Головна
Банківська справа  |  БЖД  |  Біографії  |  Біологія  |  Біохімія  |  Ботаніка та с/г  |  Будівництво  |  Військова кафедра  |  Географія  |  Геологія  |  Екологія  |  Економіка  |  Етика  |  Журналістика  |  Історія техніки  |  Історія  |  Комунікації  |  Кулінарія  |  Культурологія  |  Література  |  Маркетинг  |  Математика  |  Медицина  |  Менеджмент  |  Мистецтво  |  Моделювання  |  Музика  |  Наука і техніка  |  Педагогіка  |  Підприємництво  |  Політекономія  |  Промисловість  |  Психологія, педагогіка  |  Психологія  |  Радіоелектроніка  |  Реклама  |  Релігія  |  Різне  |  Сексологія  |  Соціологія  |  Спорт  |  Технологія  |  Транспорт  |  Фізика  |  Філософія  |  Фінанси  |  Фінансові науки  |  Хімія

Розрахунок тарифних ставок у страхуванні - Страхування

РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНИВЕСИТЕТ

(МАТИ ім. К.Е. ЦІОЛКОВСЬКОГО)

КАФЕДРА "ФІНАНСОВИЙ МЕНЕДЖМЕНТ"

Реферат з дисципліни

"Страхова справа"

Розрахунок тарифних ставок у страхуванні.

ВИКОНАВ:

Студент

Групи 6МФ-III-55

Скоркін Я. Л.

МОСКВА.

2002 навчальний рік

Зміст.

1. Введення.

1.1. Структура тарифної ставки.

1.2. Деякі поняття теорії ймовірностей, що застосовуються в страхуванні.

1.3. Теоретичні аспекти визначення тарифної ставки.

2. Розрахунок тарифних ставок у страхуванні життя.

2.1. Таблиці смертності.

2.2. Операції на вероятностями в страхуванні життя.

2.3. Комутаційні функції і страхові ануїтети.

2.4. Страхування на дожиття.

2.5. Страхування життя.

2.6. Пенсійне страхування.

2.7. Розрахунок страхових резервів.

3. Розрахунок тарифних ставок у ризикових видах страхування.

3.1. Поняття тарифікаційної системи.

3.2. Теоретичні аспекти визначення тарифних ставок.

3.3. Практичний підхід до визначення нетто-ставки.

ВСТУП.

Визначення тарифної ставки можна зрозуміти після того, як будуть зрозумілі схема роботи страхового ринку. Так страховик і страхувальник укладають між собою угоду на те, що страхова компанія, надасть певну послугу своєму клієнтові при настанні страхового випадку, зазначеного в договорі. Будь-яка послуга має свою вартість або ціну, яка виражається в страховому внеску (тарифі, премії), яку страхувальник сплачує страховику. Страхова премія встановлюється при підписанні договору і залишається незмінною протягом строку його дії.

Реальна вартість страхової послуги полягає в тому, що якщо настав страховий випадок, то страховик, наприклад, оплачує витрати страхувальника, відшкодовуючи йому тим самим збиток, понесений ним у зв'язку з подією. Необхідно визначити, як страховик визначає для себе дану ціну, чим він керується в процесі її встановлення.

По-перше, величина премії повинна бути достатньою, щоб:

- Відповісти за договором страхування в розмірі пропонованих претензій;

- Створити страхові резерви;

- Покрити витрати страхової компанії;

- Забезпечити певний розмір прибутку.

По-друге, ціна страхової послуги, як і будь-яка ринкова ціна, коливається під впливом попиту та пропозиції. Вона варіюється в певному інтервалі, нижня межа якого визначається рівністю між надходженнями платежів від страхувальників і виплатами страхового відшкодування (страхових сум) за договорами плюс витрати страхової компанії (Пн = А + З). Зрозуміло, що при такому рівні ціни, страховик не отримай ні якої прибутку. Верхня межа ціни страхової послуги визначається розміром попиту на неї і величиною банківського відсотка (Пв = F (Ds; i). Тоді Пн <= ПX. <= Пв.Вліяніе попиту підтверджується тим, що вартість даної страхової послуги визначається потребою в ній. Якщо попит високий, то зростають ціни на страхові послуги, внаслідок цього з'являється безліч страхових фірм конкурентів, після чого страхові тарифи приходять до певного рівня (вирівнюються).

Динаміка банківського відсотка в порівнянні зі страховими тарифами визначають рішення клієнта з приводу того, як йому протистояти своїм ризикам. Тобто, він визначає, що для нього краще: взяти позику в банку або звернутися до страхової компанії. Крім цього, кошти клієнтів, акумульовані в страховій компанії, інвестуються в різні види діяльності, у тому числі кладуться на депозит в комерційні банки, надаються у вигляді кредитів, вкладаються в нерухомість і цінні папери і т.д. В даному випадку страхова компанія може конкурувати з банком, в процесі чого вона порівнює свої страхові тарифи зі ставками в комерційному банку, намагаючись вплинути на вибір клієнта. Інший варіант - доходи від інвестиційної діяльності покривають витрати страхової компанії і йдуть на формування прибутку, тим самим, дозволяючи страховикам знижувати ціни страхових послуг.

Ціна страхової послуги визначається також деякими специфічними факторами, такими як: стан справ страхової компанії, величина і структура її страхового портфеля, управлінські витрати, доходи, які страховик отримує від інвестицій тимчасово вільних коштів і т.д.

Страхова послуга хоча і специфічний, але все ж товар, а, отже, вона має певний життєвий цикл, який, у свою чергу, впливає на величину вартості страхової послуги. Життєвий цикл страхової послуги має вигляд параболи, який визначає тенденцію зміни розміру страхового тарифу в часі.

Ціна страхової послуги на мові страхування називається страховою премією, і має певну структуру, елементи якої повинні забезпечувати фінансування страховика.

Структура страхової премії.

 Елемент премії Призначення

 Нетто премія за ризиком + Страхова надбавка

 Е 1 (X) + Н (х) Покриття збитку при настанні страхового випадку і формування страхових резервів

 + Надбавка на покриття витрат З (X) Оплата витрат страховика.

 + Надбавка на прибуток V Формування прибутку

 Разом: Брутто-премія (страховий тариф) П (X) Все вищезазначене.

Нетто-премія - найнеобхідніша і невизначена частина страхового тарифу. Вона необхідна для того, щоб вчасно і сповна розрахуватися з клієнтом, тобто відшкодувати його втрати після настання страхового випадку. Однак, в момент калькуляції ціни величина збитку невизначена. На основі даних про ущербах за минулий період розраховується частота настання страхових випадків, до них призвели, і їх вірогідність (q), після чого визначається середня величина збитку і їх розподіл. Іншими словами, згідно з договором страхування страхувальник сплачує страховику певну суму (страхову премію), після чого він має право отримати страхову суму S після настання страхової події. Так як ймовірність страхового випадку визначена, то розмір страхової премії визначається як: П = S * q (принцип фінансової еквівалентності). Нетто-премія - аванс за надання послуги, щодо відшкодування шкоди, мінімальна оплата за ризик, з ним пов'язаний.

Техніка розрахунку страхових тарифів досконала з математичної точки зору, проте, вона не підтверджується при її практичному застосуванні. Навіть при дуже хорошій інформації про ущербах, реальні збитки перевищують його реальну величину в 50% випадків. Для того щоб гарантувати клієнтам страховий захист, страховим організаціям доводиться перестраховуватися, і до власне нетто-премій за ризиком додавати страхову надбавку. Вона необхідна, щоб фінансувати випадкові відхилення реального збитку над очікуваними показниками. Крім того, вона страхує збитки, пов'язані з інформаційними помилками.

Решта складових тарифної ставки ставляться до економіки страхового підприємства, їх визначення - це завдання економістів і бухгалтерів. Їх розрахунки схожі з подібними розрахунками в інших організаціях і не мають особливих відмінностей. Інша справа йде з розрахунком нетто-премії, обчислення якої можна віднести до страхової математики. Для страховика дана задача є найважливішою, найскладнішою і найвідповідальнішою. Головна проблема полягає в невизначеності збитку на момент калькуляції тарифу. Визначення-нетто ставки нерозривно пов'язане з усією діяльністю страхової компанії, вона впливає на витрати, на прибуток і на рівень її розвитку.

Розрахунок нетто-премії полягає у встановленні закономірності для калькулируемого ризику. У загальному випадку це імовірнісний розподіл загального збитку від ризику на калькульованих період. Крім того, встановлюються деякі параметри, що характеризують дане розподіл, такі як середня величина, розсіювання і т.д.

S1, S2, ..., Sn. - Страхові суми.

q1, q2, ..., qn - ймовірності збитків.

P1, P2, ..., Pn - премії від страхувальників.

X1, X2, ..., Xn - збитки.

P1, p2, ..., pn - ймовірність того, що страхова подія не наступить, і не призведе до витрат на покриття збитків.

Для визначення ймовірностей збитків необхідна статистична інформація за попередні періоди по подібним страхових випадках. Чим більше аналізований період, тобто чим довше історія страхових подій, а, отже, чим більше сукупність досліджуваних даних, тим точніше визначаються ймовірності та встановлюються закономірності ризиків.

Також важливо визначити фактори ризику, такі як число збитків і витрати на їх ліквідацію. Якщо визначені найбільш важливі фактори, що дають пояснення закономірності ризику, то вони являють собою тарифні чинники. Однорідні фактори об'єднуються в групу тарифних факторів. Загалом, при формуванні вихідної бази для тарифних розрахунків використовуються три види інформації: дані індивідуальних збитків за одиничними ризикам, збитки за тарифними групам, і дані по всій ризикової сукупності.

В теорії ризику існують налагоджені методи розрахунку страхової премії, які покладаються на методи теорії ймовірностей і статистики. Отже, страхова премія, що представляє собою суму нетто-премії і страхової надбавки, виражається наступною формулою: П (X) = Е1 (X) + Н (X).

Страхова сума залежить від величини збитку, тому S = f (x). Нетто-премія залежить як від збитків, так і від величини страхової суми (Е = f1 (s) = f2 (x) = Е (Х) = Е (S)). Дані залежності визначаються ймовірностями настання страхових подій, а, отже, потрібно знати і розуміти характеристики випадкових величин. Нетто-премія є випадковою величиною, хоча і залежить від цілком певної суми страхової суми. Для її розрахунку, необхідно використовувати формули і застосовувати закономірності з теорії ймовірностей.

Характеристики випадкової величини.

 Формула Опис

 Математичне сподівання - величина показує таке значення Х з усього безлічі, настання якого найбільш ймовірно. Прбліженно дорівнює середньому значенню. У страхуванні це найбільш ймовірна вартість сукупної нетто-премії.

 Дисперсія - величина, що показує найбільш ймовірне значення з безлічі відхилень середньої величини від її математичного очікування. Вона характеризує розсіювання варіаційного розподілу. У страхуванні дисперсія показує розкид у значенні збитків, а, отже, нетто-премій і страхових сум ..

 Середнє квадратичне відхилення - величина по суті тотожна дисперсії (виражається в одиницях випадкової величини).

 Коефіцієнт варіації - показує ступінь відхилення від середньої величини в%. Чим він більший, тим більше розсіювання.

 ; n-число страхових подій. Середня арифметична. Застосуються для розрахунку середнього значення.

Дані формули застосовуються в страхуванні в різних варіантах, так як методи розрахунку нетто-премії відрізняються один від іншого, залежно від виду страхування. Найбільш часто використовується перший формула, як математична основа нетто-премії. Страхова надбавка (Н (х)), що додається до нетто-премії пропорційно моментам розподілу ймовірностей страхових подій, одним із таких способів:

1. Виходячи з принципу очікуваної оцінки - Н (Х) = а * Е1 (х), (а> 0). Тут надбавка змінюється прямо пропорційно математичному очікуванню страхового випадку.

2. Виходячи з принципу стандартного відхилення: Н (х) = b * (x), (b> 0) - страхова надбавка прямо пропорційна відхиленню від середнього значення збитку.

3. За коефіцієнтом варіації: Н (х) = с * Var (x), (с> 0), тобто страхова надбавка безпосередньо залежить від стандартного відхилення, і змінюється обернено пропорційно від його середнього значення.

(A, b, c) - числа, що показують ступінь пропорційності і рівень страхової надбавки.

Нетто-премію можна уявити не тільки як математичне очікування величини збитків, але і як добуток середнього збитку на значення ймовірності його появи в різних часових періодах: Е1 (Х) =, де t - тимчасові періоди. Дана формула має сенс, якщо страхові події незалежні, тобто наступ одного з них не впливає на появу іншого. В принципі, ця формула також висловлює принцип фінансової еквівалентності: нетто-премія дорівнює добутку середньої величини збитку (так для себе її оцінює страхувальник) заздалегідь відомої ймовірності його настання (визначеної на підставі минулого досвіду).

Для визначення страхової премії необхідно знати, що страхова премія сплачується під час укладання договору страхування, а страхова сума - через деякий час (якщо станеться страховий випадок). Тому у страховиків є і запас часу, і можливість отримати всю премію цілком, не заплативши нічого страхувальнику. Використовуючи час, страховик може інвестувати кошти, отримуючи від цього додатковий дохід. А якщо не станеться страховий випадок, то сума страхових премій за даними договорами страхування залишається у страховика. У цих двох пунктах і полягають основні доходи страхової компанії.

Страховий бізнес володіє значною часткою авантюризму, в ньому невід'ємно присутній елемент випадковості. Тобто, як страховик, так і страхувальник отримують свої вигоди в залежності від фортуни. Якщо розглянути формування ціни страхової послуги з точки зору витрат, то їх визначення полягає в калькуляції збитку, до якого призведе страхова подія. Його визначають як страховик, так і страхувальник, домовляючись про виплату певної страхової суми. Однак, у страхуванні не можна визначити чи доведеться нести ці витрати страховика, як компанії, що надає послуги. В даному випадку складно знайти рівноважну ціну і визначити внески страхувальника. Єдиним шляхом у її визначенні є аналіз минулих даних, при цьому досліджуваний період повинен бути як можна довше, а сукупність даних однорідніше.

Величина виплат за договором страхування є випадковою величиною, а, отже, сума виплат за всіма договорами, також величина випадкова. Сума виплат обмежена страховим фондом, який формується з страхових премій. Тому сукупна страхова сума варіюється в деякому інтервалі, верхня межа якого дорівнює сумі всіх виплат за всіма договорами. Для забезпечення 100% -ної гарантії того, що сума нетто-премій перевищить суму виплат, страховик повинен створити страховий фонд у розмірі сукупної страхової суми. У цьому випадку страхова премія буде дорівнює страховій сумі. В результаті страхувальник, з урахуванням навантаження, повинен буде заплатити більше, ніж отримає при настанні страхового випадку. Такі умови страхувальник не прийме, а, отже, страховику доводиться ризикувати так, що його ризик визначається ймовірністю всіх страхових подій від яких він страхує. Для себе страховик визначає розмір свого ризику, що математично можна виразити таким нерівністю: або, де y - задана страховиком гарантія безпеки, Si - виплата, Pi - премія, b - верхня межа страхової гарантії. Сутність даного нерівності така: вірогідність того, що сума всіх виплат перевищить суму всіх внесків страхувальників, повинна бути визначена страховиком заздалегідь. Це робиться для визначення нетто-премії.

Згідно з теоремою О.М.Ляпунова (якщо Х - випадкова величина, що дорівнює сумі великого числа незалежних випадкових величин, вплив кожної з яких на всю суму мізерно мало, то Х має розподіл близьке до нормального) страхові події та страхові виплати розподілені по нормальному закону. Якщо відомий закон розподілу випадкової величини, то наведене вище нерівність легко вирішити. По-перше, ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х прийме значення, що належить інтервалу (a, b), дорівнює визначеному інтегралу від щільності розподілу, взятому в межах від a до b (. По-друге, - функція нормального розподілу, де a - матемпатіческое сподівання випадкової величини, а - її середнє квадратичне відхилення. І по-третє,, де Ф - функція Лапласа. Сума нетто-премій є математичним очікуванням від суми страхових виплат, а ймовірність відхилення повинна бути задана страховиком заздалегідь, то наведене вище нерівність тотожне наведеному вище. Підставляючи відомі значення в дане рівняння можна знайти сумарну величину нетто-премії.

Виходячи з принципу фінансової еквівалентності, очікувану величину нетто-премії можна виразити як добуток страхової суми і нетто-ставки, яка виражається у відсотках (Е (X) = S (X) * T (X) / 100). Де Т (Х) - нетто ставка, яка залежить як від ймовірності настання страхового випадку, так і від тяжкості страхового випадку (величини збитку). Страхову суму визначає сам страхувальник. Верхня її межа - максимальна вартість застрахованого майна.

Нетто-премія є частиною брутто-премії (П (Х)), яку також можна виразити у відсотках до загальної величини виплат: П (Х) = S (X) * L (X) / 100, де L (X) - брутто ставка в%. При цьому, L (X) = Т (Х) * f, де f - частка навантаження, виражена у відсотках. Частка навантаження розраховується за даними бухгалтерського обліку страховика:, де R - витрати, за винятком комісійних. - Сума зібраних брутто-премій по даному виду страхування, K (%) - відсоток комісійних, одержуваних посередниками по даному виду страхування, V- частка прибутку в брутто-ставці, яку страховик хоче отримати по даному виду страхування. Виходячи з наведених вище формул, розрахунок брутто-ставки можна представити наступним виразом: П (Х) = Т (Х) / (1-f) або П (Х) = Т (Х) / 100-f%.

Вище були описані загальні принципи формування нетто-ставок, які є основою приватних розрахунків, що залежать від виду страхування. Кожен з видів має свої особливості, пов'язані з характером страхуються подій і об'єктів. Деякі з цих особливостей істотно впливають на розрахунок нетто-ставок.

Види страхування точки зору особливостей розрахунку нетто-ставок можна розділити на 2 категорії:

1. Страхування життя. Тут формування резерву внесків і розрахунки тарифних ставок проводяться за допомогою актуарних методів, на основі таблиць смертності і норм прибутковості з інвестицій тимчасово вільних резервів із страхування життя.

2. Ризикові види страхування. Це ті види страхової діяльності, що відрізняються від страхування життя. Вони не передбачають зобов'язань страховика з виплати страхової суми при закінченні терміну дії договору страхування, і не пов'язані з накопиченням страхової суми протягом терміну дії договору страхування. У ризикових видах страхування не використовується принцип капіталізації і, отже, при розрахунку нетто-ставок не використовуються методи фінансових обчислень (дисконтування і компаундінг). Дані види страхової діяльності можна умовно розділити на два види:

- Масові ризикові види страхування. Вони охоплюють значне число суб'єктів страхування і страхових ризиків, що характеризуються однорідність об'єктів страхування і незначним розкидом у розмірах страхових сум. Наявність великої кількості застрахованих об'єктів передбачає, що за вказаними ризикам існує достатній обсяг статистичних даних, на основі яких можна описати всю сукупність ризиків за допомогою їх числових характеристик, таких як середнє значення і дисперсія. При цьому, враховуючи однорідність застрахованих об'єктів, можна стверджувати, що середні значення будуть характеризувати всю сукупність з достатньою точністю.

- Страхування рідкісних подій і великих ризиків. У даному випадку мова йде про ризики, пов'язані з низькою частотою настання страхової події і високою вартістю збитку. Число об'єктів, яке можна застрахувати, обмежена, а розкид страхових сум становить значну величину. Для страхування рідкісних подій і великих ризиків існують деякі особливості розрахунку нетто-ставок, зумовлені специфікою страхуються ризиків та об'єктів. По-перше, при розрахунку тарифів необхідно спиратися на дані за кілька років (чим більше термін тим точніше розрахунок). Визначена таким чином премія повинна підтримувати фінансову рівновагу страховика в межах не одного року, а досить тривалого періоду. По-друге, при розрахунках нетто-премій необхідно використовувати реальну вартість ризику, а не середню, на відміну від страхування масових ризиків, тому що сукупність ризиків неоднорідна. По-третє, страховики змушені враховувати перестрахування на величину збитку по всьому портфелю ризиків даного типу. По-четверте, для виваженого розрахунку тарифних ставок необхідно розширити базу даних за межі статистичної інформації та використовувати дані інших страхових компаній.

Розрахунок тарифних ставок при страхуванні життя.

Страхування життя обумовлює ряд особливостей, які впливають на вибір форм і методів аналізу підготовки та проведення страхових операцій. Можна виділити основні фактори, які впливають на методику розрахунку тарифних ставок по страхуванню життя:

1. Об'єктом договору з цього виду страхування є життя, здоров'я і працездатність громадян. Кількісні показники, що характеризують тривалість життя і смертність серед населення країни централізовано збираються і обробляються у федеральних і регіональних органах статистики. На підставі таких даних складаються таблиці смертності, які використовуються страховиками при розрахунку нетто-ставок по страхуванню життя.

2. Договори страхування життя, звичайно, укладаються на тривалий термін. Період часу між сплатою внесків і моментом виплат досягає декількох років. Протягом цього терміну за рахунок інфляції і прибутку, одержуваної від інвестування тимчасово вільних коштів, вартість страхових внесків змінюється. Щоб врахувати подібні зміни застосовуються методи фінансових обчислень (дисконтування).

У страхуванні життя невизначеність пов'язана з випадковим характером тривалості людського життя. Тому страховики повинні розташовувати даними для розрахунку ймовірностей дожиття до певного віку осіб різної статі. Джерелом таких даних є таблиці смертності, що складаються на основі перепису населення.

Таблиця смертності.

 Таблиця смертності і комутаційних функцій. (Чоловіки, i = 9%

 Ануїтет.

x

 lx

 qx

 dx

 Dx

 Nx

 Cx

 Mx

 N (12) x

 N (12) x

 ax

 18 100000 0,00149 149 21199,37402 244591,9762 28,978961 1003,702 254308,36 234875,5965 11,53769805

 19 99851 0,001732582 173 19419,98803 223392,6022 30,868544 974,7228 232293,43 214491,7744 11,50323069

 20 99678 0,001956299 195 17785,63423 203972,6142 31,921122 943,8543 212124,36 195820,8652 11,46839137

 21 99483 0,002161173 215 16285,1745 186186,98 32,289068 911,9332 193651,02 178722,9417 11,4329128

 22 99268 0,002337108 232 14908,238 169901,8055 31,965281 879,6441 176734,75 163068,8631 11,39650477

 23 99036 0,002494043 247 13645,31729 154993,5675 31,22202 847,6788 161247,67 148739,4637 11,35873679

 24 98789 0,002631872 260 12487,41769 141348,2502 30,151637 816,4568 147071,65 135624,8504 11,3192538

 25 98529 0,002770758 273 11426,19487 128860,8325 29,045155 786,3051 134097,84 123623,8265 11,27766802

 26 98256 0,002931119 288 10453,70243 117434,6376 28,111048 757,26 122225,92 112643,3573 11,23378424

 27 97968 0,003123469 306 9562,441641 106980,9352 27,401825 729,1489 111363,72 102598,1494 11,18761706

 28 97662 0,003327804 325 8745,480415 97418,49355 26,700225 701,7471 101426,84 93410,14836 11,13929583

 29 97337 0,003564934 347 7996,676302 88673,01314 26,153784 675,0469 92338,156 85007,86983 11,08873359

 30 96990 0,003814826 370 7310,246493 80676,33683 25,584698 648,8931 84026,866 77325,80719 11,03606245

 31 96620 0,004046781 391 6681,063461 73366,09034 24,804406 623,3084 76428,244 70303,93625 10,98119944

 32 96229 0,004250278 409 6104,611614 66685,02688 23,803942 598,504 69482,974 63887,07989 10,92371327

 33 95820 0,004445836 426 5576,757172 60580,41527 22,74619 574,7001 63136,429 58024,40156 10,86301831

 34 95394 0,004654381 444 5093,544793 55003,65809 21,749814 551,9539 57338,199 52669,11673 10,7986992

 35 94950 0,004865719 462 4651,227061 49910,1133 20,762902 530,2041 52041,926 47778,3009 10,73052608

 36 94488 0,00514351 486 4246,417888 45258,88624 20,038068 509,4412 47205,161 43312,61137 10,65813291

 37 94002 0,005499883 517 3875,758159 41012,46835 19,556162 489,4031 42788,858 39236,0792 10,58179243

 38 93485 0,005947478 556 3536,185269 37136,71019 19,294848 469,8469 38757,462 35515,95861 10,50191304

 39 92929 0,006488825 603 3224,91182 33600,52492 19,198062 450,5521 35078,61 32122,44034 10,4190523

 40 92326 0,007083595 654 2939,436635 30375,6131 19,102549 431,354 31722,855 29028,37131 10,33382137

 41 91672 0,00770137 706 2677,628309 27436,17647 18,918722 412,2515 28663,423 26208,93016 10,24644697

 42 90966 0,008310797 756 2437,621011 24758,54816 18,585848 393,3327 25875,791 23641,3052 10,15684885

 43 90210 0,008879282 801 2217,763703 22320,92715 18,066191 374,7469 23337,402 21304,45212 10,06461018

 44 89409 0,009428581 843 2016,579408 20103,16345 17,443562 356,6807 21027,429 19178,89788 9,968942143

 45 88566 0,009969966 883 1832,62929 18086,58404 16,762616 339,2371 18926,539 17246,62895 9,869199483

 46 87683 0,010572175 927 1664,548659 16253,95475 16,144862 322,4745 17016,873 15491,03661 9,76478198

 47 86756 0,011261469 977 1510,963999 14589,40609 15,61071 306,3297 15281,931 13896,88092 9,655694043

 48 85779 0,012077548 1036 1370,594794 13078,44209 15,186628 290,719 13706,631 12450,25281 9,542165305

 49 84743 0,013027625 1104 1242,239788 11707,8473 14,847187 275,5323 12277,207 11138,48739 9,42478852

 50 83639 0,014084339 1178 1124,822344 10465,60751 14,534292 260,6851 10981,151 9950,063933 9,304231523

 51 82461 0,015219316 1255 1017,412812 9340,785164 14,205804 246,1508 9807,0994 8874,470959 9,18091954

 52 81206 0,016365786 1329 919,2004449 8323,372352 13,801319 231,945 8744,6726 7902,072148 9,055013407

 53 79877 0,017539467 1401 829,5018416 7404,171907 13,347725 218,1437 7784,3603 7023,983563 8,926046377

 54 78476 0,018719099 1469 747,6631389 6574,670066 12,839982 204,796 6917,349 6231,991127 8,793626064

 55 77007 0,01997221 1538 673,0895034 5827,006927 12,333106 191,956 6135,5063 5518,507571 8,657105626

 56 75469 0,021359764 1612 605,1802003 5153,917423 11,85918 179,6229 5431,2917 4876,543165 8,516335169

 57 73857 0,022936215 1694 543,3520131 4548,737223 11,43343 167,7637 4797,7736 4299,700884 8,371621184

 58 72163 0,024694095 1782 487,0546557 4005,38521 11,034288 156,3303 4228,6186 3782,151826 8,223687348

 59 70381 0,026654921 1876 435,8048455 3518,330554 10,657196 145,296 3718,0744 3318,586667 8,073179063

 60 68505 0,028713233 1967 389,1637631 3082,525709 10,251513 134,6388 3260,8924 2904,158984 7,920896037

 61 66538 0,030794433 2049 346,7794619 2693,361946 9,7971349 124,3873 2852,3025 2534,421359 7,76678622

 62 64489 0,032966863 2126 308,3491604 2346,582484 9,3259673 114,5902 2487,9092 2205,255785 7,610147148

 63 62363 0,035229222 2197 273,5631707 2038,233323 8,8416677 105,2642 2163,6164 1912,850203 7,450686137

 64 60166 0,03749626 2256 242,1337182 1764,670153 8,3294577 96,42253 1875,6481 1653,692198 7,287998406

 65 57910 0,040269384 2332 213,8115682 1522,536434 7,8991377 88,09308 1620,5334 1424,539466 7,120926372

 66 55578 0,043092591 2395 188,2582643 1308,724866 7,4426939 80,19394 1395,0099 1222,439828 6,951752535

 67 53183 0,046161367 2455 165,2713101 1120,466602 6,9992199 72,75124 1196,216 1044,717251 6,779559024

 68 50728 0,049459864 2509 +144,6258353 +955,1952918 6,5625451 65,75203 1021,4821 +888,9084507 6,604596544

 69 48219 0,053028889 2557 126,1217074 810,5694566 6,1358661 59,18948 868,37524 752,763674 6,426882994

 70 45662 0,056896325 2598 109,5721224 684,4477491 5,7194964 53,05361 734,66831 634,227193 6,246550074

 71 43064 0,061071893 2630 94,80538649 574,8756268 5,3118756 47,33412 618,3281 531,423158 6,063744351

 72 40434 0,065563635 2651 81,66554318 480,0702403 4,9121925 42,02224 517,50028 442,6401997 5,878491976

 73 37783 0,0704285 2661 70,01032418 398,4046971 4,5235982 37,11005 430,49276 366,3166318 5,690656368

 74 35122 0,075650589 2657 59,70605696 328,3943729 4,1438517 32,58645 355,75965 301,0290968 5,500185235

 75 32465 0,081256738 2638 50,63234731 268,688316 3,7745132 28,4426 291,89481 245,4818234 5,30665336

 76 29827 0,087370503 2606 42,67718158 218,0559687 3,4208503 24,66809 237,61634 198,4955938 5,109427581

 77 27221 0,093898093 2556 35,73252729 175,3787871 3,07818 21,24724 191,7562 159,0013787 4,908099156

 78 24665 0,100952767 2490 29,70395515 139,6462598 2,7510977 18,16906 153,26057 126,031947 4,701268201

 79 22175 0,10854566 2407 24,50023732 109,9423046 2,4398114 15,41796 121,17158 98,71302919 4,487397537

 80 19768 0,116653177 2306 20,03747055 85,44206731 2,1444354 12,97815 94,625908 76,25822663 4,264114429

 81 17462 0,125415187 2190 16,2385651 65,40459675 1,8684061 10,83371 72,847272 57,96192108 4,027732522

 82 15272 0,134821896 2059 13,02936001 49,16603165 1,6115991 8,965305 55,137822 43,19424165 3,773480171

 83 13213 0,144857337 1914 10,34194219 36,13667164 1,3744094 7,353706 40,876728 31,3966148 3,494186195

 84 11299 0,155677494 1759 8,113610993 25,79472944 1,1588134 5,979297 29,513468 22,07599107 3,179192282

 85 9540 0,167180294 1594,9 6,284866394 17,68111845 0,9639503 4,820483 20,561682 14,80055469 2,813284697

 86 7945,1 0,239053001 1899,3 4,801982189 11,39625206 1,0531452 3,856533 13,597161 9,195343554 2,373239135

 87 6045,8 0,341625591 2065,4 3,352343059 6,594269868 1,0506846 2,803388 8,1307604 5,0577793 1,967062962

 88 3980,4 0,488066526 1942,7 2,024859522 3,241926809 0,9066662 1,752703 4,1699874 2,313866194 1,601062579

 89 2037,7 0,695048339 1416,3 0,951003092 1,217067286 0,6064157 0,846037 1,6529437 0,78119087 1,279772166

 90 621,4 0,981670422 610,01 0,266064195 0,266064195 0,2396214 0,239621 0,3880103 0,144118106 1

 Формула

 l x * (1 + i) -x

 d x * (1 + i) -x + 1

Таблиця смертності - числова модель процесу вимирання по віку деякої абстрактної сукупності людей.

Перш ніж почати безпосереднє опис методів розрахунку страхових ануїтетів і нетто-тарифів, необхідно сформулювати загально принципи визначення нетто-премій в особистому страхуванні.

У страхуванні життя, як і в будь-якому з видів страхування має дотримуватися умова перевищення страхових премій над страховими виплатами (Е (Р) + I> = E (S)), де I - дохід від інвестицій тимчасово вільних коштів. Величина страхових виплат є випадковою величиною, і не можна заздалегідь передбачити точну суму страхових виплат. За рахунок великого числа застрахованих, статистичні дані однорідні і мають належної ступенем надійності. Тому, ймовірність відхилення реальних величин від їхніх математичного очікування мізерно мала. Внаслідок цього, в актуарних розрахунках прийнято використовувати ймовірну (очікувану) вартість виплат. Теж відбувається і сумами нетто-премій. Їх величина залежить від випадкової величини S, а, отже, є величиною випадковою.

До моменту здійснення виплат страховик повинен володіти фондом, рівним імовірною вартості виплат. Він визначає для себе майбутню вартість виплат і розмір необхідного страхового фонду. Так як страховик інвестує вільні кошти, то вони йому приносять дохід, який змінюється залежно від норми прибутковості r, темпу інфляції (h), і ставки податків (g). Тоді дисконтування відбувається по скоригованої ставці i = r (1-g) + h / 100. Страхова премія виплачується в момент укладення договору, тобто в сучасний момент часу, а страхові виплати через певний час. Тому, для їх порівняння необхідно дисконтувати страхові виплати, приводячи їх вартість до сьогоднішнього дня.

У страхуванні життя нетто-премії іноді сплачуються не однією сумою, а серією платежів, в різні періоди часу (в розстрочку). Для їх обліку страховикові доводиться як нетто-премії, так і страхові виплати приводити до одного моменту часу, інакше, при незапланованому припинення договору, страховик недоотримає частину належних йому премій.

Вищесказане можна представити у вигляді нерівностей, які показують основні принципи розрахунку тарифних ставок:

1. E + I> S - Нетто-премія з урахуванням доходу, від інвестицій повинна перевищувати страхову виплату.

Якщо дана рівність не буде дотримуватися, то страховик збанкрутує.

2. E + I> Sp- Сума виплат - величина випадкова, оскільки невідомо за якими договорами доводиться відшкодовувати збиток. Тому в актуарних розрахунках застосовують її найбільш ймовірне значення (Sp).

3. E> Sp-I - Сучасна ймовірна вартість виплат (різниця між сумою виплат і накопичених доходів) не повинна перевищувати вартість одноразової нетто-премії.

4. Ep-IE> Sp-I - Порівняння імовірною вартості виплат відбувається не з реальними сумами нетто-премій, а з їх найбільш вірогідним значенням (математичним очікуванням). Сучасна ймовірна вартість нетто-премій, сплачених у розстрочку, повинна бути менше, ніж сучасна вартість виплат.

Виходить, що нетто-премії - доходи страхової компанії, а страхові виплати - її витрати, причому і ті й інші носять випадковий характер. Так як у страхуванні життя порушені значні періоди часу, в рамках яких змінюється вартість грошей пропорційно ставці i, то розрахункові дані необхідно приводити до одного моменту часу.

Принцип фінансової еквівалентності (P = Sq) у страхуванні життя кілька видозмінений. Нехай P - розмір премії, qn- ймовірність страхової події (смерть застрахованого через n років після початку страхування). Якщо страхова подія станеться на першому році страхування, то страховик отримає суму Р, якщо на другому році - 2Р, і т.д. Математичне сподівання такого ряду премій складе: Pq1 + 2Pq2 + 3Pq3 + ... + nPqn. Однак, премія виплачується в різні моменти часу. З урахуванням цього фактора дану величину необхідно привести до одного моменту часу (до початкового): E (P) = P (q1 + (1 + v) q2 + (1 + v + v2) q3 + ... + (1 + v + ... + vn-1) qn), де v = (1 + i) -1-дисконтний множник. Е (Р) - дисконтоване математичне очікування страхових премій.

Тепер розглянемо сукупність страхових виплат. Припустимо, вони виплачуються в кінці року, в якому мав місце страховий випадок. Тоді математичне очікування виплати в першому році складе Sq1, у другому році -Sq2, і т.д. З урахуванням фактору часу математичне очікування страхових виплат виглядає так: E (S) = S (vq1 + v2q2 + ... + vnqn) /

Як відомо, E (S) = E (Р). Підставляючи відомі значення в дане рівність можна визначити розмір нетто-премії.

Знаючи основні принци формування нетто-премії в страхуванні життя можна перейти до розгляду методів її розрахунку. Отже, основний показник таблиці смертності - число людей lxв віці х років, що залишилися в живих з первісної сукупності l0 (зазвичай рівний 100000 чоловік). Величини lx (крім l0) визначають розрахунковим шляхом на основі заданих ймовірностей смерті (qx) у віці х років, або на основі кількості померлих (dx). Зазначені ймовірності отримують на основі даних статистики населення з наступним усередненням і згладжуванням.

Показники таблиці смертності зв'язані наступними співвідношеннями:

- Lx + 1 = lx-dx;

- Dx = lx * qx;

- Qx = 1-px = 1-lx + 1 / lx = dx / lx.

Для визначення страхових тарифів необхідно знати страхові ймовірності в страхуванні життя і дії над ними:

1. npx = lx + n / lx- ймовірність прожити n років особа, що дожили до віку х років.

2. px = 1-qx = 1-dx / lx = lx + 1 / lx- ймовірність людиною, дожили до х років, прожити ще 1год.

3. nqx = 1-npx = (lx-lx + n) / lx- ймовірність померти в інтервалі віку від x років до n років.

4. mqx = mpx * qx + m = (lx + m / lx) * (dx + m / lx + m) = dx + m / lx- ймовірність дожити до віку х років і померти у віці x + m років в перебігу 1 року.

5. m / nqx = mpx * nqx + m = (lx + m / lx) * (lx + m-lx + m + n) / lx + m = (lx + m-lx + m + n) / lx- ймовірність дожити до x + m років і померти у віці від x + m років до x + m + n років.

Для спрощення розрахунків та скорочення запису формул в таблицях смертності використовуються комутаційні функції. Їх сенс складно інтерпретувати, тому вони повинні сприйматися як чисто технічні допоміжні засоби. Їх можна розділити на дві групи. В основу перших покладені числа доживають до певного віку, друге - числа померлих.

1. Dx = lx * vx

2., де w-граничний вік, врахований в таблиці смертності.

- Nx = Nx + 1 + Dx; Nw = Dw

- (Nx + 1-Nx + 2) + (Nx + 2-Nx + 3) + ... + Nx + k-Nx + k + 1 = Nx + 1-Nx + k + 1

3. Cx = dx * vx + 1; Cx = dx * vx + 1 = (lx-lx + 1) * vx + 1 = lx * vx * v-lx + 1 * vx + 1 = Dx * v-Dx + 1

4.;

Страхування на дожиття.

Страхувальник і страховик домовляються між собою про те, що другий виплатить першу страхову суму S, якщо він доживе до віку n. В обмін на дані умови страхувальник пропонує заплатити страховику нетто-премію, яка дорівнює добутку страхового тарифу та розміру виплати (nEx * S). Нетто-премія може сплачуватися одноразово, а може в розстрочку, що веде до різної методикою розрахунку:

1. Нетто-премія сплачується одноразово. У цьому випадку страхувальник обов'язково її заплатить, інакше договір не буде укладено. Страхова виплата залежить від того, чи доживе страхуються до n років чи ні. Тому, при її розрахунку застосовується математичне очікування від суми виплати (S * npx). Страхова виплата відбудеться тільки через n років після укладення договору, тому її необхідно привести до моменту сплати нетто-премії (S * npx * vn). Використовуючи принцип фінансової еквівалентності (зобов'язання повинні бути рівні), виходить:

- NEx * S = S * npx * vn

- NEx = npx * vn = (lx + n / lx) * vn

- NEx = (lx + n * vx + n / lx * vx + n) * vn = Dx + n / Dx

2. Нетто-премія сплачується в розстрочку. Тут нетто-премія являє собою потік платежів від страхувальника страховикові, при цьому всі платежі складові нетто-премію в даному виді страхування - суми фактичні, а не ймовірні, тому що якщо людина помре раніше часу, то він не отримає страхову суму, а у страховика залишиться частина нетто-премій, які він нікому не винен. Нехай, страхові премії сплачуються протягом t років, на початку кожного року. Тоді P1 * S - премія сплачена у першому році, Р2 * S - премія сплачена у другому році і т.д.

- (P1 + P2 * v + ... + Pt * vt-1) * S = S * npx * vn

- Якщо платежі однакові, то P (1 + v + v2 + ... + vt-1) = npx * vnілі

Страхування життя.

Цей вид страхування називають також страхуванням на випадок смерті. Страхова сума, рівна S, виплачується у разі смерті застрахованого. Страховий договір укладається страхувальником у x років на строк n років. Тут також слід розглянути два випадки:

1. Нетто-премія сплачується одноразово. Тоді зобов'язання страхувальника рівні твору страхового тарифу і страхової суми (S * nAx). Нетто-премія - основна умова укладення договору, тому її величина для страховика реальна, а не ймовірна. Якщо виплати страхових сум відбуваються в кінці року, і страхувальник помре в першу рік, то страхова сума буде дорівнює S * qx * v (qx- ймовірність померти у віці х років); якщо в другий рік, то страховик повинен буде заплатити S * 2qx * v2 = S * v2 * dx + 1 / lx;

- Якщо помре в третій рік - страхова виплата = S * v3 * dx + 2 / lxі так далі.

- В силу фінансової еквівалентності:

S * nAx = S * dx / lx * v + S * dx + 1 / lx * v2 + S * dx + 2 / lx * v3 + ... + S * dx + n-1 / lx * vn

- Помножимо і розділимо даний вираз на vx, тоді:

nAx = (dx / Dx) * vx + 1 + (dx + 1 / Dx) * vx + 2 + (dx + 2 / Dx) * vx + 3 + ... + (dx + n-1 / Dx) * vx + n = 1 / Dx * (Cx + Cx + 1 + ... + Cx + n-1)

Mx = Cx + Cx + 1 + ... + Cx + n-1 + Cx + n + Cx + n + 1 + ... + Cw

Mx + n = Cx + n + Cx + n + 1 + ... + Cw

Mx-Mx + n = Cx + Cx + 1 + ... + Cx + n-1

nAx = 1 / Dx * (Mx-Mx + n)

- Якщо страхування довічне, тоnAx = Mx / Dx

2. Нетто-премія вноситься в розстрочку. Нехай розстрочка здійснюється за допомогою рівних платежів (P) пренумерандо (на початку року) протягом t років. В даному випадку нетто-премія являє собою потік платежів, обмежений періодом t. При цьому кожен член цього потоку, є випадковою величиною, оскільки при настанні страхового випадку платежі припиняться, а страховик повинен буде сплатити всю страхову суму страхувальнику. Наступ кожного наступного платежу не визначено, тому що невідомо настане страховий випадок. Страховик повинен враховувати, що якщо він відбудеться, то він втратить не тільки страхову суму, а й премії.

- Виходячи з принципу фінансової еквівалентності можна записати наступні вираз: S * (P + P * px * v + P * 2px * v2 + P * 3px * v3 + ... + P * t-1pxvt-1) = S * dx / lx * v + S * dx + 1 / lx * v2 + S * dx + 2 / lx * v3 + ... + S * dx + n-1 / lx * vn

- P * (1 + lx + 1 / lx * v + lx + 2 / lx * v2 + lx + 3 / lx * v3 + ... + lx + t-1 / lx * vt-1) = (Mx-Mx + n) / Dx

- P * (1 + lx + 1 / lx * v + lx + 2 / lx * v2 + lx + 3 / lx * v3 + ... + lx + t-1 / lx * vt-1) * (vx / vx) = (Mx-Mx + n) / Dx

-

-

Страхові виплати, а іноді й страхові премії представляють собою потік платежів, що у фінансовій математиці називається аннуитетом (страховий рентою). Вартість страхового ануїтету, по суті, є відправним моментом в актуарної математики. Як відомо, платежі можуть вноситься на початку року - пренумерандо, і в кінці року - постнумерандо. Залежно від цього розрізняються і види ануїтетів. Крім цього в страхуванні ренти діляться залежно від інтервалу часу, в якому виробляються платежі. Ануїтет вже застосовувався в наведених вище розрахунках. Далі він буде розглянутий більш докладно, так як широко використовується у пенсійному та інших видах страхування, про які йтиметься нижче.

Види страхових ануїтетів.

 Пояснення

 Формула

 Постнумерандо.

 Ануїтет довічний, негайний - особі, починаючи з віку х років довічно в кінці року виплачується по 1 рублю.

 Ануїтет відкладений на n років, довічний - сплачується довічно особі у віці x + n років по одному рублю наприкінці кожного року.

 Ануїтет негайний, обмежений - виплачується особі у віці x років протягом t років, по 1 рублю, наприкінці кожного року.

 Ануїтет відкладений на n років, обмежений - особі, в кінці кожного року виплачується по 1 рублю, починаючи з віку n років, до віку t років.

 Пренумерандо.

 Ануїтет довічний, негайний Виплати проводяться на початку року.

 Ануїтет відкладений на n років, довічний

 Ануїтет негайний, обмежений

 Ануїтет відкладений на n років, обмежений

 Співвідношення

 Рента що сплачується k раз на рік.

 Для обмеженою ренти

 Для довічної ренти.

Пенсійне страхування.

З економічної точки зору забезпечення пенсіями по старості на базі недержавних пенсійних фондів - це довгостроковий інвестиційний процес, на першому етапі якого здійснюються вкладення (пенсійні внески) і послідовне нарощення вкладених сум за рахунок інвестицій вільних грошових коштів, на другому - отримання віддачі від накопичень у вигляді періодичних пенсій.

Пенсійне страхування ділиться на два види:

1. Нефондіруемие - виплата пенсій здійснюється з поточних надходжень. У цьому випадку страхові тарифи не розраховуються.

2. Накопичувальні - для виплати пенсій створюються спеціалізовані фонди. Вони в свою чергу діляться також на три види схем страхових виплат:

- Ощадні - дана схема не враховує ймовірність дожиття кожного учасника фонду, передбачається успадкування накопичень, відсутня солідарність учасників у забезпеченні виплат (при смерті одного з учасників його внесок не йде на виплату пенсій), обмовляється конкретний термін виплат.

- Страхові - учасники солідарні між собою, враховується ймовірність дожиття застрахованих, немає успадкування накопичень.

- Змішані ощадно-страхові - тут передбачається послідовне використання описаних вище схем, тобто, наприклад, в період накопичення застосовується ощадна схема, а в період виплат - страхова.

Розрахунок тарифних ставок у пенсійному страхуванні ґрунтується на принципі фінансової еквівалентності (рівності зобов'язань). З практичної точки зору основа всіх розрахунків - страхові ануїтети. При застосуванні будь-який з пенсійних схем з використанням спеціалізованого фонду необхідно вирішити два завдання:

1. Визначення розміру пенсії за величиною встановлених внесків (розрахунок величини внесків по заданих розмірах пенсії)

2. Розрахунок страхових резервів.

Умовні позначення, використовувані в розрахунках.

 Мінлива Опис.

 -R- Річна сума пенсії

 -E- Розмір одноразового внеску

 -A- Сума, накопичена на індивідуальному рахунку, на початок виплат пенсій.

 -x- Вік застрахованого в момент укладання договору.

 -L- Вік виходу на пенсію.

 -w- Вік в момент закінчення дії контракту.

 -n- Термін накопичення, n = L-x

 -t- Термін виплат пенсій, t = w-L

Ощадні схеми.

В даному випадку пенсія являє собою фінансовий ануїтет, в якому не враховуються ймовірності дожиття до певного віку, тобто, що людина вкладає, то він і отримує, з урахуванням прибутковості на вкладені кошти. Розраховувати пенсії можна двома методами:

1. Внески сплачуються одноразово. Дана схема відображена на графіку. Видно, що після сплати до фонду початкової суми, вона накопичується з роками (термін n років), пропорційно нормі прибутковості до моменту початку виплат пенсій. Після чого накопичені у фонді кошти поступово витрачаються, до тих пір, поки не закінчаться зовсім (термін t років). В силу фінансової еквівалентності, деякі з наведених на графіку позначень можна об'єднати наступним виразом:

2. Премія сплачується у розстрочку. Тут схема схожа на попередню, це підтверджує графік, намальований справа. Розділені на рівні частини премії представляють собою потік платежів, тому накопичення відбувається повільніше, ніж у першому випадку, за інших рівних умов. Період виплат такий же, як і в першому випадку. Математично дану схему можна відобразити наступним виразом:

Перетворюючи наведені вище рівності, не складе труднощів визначити як розмір необхідної пенсії, та к і розмір необхідної величини премії, яку потрібно внести в пенсійний фонд для забезпечення себе потрібною пенсією. Крім цього, можна визначити термін, в який необхідно внести платіж, для забезпечення заданої величини пенсії, або термін протягом якого буде сплачуватися накопичена у фонді пенсія.

Страхові схеми.

По суті справи пенсійне страхування є одним з видів страхування на дожиття. Якби пенсія виплачувалася разовою виплатою, то ці два види страхування були б повністю однаковими. Істотною відмінністю тут є те, що пенсія являє собою страховий ануїтет. Тобто кожна наступна виплата залежить від імовірності дожиття особи до наступної виплати. Крім цього, всі платежі наводяться тут до початкового моменту часу (момент вкладу першого внеску).

Нетто-премія в даному виді страхування може бути визначена за двох умов, коли вона вноситься одноразово і коли платежі вносяться в розстрочку. Система визначення нетто-тарифів грунтується на принципі фінансової еквівалентності зобов'язань страховика і страхувальника, тому, наведені нижче тотожності відрізняються від попередніх лише деякими нюансами.

1. Нетто-премія вноситься одноразово. Тут нетто тариф дорівнює вартості ануїтету, що відповідає умовам виплат пенсії, а нетто-премія - твору нетто-тарифу на розмір пенсії. Умови виплат, в даному випадку, впливають на застосовуваний у розрахунках вид ануїтету. Розглянемо деякі з них:

- Пенсія буде виплачуватися з віку x років довічно, на початку року:

- Пенсія буде виплачуватися з віку x + n років довічно, на початку року:

Знаючи формули для визначення ануїтетів, можна визначити розмір пенсії та розмір нетто-премій для будь-якого варіанту пенсійного забезпечення.

2. Нетто-премія вноситься в розстрочку. Для забезпечення себе достатньою пенсією потрібно вносити в пенсійний фонд більшу суму коштів, якої ми не завжди маємо, або достатньо великим інтервалом часу до моменту виплат пенсій, що загрожує ризиком розвалу страхової компанії та іншими ризиками, пов'язаними з нестабільністю політичних та економічних систем. Зручним варіантом вкладення коштів є дана схема, яка дозволяє не на шкоду собі і близьким вносити частину доходів у пенсійний фонд, забезпечивши себе в майбутньому належної пенсією. Платежі можна вносити як щомісяця, так і раз на рік. Тут буде розглянуто другий варіант. В даному випадку, як розмір пенсії, так і вкладаються кошти залежать від ймовірності дожиття, тому, у наведених нижче рівняннях фінансової еквівалентності, як зліва, так і справа використовуються страхові ануїтети. Наприклад, внески робляться раз на рік починаючи з віку x років до віку x + t років, а пенсія виплачується з віку x + n років, довічно. Як внески, так і пенсії сплачуються в кінці кожного року:. Якщо внески виробляються на початку року, то в даному випадку застосовується ануїтет пренумерандо:.

Так застосовуючи різні види ануїтетів, можна побудувати різні варіанти пенсійних схем. Тут, як і скрізь вище, все рівності будуються за принципом фінансової еквівалентності зобов'язань страхувальника і страховика. Виходячи з складених рівностей, можна визначити крім щорічних внесків, розмір щорічної пенсії і навпаки.

Страхові резерви.

При сплаті страхувальником страхової премії виконує свої фінансові зобов'язання, і зобов'язує страховика відповідати за договором страхування. Тобто страховик, по суті, стає кредитором страхувальника. І якщо настає страховий випадок, то страховик зобов'язується сплатити страхувальникові страхову суму. Щоб зуміти провести обіцяні виплати, страховику необхідно створити резерви.

В особистому страхуванні існують резерви двох типів:

- Резерви за страховими випадками, що підлягають врегулюванню (резерви по вже сталися, але не сплаченим страховим подіям)

- Резерви за поточними (діючими) договорами.

Страховий резерв відображає борг страховика перед страхувальником. Зобов'язання страховика носять імовірнісний характер, так як страховий випадок може не відбутися, і всі кошти страхувальника залишаться у страховика, борг зникне. Крім того виплати страхових премій та страхової суми не збігаються в часі, а, отже, має місце ефект накопичення. Тому при розрахунку математичних резервів необхідно використовувати сучасну ймовірну вартість зобов'язань.

Схема балансу компанії зі страхування життя.

 Актив Пасив

 Інвестиції Власні фонди

 Математичні резерви

 Інші активи Інші зобов'язання

З даної схеми видно, що математичні резерви - це різниця між зобов'язаннями компанії і зобов'язаннями перед компанією. Виходячи з наведених вище міркувань, можна змінити дане визначення, а, саме, страховий резерв - різниця між сучасною вірогідною вартістю майбутніх зобов'язань страховика та сучасної вірогідною вартістю майбутніх зобов'язань страхувальника. Так як страхові резерви накопичуються у страховика, то вони досягають з часом величезних розмірів, які можна ефективно інветіровать. Однак, при використанні цих коштів, необхідно пам'ятати, що вони належать страхувальникам, і є активами, спрямованими на виконання зобов'язань перед страхувальниками.

Резерв можна визначити на будь-який момент дії страхового контракту. Для розуміння сутності страхового резерву розглянемо декілька варіантів його визначення:

1. Визначення математичного резерву в момент укладення договору до першої виплати премії. При цьому, передбачаються довічні внески на початку року Рх. Тоді, за визначенням:, де Ax- сучасна вартість деяких зобов'язань страховика, 0Vx- розмір страхового резерву у віці х років, в момент укладання договору. Так як, страхувальник ще не заплатив жодної страхової премії, то страховик також йому нічого не винен, поетому0Vx = 0. З математичної точки зору, страховий резерв - різниця між деякими постійним числом і очікуваною сумою надходжень від страхувальника. Розмір резерву залежить від страхової суми, розміру страхової премії, прибутковості від інвестицій та періоду угоди.

2. Якщо страхові премії вже виплачуються страхувальником у плині часу t, тоді величина страхового резерву визначається за формулою:

3. Страхування на дожиття. В даному випадку страхові премії сплачуються одним платежем в момент укладення договору, а після закінчення терміну t (в момент x + t) виплати вже не очікуються, тому величина резерву визначається сучасною величиною зобов'язань страховика, що залежать від сплаченої нетто-премії: tVx = Ax + t. Сучасна ймовірна вартість зобов'язань буде визначатися в залежності від страхової суми R, ймовірності дожиття від віку x + t до віку x + n, а також ставкою прибутковості, терміном страхування та моментом укладання угоди:.

4. Якщо у страхуванні на дожиття страхові премії сплачуються в розстрочку, протягом усього терміну страхування, до настання страхового випадку (період t), виходячи з визначення страховго резерву, його величина визначається за формулою:, де р - страховий тариф.

5. Накопичені в страховій компанії кошти інвестуються в різні види діяльності, отже, на них нараховується відсоток. В даному випадку, виникає плутанина між страховим резервом та накопиченою сумою, так як здається, що страховик, щоб забезпечити повернення коштів страхувальнику, при настанні страхового випадку, накопичує їх за звичайною схемою нарощення (як в банку). Нехай нетто-премія збільшується на комерційному рахунку за ставкою i% в до моменту x + t, тоді нарощена сума определется за формулою:. А в цей же момент часу страховий резерв визначається виразом :. Тобто страховий резерв більше ніж нарощена нетто-премія, якщо ймовірність дожиття до моменту t не дорівнює одиниці. Це очевидно, оскільки якби ймовірність настання страхової події не впливала на величину страхової суми, або зобов'язань страховика, то клієнтові, було б вигідніше покласти гроші в банк, а не застрахуватися. Величина страхового резерву - є величина наращенной нетто-премії, який змінюється, обернено пропорційно ймовірності дожиття від х років до віку x + t років. Чим більше ймовірність померти в цьому інтервалі, тим менше страховий резерв. Страховий резерв і страхові суми більше, ніж банківський відсоток, так як в страхувальники несуть солідарну відповідальність перед один одним, залежно від ймовірності настання страхового випадку. Тобто, якщо страхова подія не наступить, то частина коштів не отриманих страхувальником отримає хтось інший.

6. Страхування життя. За визначенням маємо:. При сплаті нетто-премії одноразовим платежем, після моменту часу x + t внески страхувальник не сплачує, отже, права частина рівності визначається лише зобов'язаннями страховика Аx + t. Тоді,. Аналогічно даними перетворенням виводяться формули для розрахунку страхового резерву при платежах в розстрочку. Всі дані наводяться до моменту часу x + t.

7. Страхування пенсії. Розглянемо варіант, коли страхова премія сплачується одноразово у віці x років, а пенсія видається з віку L років (L> x) пожізнено. Тоді весь період від возаста x до граничного віку можна розділити на два тимчасові інтервали. У першому відбувається накопичення коштів - період до виплати пенсії (Lx), а в другому періоді, з тривалістю (wL) - виплата пенсій (витрачання коштів). Схематично це можна побачити на представленому вище графіку, що показує накопичення страхових премій та їх витрачання. На початок внеску резерв дорівнює страхової премії, або сучасної вартості страхових виплат. Нехай розмір річної пенсії дорівнює R, а її виплата відбувається на початку року, тоді. Далі, в інтервалі від х років до L років, резерв збільшується пропорційно нормі прибутковості:. Тут мається на увазі, що від моменту х років проходить термін t <(Lx), і страховий резерв визначається як нетто премія в момент часу t + x. Чим більше проходить часу, тим менше знаменник, а, отже, тим більше величина страхового резерву. Потім, в інтервалі від віку L років до граничного віку w років, відбувається виплата пенсій, а отже зобов'язання страховика скорочуються. Комі того, частина страхувальників пенсію не отримують, так як вони вмирають і договори страхування перестають діяти, що також є чинником скорочення зобов'язань страховика. Страховий резерв в цей період часу визначається за формулою:. Тут страховий тариф визначається страховим аннуитетом пренумерандо, в момент часу x + t. Дана формула відповідає формулі по обчисленню нетто-премії в момент x + t, при пенсійне страхування. Отже, страховий резерв тут дорівнює нетто-премії, що сплачується страховику для забезпечення страхувальника негайної пенсією в розмірі R. Дійсно, вносячи внесок, страхувальник починає отримувати пенсію відразу ж, тому накопичення відразу починають витрачатися. Вони залишаються постійними лише в тому випадку, коли нарощення відсотків, і смертність інших клієнтів так впливають на зміну страхової суми, що її збільшення більше її зменшення. Це може бути, коли відсоткова ставка занадто велика, і (або) смертність клієнтів страховика занадто висока, і (або) маленький розмір виплат. Описане вище можна відобразити графічно. В даному випадку, страховий резерв являє собою нетто-премію з пенсійного страхування, в різні моменти часу.

8. Якщо внески виробляються в розстрочку, то по суті нічого не змінюється. Нехай передбачається довічна виплата пенсій і розстрочка виплат протягом k років. В даному випадку загальних термін страхування можна розбити на три аналізованих періоду, де страховий резерв змінюється з різною швидкістю. Перший період - від віку x до віку x + k років. Тут сума резерву збільшується як за рахунок премій, так і за рахунок відсотків. У другому періоді (від x + k років до L років) резерв збільшується тільки за рахунок відсотків. І в третьому періоді (від L до w років) резерв збільшується за рахунок відсотків, і скорочується за рахунок виплати пенсій. У віці x резерв дорівнює першому внеску, а у віці w років резер дорівнює 0. Нехай пенсія сплачується 1 раз в році, пренумерандо. Величина резерву в момент x + t визначається за формулою:, де Ax + t- сучасна вартість пенсійних виплат (зобов'язання страховика), вироблених після віку x + t років; Px- річний розмір премії, встановлений у віці x років; ax + n- вартість негайного, обмеженого страхового ануїтету пренумерандо у віці x + t років. Ця формула є чисті зобов'язання страховика перед клієнтом, у віці x + t років. Для першого періоду страховий резерв визначається за формулою:. Тут страховий резерв дорівнює визначається в момент часу t (xn):. Як видно для останніх двох періодів, величини страхових резервів залишаються такі ж, як і у випадку з одноразової нетто-премії. Це пояснюється тим, що процес накопичення в цих двох варіантах, стають однаковими з моменту x + k.

Розрахунок тарифних ставок у ризикових видах страхування.

У кожної страхової компанії з часом накопичується досвід разом з яким формується тарификационная система. Іншими словами, кожен страховик складає схеми ризиків, на зразок таблиць смертності, звідки можна визначити ймовірність настання страхового випадку, за тими видами страхування, якими займається страхова компанія.

Тарификационная система являє собою якусь взаємозв'язок даних по ризикових видах страхування. Вона виглядає наступним чином. Всі страхують об'єкти діляться на кілька великих категорій, для кожної з яких розраховується базова тарифна ставка. Крім того, страховик описує чинники ризику, які він враховує при складанні договору страхування. Кожен фактор ризику входить в розрахунок тарифної ставки у вигляді поправочного коефіцієнта.

При укладанні договору страхування, насамперед, визначається приналежність страхуемого об'єкта до тарифікаційної групі, на підставі чого визначається базова тарифна ставка. Потім аналізуються фактори ризику, притаманні даним договором страхування, і визначаються поправочні коефіцієнти.

Створення тарифних ставок по кожній категорії страхуються об'єктів, тобто процес тарифікації, забезпечує створення страхового фонду, необхідного для виконання зобов'язань страховика, з мінімальною часткою відхилення від необхідного розміру фонду. Наприклад, якщо використовувати одну середню тарифну ставку, для формування страхового фонду, то його розмір може сильно відрізнятися від істинних значень величин збитків.

Нехай страхові події першої групи наступають з імовірністю q1, страхові події другої групи - з імовірністю q2, а страхові події групи N - з імовірністю qn. Тоді середня ймовірність по даному виду страхування, де ki - число застрахованих по кожній групі. Чим неоднорідність страхові події в групах, чим більше число груп страхових подій, тим сильніше qср відрізняється від qi.

Нехай страховий фонд B1, створений на підставі нетто-премій, які, в свою чергу, розраховуються із застосуванням qср, а B2 - із застосуванням qi. Тоді В1 буде тим сильніше відрізнятися від істинного В2, чим більша різниця між qср і qi. Добре якщо після застосування нетто-ставок В1> B2, тоді страховик зможе відповісти за зобов'язаннями страхувальників, а, якщо навпаки, то страхова компанія зазнає збитків.

Якщо розглядати тарифікаційну систему з комерційної точки зору, то необхідно проаналізувати поведінку страхувальника при виборі страхової послуги, пропонованої певною кількістю компаній. Нехай ці компанії розробили однакові страхові продукти. При цьому перша половина компаній використовує тарифи розраховані на основі qi, інша - на основі qср. Існує N груп страхових подій, страхування кожного з них користується певним попитом, який залежить від цін на даний вид страхування (від нетто-премії). Чим більше ціна, тим нижче попит, і навпаки. Якщо нетто-премія першої групи страховиків більше ніж у другої групи по i-того виду страхування, то в конкурентній боротьбі виграє компанія, зі страховими тарифами розрахованими на підставі qср, і навпаки. Все одно, краще індивідуально розглядати кожне страхова подія і застосовувати ймовірності qi - окремі для кожної події. Це хоч і ускладнює розрахунки, однак дозволяє бути впевненим страховику у своїй платоспроможності.

Фактори ризику - це різні складові, що впливають на настання страхової події. Наприклад, якщо страховий випадок - аварія, то фактори ризику - водійський стаж, вартість автомобіля, фізичний стан водія, час року і т.д.

Теоретичні основи розрахунку тарифних ставок.

Розрахунок тарифних ставок необхідний для розрахунку страхового фонду, такого, щоб відповісти за всіма договорами страхування, тобто виплатити всі належні страхові суми. Розмір страхового фонду визначається розміром страхового тарифу, який потрібно визначити.

Для знаходження нетто-премії необхідно спочатку визначити розмір страхового фонду. Основне і очевидне умова платоспроможності страховика - розмір фонду повинен перевищувати розмір страхових виплат. Знаючи це, страхова компанія заздалегідь задає для себе ймовірність того, що величина страхового фонду (В) перевищить розмір страхових виплат (S), тобто: P (S= Y. Де y - задана гарантія безпеки. Якщо число договорів N, а Vi - виплата по кожному договору страхування, то - сума збитків страховика.

Страхової компанії заздалегідь невідомо чи наступить подія Vi, так само йому не відомий розмір настав шкоди Vi, який може коливатися в інтервалі від Vmin до Vmax. Звідси випливає, що Vi - величина випадкова, обумовлена двома ймовірностями. Як відомо з теорії ймовірностей, сума випадкових величин є величина випадкова. Тому S - випадкова величина, яка може бути задана законом розподілу за допомогою функції розподілу F (x).

Якщо x - дійсне число, Х - випадкова величина, а F (x) - ймовірність того, що X= Y, або F (B)> = y. Тобто, функція розподілу випадкової величини повинна приймати значення більші або рівні y. У свою чергу щільність розподілу визначається таким чином: f (x) = F '(x) => f (B) = F' (B).

Для того, щоб визначити розмір фонду, який би з імовірністю y забезпечував фінансову стійкість страховика, необхідно знайти таку величину В, при якій функція розподілу F (B) випадкової величини S буде більше або дорівнює y. Для цього необхідно:

1) Знайти закон розподілу випадкової величини S.

2) Вирішити наведене вище нерівність, щодо В.

3) Обчислити окрему нетто-премію (страховий тариф.

Припустимо:

1. Що наступ однієї події не залежить від настання іншого, тоді всі події ведуть до страхових виплатах (збитків) - події незалежні.

2. Що в масових ризикових видах страхування збитки за ризиками не сильно відрізняються один від одного, тому можна припустити, що розсіювання виплат по збитку не буде велике, а, отже, найбільш ймовірні розміри виплат не будуть сильно відрізнятися один від одного. Тоді, числові характеристики збитків (Vi) будуть однакові:

- Математичне сподівання виплат: mv = mv1 = mv2 = ... = mvN.

- Середнє квадратичне відхилення виплат:

Випадкова величина S являє собою суму дуже великого числа інших випадкових величин (Vi), вплив кожної з якої не має сильного впливу на S. Тоді згідно центральній граничній теоремі (Ляпунова) величина S розподілена по нормальному закону:

1. Математичне сподівання випадкової величини S:

2. Cреднее відхилення випадкової величини S:

3. За визначенням, нормальний розподіл описується щільністю:

4. Так як диференціювання - дія зворотне інтегруванню, то функція розподілу задається формулою:

5. Для того, щоб можна було вирішити наведене вище нерівність, необхідно привести функцію розподілу S до іншого виду, що дозволить користуватися табличними значеннями. Для цього введемо нову змінну z.

6.

7. Тоді,

8. Табличная функція Лапласа:

9. У результаті отримаємо:

10. Можна припустити, що

11. За визначенням функція розподілу є неубивающей, тому:, значення g визначається з таблиці значень Ф (g). Однак, попередньо необхідно знайти Ф (-M / s), задати y, і визначити M b s.

12. Збиток страховика по i-тому договору являє собою випадкову величину Vi, яка розподілена таким чином:

- Якщо страховий випадок не настав (ймовірність такої події дорівнює 1-q), тоді виплата за договором i дорівнює 0.

- Якщо страховий випадок настав (ймовірність такої події дорівнює q), то виплата за даним договором може прийняти будь-яке значення з інтервалу (0, Vi), залежно від тяжкості шкоди. Для масових ризикових видів страхування наступ дрібних збитків частіше, ніж наступ великих, тобто величина збитку Vi описується щільністю ймовірності f (Vi) = k * e-kVi (показовий розподіл), де k- постійна позитивна величина, що задає певний рівень збитків. Якщо величина збитків розподілена по даному закону, математичні характеристики збитків визначаються так:

- - Математичне очікування величини збитку.

- - Дисперсія і середнє квдратіческое відхилення, відповідно.

13. Збиток Vi характеризується двома ймовірностями, отже, він задається двома законами розподілу. Кожна величина збитку має своє математичне очікування (найбільш ймовірне значення) і середнє квадратичне відхилення, які у всіх збитків однакові, так як застраховані об'єкти досить однорідні. Крім цього настання страхового випадку - величина також випадкова. Тому математичне очікування того, що випадок збитку Vi не наступить визначається так: mv = q * hi, де hi-математичне очікування величини збитку Vi. А середнє квадратичне відхилення:

14. Для загальної суми збитку математичні характеристики обчислюються за формулами:

-

-.

15. Розмір страхового фонду визначається нерівністю -. Підставами сюди відомі значення:

16. Знаючи мінімальний розмір страхового фонду можна визначити мінімальну нетто-премію або страховий тариф. Логіка даної заяви наступна;

- Страховий фонд складається з страхових премій по всіх N договорами =>

- Страхова премія визначається як добуток страхового тарифу на страхову суму за даним договором:

- Страховий тариф однаковий за всіма договорами, тому:

- Замість окремих страхових сум за кожним договором зручніше використовувати середнє її значення, що дозволяє однорідність ризикових подій, тоді:

- Звідки:, де, а

- Умовно можна припустити, що U1 -Основна частина нетто-ставки, а U2 - ризикова надбавка.

Практичний підхід до розрахунку тарифних ставок.

Розрахунок тарифних ставок проводиться по групах страхуються об'єктів відповідно до розробленої тарифної системою. В результаті даного розрахунку страховик повинен отримати для кожної групи базову тарифну ставку (брутто). Вище була виведена формула розрахунку брутто-ставки:, де Т - нетто-ставка, f - частка навантаження в брутто ставкою. Частка навантаження приймається однаковою для всіх тарифікаційних груп в рамках одного страхового продукту.

Для визначення нетто-ставки страховик повинен визначити гарантію безпеки (y), ймовірність настання страхового випадку (q), математичне очікування величини страхової суми (М), математичне очікування величини виплати по одному страховому випадку hi. Зазначені величини є параметрами теоретичного розподілу збитків. Вони визначаються зі статистичних даних.

Нехай необхідно визначити розмір тарифної ставки за даними страхової компанії, накопиченим за рік, з масового виду страхування. Для цього вибирається деяка сукупність договорів страхування. При цьому всі застраховані об'єкти повинні бути однорідні, число договорів якомога більше, всі договори укладені на один і той же термін і до моменту розрахунку повністю сплив термін їх дії.

1. Отже, є N договорів, а S1, ..., Si, ..., SN - належні страхові виплати по них.

2. V1, ..., Vi, ..., VW - W наступили страхових подій, а, отже реально сплачені страхувальникам суми з числа SN.

3. Тоді ймовірність настання страхового випадку визначається частотою його настання: Ця вимога виконується тоді, коли за договором страхування передбачена виплата не більше 1 страхової суми, тобто частота повинна бути менше одиниці.

4. З теорії ймовірностей відомо, що математичне очікування прібліженоо одно среденй величиною, тому:

- Математичне сподівання однієї виплати:

- Математичне сподівання суми виплат:

5. Страховик визначає для себе гарантію безпеки y.

6. Визначається змінна g: де, а

7. Підсумкова формула для визначення страхового тарифу буде виглядати наступним чином:

Розрахунок тарифних ставок у другому виді страхування передбачає безліч припущень, а, отже, неточностей. Даний метод розрахунку вимагає дотримання від страховика безлічі умов, що часом йому не під силу. Цей розрахунок можна вважати як типовий, проте, його застосування в інших видах страхування, навіть з невеликими відхиленнями від розглянутого, вимагає його коригування. Крім цього практичний розрахунок і теоретична його підоснова є хорошим допомога при розробці методів-аналогів.

У страхуванні життя і подібних, розрахунок тарифних ставок здійснюється на підставі таблиць смертності - добре відпрацьованих і перевірених статистичних даних. Страхування життя поширений і давно практикується вид страхування на відміну від інших видів, тут об'єктом страхування є предмет, який є у кожного - життя, здоров'я, працездатність, що дозволило створити точні дані для розрахунку. Тому методи, розглянуті в даній роботі, є точним і поки єдиним способом розрахунку страхових тарифів.

Підставою для розрахунку тарифних ставок служить ймовірність настання страхової події, яка є задає величиною для розрахунку. На підставі її розраховуються математичні характеристики страхової події, закони його розподілу, страхові ануїтети та інші дані.

Список використаної літератури.

1. В.Г. Гмурман «Теорія ймовірностей і математична статистика»

2. Т.А. Федорова «Основи страхової діяльності».

3. Четиркін А.П «Фінансова математика».

4. В.В. Ковальов «Курс фінансових обчислень»

5. Єлісєєва П.Р. «Загальна теорія статистики»

6. К. Редхед «Управління фінансовими рскамі.»
Звіт з лабораторної роботи з курсу «Проектування інформаційно-обчислювальних комплексів»
Національний аерокосмічний університет ім. М. Є. Жуковського «ХАІ» кафедра 301 Звіт з лабораторної роботи № 1 по курсу «Проектування інформаційно - обчислювальних комплексів» Виконали студенти групи 351 Хорик С. А. Ярушевський М. Є. Перевірив ст. викладач кафедри 301 Джулгаков В.Г. Харьков'2000

Курсовая по опеределению эмоционального состояния человека
Міністерство Освіти та Науки України ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Радіофізичний факультет Кафедра радіоелектроніки КУРСОВЕ ЗАВДАННЯ З курсу: Аналогова схемотехніка На тему Дослідження схем визначення емоційного стану людини Виконала: ст. гр. РБ-99-1 Дубіна О. Л. Перевірив: ст.

Виготовлення технологічного процесу виготовлення лампи розжарювання загального призначення типу В 220 -25
Мордовський ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМ. Н.П. Огарьова Факультет світлотехнічний Кафедра економіки та управління на підприємстві Пояснювальна записка до курсового проекту на тему: розробка технологічного процесу виготовлення ламп розжарювання загального призначення типу В 220 -25 з дисципліни:

Перспективи розвитку петербурзького порту
Зміст: 1. Введення. 2. - Глава 1. Історія розвитку морського транспорту. - Глава 2. Розвиток Санкт-Петербурзького морського порту. - Глава 3. Розвиток інших портів на Балтійському морі. 3. Висновок. 4. Додаток 1. Вантажообіг петербурзького морського порту в період з 1995 по 2001 рік. 5. Додаток

Бізнес-план ВАТ Будівельний трест №12
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ МОГИЛЕВСЬКИЙ державний технічний університет Кафедра "Промислове та цивільне будівництво" Курсова робота з дисципліни "Планування в будівництві" на тему "Бізнес - план ВАТ" Будівельний трест №12 " на 2000 - 2001 рік "

Що таке страхування, класифікація видів, основні характеристики видів страхування
Зміст Введення. 2 1. Що таке страхування. 5 2. Загальні основи і принципи класифікації по об'єктах страхування і роді небезпек. 7 3. Галузі, подотрасли, види і форми страхування. Класифікація по роду небезпек. 8 4. Принципи обов'язкового і добровільного страхування. 11 5. Основні види

Транспортне страхування
Введення 1. Історія розвитку транспортного страхування та його сучасна оцінка 2. Взаємодія учасників страхових відносин. 2.1. Об'єкти страхування. Контингент страхувальників. 2.2. Обсяг страхової відповідальності. Варіанти страхування. 3. Методика розрахунків страхових тарифів. Структура тарифної

© 2014-2022  8ref.com - українські реферати