Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Комп'ютерне математичне моделювання в економіці - Економіко-математичне моделювання

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Шадринский Державний Педагогічний інститут КОМПЬЮТЕРНОЕ МАТЕМАТИЧНЕ

МОДЕЛЮВАННЯ В ЕКОНОМІЦІ.

Курсова робота.

Виконали:

Студентки 201 гр.

Благодарева Юлія Григорівна

Реутова Олена Олександрівна

Керівник:

Пайвіна Юлія Василівна

Шадринск, 2003 г.Оглавленіе

Запровадження ... ... ... ..3

1. Постановка задачі лінійного програмування ... ... ... 4

2. Симплекс-метод ... 14

3. Контрольні питання і задания...21Заключение...24

Литература...25Введение

В останні роки ми особливо чітко відчули, що немає нічого важливішого для суспільства, ніж здорова економіка. Наукове дослідження основ функціонування економіки - складна і цікава діяльність. Математичні методи в ній грають зростаючу з кожним десятиліттям роль, а реалізація виникають при цьому математичних моделей та отримання практично важливих результатів неможливі без ЕОМ.

ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ лінійного програмування

У цьому параграфі розглядається лише один з розділів - оптимальне планування - і всередині нього одна з моделей, так зване, лінійне програмування. Це пов'язано з відносною простотою і ясністю як змістовної постановки відповідних завдань, так і методів рішення. Про таких цікавих, але більш складних проблемах, як опукле програмування, динамічне програмування, теорія ігор ми лише згадаємо, відсилаючи читачів за подробицями до спеціальної літератури. Відзначимо ще, що термін «програмування» в назві цих розділів теорії оптимального планування вельми умовний, пов'язаний з історичними обставинами і до програмування в загальноприйнятому зараз сенсі прямого відношення не має.

Загальновідомо, наскільки важливо для вирішення економічних завдань планування - як при ринковій, так і при плановій економіці. Зазвичай для вирішення економічної проблеми існує багато способів (стратегій), аж ніяк не рівноцінних за витратами фінансів, людських ресурсів, часу виконання, а також по досягається результатами. Найкращий із способів (по відношенню до обраним критерієм - одному або декільком) називають оптимальним. Наведемо простий приклад такого роду завдань.

Приклад 1. На деякій підприємстві можуть випускати вироби двох видів (наприклад, мотоцикли та велосипеди). В силу обмеженості можливостей складального цеху в ньому можуть збирати за день або 25 мотоциклів (якщо не збирати взагалі велосипеди), або 100 велосипедів (якщо не збирати взагалі мотоцикли), або яку-небудь комбінацію тих і інших, обумовлену прийнятними трудозатратами. Склад може прийняти не більше 70 виробів будь-якого виду на добу. Відомо, що мотоцикл коштує в 2 рази дорожче велосипеда. Потрібно знайти такий план випуску продукції, який забезпечив би підприємству найбільшу виручку.

Такого роду завдання виникають повсякденно у величезній кількості, але в реальності число виробів набагато більше двох, та й додаткових умов теж більше. Вирішити подібну задачу шляхом перебору всіх мислимих варіантів часто неможливо навіть на ЕОМ. У нашому прикладі, однак, в ЕОМ немає необхідності - завдання вирішується дуже легко.

Позначимо число випускаються за день мотоциклів х, велосипедів - у. Нехай Т1-час (в годинах), що йде на виробництво одного мотоцикла, а Т2-одного велосипеда. З умови задачі випливає, що т1 = 4т2. Якщо завод працює цілодобово, то, очевидно, при одночасному випуску обох виробів

або

Але - 24 / Т2-число максимально вироблених велосипедів, рівне 100. Отже, можливості виробництва визначають умова

Ще одна умова - обмежена ємність складу:

Позначимо ціну мотоцикла а1 (руб.), Ціну велосипеда - а2 (руб.). За умовою a1 = 2А2. Загальна ціна денної продукції

Оскільки а2 задана позитивна константа, то найбільшого значення слід домагатися від величини

Отже, враховуючи всі умови задачі, приходимо до її математичної моделі: серед невід'ємних цілочисельних рішень системи лінійних нерівностей

(7.71)

знайти таке, яке відповідає максимуму лінійної функції

f = 2х + у. (7.72)

Найпростіше вирішити це завдання чисто геометрично. Побудуємо на площині (х, у) область, відповідну неравенствам (7.71) і умові незаперечності х і у. Ця область виділена на рис.1 жирною лінією. Всяка її точка задовольняє нерівностям (7.71) і невід'ємності змінних. Пунктирні лінії на малюнку - сімейство прямих, задовольняють рівняння f = 2х + у = с (з різними значеннями константи с). Цілком очевидно, що найбільшому можливому значенню f, спільному з попередніми умовами, відповідає жирна пунктирна лінія, дотична з областю М у точці Р.

25

Про 10 20 30 40 50 60 70 80

Рис. 1. Графічне рішення задачі про оптимальний плані виробництва (до прикладу 1)

Цієї лінії відповідає значення f = 80. Пунктирна лінія правіше хоч і відповідає більшому значенню f, але не має спільних точок з М, лівіше - меншим значенням f. Координати точки Р (10, 60) - шуканий оптимальний план виробництва.

Відзначимо, що нам «пощастило» - рішення (х, у) виявилося цілочисловим. Якби прямі

перетнулися в точці з нецілочисельне координатами, ми б зіткнулися зі значними проблемами. Ще більше їх було б, якби наш завод випускав три і більше видів продукції.

Перш ніж обговорювати виникаючі при цьому математичні проблеми, дамо формулювання кількох класичних задач лінійного програмування в загальному вигляді.

Приклад 2. Транспортна задача. Якийсь продукт (наприклад, сталь) виробляється на m заводах Р1, Р2, ..., Рm, причому щомісячна вироблення становить a1, а2, ..., аmтонн, відповідно. Нехай цю сталь треба доставити на підприємства Q1, Q2, ..., Qk (всього k), причому b1, b2, ..., bk- щомісячна потреба цих підприємств. Нарешті, нехай задана вартість cijперевозкі однієї тонни сталі з заводу Piна підприємство QJ. Природно вважати, що загальне виробництво сталі одно сумарної потреби в ній:

a1 + a2 + ... + am = b1 + b2 + ... + bk (7.73)

Необхідно скласти план перевезень, при якому

1) була б точно задоволена потреба в стали підприємств Q1, Q2, ..., Qk;

2) була б вивезена вся сталь із заводів PI, Р2, ..., Рт;

3) загальна вартість перевезень була б найменшою.

Позначимо через Хijколічество сталі (в тоннах), призначеної до відправки з заводу Рiна підприємство QJ. План перевезень складається з (m ? k) невід'ємних чисел xij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., k) .Таблиця 7.10 Схема перевезень стали

В

В

 В ?

 У Відправлено

 З

...

 З

...

 ... ... ... ... ... ... ...

 З

 x m3 ...

 Привезено

...

Перша умова прийме вигляд

(7.74)

Друга умова прийме вигляд

(7.75)

Раз вартість перевезення однієї тонни з Рi, в QJравна сij, то загальна вартість S всіх перевезень дорівнює

(7.76)

Таким чином, ми приходимо до наступної чисто математичної задачі: дана система m + k лінійних алгебраїчних рівнянь (7.74) і (7.75) з m · k невідомими (зазвичай m · k »m + k) і лінійна функція S. Потрібно серед всіх невід'ємних рішень даної системи знайти таке, при якому функція S досягає найменшого значення (мінімізується).

Практичне значення цього завдання величезне, її вміле рішення в масштабах нашої країни могло б економити щорічно величезні кошти.

Приклад 3. Завдання про дієту. Нехай у лікаря-дієтолога мається n різних продуктів F1, F2, ..., Fn, з яких треба скласти дієту з урахуванням їх поживності. Нехай для нормального харчування людині необхідно m

речовин N1, N2, ..., Nm. Припустимо, що за місяць кожній людині необхідно g1кг речовини N1, g2кг речовини N2, ..., gmкг речовини Nm. Для складання дієти необхідно знати вміст поживних речовин в кожному продукті. Позначимо через aijколічество i-го живильного речовини, що міститься в одному кілограмі j-го продукту. Всю цю інформацію представляють у вигляді, так званої, матриці поживності (табл. 7.11) .Таблиця 7.11 Матриця поживності

 Поживна речовина Продукт

...

...

...

 ... ... ... ... ...

...

Припустимо, що дієтолог вже вибрав дієту, тобто визначив, що людина повинна за місяць споживати h1кг продукту F1, ..., hnкг продукту Fn. Повна кількість поживної речовини N1будет

За умовою потрібно, щоб його, принаймні, вистачило

(7.77)

Точно те саме і для інших речовин. В цілому

 (I = 1, 2, ..., m).

(7.78)

Ці умови визначають наявність мінімуму необхідних поживних речовин. Дієта, для якої виконані умови (7.78) - допустима дієта. Припустимо, що з усіх допустимих дієт повинна бути обрана найдешевша. Нехай pi- ціна 1 кг продукту Fi. Повна вартість дієти, очевидно,

(7.79)

Таким чином, ми прийшли до задачі: знайти невід'ємне рішення h1, ..., hnсістеми нерівностей (7.78), що мінімізує вираз (7.79).

У прикладах, наведених вище, є щось спільне. Кожен з них вимагає знаходження найбільш вигідного варіанту в певній економічній ситуації. З чисто математичної сторони в кожній задачі потрібно знайти значення декількох невідомих так, щоб

1) всі ці значення були невід'ємні;

2) задовольняли системі лінійних рівнянь або лінійних нерівностей;

3) при цих значеннях деяка лінійна функція мала б мінімум (або максимум). Таким чином, лінійне програмування - це математична дисципліна, що вивчає методи знаходження екстремального значення лінійної функції декількох змінних за умови, що останні задовольняють кінцевому числу лінійних рівнянь і нерівностей. Запишемо це за допомогою формул: дана система лінійних рівнянь і нерівностей.

Запишемо це за допомогою формул: дана система лінійних рівнянь і нерівностей

(7.80)

і лінійна функція

(7.81)

Потрібно знайти таке невід'ємне рішення

(7.82)

системи (7.80), щоб функція / приймала найменше (або найбільше) значення.

Умови (7.80) називають обмеженнями даного завдання, а функцію f- цільовою функцією (або лінійною формою). У наведених вище прикладах обмеження мали вигляд не рівнянь, а нерівностей. Зауважимо, що обмеження у вигляді нерівностей, завжди можна звести до системи у вигляді рівності (способом введення додаткових невідомих).

Так, для нерівності

(7.83)

вводячи додатковий невідоме хn + 1, отримуємо

(7.84)

Зажадавши його невід'ємності поряд з іншими невідомими, отримаємо, що умова хn + 1? 0 перетворює (7.84) в (7.83). Ввівши за окремим додатковому невідомому для кожного з нерівностей, отримаємо систему рівнянь, рівносильну вихідної системі нерівностей.

Приклад. Дана система нерівностей

Зведемо її до системи рівнянь. Отримаємо

Після оптимізації значеннями додаткових невідомих слід нехтувати.

СІМПЛЕКС-МЕТОД

Для вирішення ряду завдань лінійного програмування існують спеціальні методи. Є, проте, загальний метод вирішення всіх таких завдань. Він носить назву симплекс-методу і складається з алгоритму відшукання якого-небудь довільного допустимого рішення і алгоритму послідовного переходу від цього рішення до нового допустимому рішенню, для якого функція f змінюється в потрібному напрямку (для отримання оптимального рішення).

Нехай система обмежень складається лише з рівнянь

(7.85)

і потрібно відшукати мінімум лінійної функції (7.81). Для відшукання довільного опорного рішення наведемо (7.85) до виду, в якому деякі r невідомих виражені через інші, а вільні члени невід'ємні (як це зробити - обговоримо пізніше):

(7.86)

Невідомі х1, х2, ..., хr- базисні невідомі, набір {х1, х2, ..., хr} називається базисом, а інші невідомі {xr + 1, хr + 2, ..., хn} - вільні. Підставляючи (7.86) в (7.81), висловимо функцію f через вільні невідомі:

(7.87)

Покладемо всі вільні невідомі рівними нулю:

(7.88)

Знайдемо з системи (7.86) значення базисних невідомих

(7.89)

Отримане таким чином допустиме рішення

відповідає базису x1, x2, ..., хr, тобто є базисним рішенням. Припустимо для визначеності, що ми шукаємо мінімум f. Тепер потрібно відданого базису перейти до іншого з таким розрахунком, щоб значення лінійної функції f при цьому зменшилася. Простежимо ідею симплекс-методу на прикладі.

Приклад 1. Дана система обмежень

Потрібно мінімізувати лінійну функцію f = Х2 х3. В якості вільних змінних виберемо х2і x3. Тоді дана система обмежень перетвориться до виду

Таким чином, базисне рішення (3, О, О, 1). Так як лінійна функція вже записана у вільних невідомих, то її значення для даного базисного рішення f = 0. Для зменшення цього значення можна зменшити х2ілі збільшити х3. Але х2в даному базисі дорівнює нулю і тому його зменшувати не можна. Спробуємо збільшити x3. Перше з рівнянь має обмеження х3 = 1 (з умови х1? 0), друге - не дає обмежень. Далі, беремо х3 = 1, х2не міняємо і отримуємо нове допустиме рішення (О, О, 1, 3), для якого f = -1 - зменшилася. Знайдемо базис, якому відповідає це рішення (він складається, очевидно, з змінних x3, х4). Від попередньої системи обмежень переходимо до нової:

а форма в нових вільних змінних має вигляд

Тепер спробуємо повторити попередню процедуру. Для зменшення f треба зменшити або x1, або х2, але це неможливо, так як в цьому базисі

x1 = О, х2 = 0.

Таким чином, дане базисне рішення є оптимальним, і min f = -1 при x1 = О, х2 = 0, хз = 1, x4 = 3.

Наведемо алгоритм симплекс-методу в загальному вигляді. Зазвичай всі обчислення за симплекс-методом зводять в стандартні таблиці.

Запишемо систему обмежень у вигляді

(7.90)

а функцію f

(7.91)

Тоді черговий крок симплекс-процесу складатиметься в переході від старого базису до нового таким чином, щоб значення лінійної функції, по крайней мере, не збільшувалася.

Дані про коефіцієнти рівнянь і лінійної функції занесемо в табл. 7.12.Табліца 7.12

Симплекс-таблиця

 Базис Св.чл.

...

...

...

...

 1 ... 0 ... 0

...

...

 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

 0 ... 1 ... 0

...

...

 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

 0 ... 0 ... 1

...

...

 0 ... 0 ... 0

...

...

Сформулюємо алгоритм симплекс-методу стосовно до даних, внесених до табл. 7.12.

1. З'ясувати, чи є в останньому рядку таблиці позитивні числа (?0не береться до уваги). Якщо всі числа негативні, то процес закінчений; базисне рішення (b1, b2, ..., br, 0, ..., 0) є оптимальним; відповідне значення цільової функції f = ?0. Якщо в останньому рядку є позитивні числа, перейти до п. 2.

2. Переглянути стовпець, відповідний позитивному числу з останнього рядка, і з'ясувати, чи є в ньому позитивні числа. Якщо ні в одному з таких стовпців позитивних чисел немає, то оптимального рішення не існує. Якщо знайдено стовпець, що містить хоча б один позитивний елемент (якщо таких стовпців кілька, взяти будь-який з них), помітити цей стовпець і перейти до п. 3.

3. Розділити вільні члени на відповідні позитивні числа з виділеного стовпця і вибрати найменше приватне. Відзначити рядок таблиці, відповідну найменшому приватного. Виділити дозволяє елемент, що стоїть на перетині зазначених рядка і стовпчика. Перейти до п. 4.

4. Розділити елементи виділеної рядки вихідної таблиці на дозволяє елемент (на місці дозволяє елемента з'явиться одиниця). Отримана таким чином новий рядок пишеться на місці колишньої в новій таблиці. Перейти до п. 5.

5. Кожний наступний рядок нової таблиці утворюється складанням відповідного рядка вихідної таблиці і рядки, записаної в п. 4, яка попередньо множиться на таке число, щоб в клітинах виділеного стовпця при додаванні з'явилися нулі. На цьому процес заповнення нової таблиці закінчується, і відбувається перехід до п. 1.

Таким чином, використовуючи алгоритм симплекс-методу стосовно симплекс-таблиці, ми можемо знайти оптимальне рішення або показати, що його не існує. Результативність комплекс-методу гарантується наступною теоремою (наведемо її без доведення): якщо існує оптимальне рішення задачі лінійного програмування, то існує і базисне оптимальне рішення. Це рішення може бути отримано через кінцеве число кроків симплекс-методом, причому починати можна з будь-якого початкового базису.

Раніше ми припускали, що якщо система обмежень задана у вигляді (7.85), то перед першим кроком вона вже приведена до виду (7.86), де bi?0 (I = 1,2, ..., r). Остання умова необхідно для використання симплекс-методу. Розглянемо питання про відшукання початкового базису.

Один з методів його отримання - метод симплексного перетворення.

Насамперед перевіряємо, чи є серед вільних членів негативні. Якщо вільні члени не є числами невід'ємними, то добитися їх неотрицательности можна кількома способами:

1) помножити рівняння, що містять негативні вільні члени, на -1;

2) знайти серед рівнянь, що містять негативні вільні члени, рівняння з максимальним за абсолютною величиною негативним вільним членом і потім скласти це рівняння з усіма іншими, що містять негативні вільні члени, попередньо помноживши його на -1.

Потім, використовуючи дії, аналогічні зазначеним у пп. 3-5 алгоритму симплекс-методу, здійснюємо перетворення вихідної таблиці до тих пір, поки не отримаємо невід'ємне базисне рішення.

Приклад 2. Знайти вихідне невід'ємне базисне рішення системи обмежень.

Так як умова невід'ємності вільних членів дотримується, приступимо до перетворень вихідної системи, записуючи результати в таблицю. Згідно з алгоритмом переглядаємо перший стовпець. У цьому стовпці є єдиний позитивний елемент а31. Ділимо на 8,654 всі коефіцієнти і вільний член третього рядка, після чого множимо кожен коефіцієнт на 8,704 і складаємо з відповідними коефіцієнтами другого рядка. Перший рядок перетворень не вимагає, так як коефіцієнт при невідомому x1равен нулю. В результаті отримуємо

0,00000 -5,87100 6,54300 -9,99600 7,61800 0,86400

0,00000 0,68512 17,46384 8,57990 -3,19062 9,79929

1,00000 -0,77756 0,97677 0,89808 0,62769 1,11584

Продовжуючи переглядати другий стовпець і здійснюючи аналогічні перетворення, маємо

0,00000 0,00000 156,19554 63,52761 -19,72328 84,83688

0,00000 1,00000 25,49013 12,52318 -4,65701 14,30299

1,00000 0,00000 20,79687 10,63560 -2,99341 12,24727

І, нарешті, на третьому кроці знаходимо вихідний базис. Його утворюють невідомі x1, х2, х3. Невідомі х4, х5являются вільними:

0,00000 0,00000 1,00000 0,40672 -0,12627 0,54315

0,00000 1,00000 0,00000 2,15588 -1,43829 0,45815

1,00000 0,00000 0,00000 2,17713 -0,36733 0,95155Контрольние питання і завдання

1. Наведіть приклади задач, що приводять до загальної постановці завдання лінійного програмування.

2. Сформулюйте задачу лінійного програмування.

3. Скільки рішень може мати задача лінійного програмування?

4. З яких причин може бути відсутнім рішення задачі лінійного програмування?

5. Яким чином нерівності з системи обмежень можна замінити рівняннями? Як задачу відшукання максимуму лінійної форми звести до задачі відшукання мінімуму?

6. Чи необхідно враховувати при запису рішення додаткові невідомі, що вводяться при переході від нерівностей до рівнянь?

7. Як знайти початковий базис?

8. Сформулюйте алгоритм симплекс-методу.

9. Сформулюйте теорему про кінцівку алгоритму симплекс-методу.

10. Знайдіть максимум функції z = 4xl + 3х2 (xi? 0) за умови

x1-x2? -2,

5x1 + 3x2?15,

x2? 2,5,

2x1-x2? -2,

x1-2x2? 2.

11. Для відгодівлі великої рогатої худоби використовується два види кормів b1і b2, в які входять живильні речовини а1, А2, а3і a4. Зміст кількостей одиниць поживних речовин в одному кілограмі кожного корму, вартість одного кілограма корму і норма вмісту поживних речовин в денному раціоні тваринного представлені в таблиці. Складіть раціон за умови мінімальної вартості.

 Поживні речовини Вид кормів Норма вмісту поживної речовини

 B 1

 B 2

 A 3 січня 24 квітня

 A 1 лютого 18 лютого

 A 3 квітня 0 20

 A 4 0 6 січня

 Вартість 1 кг корму, руб. 1 лютому

12. Трикотажна фабрика використовує для виробництва светрів і кофтинок чисту шерсть, силон і нітрон, запаси яких становлять, відповідно, 800, 400 і 300 кг.

 Вид сировини в пряжі Витрати пряжі на 10 шт.,

 Светр Кофточка

 Шерсть 2 квітня

 Силон 2 I

 Нітрон 1 січня

 Прибуток, руб. 5 червня

Кількість пряжі (кг), необхідне для виготовлення 10 виробів, а також прибуток, одержуваний від їх реалізації, наведені в таблиці. Складіть план виробництва виробів, що забезпечує отримання максимального прибутку.

13. При підгодівлі посівів необхідно внести на 1 га грунту не менше 8 одиниць хімічної речовини А, не менше 21 одиниць хімічної речовини В і не менше 16 одиниць хімічної речовини С. Фермер закуповує комбіновані добрива двох видів I і П. У таблиці зазначено вміст кількості одиниць хімічної речовини в 1 кг кожного виду добрив і ціна 1 кг добрив. Визначте потребу фермера в добривах I і II виду на 1 га посівної площі при мінімальних витратах на їх придбання.

 Хімічні речовини Вміст хімічних речовин в I кг добрива

 I II

 А 1 травня

 У 12 березня

 З 4 квітня

 Ціна 1 кг добрива, руб 5 Лютий

Висновок.

При вирішенні задачі лінійного програмування доцільно використання комп'ютера. У цьому випадку можна скласти програму, вирішальну завдання. Враховуючи, що програмування досить трудомістким, можна порадити скористатися для оформлення результатів розрахунків табличним процесором. Крім того, якщо вийшла модель задачі занадто громіздка, можна скористатися математичними пакетами, які дозволяють отримати рішення задачі лінійного програмування. І, нарешті, ще один можливий варіант застосування комп'ютерів - комбінування всіх вищевказаних способів.

Література:

А.В.Могілев, Н.І.Пак, Е.К.Хеннер, Інформатика,

М., Академія, 2003.-816 с.
Ринок цінних паперів
Міністерство освіти Російської Федерації Іркутський державний університет Міжнародний факультет Кафедра соціально-економічних дисциплін Курсова робота з дисципліни «Макроекономіка» на тему: «Ринок цінних паперів і його роль в сучасній ринковій економіці» Виконала: Студентка 1 курсу, група

Томас Августин Арн
Юрій Бочаров Його ім'я - Томас Августин Арн (Arne). У Великобританії його шанують як видатного діяча музичної культури XVIII століття. У країнах же континентальної Європи (і Росія тут винятком не є) про Арне майже нічого не відомо, як, втім, взагалі мало що відомо про англійській музиці того

Раціональні методики пошуку оптимальних шляхів мережевих графіків і їх автоматизація на ЕОМ
Реферат Курсовий проект 43 с., 5 рис., 6 блок-схем, 1 таблиця, 1 джерело. СЕТЕВОЙ ГРАФІК, АНАЛІЗ ОПТЕМАЛЬНОСТІ мережевий графік, раціональної методики ПОШУКУ ОСОБЛИВИХ ШЛЯХІВ мережевий графік, АВТОМАТИЗАЦІЯ АНАЛІЗУ мережевий графік НА ЕОМ. Напрямок роботи - вивчення математичних і алгоритмічних

Розрахунок податків і оптимізація оподаткування
Міністерство загальної та професійної освіти РФ Уфимський Державний Авіаційний Технічний Університет Факультет економіки, менеджменту і фінансів Кафедра фінансів і економічного аналізу Курсова робота З ДИСЦИПЛІНИ "ПОДАТКИ" НА ТЕМУ: Розрахунок податків і оптимізація оподаткування підприємства.

Проектування і коригування організаційної структури підприємства
Міністерство культури і освіти РФ Санкт-петербурзький державний технічний університет. Кафедра «ІСЕМ» Курсова проект на тему Проектування і коригування організаційної структури підприємства Викладач Кукушкін .А. В. Студент Кочарін А. Н., гр. 20710 Санкт-Петербург 2000 Введення Метою даної наукової

Історія новорічної ялинки та деяких святкових обрядів
Різноманітні ритуали, що об'єднуються ідеєю «відродження часу», відомі з давніх часів. Однак, прикрашена блискучими іграшками, мішурою, плодами, солодощами, освітлена свічками або кольоровими електричними лампочками новорічна ялинка «народилася в лісі» людської культури порівняно недавно.

Оцінка та аналіз ризиків інвестиційних проектів
Російський державний Університет нафти і газу імені И.М.Губкина Кафедра економіки нафтової і газової промисловості Курсова робота на тему: Оцінка та аналіз ризиків інвестиційних проектів у нафтогазовій промисловості Перевірив: Захаров К.В. Москва -2002.г Зміст 1.Проектние ризики: загальні

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати