Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Проблема абстракції в математиці - Філософія

Міністерство освіти Російської федерації

Челябінський державний університет

Кафедра философииС АM

Проблема абстракції в математиці.Челябинск

2001

Зміст.

Вступ. 3

1. Особливість математичної абстракції. 6

2. Абстракція актуальної нескінченності. 11

3. Абстракція потенційної нескінченності. 17

Висновок. 22

Список літератури. 24

Введення.

При вивченні математики, як і будь-якої іншої науки, дослідник передусім стикається з питанням про реальний зміст її понять і теорій. Щоб зрозуміти, що відповідає математичному знанню в реальному світі, або, інакше говорячи, який той специфічний об'єкт, який служить предметом дослідження математики, треба зрозуміти, яку сторону дійсності відображає математика, як здійснюється процес абстрагування в цій науці і чому він відрізняється від абстрагування в природознавстві і інших досвідчених науках.

Що ж таке абстракція?

У самому широкому значенні слова абстракція означає можливість розгляду предметів і процесів з якої-небудь однієї точки зору і відвернення від інших сторін, моментів і обставин. У навколишньому світі всі предмети і явища знаходяться в різних взаємозв'язках і відносинах друг з другом. Одні з них мають істотний, стійкий характер, інші - неістотний, випадковий. Щоб зрозуміти суть явищ об'єктивного світу, закони, які управляють ними, необхідно відділити істотні зв'язки від неістотних, відвернутися від другорядних обставин, в чому і складається процес абстрагування.

Відвернення тих або інакших властивостей речей і наділення речей властивостями, які певною мірою огрублювати їх природні властивості, дає можливість краще вивчити ці властивості і відносини, а через них і самі речі. Так, наприклад, заміна реальних тіл в механіці абсолютними твердими тілами, а в інакших випадках навіть матеріальними точками допомагає глибше вивчити процеси, пов'язані з механічним рухом. Точно так само розгляд кількісних відносин і просторових форм відособлено від якісної природи предметів є вельми плідним прийомом, за допомогою якого математиці вдається глибоко проникнути в суть кількісних і просторових відносин дійсності.

У емпіричній теорії абстракції, властивості, які є загальними для різних речей, виявляються в процесі споглядання. Вони мають досвідчений емпіричний характер. Відповідно цьому предикати, які їх виражають, називаються емпіричними. Більш складний характер носять так звані диспозиционные предикати, в яких відображається емпіричне в певних умовах його вияву. Такі властивості, як «бути провідником струму», «розкладатися на складові елементи» і т. п., виявляються лише при наявності певних умов. І в реальних ситуаціях звичайно такі умови точно фіксуються. По суті вже властивості, що виражаються за допомогою емпіричних предикатів, завжди передбачають наявність певних умов. Така властивість тіла, як теплопровідність, виявляється лише при певній взаємодії з іншими тілами. Але від цього в повсякденній практиці відволікаються і розглядають його ізольовано, як властивість даного тіла. Нарешті, абстрактні предикати відображають більш істотні і глибокі властивості, чим диспозиционные і емпіричні. Саме з такими предикатами і має справу математика. Часто такий предикат розглядають як деякий самостійний об'єкт. Щоб відрізнити його від реальних об'єктів, його називають абстрактним об'єктом. Зрозуміло, що такі об'єкти або властивості не можна сприймати почуттєво, але вони приписуються речам на основі певних теоретичних допущень.

Внаслідок процесу абстракції виникають поняття, категорії, закони, в яких якраз і відображаються істотні сторони реальної дійсності. Будучи відверненням від певних сторін речей і явищ, наукові абстракції відтворюють дійсність в узагальненому вигляді. Ясно, що відображаючи реальний мир абстракція відтворює його не безпосередньо, а опосередковано почуттєвим пізнанням. Але на цьому процес пізнання не закінчується, навпаки, абстракції служать лише початковим пунктом для подальшого процесу сходження від абстрактного знання до конкретного.

Розглянемо ті особливості, які характерні для процесу абстрагування в математиці.

1. Особливість математичної абстракції.

Специфіка предмета математики зумовлює ряд важливих особливостей математичної абстракції. Звернемо увагу на такі її особливості, якими вона відрізняється передусім від абстракції в природознавстві і досвідчених науках взагалі.

Оскільки в математичних поняттях відображається лише кількісна сторона предметів і процесів, остільки ці поняття представляють найбільш односторонній знімок з дійсності. Щоб виділити кількісні відносини і просторові форми в «чистому» вигляді, математик повинен застосувати абстракцію «найбільшої сили», оскільки він зобов'язаний відвернутися від всіх якісних особливостей і специфічних властивостей предметів і явищ. Ця особливість математичної абстракції усвідомлювалася вже античними філософами. Один з універсальних розумів тієї епохи, Арістотель, так описує підхід математика до реального миру: «.. у. відношенні сущого прикладом служить той розгляд, якому математик піддає об'єкти, отримані за допомогою відвернення. Він проводить цей розгляд, суцільно усунувши всі почуттєві властивості, наприклад тягар і легкість, жорсткість і протилежне, далі - тепло і холод і всі інші почуттєві протилежності, а зберігає тільки кількісну визначеність і безперервність...»[1, c.40].

У порівнянні з природознавством в математиці процес абстрагування йде значно далі. У відомому значенні справедливо затверджувати, що там, де дослідник зупиняється, математичне дослідження тільки починається. Найкраще це можна проілюструвати на прикладі геометрії. Добре відомо, що просторові властивості матеріальних тіл не існують відособлено від самих тіл. Вони цілком визначаються внутрішніми і зовнішніми зв'язками тіл, але для кращого розуміння просторових властивостей дослідник вимушений тимчасово абстрагуватися від всіх їх інших властивостей, крім геометричних. Поняття геометричного тіла представляє надто односторонній знімок з дійсності. Вже поняття фізичного тіла представляє абстракцію, оскільки тут відволікаються від всіх нефізичних властивостей. У понятті ж геометричного тіла відволікаються і від фізичних властивостей і зберігають лише його просторові властивості. Природно тому, що в теоретичній фізиці нарівні з широким застосуванням математичних понять головне значення мають специфічні для цієї науки фізичні поняття. У деяких розділах механіки, наприклад в кінематиці, фізична абстракція майже наближається до математичної, оскільки матеріальне тіло у відомих умовах (малість розмірів в порівнянні з відстанню між тілами) ототожнюється з матеріальною точкою. Але вже в межах кінематики зустрічаються з такими специфічними фізичними характеристиками тіла, як його швидкість, прискорення і т. п.

Друга найважливіша особливість математичної абстракції складається в тому, що абстрагування тут частіше за все здійснюється через ряд послідовних рівнів узагальнення. Тому в математиці переважають абстракції від абстракцій. У найпростішій формі цей процес зустрічався при з'ясуванні походження поняття числа. Спочатку поняття числа ще не відділяється від полічених сукупностей і тому виступає як іменоване число. Згодом воно звільняється від цієї конкретності і виступає як відвернене поняття.

Ці два рівні абстракції мало чим відрізняються від відповідних абстракцій природознавства. Але в математиці відвернення йде далі. Якщо на другому етапі з поняттям числа зв'язувалися ще конкретні відвернені числа, як, наприклад, 1, 2... 15. ..100 і т. д., то на третьому етапі абстрагуються також і від конкретного значення числа. На цій основі і виникло поняття про будь-яке можливе натуральне число, до якого прийшли ще древні греки. Оперування з таким поняттям мало надзвичайно велике значення для математики, оскільки воно давало можливість відволікатися від конкретних чисел і забезпечувало можливість доводити теореми в загальному вигляді.

Ще більш виразно аналогічні етапи абстрагування можна виділити в розвитку такого фундаментального поняття всієї математики, яким є функція. До самого поняття функціональною залежність вчена прийшла з розгляду конкретних взаємозв'язків між різними величинами, які зустрічаються в самих різноманітних задачах природознавства і техніки. По суті справи більшість законів точного природознавства виражає функціональний зв'язок різних величин.

У математиці вивчаються різні види функцій (ціле, раціональні, логарифмічне, тригонометричне і т. д.). Щоб мати можливість міркувати про будь-які функції, дослідник повинен відвернутися від конкретних особливостей вищеперелічених і інших функцій і ввести абстрактне поняття функції взагалі. Це буде вже наступний етап абстрагування. Подальший етап пов'язаний з утворенням поняття функционала, який служить природним узагальненням функції і містить його як окремий випадок.

Число таких прикладів можна було б легко збільшити. Досить нагадати процес узагальнення таких понять, як абстрактний математичний простір, інтеграл, група і інші, щоб пересвідчитися в тому, що процес узагальнення в математиці, як правило, проходить ряд рівнів абстракції, кожна з яких супроводиться розширенням об'єму відповідного поняття.

У всій історії математики можна виділити три великих історичних етапу в розвитку її абстракцій. На першому етапі, пов'язаному з виникненням арифметики і геометрії, відволікаються від конкретної, якісної природи об'єктів. На другому етапі, коли вводиться буквена символіка і відбувається перехід до алгебри, стали відволікатися вже від конкретних чисел і величин. Нарешті, на третьому етапі, пов'язаному з переходом до сучасної математики, стали відволікатися не тільки від конкретної природи об'єктів, але і від конкретної залежності між ними. Так, наприклад, під операцією множення тепер розуміє не тільки множення чисел, але і векторів, множин яких-небудь об'єктів («перетин» множин) і навіть пропозицій (в математичній логіці). Таким чином, змінними тут стають не тільки об'єкти дослідження, але і самі операції над ними.

Третя особливість математичної абстракції складається в значному використанні так званих ідеальних об'єктів. Вже «точка», «пряма», «площину» Евклідової геометрії представляють ідеальні об'єкти, оскільки утворяться за допомогою ідеалізації. Якщо ж ідеалізацію розуміти декілька ширше, а саме як процес утворення таких понять, які або виражають властивості реальних об'єктів в спотвореному вигляді, або приписують їм властивості, відсутні у них, тоді можна буде з відомою основою затверджувати, що безпосереднім об'єктом дослідження математики є саме абстрактні, або ідеальні, математичні об'єкти. Зрозуміло, що ці об'єкти не плід чистої фантазії. Вони, як і вся математика загалом, служать для пізнання дійсності. Але математика оперує ними саме як ідеальними об'єктами.

По суті такими ж ідеальними об'єктами є поняття математичної нескінченності потенційної і актуальної. При утворенні цих понять доводиться вдаватися до різних абстракцій здійсненності. Використання різних абстракцій здійсненності складає четверту важливу особливість математичного пізнання. Зокрема ці абстракції здійсненності ведуть до різних понять нескінченність, яка в свою чергу породжує різні філософські напрями, такі як интуиционизм, конструктивізм і т. д., про що детальніше буде сказано нижче.

П'ята важлива особливість, безпосередньо пов'язана з попередніми, складається в тому, що багато які системи абстракцій в математиці, виникши на базі досвіду і практики або навіть в процесі чисто логічного розвитку теорії, не вимагають надалі звернення до досвіду. Дійсно, в математиці всюди оперують одними лише абстракціями, т. е. звертаємося передусім до логіки, а по до експерименту, як це часто має місце в природознавстві.

2. Абстракція актуальної нескінченності.

Суть абстракції актуальної нескінченності складається у відверненні від незавершеності і незавершимости процесу утворення нескінченної безлічі, від неможливості зандать така безліч за допомогою повного перерахування його елементів. Згідно з абстракцією актуальної нескінченності, в бесконнечном безлічі можна виділити (індивідуалізувати) кожний його елемент. Але насправді зафіксувати і описати кожний елемент нескінченної безлічі принцинпиально неможливо. Абстракція актуальної нескінченності і являє собою відвернення від цієї неможливості, що дозволяє розглядати, наприклад, відрізок прямий як беснконечное безліч точок, кожну з яких можна индинвидуализировать, визначивши її якимсь дійсним чиснлом.

Поняття актуальної нескінченності виникає з понмощью процесу ідеалізації. У цьому випадку ідеалізація дає можливість застосовувати до нескінченних множин простій і добре вивчений апарат класичної логіки. Цей апарат виник і цілком виправдав себе при дослідженні кінцевих множин. Ідеалізований характер актунальной нескінченності складається в тому, що про нескінченну безліч міркують аналогічно з кінцевими множинами. Крім того, тут абстрангируются від конкретних способів побудови елементів нескінченної безлічі і навіть допускають, що всі його елементи існують одночасно, а не виникають в процесі побудови.

Оскільки актуальна нескінченність представляє сонбой надзвичайно сильну абстракцію, то з розумінням її пов'язаний цілий ряд труднощів. Передусім иннтуиция повстає проти представлення нескінченності і вигляді завершеного процесу. Завершеність бесконечнонсти нерідко розуміється як її знищення. Так, напринмер, натуральний ряд чисел звичайно мислиться як ненограниченно продовжений, і інтуїції нелегко звикнутися з уявленням про закінченість цього ряду.

Ще Арістотель заперечував використання і науці поняття актуальної нескінченності, посилаючись на те, що відомий спосіб рахунку тільки на кінцевих мнонжествах. Він вказував, що кінцеве число руйнується актуальною нескінченністю.

Розбираючи заперечення, Кантор вказує, що і з нескінченними множинами можна проводити некотонрые дії рахунку, якщо певним чином упорядончить їх. Різниця буде полягати тільки в тому, що якщо для кінцевих множин порядок елементів не впливає па результат рахунку, то для нескінченних множин він завинсит від способу їх упорядкування. Часто зазначали також, що актуальну нескінченність не можна цілком обійняти в думці, оскільки вона передбачає поліченим бесконечнное безліч. Заперечуючи цього, ще Б. Больцано помітив: щоб уявити ціле, немає необхідності представляти окремо його частини.

Поняття актуальної нескінченності приводить до надзвичайно несподіваних слідств, наприклад, твердження, що для нескінченних множин аксіома «частина менше целонго» втрачає свою силу. Дійсно, ще в XVII в. Галилей помітив, що квадрати цілих позитивних чисел можуть бути поставлені у взаимноднозначное відповідність з самими позитивними числами, і отже, ці множини еквівалентні.

Всі еквівалентні множини володіють певною загальною властивістю, яку можна виділити за допомогою абнстракции ототожнення. Цю властивість в математиці приннято називати потужністю безлічі. У разі конечнных множин вона співпадає з кількістю елементів. У разі ж нескінченних множин, вказує Кантор, не можна говорити об яку-небудь точну певну колинчестве їх елементів, але зате їм можна приписати опренделенную, що абсолютно не залежить від їх порядку мощнность.

Скориставшись поняттям потужності, можна опнределить нескінченна безліч як безліч, равномощное з якою-небудь своєю частиною, або, як говорить математика, власною підмножиною. Наприклад, мнонжество натуральних чисел буде равномощно з множенством квадратів натуральних чисел, або з безліччю всіх парних чисел, або з безліччю чисел, кратними 3, 5, 7, або взагалі непарних чисел і т. д. І безліч квадратів цілих чисел, і безліч парних чисел так само, як і непарних, становить лише частину безлічі натуральних чисел, але проте вони еквівалентні цілій безлічі. Звичайно такого роду приклади вызынвают здивування у тих, хто уперше приступає до изученнию теорії множин. Здається неможливим, щоб частина безлічі була еквівалентна цілому. На цієї осннове і виникає критичне відношення до актуальної нескінченності.

На перший погляд може показатися, що все існуюча нескінченність має тільки одну потужність. Множини і натуральних, і раціональних, і алгебраинческих чисел є рахунковими множинами. Додавання до таких множин будь-якого числа кінцевих, або рахункових, множин дає в результаті рахункову безліч. Навіть множення на рахункову безліч не виводить за межі рахункових множин.

Однак якщо порівняти потужність натурального ряду чисел з потужністю всіх дійсних чисел або мнонжеством всіх точок відрізка прямої, то виявиться, що вони неравномощны. І безліч всіх дійсних чисел, і безліч точок відрізка мають потужність больншую, чим потужність рахункової безлічі. Тому дійсні числа, як і точки відрізка, не можна «пересчинтать» за допомогою натуральних чисел. Потужність множенства дійсних чисел, або точок відрізка, або будь-якої геометричної фігури, вмісної принаймні одну лінію, прийнято називати потужністю континууму. Кантору не вдалося виявити множин, потужність яких була б проміжною між потужністю рахункової безлічі і континууму. Поэтонму він висловлював припущення, що континуум безпосередньо слідує за потужністю рахункової безлічі. Рішення цієї славнозвісної континууму-гіпотези довгий час не піддавалося никанким зусиллям, і в свій час вона була названа Гильбернтом однієї з найважливіших невирішених проблем матемантики. У 30-з роки К. Гедель встановив, що континуум-гіпотеза не може бути спростована, виходячи з аксіом теорії множин. П. Коен, розвиваючи ідеї Геделя, довів, що континуум-гіпотеза незалежна від інших аксіом теорії множин. Інакшими словами, виходячи з вказаних аксіом, вона не може бути ні доведена, ні спростована.

Таким чином, додавання до аксіом теорії множин як континуум-гіпотезу, так і протилежне їй утнверждение, ніколи не приведе до логічному протинворечию. Виходить, що можуть існувати різні теонрии множин, в одних з яких континуум-гіпотеза виконується, в інших немає. У цьому відкритті Коена неважко виявити аналогію з відкриттям неевклидовой геометрії, коли стало ясно, що аксіома паралельних незалежна від інших аксіом абсолютної геометрії.

Завдяки трудам Кантора і його послідовників понянтия і методи теорії множин помістилися міцну в математиці. Теорія мнонжеств дає можливість аналізувати з єдиної точки зору всі математичні науки: адже елементами мнонжеств можуть бути всілякі математичні объекнты - і числа, і фігури, і функції і т. п. Така спільність позбавляє від необхідності доводити, теореми для приватних видів математичних об'єктів. Все ці донказательства можна провести тепер в загальному вигляді.

Гранична спільність і широта застосування понятті і методів теорії множин не тільки для розвитку факнтического змісту математики, по і для обгрунтування її на новому підмурівку згодом привели до господнству в математиці теоретико-множинних ідей.

У 1902 р. Б. Рассел виявив парандокс, який безпосередньо пов'язаний з канторовским опнределением поняття безлічі. Це визначено не занпрещает розглядати як елементи множин деякі інші множини. Назвемо такі множини ненобычными або краще множинами другого роду. Прикладами таких множин можуть служити безліч множин, каталогів бібліотеки, безліч множин списків або взагалі будь-яка абстрактна безліч множин. До мнонжествам першого роду, або звичайним, відносяться те, конторые але містять як свої елементи безлічі. Так, безліч зірок буде саме такою безліччю.

Якщо тепер задати питання, до якого роду відноситься безліч всіх тих множин, які не містять себе як елемент, то на нього можна дати дві взаимонисключающих відповіді.

Якщо допустити, що вказана безліч (в дальннейшем зване расселовским) відноситься до необычнным, то воно, будучи елементом безлічі всіх мнонжеств, які не містять себе в якості свого эленмента, не повинне належати до незвичайним множестнвам. Отже, припущення про приналежність расселовского безлічі до незвичайних множин веде до прямо протилежного результату: ця безліч повинно належати до звичайних множин. Виходячи з отриманого результату, легко виявити, що расселовское безліч повинно містити себе як елемент, т. е. воно повинно належати до незвичайних множин. Виходить, що відносно безлічі всіх множин, не вмісних себе і якості елемента, можнно довести дна прямо протилежних твердження. Виникає парадокс.

Який же висновок був зроблений з перших парадоксів? Які способи їх усунення були запропоновані математикою? Багато яка математика, ознайомившись з парадокнсами, в перший час просто їх ігнорували, затверджуючи, що вони являють собою надто штучні понстроения. Оскільки ні в математичному аналізі, ні в геометрії такі парадокси не були виявлені, то не слодует-де особливо турбуватися про парадокси, які виникають на околицях теорії множин. Ясно, однак, що такий підхід не можна вважати задовільним, бо немає упевненості, що ці парадокси не можуть не виникнути в аналізі і геометрії, якщо вони будуються на теоретико-множинній основі.

Найбільш радикально рішення було запропоноване интуиционистами. Вони піддали критиці ідею актуальної нескінченності і засновану на ній канторовскую теонрию множин. Поняття «всі» і «існує», але мненнию основоположника интуиционизма Брауера, не можна застосовувати до нескінченних множин. Будь-яке утвержденние про існування в нескінченній безлічі елемента з певними властивостями складається в дійсній вказівці такого елемента. Але очевидно, що не можна пенребрать всі елементи нескінченної безлічі. Саме в зв'язку з цим интуиционисты відмовляються від актунальной нескінченності і повертаються до нескінченності що стає, потенційної.

3. Абстракція потенційної нескінченності.

Проти допустимості ідеї актуальної нескінченності в математиці, а також тих логічних коштів, які пов'язані з цією ідеєю (зокрема, закону виключеного третього), різко виступили представники интуиционистского направнления в обгрунтуванні математики (Л. Брауер, Г. Вейль), вознникшего в перше десятиріччя минулого віку. Принципово виключаючи застосування абстракції актуальної нескінченності, интуиционисты вважають допустимим лише поняття, потеннциальной нескінченності.

Так, Брауер затверджував, що про існування математичних об'єктів можна говорити лише тільки в тому випадку, якщо принципово можливо здійснити їх обчислення або побудову. Реалізовуючи цю ідею, вони намагалися побудувати основи математики, виходячи з деякої властивої людині праинтуиции, порождаюнщей натуральний ряд чисел і з нього - всю математику. І хоч насправді можливість побудови тих або інакших об'єктів завжди обмежена певними умовами (наявність відповідного матеріалу, часу, простору і т. п.), в теорії можна відвернутися від цих обмежень. Треба помітити, що в основі поняття потенційної нескінченності лежить гіпотеза потенційної осущестнвимости.

Ця гіпотеза допускає побудову не тільки таких об'єктів, які можна здійснити практично (хоч би в принципі), але і об'єктів потенційно здійсненних, т. е. здійсненних при припущенні, що дослідник володіє для цього сонответствующими можливостями. Ясно, що таке преднположение являє собою абстракцію: воно огрублянет, схематизирует дійсний стан речей, понскольку реальна можливість побудови об'єктів всегнда обмежена певними рамками.

Можна ввести поняття потенційної нескінченності як необмеженої пронцесса побудови математичних об'єктів, який не має останнього кроку. Дійсно, гіпотеза потеннциальной здійсненності допускає, що після n кроку завжди можливий n+1 крок. А це означає, що в принципі допустимо існування безмежного пронцесса, або потенційної нескінченності. Елементи танкой нескінченності не існують одночасно, вони понследовательно виникають в процесі побудови. Саме так і сприймається натуральний ряд чисел як ряд, що починається з 1, послідовно перехідний до чиснлам 2, 3, 4... і що не має останнього члена. Требуетнся чимале зусилля, щоб представити цей ряд у вигляді закопченої безлічі чисел. Це показує, що сама ідея потенційної нескінченності інтуїтивно значинтельно ясніше, ніж ідея актуальної нескінченності. Тому логічно передбачити, що саме ідея потенційної беснконечности спочатку виникла в математиці.

У античній науці формулювання поняття потенцинальной нескінченності зустрічається уперше у Анаксагора (VI в. до н. е.). Розглядаючи питання про подільність тіл, він писав: «У малому не існує найменшого, але завжди є ще менше. Бо те, що існує, не може зникнути, як би далекі ні були продовжено ділення»[1, c.128-129]. Процес ділення тут аналізується в абнстрактной формі, оскільки при цьому відволікаються, по-перше, від якісних особливостей процесу, коли чисто кількісне зменшення тіла приводить до нонвым якісних елементів (молекула, атом, «элеменнтарные» частинки); по-друге, від практичних возможнностей здійснення процесу, т. е. нескінченна делинмость розглядається як потенційно здійсненний процес. Такий абстрактний підхід до питання про делимонсти матерію зустрів серйозні заперечення зі сторони древньогрецький атомистов. Допускаючи необмежену подільність тіл, вказували атомисты, дослідник тим самим преднполагает можливість дійти в цьому процесі до точок, оскільки «в малому не існує найменшого». Слендовательно, будь-яку частину тіла можна ділити далі і в кінцевому результаті дійти до точок. Але тоді тіла але останнется: воно повинне було б складатися з точок, що оченвидно безглузде.

Потрібно ще раз підкреслити, що потенційна нескінченність являє собою знанчительную ідеалізацію дійсних процесів. Тому не можна вимагати, щоб ця нескінченність існувала в реальному світі саме з тими властивостями, конторые їй приписує математика. Адже ніхто не шукає в природі точок, прямих і площин і тому вигляді, як вони існують в геометрії. Тим часом відомий аменриканский фахівець з математичної логіки X. Каррі, засновуючись на тому, що «в нашому оточенні немає нічого, відповідного ідеї нескінченності», робить висновок про неспроможність «реалістичної точки зору на матемантику».

Гильберт справедливо критикує невірне уявлення про необмежену подільність тіл, при конторою всяка як бажано мала їх частина володіє властивостями первинного тіла. У відомій статті «Про нескінченне», спираючись на теорію атомної будови матерії і відкриття квантів енергії, він робить висновок, що «однорідний континуум, який повинен був би допускати необмежене ділення і тим самим реалинзовать нескінченне в малому, насправді ніде не зустрічається»[1].

Бесконнечная подільність континууму являє собою опенрацию, існуючу лише в мисленні. Естенственно тому, що поняття потенційної бесконечнонсти, яке допускає таку можливість, не може претендувати на адекватний опис фізичного пронцесса ділення матерії. При такому процесі об'єкт не тільки кількісно меншає, але і каченственно змінюється. У сучасному природознавстві найдрібнішої частинцей речовини прийнято вважати молекулу. Ділення моленкул дає нові якісні освіти - атоми, конторые істотно відрізняються від молекул. Розкладання атома дає різні елементарні частинки, також канчественно відмінні від атомів. Все це показує, що процес ділення матерії завжди пов'язаний з качественнными її змінами. Поняття ж потенційної беснконечности, як і будь-яке інше математичне понянтие, відволікається, абстрагується від якісних осонбенностей явищ і процесів, розглядає їх в «чиснтом», ідеалізованому вигляді. Цілком зрозуміло тому, що таке нескінченне не може існувати в приронде.

Однак, заперечуючи об'єктивний характер математиченской нескінченності, приписуючи їй роль апріорної ідеї в дусі Канта, він робить поступку ідеалізму. Проте, більш уважний аналіз показує, що для Гильберта нескінченність, як і будь-яке інше ідеальне висловлювання математичної теорії, представляє передусім форму загальності. Одна з плондотворных ідей його теорії доказу складається в тому, щоб звести математику «до совокупнонсти формул, по-перше, таких, яким соответсвуют змістовні повідомлення кінцевого висловлювання, т. е. по суті числової рівності і нерівностей, і, во-втонрых, інших формул, які самі по собі ніякого значення не мають і які є ідеальними обнразами нашої теорії».

Ці ідеальні образи і представляють узагальнення коннечных, приватного висловлювання. Подібно тому як поводження з формулами стає можливим завдяки наявності приватного висловлювання, «оперування з нескінченним може стати надійним тільки через кінцеве». Згідно з финитной установкою Гильберта, в теорії доказу, або метатеории, конторая має об'єктом дослідження формальні систенмы, твердження повинні бути інтуїтивно ясними, а висновки повинні переконувати. Оскільки актуальна бесконнечность не задовольняє цим вимогам, вона не понпользуется в метатеории.

Ідея нескінченності допустинма як основа розумного мислення, якщо не занбывать її зв'язок з кінцевими процесами і об'єктами.

Конструктивний напрям в математиці також не допускає використання абстракції актуальної нескінченності, але на відміну від интуиционизма (Л. Брауера, Г. Вейля), представники цього напряму (А. А. Марков, Н. Л. Шанін і інш.) спираються на суворе математичне поняття - поняття алгоритму. Математичний об'єкт признається ними існуючим лише остільки, оскільки є можливість побудови його в рамках абстракції потенційної здійсненності, т. е. якщо построенние об'єкта здійсненно або практично, або потеннциально.

Висновок.

Історія розвитку науки показує, що теоретичне пізнання починається з виникнення окремих абстракцій, потім відбувається їх об'єднання, або синтез, в рамках наукових систем і теорій.

По мірі поглиблення знань про кількісні відносини і просторові форми дійсного світу зростає і абстрактність самої математики і відповідно цьому все більш віддаленої і опосередкованої стає зв'язок її окремих понять з дійсністю.

Математика, як і всяка інша наука, являє собою не конгломерат різних понять, думок і законів, а єдину, суцільну систему наукових знань, в якій одні поняття і думки залежать від інших. Мабуть, ні в одній іншій науці ці зв'язки і відносини між поняттями, думками і навіть окремими теоріями не можна виявити так чітко і визначено, як в математиці.

Подібно тому як питання про відношення мислення до буття є основним для філософії, питання про відношення математичного знання до реальної дійсності є основним філософським питанням для математики. І одне з головних місць в розумінні відношення математичних теорій до реальності займає поняття абстракції. Адже саме на ній, в певному значенні, будуються всі математичні теорії і висновки.

І подібно ж тому як розв'язання питання відношення математичного знання до реальної дійсності визначає два напрями в філософії: матеріалізм, що розглядає поняття математики як відображення певних властивостей і відносин зовнішнього світу, і ідеалізм, що вважає ці поняття або чистими створеннями думки, або умовними угодами, або доопытными, апріорними ідеями, словом, для ідеалістів математичні поняття - щось первинне, а матеріальний мир - повторний. Так і різні погляди на абстракції різних ідей, наприклад, нескінченності, здійсненності і т. д., породжують різні школи філософії.

Список літератури.

[1] Рузавин Г.И. Про природу математичного знання. (Нариси по методології математики). М., 1968, 302 з.

[2] Киселева Н.А. Математіка і дійсність. М., 1967.

[3] Лукьянец В.С. Філософськиє основи математичного пізнання. Київ, 1980.

[4] Яновская С.А. Методологичеськиє проблеми математики. М., 1972, 280 з.

[5] Рузавин Г.И. Філософськиє проблеми основ математики. М., 1983, 302с.
Проблема особистості в філософії екзистенціалізму
Московський Університет Економіки Статистики і Інформатики Кафедра Філософії Реферат на тему: Проблема особистості в філософії екзистенціалізму Виконав: Пак Е.Д. аспірант кафедри Менеджменту і статистик фірм Москва 2001 р План Введення...3 1. Поняття проблеми особистості в філософії...5 2.

Руссо
ЗМІСТ. 1. Огляд епохи Просвітництва. 2. Світоглядна позиція Руссо. 3. Ідейні попередники. 4. Ідеї моральності і «природного стану» у творчості Руссо. 5. Соціально політична філософія. 6. Педагогічні погляди Руссо. 7. Релігійний світогляд. 8. Ідеї чуттєвості і чесноти у творчості Руссо. 9.

Російська філософія срібного віку
План: 1. Вступне слово - Шалашная В.М., викладач; 2. Філософські ідеї П.Я.Чаадаєва - Зіятдінова З., студентка 112 групи; 3. Свобода і особистість в російській філософії - Амелічкина Е., студентка 113 групи; 4. Ідея всеединства філософського вчення Вл. Соловьева - Демкина А., студентка 112

Російська релігійна філософія XIX - XX століть (Контрольна)
КАЛУСЬКИЙ КОМУНАЛЬНО-БУДІВЕЛЬНИЙ ТЕХНІКУМ МІНБУД РОСІЇ ЗАОЧНЕ ВІДДІЛЕННЯ Контрольна робота № I варіант № 8 по предмету "Філософія" по темі: "Російська релігійна філософія XIX - XX століть." курс 3 група ЗБ31-У шифр Б-96-128 робота вислана в технікум 7 червня 1997 Прізвище

Роль схеми в процесі реалізації державного стандарту (філософія)
Кафедра філософії та соціології СЛІ Старший викладач філософії Захарова Л.І. УДК-006 Сиктивкар 2001р. Роль схеми в процесі реалізації державного стандарту. Державний загальноосвітній стандарт сприяє формуванню системних знань, оскільки нерідко знання бувають систематичними, але не системними,

Рене Декарт і його трактат Правила для керівництва розуму
РЕФЕРАТ ПО ФІЛОСОФІЇ ТЕМА: Рене Декарт і його трактат "Правила для керівництва розуму" ЗМІСТ 1. Вступ: Рене Декарт і його час 2. "Правила для керівництва розуму 3. Метод Декарта 4. Значення "Правил для керівництва розуму" 5. Перелік використаної літератури 1. РЕНЕ ДЕКАРТ

Монотеистическая релігійність
РОЗВИТОК МОНОТЕИСТИЧЕСКОЙ РЕЛІГІЙНОСТІ І ПЕРЕМОГА ХРИСТИЯНСТВА Визначаючи суть еволюції релігійних уявлень, багато які автори говорять, що вона зводиться до еволюції страху. Спочатку, в епоху первіснообщинного устрою, це був страх перед природними силами, а потім, по мірі розвитку класового

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати