0,970

 0,988

 0,666

 0,846

 0,936

 0,975

 0,991

 0,668

 0,848

 0,938

 0,977

 0,992

 0,670

 0,850

 0,940

 0,978

 0,993

Статистична перевірка гіпотез

Єфімова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.М. Загальна теорія статистики:

Підручник. М .: ИНФРА-М, 1998. - 416 с. (Стр.182-203)

1. Вибір критичної області. Критерії згоди.

2. Перевірка гіпотези про приналежність "виділяються" спостережень досліджуваної генеральної сукупності.

3. Перевірка гіпотези про величину середньої арифметичної і частки.

4. Перевірка гіпотези про розбіжність двох вибіркових дисперсій (дисперсійний аналіз).

ЛІТЕРАТУРА

1. Богородская Н.А. Статистика. Методи аналізу статистичної

інформації: Текст лекцій. СПб .: СПГААП. - 1997. - 80 с.

2. Єфімова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.М. Загальна теорія статистики:

Підручник. М .: ИНФРА-М, 1998. - 416 с.

3. Статистика: Курс лекцій / Харченко Л.П., Долженкова В.Г., Іонін В.Г. і

ін .; Під ред. В.Г.Іоніна. - Новосибірськ: Вид-во НГАЕіУ, 1996. - 310 с.

4. Загальна теорія статистики: Статистична методологія у вивченні

комерційної діяльності. Підручник /А.І.Харламов, О.Е.Башіна,

В.Т.Бабурін та ін .; Під ред.А.А.Спіріна, О.Е.Башіной. М .: Фінанси

статистика, 1994. - 296 с.

5. Гусаров В.М. Теорія статистики. - М .: Аудит, 1998. - 247 с.

6. Єлісєєва І.І., М.М.Юзбашев. Загальна теорія статистики. - М .: Фінанси і

статистика, 1998. - 367 с.

7. Теорія статистики. Підручник / Під ред.Р.А.Шмойловой. - М .: Фінанси і

статистика, 1998. - 576 с.

8. Ряузов М.М. Загальна теорія статистики: Підручник для студентів економіч.

спец. вузів. -4-Е изд., Перераб. і дополн. М .: Фінанси і статистика, 1984.

- 343 с.

9. Загальна теорія статистики / Під ред.Гольберга А.М., Козлова В.С. - М .:

Фінанси і статистика, 1986. - 367 с.

10. Загальна теорія статистики / Під ред.Боярского А.Я., Громико Г.Л .. М .:

Изд-во МГУ, 1985. - 326 с.

11. Практикум з теорії статистики: Навчальний посібник. / За ред.

Р.А.Шмойловой. - М .: Фінанси і статистика, 1998. 416 с.

12. Збірник завдань з загальної теорії статистики: Навчальний посібник для

студентів вузів, що навчаються за спеціальністю "Статистика" /

Овсієнко В.Є., Голованова Н.В., Корольов Ю.Г. та ін., -2-е изд., Перераб. і

дополн. М .: Фінанси і статистика, 1986. - 191 с.

13. Практикум з загальної теорії статистики / За ред. Ряузова М.М. - 2-е вид.,

Перераб.і дополн. М .: Фінанси і статистика, 1981. - 278 с.

14. Вайнберг Дж., Шумекер Дж. Статистика. М .: Статистика, 1979. 389 с.

15. Венецкий І.Г., Венецкая В.І. Основні математико-статистичні поняття і формули в економічному аналізі. М .: Статистика, 1974. 278 с.

16. Кейн Е. Економічна статистика та економетрія. М .: Статистика, 1977. 229 с.

Додаток

Таблиця випадкових чисел

 5489

 5583

 3156

 0835

 1988

 3912

 0938

 7460

 0869

 4420

 3522

 0935

 7877

 5665

 7020

 9555

 7375

 7124

 7878

 5544

 7555

 7579

 2550

 2487

 9477

 0864

 2349

 1012

 8250

 2633

 5759

 3554

 5080

 9074

 7001

 6249

 3224

 6368

 9102

 2672

 6303

 6895

 3371

 3196

 7231

 2918

 7380

 0438

 7547

 2644

 7351

 5634

 5323

 2623

 7803

 8374

 2191

 0464

 0696

 9529

 7068

 7803

 8832

 5119

 6350

 0120

 5026

 3684

 5657

 0304

 3613

 1428

 1796

 8447

 0503

 5654

 3254

 7336

 9536

 19441

 5143

 4534

 2105

 0368

 7890

 2473

 4240

 8652

 9435

 . 1422

 9815

 5144

 7649

 8638

 6137

 8070

 5345

 4865

 2456

 5708

 5780

 1277

 6816

 1013

 2867

 9938

 3930

 3203

 5696

 1769

 1187 "

 0951

 5991

 5245

 5700

 5564

 7352

 0891

 6249

 6568;

 4184

 2179

 4554

 9083

 2254

 2435

 2965

 5154

 1209

 7069

 2916

 2972

 9885

 0275

 0144

 8034

 8122

 3213

 7666

 0230

 5524

 1341

 9860

 6565

 6981

 9842

 0171

 2284

 2707

 3008

 0146

 5291

 2354

 5694

 0377

 5336

 6460

 9585

 3415

 2358

 4920

 2826

 5238

 5402

 7937

 1993

 4332

 2327

 6875

 5230

 7978

 1947

 , 6380

 3425

 7267

 7285

 1130

 7722

 0164

 8573

 7453

 0653

 3645

 7497

 5969

 8682

 4191

 2976

 0361

 9334

 1473

 6938

 4899

 5348

 1641

 3652

 0852

 5296

 4538

 4456

 8162

 8797

 8000

 4707

 1880

 9660

 8446

 1883

 9768

 0881

 5645

 4219

 0807

 3301

 4279

 4168

 4305

 9937

 3120

 5547

 2042

 1192

 1175

 8851

 6432

 4635

 5757

 6656

 1660

 5389

 5470

 7702

 6958

 9080

 5925

 8519

 0127

 9233

 2452

 7341

 4045

 1730

 6005

 1704

 0345

 3275

 4738

 4862

 2556

 8333

 5880

 1257

 6163

 4439

 7276

 6353

 6912

 0731

 9033

 5294

 9083

 4260

 5277

 4998

 4298

 5204

 3965,

 4028

 8936

 5148

 1762

 8713

 1189

 1090

 8989

 7273

 3213

 1935

 9321

 4820

 2023

 2589

 1740

 0424

 8924

 0005

 1969

 1636

 7237

 1227

 7965

 3855

 4765

 0703

 1678

 0841

 7543

 0308

 9732

 1289

 7690

 0480

 8098

 9629

 4819

 7219

 7241

 5128

 3853

 1921

 9292

 0426

 9573

 4903

 5916

 6576

 8368

 3270

 6641

 0033

 0867

 1656

 7016

 4220

 2533

 6345

 8227

 1904

 5138

 2537

 0505

 2127

 8255

 5276

 2233

 3956

 4118

 8199

 6380

 6340

 6295

 9795

 1112

 5761

 2575

 6837

 3336

 9322

 7403

 8345

 6323

 2615

 3410

 3365 '

 1117

 2417

 3176

 2434

 5240

 5455

 8672

 8536

 2966

 5773

 5412

 8114

 0930

 4697

 6919

 4569

 1422

 5507

 7596

 0670

 3013

 1351

 3886

 3268

 9469

 2584

 2653

 1472

 5113

 5735

 1469

 9545

 9331

 5303

 9914

 6394

 0438

 4376

 3328

 8649

 8327

 0110

 4549

 7955

 5275

 2890

 2851

 2157

 0047

 7085

 1129

 0460

 6821

 8323

 2572

 8962

 7962

 2753

 3077

 8718

 7418

 8004

 1425

 3706

 8822

 1494

 3837

 4098

 0220

 1217

 4732

 0150

 1637

 1097

 1040

 7372

 8542

 4126

 9274

 2251

 0607

 4301

 8730

 7690

 6235

 3477

 0139

 0765

 8039

 9484

 2577

 7859

 1976

 0623

 1418

 6685

 6687

 1943

 4307

 0579

 8171

 8224

 8641

 7034

 3595

 3875

 6242

 5582

 5872

 3197

 4919

 2792

 5991

 4058

 9769

 1918

 6859

 9606

 0522

 4993

 0345

 8958

 1289

 8825

 6941

 7685

 6590

 1932

 6043

 3623

 1973

 4112

 1795

 8465

 2110

 8045

 3482

 0478

 0221

 6738

 7323

 5643

 4767

 0106

 2272

 9862

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ

РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ

Санкт-Петербурзький державний університет

аерокосмічного приладобудування

СТАТИСТИКА

Вибіркові спостереження

Методичні вказівки до практичних занять

Санкт-Петербург

1999

Укладач Н.А. Богородская

Рецензент кандидат економічних наук доцент Л.Г.Фетісова

Методичні вказівки до практичних занять призначені для студентів, які вивчають дисципліну "Статистика", які навчаються за напрямом і спеціальністю 521500 і 061100 "Менеджмент" і за економічними спеціальностями та напрямками 071900, 060400, 060500, 522300 усіх форм навчання.

У роботі наведено методичні вказівки до вирішення задач по темі "Вибіркові спостереження" і розглянуті приклади розв'язання задач для різних видів відбору: механічного, власне-випадкового, серійного і типового при повторної і бесповторной вибірці одиниць із статистичної сукупності.

З Санкт-Петербурзький

державний університет

аерокосмічного

приладобудування, 1999

Ліцензія ЛР №020341 від 07.05.97

Підписано до друку Формат 60ґ84 1/16 Папір тип. № 3.

Друк офсетний. Усл.печ.л. 1,86 Уч.-ізд.л. 2,0 Тираж 100 прим. Замовлення №

Редакційно-видавничий відділ

Відділ оперативної поліграфії

СПбГУАП

190000, Санкт-Петербург, вул. В. Морська, 67

1. МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ВИРІШЕННЯ ЗАВДАНЬ ПО ТЕМІ "вибіркове спостереження"

1.1. Вибіркове дослідження

При статистичному дослідженні економічних явищ можуть застосовуватися вибіркові спостереження, при яких характеристики генеральної сукупності виходять на підставі вивчення частини генеральної сукупності, званої вибіркової сукупністю або вибіркою.

Вибіркове спостереження (вибіркове дослідження) полягає в обстеженні певного числа одиниць сукупності, відібраного, як правило, випадковим чином. При вибірковому методі обстеженню підлягає порівняно невелика частина всієї досліджуваної сукупності (зазвичай до 5-10%, рідше до 15-20%). Відбір одиниць з генеральної сукупності проводиться таким чином, щоб вибіркова сукупність була представницька

(Репрезентативна) і характеризувала генеральну сукупність. Ступінь показності вибірки залежить від способу організації вибірки і від її обсягу. Повної репрезентативності вибірки досягти не вдається. Тому необхідна оцінка надійності результатів вибірки і можливості їх розповсюдження на генеральну сукупність.

В основі теорії вибіркового спостереження лежать теореми законів великих чисел, які дозволяють вирішити два взаємозалежних питання вибірки: розрахувати її обсяг при заданої точності дослідження і визначити помилку при даному обсязі вибірки.

При використанні вибіркового методу зазвичай використовуються два види узагальнюючих показників: відносну величину альтернативного ознаки і середню величину кількісної ознаки.

Відносна величина альтернативного ознаки характеризує частку (питома вага) одиниць у статистичній сукупності, які мають досліджуваним ознакою. У генеральної сукупності ця частка одиниць називається генеральної часткою (p), а в вибіркової сукупності - вибіркової часток (w).

Середня величина кількісної ознаки в генеральній сукупності називається генеральної середньої (), а в вибіркової сукупності - вибіркової середньої ().

1.2. Види відбору при вибірковому спостереженні

Процес утворення вибірки називається відбором, який здійснюється в порядку неупередженого, випадкового відбору одиниць з генеральної сукупності.

Існують різні способи відбору: індивідуальний, груповий (серійний), комбінований, повторний (поворотний), бесповторного (безповоротний), одноступінчатий, багатоступінчастий, власне-випадок-ний, механічний і типовий відбір.

При індивідуальному відборі у вибірку відбираються окремі одиниці сукупності. Відбір повторюється стільки разів, скільки необхідно відібрати одиниць.

Груповий (серійний) відбір полягає у відборі серій (наприклад, відбір виробів для перевірки їх цілими партіями). Якщо обстеження піддаються всі одиниці відібраних серій, відбір називається серійним, а якщо обстежується тільки частина одиниць кожної серії, що відбираються в індивідуальних порядку із серії, то - комбінованим.

Якщо в процесі відбору відібрана одиниця не виключається із сукупності, тобто повертається у сукупність, і може бути повторно відібраної, то такий відбір називається повторним або поворотним, в іншому випадку - бесповторного або безповоротним. Серійний відбір, як правило, безповоротний.

При одноступінчастому відбираються одиниці сукупності (або серії) безпосередньо для спостереження. При многоступенчатом відбираються спочатку великі серії одиниць (перша ступінь відбору), спостереженню вони не піддаються. Потім з них відбираються серії, менші за чисельністю одиниць (другий ступінь), спостереженню не піддаються, і так до тих пір, поки не будуть відібрані ті одиниці сукупності (серії), які будуть піддані спостереженню.

Власне-випадковий відбір полягає у відборі одиниць (серій) з усієї генеральної сукупності в цілому за допомогою жеребкування або на підставі таблиць випадкових чисел.

Механічний відбір полягає в тому, що складається список одиниць генеральної сукупності і залежно від числа відбираються одиниць (серій) встановлюється крок відбору, тобто через який інтервал слід брати для спостереження одиниці (серії). Наприклад, у найпростішому випадку, при 10% -му відборі, відбирається кожна десята одиниця за цим списком, тобто якщо перший взята одиниця № 1, то наступними відбираються 11-а, 21-а і т.д. У такій послідовності проводиться відбір, якщо одиниці сукупності розташовані в списку без урахування їх "рангів", тобто значущості по досліджуваним ознаками. Початок відбору в цьому випадку не має значення, його можна почати в наведеному прикладі від будь-якої одиниці з першого десятка. При розташуванні одиниць сукупності в ранжированном порядку за початок відбору має бути прийнята середина інтервалу (кроку відбору) щоб уникнути систематичної помилки вибірки.

При типовому відборі генеральна сукупність розбивається на типові групи одиниць по якомусь ознакою, а потім з кожної з них виробляється механічний або власне-випадковий відбір. Відбір одиниць з типів виробляється трьома методами: пропорційно чисельності одиниць типових груп, непропорційно чисельності одиниць типових груп і пропорційно колеблемости в групах.

1.3. Помилки вибіркового відбору

Розбіжність між значеннями досліджуваного ознаки вибіркової і генеральної сукупностей є помилкою репрезентативності (представи-ності). Вона може бути випадковою і систематичною. Випадкова виникає в силу того, що вибіркове статистичне спостереження є несуцільним спостереженням, і вибірка недостатньо точно відтворює (репрезентує) генеральну сукупність. При визначенні величини репрезентативною помилки передбачається, що помилка реєстрації дорівнює нулю. Визначення помилки проводиться за формулами помилки вибіркової частки і помилки вибіркової середньої.

1.3.1. Помилка вибіркової частки

Вибіркова частка є ставлення числа одиниць, які мають даними ознакою або даними його значенням (m), до загального числа одиниць вибіркової сукупності (n)

(Цю статистичну характеристику не слід плутати з часткою вибірки, що є відношенням числа одиниць вибіркової сукупності до числа одиниць генеральної сукупності).

Помилка вибіркової частки являє собою розбіжність (різниця) між часткою в вибіркової сукупності (w) і часткою у генеральній сукупності (p), що виникає внаслідок несплошного характеру спостереження. Величина помилки вибіркової частки визначається як межа відхилення w від p, гарантоване із заданою вірогідністю:

де- гарантійний коефіцієнт, що залежить від імовірності, з якою гарантується невихід різниці w -p за межі; - середня помилка вибіркової частки.

Значення гарантійного коеффіціентаі відповідні їм вероятностіпріведени в табл.1.1. Зазвичай ймовірність приймається рівною 0,9545 або 0,9973, апри цьому одно відповідно 2 і 3.

Значення середньої помилки вибірки визначаються за формулою

де- дисперсія у генеральній сукупності.

Між дисперсіями в генеральної і вибіркової сукупностях існує наступне співвідношення:

де- дисперсія у вибірці.

Таблиця 1.1

Значення гарантійного коефіцієнта

 1,00

 1,10

 1,20

 1,30

 1,40

 1,50

 1,60

 0,6827

 0,7287

 0,7699

 0,8064

 0,8385

 0,8664

 0,8904

 1,70

 1,80

 1,90

 2,00

 2,10

 2,20

 2,30

 0,9109

 0,9281

 0,9426

 0,9545

 0,9643

 0,9722

 0,9786

 2,40

 2,50

 2,60

 2,70

 2,80

 2,90

 3,00

 0,9836

 0,9876

 0,9907

 0,9931

 0,9949

 0,9963

 0,9973

Якщо n досить велике, тоблізко до одиниці і дисперсію в генеральної сукупності можна замінити на дисперсію у вибірці.

Середня помилка вибіркової частки визначається за формулою

де- дисперсія вибіркової частки.

Для показника частки альтернативного ознаки (вибіркової частки) дисперсія визначається за формулою

Наведена формула середньої помилки вибіркової частки застосовується при повторному відборі.

При бесповторном відборі чисельність генеральної сукупності скорочується, тому дисперсія множиться на коеффіціентФормули розрахунку середніх помилок вибіркової частки для різних способів відбору одиниць з генеральної сукупності наведено в табл. 1.2.

Таблиця 1.2

Формули розрахунку середніх помилок вибіркової частки

і вибіркової середньої

 Метод відбору вибірки Середня помилка

 вибіркової частки вибіркової середньої

 Механічний і власне-випадковий повторний

 Механічний і власне-випадковий бесповторного

 Серійний при бесповторном відборі серій

 Типовий при повторному випадковому відборі всередині груп

 Типовий при бесповторном випадковому відборі всередині груп

де N - чисельність генеральної сукупності;

- Межсерийная дисперсія вибіркової частки;

r - число відібраних серій;

R - число серій у генеральній сукупності;

- Середня з групових дисперсій вибіркової частки;

- Дисперсія ознаки x;

- Межсерийная дисперсія вибіркових середніх;

- Середня з групових дисперсій вибіркової середньої.

Дисперсії в формулах розрахунку середніх помилок вибіркової частки в табл.1.2 визначається наступним чином:

- Межсерийная дисперсія вибіркової частки

де wj- вибіркова частка в j -й серії;

- Середня величина частки у всіх серіях;

- Середня з групових дисперсій

де wj- вибіркова частка в j -й типової групі;

nj- число одиниць в j -й типової групі;

k - число типових груп.

Граничне значення помилки вибіркової частки визначається за такою формулою:

Величина середньої помилки вибіркової долізавісіт від частки досліджуваного ознаки в генеральній сукупності, числа спостережень і способу відбору одиниць з генеральної сукупності для спостереження, а величина граничної ошібкізавісіт ще й від величини ймовірності, з якою гарантуються результати вибіркового спостереження.

Поширення вибіркових даних на генеральну сукупність здійснюється з урахуванням довірчих інтервалів. Частка альтернативної ознаки в генеральній сукупності дорівнює

1.3.2. Помилка вибіркової середньої

Помилка вибіркової середньої являє собою розбіжність (різниця) між вибіркової среднейі генеральної середньої, виникає внаслідок несплошного вибіркового характеру спостереження. Величина помилки вибіркової середньої визначається як межа отклоненіяот, гарантоване із заданою вірогідністю:

де- середня помилка вибіркової середньої.

При повторному відборі середня помилка визначається наступним чином:

де- середня величина дисперсії кількісної ознаки, яка розраховується за формулою середньої арифметичної незваженої

або середньої арифметичної зваженої

де fi- статистичний вагу.

Формули розрахунку середньої помилки вибіркової середньої для різних способів відбору вибіркової сукупності наведені в табл.1.2.

Межсерийная дисперсія вибіркових средніхі середня з вибіркових дисперсій типових группвичісляются наступним чином:

де- середнє значення показника в j - ї серії;

- Дисперсія ознаки x в j - й типової групі;

nj- число одиниць в j - й типової групі.

Гранична помилка виражається наступним чином:

і залежить від варіації досліджуваного ознаки в генеральній сукупності, обсягу і частки вибірки, способу відбору одиниць з генеральної сукупності і від величини ймовірності, з якою гарантуються результати вибіркового спостереження.

Середня величина кількісної ознаки в генеральній сукупності визначається з урахуванням граничної помилки вибіркової середньої

4.4. Обсяг вибірки

Визначення необхідного обсягу вибірки n ґрунтується на формулах граничних помилок вибіркової частки і вибіркової середньої. Наприклад, для повторного відбору граничні помилки рівні

звідси обсяги вибірок для розрахунку вибіркової частки nwі вибіркової середньої nxследующіе:

Аналогічним чином визначаються обсяги вибірок при різних способах відбору вибіркової сукупності. Для серійного відбору визначається число відібраних серій. Формули розрахунку наведені в табл.1.3.

Таблиця 1.3

Формули розрахунку обсягу вибірки

 Метод відбору вибірки

 Обсяг вибірки або число серій для визначення

 вибіркової частки

 вибіркової середньої

 Механічний і власне-випадковий повторний

 Механічний і власне-випадковий бесповторного

 Серійний при бесповторном відборі серій

 Типовий при повторному випадковому відборі всередині груп

 Типовий при бесповторном випадковому відборі всередині груп

де nw, nx- обсяги вибірок відповідно визначення помилок вибіркової частки і вибіркової середньої;

rw, rx- число відібраних серій відповідно визначення помилок вибіркової частки і вибіркової середньої;

- Граничні помилки відповідно вибіркової частки і вибіркової середньої.

2. Приклади розв'язання задач

2.1. Механічний і власне-випадковий відбір

Завдання 1. У районі А проживає 2500 сімей. Для проведення обстеження вибрано 50 сімей методом механічного (або власне-випадкового) бесповторного відбору. В результаті обстеження отримані такі дані про кількість дітей в сім'ї:

Таблиця 2.1

 Число дітей у сім'ї 0 1 2 3 4 5

 Кількість сімей 10 20 12 4 2 2

Визначити середню помилку вибіркової середньої кількості дітей у сім'ї і з імовірністю 0,997 межі, в яких знаходиться середня кількість дітей у сім'ї в районі А.

Рішення.

Середня помилка вибіркової середньої визначається за такою формулою (см.табл.1.2):

,

де n - чисельність вибірки;

N - чисельність генеральної сукупності;

- Дисперсія ознаки x.

Дісперсіяопределяется за формулою

, А середнє вибіркове значення

Розрахунок середнього і дисперсії числа дітей у сім'ї в вибіркової сукупності наведені в табл.2.2.

Таблиця 2.2

 Число дітей у сім'ї

 Кількість сімей

0

1

2

3

4

5

 10

 20

 12

4

2

2

0

 20

 24

 12

8

 10

 -1,48

 -0,48

 +0,52

 +1,52

 +2,52

 +3,52

 -14,8

 - 9,6

 +6,24

 +6,08

 +5,04

 +7,04

 21,9040

 4,6080

 3,2448

 9,2416

 12,7008

 24,7808

 Разом 50 74 - 0 76,4800

Середнє число дітей у сім'ї

чол.

Дисперсія числа дітей у сім'ї

Середня помилка числа дітей у вибірці складе

чол.

Значенням ймовірності 0,997 відповідає значення гарантійного коеффіціентаТогда гранична помилка вибіркової середньої

чол.

Значення генеральної середньої визначається

Межі, в яких знаходиться середня кількість дітей в сім'ї в районі А:

З імовірністю 0,997 можна стверджувати, що число дітей у сім'ях району А коливається від 0,99 до 2,01 людини (від 1 до 2 чоловік).

Завдання 2. Методом власне-випадкового (або механічного) повторного відбору було взято для перевірки на вагу 200 штук деталей. В результаті перевірки було встановлено середню вагу деталей 30 г при середньому квадратичному відхиленні 4 м

З імовірністю 0,954 визначити межі, в яких знаходиться середня вага деталей у генеральній сукупності.

Рішення.

Середня помилка середньої ваги деталей у вибірці (вибіркової середньої)

Гранична помилка вибіркової середньої з ймовірністю 0,954 (гарантійний коефіцієнт) складе

Верхня межа генеральної середньої

Нижня межа генеральної середньої

З імовірністю 0,954 можна стверджувати, що середня вага деталі коливається в межах

Завдання 3. Методом власне-випадкового (або механічного) бесповторного відбору із загальної чисельності працівників підприємства (5 тис.чол.) Було відібрано 500 працівників. Встановлено, що 20% працівників у вибірці старше 60 років.

Визначити з імовірністю 0,683 межі, в яких знаходиться частка працівників підприємства у віці старше 60 років.

Рішення.

Середня помилка вибіркової частки працівників старше 60 років визначається наступним чином (см.табл.1.2)

З імовірністю 0,683 (гарантійний коефіцієнт) гранична помилка вибіркової частки працівників старше 60-ти років складе

Верхня межа генеральної частки

Нижня межа генеральної частки

З імовірністю 0,683 можна стверджувати, що частка працівників віком старше 60 років на підприємстві коливається від 18,3% до 21,7%.

Завдання 4. При обстеженні 100 виробів, відібраних з партії методом механічного (або власне-випадкового) повторного відбору, 10 виробів виявилися дефектними.

Визначити з імовірністю 0,866 межі, в яких знаходиться частка дефектних виробів в партії.

Рішення.

Для дефектної продукції в вибіркової сукупності

Середня помилка вибіркової частки дефектних виробів рівна (см.табл.1.2)

Гранична помилка вибіркової частки з імовірністю 0.866 (гарантійний коефіцієнт) складе

З імовірністю 0,866 можна стверджувати, що частка дефектної продукції в партії коливається від 5,5% до 14,5%.

Завдання 5. У районі А проживає 2000 сімей. Передбачається визначити середній розмір сім'ї в районі за вибіркою, взятої методом механічного (або власне-випадкового) бесповторного відбору. При цьому з імовірністю 0,997 помилка середнього розміру сім'ї у вибірці (вибіркової середньої) не повинна перевищувати 0,8 людини при середньому квадратичному відхиленні в розмірі сім'ї 2 особи.

Визначити необхідну чисельність вибірки для визначення середнього розміру сім'ї в районі.

Рішення.

Необхідна чисельність вибірки (см.табл.1.3) при ймовірності 0,997 (гарантійний коефіцієнт) визначається таким чином:

сімей.

Перевірка. Середня помилка середнього розміру сім'ї становить

чол.

Гранична помилка вибіркової середньої при ймовірності 0,997 ()

чол. не перевищує заданої помилки 0,8 чол.

Завдання 6. Для визначення середньої довжини деталі необхідно провести вибіркове обстеження методом випадкового (або механічного) повторного відбору.

Визначити, яку кількість деталей необхідно відібрати (чисельні-ність вибірки), щоб помилка вибірки (помилка вибіркової середньої) не перевищувала 2 мм з імовірністю 0,988 при середньому квадратичному відхиленні 8 мм.

Рішення.

Необхідна чисельність вибірки в разі повторного власне-випадкового (або механічного) відбору (см.табл.1.3) при ймовірності 0,997 (гарантійний коефіцієнт) визначається таким чином:

деталей.

Перевірка. Середня помилка середньої довжини деталі становить

мм.

Гранична помилка вибіркової середньої при ймовірності 0,988 () составляетмм, що відповідає умові завдання.

Завдання 7. У місті А є 10 тис.семей. З використанням методу вибіркових спостережень передбачається визначити частку сімей з числом дітей три і більше.

Визначити чисельність вибірки, щоб при механічному (або власне-випадковому) відборі з ймовірністю 0,954 помилка вибірки (частки сімей з числом дітей три і більше) не перевищувала 0,02, якщо на основі попередніх обстежень відомо, що дисперсія дорівнює 0,2.

Рішення.

Необхідна чисельність вибірки для визначення частки сімей з числом дітей три і більше (см.табл.1.3) при ймовірності 0,954 (гарантійний коефіцієнт) визначається

для бесповторного відбору

сімей;

для повторного відбору

сімей.

Завдання 8. Для вивчення оснащення 500 підприємств основними виробничими фондами було проведено 10% -е вибіркове обстеження методом власне-випадкового (або механічного) відбору, в результаті якого отримані наступні дані про розподіл підприємств за вартістю основних виробничих фондів:

Таблиця 2.3

 Середньорічна вартість основних виробничих фондів, млн р.

 До 20

 20-40

 40-60

 Понад

 60

 Разом:

 Число підприємств

5

 12

 23

 10

 50

Визначити:

- З імовірністю 0,997 граничну помилку вибіркової середньої і межі, в яких буде перебувати середньорічна вартість основних виробничих фондів усіх підприємств генеральної сукупності;

- З ймовірністю 0,954 граничну помилку вибірки при визначенні частки і межі, в яких буде перебувати питома вага підприємств з вартістю основних виробничих фондів понад 40 млн р .;

- Обсяги вибіркової сукупності за умови, що:

гранична помилка вибірки при визначенні середньорічної вартості основних виробничих фондів з імовірністю 0,997 була б не більше 5 млн р .;

гранична помилка частки підприємств з вартістю основних виробничих фондів понад 40 млн р. з ймовірністю 0,954 була б не більше 15%.

Рішення.

Для визначення меж генеральної середньої необхідно обчислити середню виборочнуюі дисперсію, розрахунок яких наведено в табл.2.3.

Тоді

млн р .;

Таблиця 2.4

 Середньорічна вартість основних виробничих фондів, млн р.

 Число перед-прия-тий

 Сере-дина інтер-валу, млн р.

 До 20

 20 - 40

 40 - 60

 Понад 60

5

 12

 23

 10

 10

 30

 50

 70

 50

 360

 1150

 700

 -35,2

 -15,2

 4,8

 24,8

 -176,0

 -182,4

 110,4

 248,0

 6195,20

 2772,48

 529,92

 6150,04

 Разом 50 - 2260 - 0 15647,64

Для спрощення розрахунку середньої і дисперсії можна використовувати спосіб моментів.

При наступних вихідних даних: N = 500; n = 50; середня помилка вибірки при визначенні середньорічної вартості основних фондів складе:

при повторному відборі

млн р .;

при бесповторном відборі

млн.р.

При визначенні середньорічної вартості основних виробничих фондів у середньому на одне підприємство в вибіркової сукупності середня помилка вибірки (помилка репрезентативності) при повторному відборі становить 2,5 млн р., При бесповторном - 2,37.

Гранична помилка вибіркової середньої з імовірністю 0,997 (гарантійний коефіцієнт) складе

при повторному відборі

млн р.

при бесповторном відборі

млн р.

Значення генеральної середньої визначається

Межі, в яких знаходиться середня кількість дітей в сім'ї в районі А:

Середньорічна вартість основних виробничих фондів у середньому на одне підприємство генеральної сукупності знаходиться в таких межах:

при повторному відборі

млн.р або;

при бесповторном відборі

млн.р або.

Ці межі можна гарантувати з імовірністю 0,997.

Обчислення меж при встановленні частки здійснюється аналогічно знаходженню меж для середньої величини

де p - частка одиниць у генеральній сукупності, які мають даними ознакою.

Частка підприємств в вибіркової сукупності із середньорічною вартістю основних виробничих фондів понад 40 млн р. становить

Гранична помилка частки з ймовірністю 0,954 (гарантійний коефіцієнт):

при повторному відборі

при бесповторном відборі

З імовірністю 0,954 частка підприємств із середньорічною вартістю основних виробничих фондів понад 40 млн р. в генеральної сукупності знаходиться в межах:

при повторному відборі

або;

при бесповторном відборі

або

При бесповторном відборі помилка вибірки менше, ніж при тих же умовах при повторній вибірці.

Обсяг вибірки для розрахунку помилки середньої при N = 500; n = 50 ;; млн р. з імовірністю 0,997 (гарантійний коефіцієнт)

при повторному відборі

підпр .;

при бесповторном відборі

підпр.

Обсяг вибірки для розрахунку помилки частки при N = 500; n = 50 ;; з ймовірністю 0,954 (гарантійний коефіцієнт)

при повторному відборі

підпр .;

при бесповторном відборі

підпр.

2.2. Серійний відбір

Завдання 1. В одному з цехів підприємства в десяти бригадах працює 100 робітників. З метою вивчення кваліфікації робітників була проведена 20% -а серійна бесповторная вибірка, до якої увійшли 2 бригади. Отримано наступний розподіл обстежених робітників за розрядами:

Таблиця 2.5

 Номер Розряди робітників

 робітника в бригаді 1 в бригаді 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 10

2

4

5

2

5

6

5

8

4

5

3

6

1

5

3

4

2

1

3

2

Визначити з імовірністю 0,997 межа, в якому знаходиться середній розряд робітників цеху.

Рішення.

Середня помилка вибіркової середньої (см.табл.1.2) визначається за такою формулою:

,

де- межсерийная дисперсія вибіркових середніх;

R - число серій у генеральній сукупності;

r - число відібраних серій.

Для визначення межсерийная (груповий) дисперсії вибіркових середніх необхідно розрахувати групові та загальну середню величину.

Середній розряд:

в першій бригаді

розр.

у другій бригаді

розр.

Середній розряд робітника в двох бригадах (загальна середня)

розр.

Межсерийная (межгрупповая) дисперсія

де- середнє значення показника в j - ї серії (групі);

- Середнє значення показника у всіх серіях (загальна середня).

Середня помилка середнього розряду робітника в двох бригадах (вибіркової середньої)

розр.

Значенням ймовірності 0,997 відповідає значення гарантійного коеффіціентаТогда гранична помилка вибіркової середньої

розр.

З імовірністю 0,997 можна стверджувати, що середній розряд робітників цеху знаходиться в межах

Завдання 2. Деталі упаковані в 200 ящиків по 40 деталей в кожен. Для перевірки якості деталей був проведений суцільний контроль деталей в 20 ящиках (10% -й серійний бесповторного відбір). В результаті контролю встановлено, що частка бракованих деталей становить 15%. Межсерийная дисперсія дорівнює 0,002.

З імовірністю 0,954 визначити межі, в яких знаходиться частка бракованої продукції у всій партії ящиків.

Рішення.

Середня помилка вибіркової частки (см.табл.1.2)

де- межсерийная дисперсія вибіркової частки.

Гранична помилка вибіркової частки (частки бракованих деталей у вибірці) з ймовірністю 0,954 (гарантійний коефіцієнт) складе

З імовірністю 0,954 можна стверджувати, що частка дефектної продукції в партії (в 200 ящиках) знаходиться в межах

Завдання 3. У механічному цеху підприємства є 10 бригад по 20 робітників у кожній бригаді. Для встановлення кваліфікації (середнього розряду) робітників цеху використовується метод серійного бесповторного відбору.

Визначити необхідну кількість бригад, щоб з імовірністю 0,997 помилка вибірки (середній розряд робітника в цеху) не перевищувала одного розряду. На основі попередніх досліджень відомо, що межсерийная дисперсія дорівнює 0,9.

Рішення.

З імовірністю 0,997 (гарантійний коефіцієнт) чисельність вибіркової сукупності (число відібраних бригад) визначається наступним чином (см.табл1.3):

бр.

Завдання 4. На підприємстві працює 200 бригад з однаковою чисельністю робітників. Для вивчення частки робітників, що виконують норму виробітку, використовується метод серійного бесповторного відбору.

Визначити необхідну чисельність вибірки, щоб з ймовірністю 0,954 гранична помилка вибірки (гранична помилка частки робітників, що виконують норму виробітку) не перевищувала 5%, якщо межсерийная дисперсія вибіркової частки дорівнює 2,25.

Рішення.

Необхідна чисельність вибірки для вивчення вибіркової частки (см.табл.1.3) з ймовірністю 0,954 (гарантійний коефіцієнт) дорівнює

бр.

Завдання 5. Для визначення середнього напрацювання до відмови 1000 приладів, розподілених на партії (серії) по 10 шт., Проводиться серійна 4% -а бесповторная вибірка. Результати випробувань відібраних приладів характеризуються такими даними:

Таблиця 2.6

 Показники Номер партії приладів

 1 2 3 4

 Середнє напрацювання до відмови, тис.ч

 Частка приладів з напрацюванням до відмови не менше 12 тис.ч

 10

 0,80

 12

 0,85

 15

 0,90

 18

 0,95

Визначити:

1) середні помилки репрезентативності:

- Напрацювання приладів до відмови;

- Питомої ваги приладів з напрацюванням до відмови не менше 12 тис.ч;

2) з ймовірністю 0,954 межі, в яких буде перебувати:

- Середнє напрацювання до відмови всіх приладів;

- Частка приладів в генеральної сукупності, напрацювання до відмови яких не менше 12 тис.ч;

3) ймовірність того, що

- Гранична помилка вибірки при встановленні середнього напрацювання до відмови не перевищить 1,0 тис.ч;

- Частка приладів з напрацюванням до відмови не менше 12 тис.ч буде перебувати в межах від 83% до 92%.

Рішення.

1. При бесповторном відборі серій середня помилка репрезентативності визначається за формулами (см.табл.1.3) відповідно для середньої і для частки

де r - число відібраних серій;

R - число серій у генеральній сукупності;

- Межсерийная дисперсія вибіркових середніх;

- Межсерийная дисперсія вибіркової частки.

Середнє напрацювання до відмови приладів у відібраних 4 партіях

тис. ч.

Середня питома вага приладів з напрацюванням до відмови не менше 12 тис.ч

Межсерийная дисперсія для середньої і для частки визначається за формулами

Розрахунок наведено в табл.2.7

Таблиця 2.7

 Но-мер партії

 Середнє напрацювання до відмови, тис.ч

 Частка приладів з напрацюванням до відмови не менше 12 тис. Год,

1

2

3

4

 10

 12

 15

 18

 -3,75

 -1,75

 1,25

 4,25

 14,06

 3,06

 1,56

 18,06

 0,80

 0,85

 0,90

 0,95

 -0,075

 -0,025

 0,025

 0,075

 0,005625

 0,000625

 0,000625

 0,005625

 0 36,74

 0,012500

Тоді межсерийная дисперсії

Середні помилки репрезентативності:

- При визначенні середньої -

тис. год;

- При визначенні частки -

2. З імовірністю 0,954 (гарантійний коефіцієнт) граничні помилки репрезентативності для середньої і для частки:

тис. год;

Середнє напрацювання до відмови всіх 1000 приладів знаходиться в межах

тис. год або

Середня питома вага приладів з напрацюванням до відмови не менше

12 тис. Ч в генеральної сукупності буде перебувати в межах

або

3. Середня помилка середнього напрацювання приладу до відмови при R = 100;

r = 4; тис. год; составляеттис. ч.

Для визначення ймовірності того, що різниця середніх величин наробітку до відмови у вибірковій і генеральній сукупності не перевищить задану граничну ошібкутис. год, т. е.

тис.ч

розраховується гарантійний коеффіціентіз наступного виразу:

У таблиці значень ймовірностей (см.табл 1.1) значенням

відповідає ймовірність 0,993.

Отже, з імовірністю 0,993 можна гарантувати, що середнє напрацювання приладу до відмови в генеральної сукупності перебуватиме у пределахтис. ч.

Середня помилка частки приладів з напрацюванням до відмови не менше 12 тис. Год при R = 100; r = 4 ;; становить

Для визначення ймовірності того, що різниця питомої ваги приладів з напрацюванням до відмови не менше 12 тис. Ч в вибірковою і генеральною сукупністю не перевищить задану граничну помилку

(83,0-87,5 = -4,5%; 92,0-87,5 = + 4,5%), т. Е.

розраховується гарантійний коеффіціентіз наступного виразу:

У таблиці значень ймовірностей (см.табл 1.1) значенням

відповідає ймовірність 0,890.

Отже, з імовірністю 0,890 питома вага приладів з напрацюванням до відмови не менше 12 тис. Ч буде перебувати в межах

35

2.3. Типовий відбір

Завдання 1. У трьох районах 30 тис. Сімей. У першому районі - 15 тис .; у другому - 12 тис. і в третьому - 3 тис. сімей. Для визначення числа дітей у сім'ї була проведена 10% -а типова вибірка з відбором одиниць пропорційно чисельності одиниць типових груп. Усередині груп застосовувався метод випадкового бесповторного відбору. Результати вибіркового обстеження сімей в трьох районах представлені в табл.2.8

Таблиця 2.8

 Номер району Число сімей в районі Середнє число дітей у сім'ї Середнє квадратичне відхилення

1

2

3

 15000

 12000

 3000

 1,3

 1,8

 0,8

 1,2

 2,5

 0,5

З імовірністю 0,997 визначити межу, в якому знаходиться середнє число дітей у сім'ї в трьох районах.

Рішення.

Середня помилка вибіркової середньої при типовому бесповторном відборі (см.табл.1.2) визначається таким чином:

де- середня з групових дисперсій вибіркової середньої;

n - чисельність вибіркової сукупності по всіх типовим групам (районах);

N- чисельність генеральної сукупності (число сімей в усіх

районах).

Обсяг вибірки в кожній типової групі (районі) nj

де Nj- число сімей в j - му районі;

Число сімей, обраних для обстеження в кожному районі за умови, що чисельність вибіркової сукупності n по трьом районам дорівнює 3000 сімей

сімей;

сімей;

сімей.

Середнє число дітей у сім'ї по трьом районам в вибіркової сукупності (вибіркова середня) з урахуванням чисельності відібраних груп

чол.

Середня з групових дисперсій (внутригрупповая дисперсія)

Середня помилка вибіркової середньої при типовій вибірці (середня помилка середнього числа дітей в сім'ї)

чол.

Гранична помилка середньої з імовірністю 0,997 (гарантійний коефіцієнт) складе

чол.

З імовірністю 0,997 можна стверджувати, що в трьох районах середня кількість дітей в сім'ї знаходиться в межах

Завдання 2. Для виявлення причин простоїв була проведена фотографія робочого дня 10% робочих чотирьох різних цехів. Відбір робітників всередині цехів проводився методом випадкового бесповторного відбору. В результаті аналізу вибіркових даних була виявлена ??частка простоїв через несвоєчасне надходження комплектуючих виробів (табл.2.9)

Таблиця 2.9

 Номер цеху

 Число робочих

 у вибірці, чол. Питома вага простоїв через несвоєчасне надходження комплектуючих виробів,%

1

2

3

4

 20

 36

 14

 30

5

 10

 15

2

 Разом 100 -

З імовірністю 0,954 визначити межі, в яких знаходиться частка простоїв на підприємстві через несвоєчасне надходження комплектуючих виробів.

Рішення.

Середня помилка вибіркової частки при типовому бесповторном відборі (см.табл.1.2) визначається таким чином:

де- середня з групових дисперсій вибіркової частки.

Середня вибіркова частка простоїв через несвоєчасне надходження комплектуючих виробів в чотирьох цехах

Дисперсія вибіркової частки в i -й типової групі визначається за формулою

Для першого цеху -

для другого -

для третього -

для четвертого -

Середня з групових дисперсій вибіркової частки

Середня помилка вибіркової частки

Гранична помилка вибіркової частки з ймовірністю 0,954 (гарантійний коефіцієнт)

З імовірністю 0,954 можна стверджувати, що частка простоїв через несвоєчасне надходження комплектуючих виробів знаходиться в межах

Завдання 3. У трьох населених пунктах 10 тис. Сімей. У першому - 5 тис .; у другому - 1 тис .; в третьому - 4 тис. сімей. Для визначення середнього розміру сім'ї у трьох населених пунктах проектується типова вибірка з випадковим бесповторного відбором всередині типових груп.

Визначити обсяг вибірки (кількість сімей), щоб з імовірністю 0,987 помилка вибірки при визначенні середнього розміру сім'ї не перевищувала 0,5 людини, якщо на основі попередніх обстежень відомо, що дисперсія дорівнює 9.

Рішення.

Чисельність типової вибірки (при ймовірності 0,987 гарантійний коефіцієнт)

сім'ї.

Завдання 4. Для виявлення причин простоїв 1000 робочих підприємства необхідно провести типову вибірку по різних цехах.

Визначити кількість робітників, яке необхідно обстежити, щоб з імовірністю 0,997 помилка вибірки (помилка частки) не перевищувала 5%, якщо на основі попередніх досліджень відомо, що дисперсія типової вибірки дорівнює 0,16.

Рішення.

Необхідна чисельність вибірки (при ймовірності 0,997 гарантійний коефіцієнт)

чол.

Завдання 5. На підприємстві працює 1000 робітників, з них у віці до 30 років - 400 осіб, понад 30 років - 600 осіб. Для вивчення середньоденний вироблення і встановлення частки чоловіків проведена 10% -а типова вибірка з відбором одиниць пропорційно чисельності робітників по зазначеним групам (всередині груп застосовувався випадковий метод відбору).

На основі обстеження отримані такі дані (табл.2.10):

Таблиця 2.10

 Групи робітників за віком, років

 Загальна чисельні-ність робочих

 N j,

 чол.

 Число обстежений-них робочих nj,

 чол.

 Середньо-денна Вира-ботка

,

 шт.

 Диспер-сія виработ-ки,

 Кількість чоловіків у вибірці

 m j,

 чол.

 Частка чоловіків у вибірці,

 До 30 років

 Св. 30

 400

 600

 40

 60

 25

 30

 81

 64

 32

 54

 0,8

 0,9

 Разом 1000 100

-

-

-

-

Визначити:

- З ймовірністю 0,954 граничну помилку вибірки та межі, в яких буде перебувати середньоденна вироблення для всіх робітників підприємства;

- З ймовірністю 0,954 межі питомої ваги чоловіків у загальній чисельності робітників підприємства.

Рішення.

Середня помилка вибіркової середньої при типовому бесповторном відборі) визначається за формулою

Середня з групових дисперсій (внутригрупповая дисперсія)

Середня помилка середньоденної виробітку робітників у вибірці (середня

помилка вибіркової середньої)

шт.

Гранична помилка середньої з ймовірністю 0,954 (гарантійний коефіцієнт) складе

шт.

Для визначення можливих меж середньоденний вироблення всіх робітників підприємства розраховується середньоденна вироблення в вибіркової сукупності по середньої арифметичній виваженої

шт.

З імовірністю 0,954 можна стверджувати, що середньоденна вироблення всіх робітників підприємства знаходиться в межах

Середня помилка вибіркової частки при типовому бесповторном відборі визначається за формулою

Середня з групових дисперсій вибіркової долі.рассчітивается наступним чином:

Розрахунок представлений в табл.2.11

Таблиця 2.11

 Групи робітників за віком, років

 Число робочих

 n j,

 чол.

 Частка чоловіків

 Частка жінок

 Дисперсія частки

 Зважений показник дисперсії

 До 30 років Понад 30

 40

 60

 0,8

 0,9

 0,2

 0,1

 0,16

 0,09

 6,4

 5,4

 Разом 100

 11,8

Тоді

Середня помилка репрезентативності для вибіркової частки

Гранична помилка вибіркової частки з ймовірністю 0,954 (гарантійний коефіцієнт)

Для визначення меж частки чоловіків розраховується середня частка для вибіркової сукупності

З імовірністю 0,954 можна стверджувати, що частка чоловіків на підприємстві знаходиться в межах

Бібліографічний список

1. Богородская Н.А. Статистика. Методи аналізу статистичної

інформації: Текст лекцій / СПбГААП. СПб., 1997. 80 с.

2. Єфімова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.М. Загальна теорія статистики.

Підручник. М .: ИНФРА-М, 1998. 416 с.

3. Статистика: Курс лекцій / Л.П.Харченко, В.Г.Долженкова, В.Г. Йонин і

ін .; Під ред. В.Г.Іоніна. Новосибірськ: Вид-во НГАЕіУ, 1996. 310 с.

4. Загальна теорія статистики: Статистична методологія у вивченні

комерційної діяльності. Підручник /А.І.Харламов, О.Е.Башіна,

В.Т.Бабурін та ін .; Під ред. А.А.Спіріна, О.Е.Башіной. М .: Фінанси

статистика, 1994. 296 с.

5. Гусаров В.М. Теорія статистики. М .: Аудит, 1998. 247 с.

6. Єлісєєва І.І., Юзбашев М.М. Загальна теорія статистики. М .: Фінанси і

статистика, 1998. 367 с.

7. Теорія статистики. Підручник / За ред. Р.А.Шмойловой. М .: Фінанси і

статистика, 1998. 576 с.

8. Практикум з теорії статистики: Учеб. посібник / За ред.

Р.А.Шмойловой. М .: Фінанси і статистика, 1998. 416 с.

9. Громико Г.Л. Загальна теорія статистики: Практикум. М .: ИНФРА-М,

1999. 139 с.

10. Збірник завдань з загальної теорії статистики: Учеб. посібник для

студентів вузів, що навчаються за спеціальністю "Статистика" /

В.Е.Овсіенко, Н.В.Голованова, Ю.Г.Королев та ін. 2-е вид., Перераб. і

доп. М .: Фінанси і статистика, 1986. 191 с.

Зміст

1. МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ВИРІШЕННЯ ЗАВДАНЬ ПО ТЕМІ

"Вибіркове спостереження". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1. Вибіркове дослідження. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Види відбору при вибірковому спостереженні. . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3. Помилки вибіркового відбору. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1. Помилка вибіркової частки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4.3.2. Помилка вибіркової середньої. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Обсяг вибірки. . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Приклади розв'язання задач. . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1. Механічний і власне-випадковий відбір. . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Серійний відбір. . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3. Типовий відбір. . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Бібліографічний список. . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка