трусики женские украина

На головну

 Теорія ймовірності - Статистика

Ймовірність і розподіл ймовірності.

1. Предмет теорії ймовірності. Імовірність і статистика.

2. Основні категорії теорії ймовірності.

3. Класичне і статистичне визначення ймовірності.

4. Теорема додавання ймовірностей.

5. Теорема множення ймовірностей.

6. Слідство теорем додавання і множення ймовірностей.

7. Імовірність гіпотез. Формула Байєса.

8. Незалежні події. Біноміальний розподіл.

9. Імовірність рідкісних подій. Формула Пуассона.

10. Локальна теорема де Муавра-Лапласа.

11. Інтегральна формула Лапласа.

12. Зовсім події. Гіпергеометричний розподіл.

13. Нормальний розподіл.

14. Порівняльна оцінка параметрів емпіричного і нормального розподілів. Критерій Пірсона.

1. Предмет теорії ймовірності. Імовірність і статистика.

Теорія ймовірності і математична статистика - це наука, що займається вивченням закономірностей масових випадкових явищ, тобто статистичних закономірностей. Такі ж закономірності, тільки в більш вузької предметної області соціально-економічних явищ, вивчає статистика. Між цими науками є спільність методології і високий ступінь взаємозв'язку. Практично будь-які висновки зроблені статистикою розглядаються як імовірнісні.

Особливо наочно імовірнісний характер статистичних досліджень проявляється у вибірковому методі, оскільки будь висновок зроблений за результатами вибірки оцінюється із заданою вірогідністю.

З розвитком ринку поступово зрощується ймовірність і статистика, особливо наочно це проявляється в управлінні ризиками, товарними запасами, портфелем цінних паперів і т.п. За кордоном теорія ймовірності і математична статистика застосуються дуже широко. У нашій країні поки широко застосовується в управлінні якістю продукції, тому поширення і впровадження в практику методів теорії ймовірності актуальне завдання.

2. Основні категорії теорії ймовірності.

Як і наука, теорія ймовірності та математична статистика оперують поруч основних категорій:

- Події;

- Імовірність;

- Випадковість;

- Розподіл ймовірностей і т.д.

Події - називається довільне безліч деякого безлічі всіх можливих результатів, можуть бути:

- Достовірні;

- Неможливі;

- Випадкові.

Достовірним називається подія, яка завідомо відбудеться при дотриманні певних умов.

Неможливим називається подія, яка явно не станеться при дотриманні певних умов.

Випадковим називають події, які можуть відбутися або не відбутися при дотриманні певних умов.

Події називають едінственновозможнимі, якщо настання одного з них ця подія достовірне.

Події називають рівноможливими, якщо жодне з них не є більш можливим, ніж інші.

Події називають несумісними, якщо поява однієї з них виключає можливість появи іншого в тому ж випробуванні.

3. Класичне і статистичне визначення ймовірності.

Імовірність - чисельна характеристика реальності появи тієї чи іншої події.

Класичне визначення ймовірності: якщо безліч можливих результатів кінцеве число, то ймовірністю події Е вважається відношення числа фіналів благоприятствующих цій події до загального числа едінственновозможних равновозможних результатів.

Безліч можливих результатів в теорії ймовірності називається простором елементарних подій.

Простір елементарних подій завжди можна описати числом nS = 2, nS = 6.

Якщо позначити число фіналів сприятливих події n (E), то ймовірність події Е буде виглядати. Для наших прикладів.

Виходячи з класичного визначення ймовірності, можна вивести її основні властивості:

1) Імовірність достовірного події дорівнює 1.

2) Імовірність неможливого події дорівнює 0.

3) Імовірність випадкової події знаходиться в межах від 0 до 1.

Класичне визначення ймовірності пов'язане з безпосереднім підрахунком ймовірності, вимагає точного знання числа всіх можливих результатів, і зручно для розрахунку ймовірності досить простих подій.

Розрахунок ймовірності більш складних подій - це складне завдання, потребує визначення чисел всіх можливих комбінацій появи цих подій. Подібними розрахунками займається спеціальна наука - комбінаторика. Тому на практиці часто використовується статистичне визначення ймовірності.

 Ціна, руб. / Кг Обсяг продажів, т Частка в загальному обсязі продажів

 15 45 0,45

 20 35 0,35

 25 20 0,2

 100 1,0

Доведено, що при багаторазовому повторенні досвіду частости досить стійкі і колеблятся близько деякого постійного числа, що представляє собою ймовірність події.

Таким чином, в умовах масових випробувань розподіл частостей перетворюється на розподіл ймовірності випадкової зміни.

Гідність статистичного визначення ймовірності в тому, що для її розрахунку не обов'язково знати кінцеве число фіналів.

Якщо класичне визначення ймовірності здійснюється апріорі (до досвіду), то статистичне апосторіорі (після досвіду за результатами).

Розподіл частостей дискретного ряду, виражених кінцевими числами, називається дискретним розподілом ймовірності.

Якщо здійснюються дослідження масових подій частостей, які розподіляються безперервно і можуть бути виражені будь-якої функцією, називаються безперервним розподілом ймовірності.

На графіку такий розподіл відбивається безперервної плавною лінією, а площа обмежена цією лінією і віссю абсцис завжди дорівнює 1.

4. Теорема додавання ймовірностей.

Сумою або об'єднанням подій Е1і Е2, називають подією Е, що складається в появі події Е1ілі Е2ілі обох цих подій.

Площа прямокутника - це простір елементарних подій (число єдино можливих равновозможних результатів). Площі кіл Е1і Е2соответственно - це числа фіналів благоприятствующих подіям Е1і Е2.

- Число появ фіналів благоприятствующих подіям Е1ілі Е2ілі обох цих подій.

Тобто ймовірність появи хоча б однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірності цих подій.

Дана формула є окремим випадком теореми додавання ймовірностей.

Доводиться загальний випадок теореми методом математичної індукції, шляхом послідовної розбивки складного події на пари.

Приклад: За результатами спостереження за продажем чоловічих костюмів отримані наступні дані про ймовірність продажу костюмів різних розмірів.

 Розмір 48 50 52 54 56 58 60

 Ймовірність 0,16 0,22 0,2 ??0,19 0,07 0,05 0,02

Сукупність єдино можливих подій називається повною групою або повною системою.

Сума ймовірностей подій, що утворюють повну систему дорівнює 1.

утворюють повну систему, тоді ймовірність появи хоча б однієї події дорівнює 1.

У той же час не спільно, тоді з теорії складання ймовірностей.

Приклад: З кожних 10 відвідувачів магазину 6 не роблять покупок.

Імовірність появи хоча б однієї з цих подій дорівнює 1.

Два одноразово можливих події, що утворюють повну групу, називаються протилежними (наприклад: орел і решка).

Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1.

Якщо випадкова подія Е має дуже малу ймовірність, то практично можна вважати, що в одиничному випробуванні ця подія не відбудеться. Якщо.

На практиці дуже малою вважається ймовірність Р (Е) ? 0,1.

Ігнорувати можливість появи рідкісних подій на увазі їх малу ймовірність на практиці можна тільки в тому випадку, якщо ця подія не має катастрофічних наслідків.

Якщо випадкова подія має ймовірність дуже близьку до 1, то в конкретному випробуванні ця подія, швидше за все, відбудеться.

5. Теорема множення ймовірностей.

Дві події вважаються незалежними, якщо ймовірність однієї з них не залежить від появи або непояви іншої події.

Незалежні події мають місце при повторному відборі, коли відібрана в першому випробуванні одиниця після реєстрації результату випробування повертається в генеральну сукупність.

Ймовірність спільного появи двох незалежних подій Е1і Е2равна добутку їх ймовірностей.

n (E1) - число фіналів сприятливих події Е1;

n (E2) - число фіналів сприятливих події Е2;

n1- число фіналів сприятливих і несприятливих події Е1;

n2- число фіналів сприятливих і несприятливих події Е2.

Оскільки кожний конкретний результат випробування може здійснитися в комбінації з будь-яким іншим можливим результатом випробування, ймовірність спільного появи подій Е1і Е2можно визначити за формулою:

Кілька подій називаються спільно незалежними або незалежними в сукупності, якщо кожна з них і будь-яка комбінація з них містить або всі інші події, або частина з них - є події незалежні.

Е1Е2Е3

Е1і Е2- незалежні;

Е1і Е3- незалежні;

Е2і Е3- незалежні;

Е1і Е2Е3- незалежні;

Е2і Е1Е3- незалежні;

Е3і Е1Е2- незалежні.

Попарно незалежність подій не означає їх незалежність сукупності, проте незалежність подій в сукупності обумовлює їх попарно незалежність.

Ймовірність спільного появи кількох подій незалежних в сукупностях дорівнює добутку ймовірностей цих подій.

Так само доводиться по методу математичної індукції (тобто послідовним розподілом на пари),

Імовірність появи хоча б однієї з незалежних в сукупності подій дорівнює різниці між 1 і твором ймовірностей протилежних подій.

Твір ймовірностей протилежних подій дозволяє визначити ймовірність їх спільного появи, то є ймовірність того, що не відбудеться жодної з подій.

Але спільна поява протилежних подій і будь-яка з подій - складають повну групу, при цьому сума ймовірностей таких подій дорівнює 1.

Приклад: Можливість придбання жіночого плаття становить 0,09.

= 0,09

= 0,03 (пальто)

= 0,02 (плащі)

Яка ймовірність, що відвідувач купить хоча б одну з цих речей?

Якщо події рівноймовірно, тобто ==, то рівноімовірні і протилежні їм події q1 = q2 = ... = qm, тоді ймовірність появи хоча б однієї з цих подій.

Дві події вважаються залежними, якщо ймовірність появи одного з них залежить від появи або непояви іншої події. Такі події (залежні) мають місце при бесповторном відборі (за схемою неповернутих кулі), коли відібрана одиниця назад в генеральну сукупність не повертається.

З залежними подіями пов'язана умовна ймовірність. Умовною ймовірністю називається ймовірність події Е, обчислена в припущенні, що подія Е1уже настав.

Приклад: З колоди вийнята карта «дама». Яка ймовірність, що вона буде чорної масті.

, Де - число фіналів благоприятствующих спільному появі подій Е і Е1, - число фіналів сприяють появі події Е1.

Знаючи числа елементарних фіналів завжди можна розрахувати умовну ймовірність.

Приклад: Вийняти карта червоної масті, яка ймовірність, що це «дама»?

Якщо події Е і Е1неравновероятни, то.

Безпосередній підрахунок умовної ймовірності вимагає знання кінцевого числа фіналів, тому більш прийнятним на практиці є розрахунок умовної ймовірності за формулою:

, Де - ймовірність спільного настання подій Е і Е1; - Ймовірність настання події Е1.

Дана формула не вимагає знання кінцевого числа фіналів, хоча є повним аналогом, по суті, попередній формулі.

Ймовірність спільного появи двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншого, обчислену в припущенні, що перша подія вже відбулося.

Якщо, то.

Приклад: Імовірність браку при поставці жіночого одягу становить 0,015. Визначити ймовірність того, що перевірені навмання 2 сукні з партії в 200 шт., Виявляться стандартними.

q = 0,015

N = 200

Імовірність стандартних суконь;

Кількість стандартних суконь

Ймовірність спільного появи кількох залежних подій дорівнює добутку ймовірності першого з них на умовні ймовірності решти, обчислені в припущенні, що це і всі попередні події вже відбулися.

6. Слідство теорем додавання і множення ймовірностей.

Площа прямокутника - це простір елементарних всіх подій. Площа кіл Е1і Е2- числа результатів, що сприяють подіям Е1і Е2.

- Число фіналів, що сприяють спільному появі подій Е1і Е2.

Припустимо нас задовольняє поява тільки одного з двох подій Е1і Е2. Якщо ці події не спільний, то їх перетин порожній безліч ?, а ймовірність появи Е1і Е2несовместімих подій визначається за формулою:

.

Однак, при спільних події нас не задовольняє ситуація, коли обидві події з'являються одночасно. Ймовірність такого результату визначається по теоремі множення ймовірностей.

Таким чином, ймовірність появи подій Е1і Е2в загальному випадку можна розрахувати за формулою:

- Для незалежних подій.

Імовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх спільної появи.

- Для залежних подій.

Приклад: Два продавця незалежно один від одного обслуговують покупців. Ймовірність того, що перший продавець зуміє продати товар 0,3, а другий - 0,2. Яка ймовірність того, що хоча б один з продавців реалізує товар?

Дану задачу можна вирішити й іншим способом, розглядаючи події, як незалежні сукупності. Тоді ймовірність, що перший продавець не сумет продати товар - 0,7, а ймовірність того, що другий не зуміє продати товар - 0,8.

Приклад: Імовірність покупки чоловічого костюма відвідувачем магазину складає 0,02, краватки - 0,1, а ймовірність покупки краватки під набутий костюм - 0,3.

Треба визначити ймовірність покупки покупцями хоча б однієї з цих речей.

Комбінація теорем додавання і множення ймовірностей виражається у формулі повної ймовірності.

Ймовірність події Е, яке може відбутися тільки при появі одного з подій, що становлять повну групу, дорівнює сумі творів ймовірностей кожного з цих подій на відповідну умовну ймовірність події Е.

За умовою достовірним є поява однієї з подій або або або. За теоремою множення ймовірностей:

Але так як всі ці події не спільний, ймовірність появи одного з них визначається по теоремі додавання ймовірностей.

Приклад: На плодоовочеву базу надійшло 4 партії картоплі. У першій партії - 95% частка стандартних бульб, у другій - 97%, в третьому - 94%, у четвертій - 91%. При цьому частка першої партії в загальному обсязі поставок - 28%, другий - 31%, третьої - 24%, четвертої - 17%. Визначити ймовірність того, що магазину, який замовив товар, дістанеться стандартна продукція.

Отриманий результат характеризує математичне очікування або ймовірність поставки стандартної продукції в магазин. Фактично це часткова середня, що показує середню частку стандартних бульб в чотирьох партіях.

7. Імовірність гіпотез. Формула Байєса.

Як уже зазначалося, практично будь-яке твердження в статистиці розглядається як гіпотеза, тобто деяке припущення про наявність, формі, тісноті взаємозв'язків.

Припустимо, подія Е наступає тільки при появі одного з несумісних подій, що утворюють повну групу. Припустимо, в результаті випробування подія Е сталося, тобто достовірним стало одна з подій або або або.

Кожна з цих подій розглядається як гіпотетичне і його ймовірність якраз визначається за формулою Байеса.

Попередній приклад: Відомо, що в магазин поставлений стандартний картоплю. Яка ймовірність того, що він з четвертої партії.

Таким чином, тільки в 16-ти випадках зі 100 доставлена ??в магазин стандартна продукція виявиться з четвертої партії.

Застосування формули Байєса дозволяє переоцінити ймовірності гіпотез за результатами випробувань, в наслідок яких з'явилося подія Е.

Гідність формули Байеса в тому, що вона може застосовуватися при відсутності відомостей про число елементарних результатів, досить знати ймовірності або частості подій.

8. Незалежні події. Біноміальний розподіл.

Припустимо подія Е у всіх випадках має одну і ту ж імовірність, тоді ймовірність протилежної події буде так само постійна і може визначатися за формулою.

Такий підхід дозволяє розглядати практично будь-який простір елементарних подій, як дихотомного (тобто складається з протилежних подій).

Припустимо, необхідно визначити ймовірність появи події Е рівно k раз в n незалежних випробуваннях. У цьому випадку подія протилежне Е станеться nk раз. Відібрати k-елементів з n можна різними способами, кожен з яких несумісні події, поява якого це результат гри випадку.

У математиці доведено, що кількість різних комбінацій з n елементів по k визначається за формулою:

,! цей твір натурального ряду чисел, кожне з яких більше попереднього на 1 (починаючи з 1).

Відповідно до теореми множення ймовірностей ймовірність появи однієї з можливих комбінацій визначається за формулою:

Формула, яка визначає ймовірність появи події Е k-раз в n-незалежних випробуваннях, називається формулою Бернуллі. А схема відбору з дихотомного сукупності схемою Бернуллі (або схемою возвращаемого кулі або схемою повторного відбору).

Приклад: Для обслуговування покупців супермаркету в годину пік без черг має працювати не менше 6 контролерів-касирів з 8. Імовірність відсутності одного з працівників становить 0,1. Знайти ймовірність роботи розрахунково-касового вузла без черг.

Оскільки нас влаштовує робота 6, 7, 8 касових кабін, то ймовірність появи одного з цих несумісних подій визначатиметься за формулою складання ймовірностей. Кожна з цих ймовірностей може визначатися за формулою Бернуллі.

Таким чином, в 96 випадках з 100 черг не буде.

Якщо при фіксованій чисельності n-повторного відбору з дихотомного сукупності змінювати величину k, то отримане розподіл ймовірності буде називатися біноміальним. Оскільки його ординати є елементи розкладання бінома.

Число настання подій в n-незалежних випробуваннях називається найімовірнішого, якщо цьому числу відповідає найбільша ймовірність.

При цьому якщо k змішане число, то в результаті вибирається найближче до цього змішаного числа, але менше його, ціле число.

У прикладі з касирами.

Математичне сподівання М (k) числа появи подій Е в n-незалежних випробуваннях дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події в кожному випробуванні.

Якщо перейти від абсолютного числа раз появи події до плотностям розподілу ймовірностей, то буде одно p.

Дисперсія біноміального розподілу, - по щільності.

Графік біноміального розподілу залежить від співвідношення p і q. Якщо p одно q і дорівнює 0,5, то розподіл симетрично, в іншому випадку (p ? q) спостерігається асиметрія або скошенность полігону.

Показник асиметрії біноміального розподілу визначається за формулою:

Якщо, то висота біноміального розподілу відповідає висоті кривої нормального розподілу. Доведено, що зі збільшенням числа випробувань значення, а біноміальний розподіл прагне до нормального розподілу.

9. Імовірність рідкісних подій. Формула Пуассона.

Застосування формули Бернуллі пов'язане з розрахунками трьох факторіалів, що при досить великих значеннях n, k, nq, ускладнює завдання. Тому статистики математики розробили ряд зразкових методів, які заміняють формулу Бернуллі при вирішенні деяких приватних і спільних завдань.

Приклад: Визначення ймовірності появи рідкісних подій, k-раз, в n незалежних випробуваннях. Причому мається на увазі нефіксоване, а нескінченно велика кількість випробувань (). При цьому. Така ймовірність визначається за формулою Пуассона (альтернативні незалежні події).

- Математичне очікування;

Формула Пуассона виводиться з формули Бернуллі і після низки перетворень виглядає наступним чином, де k - кількість разів, що станеться рідкісна подія.

Ця формула застосовується у прикладних розробках, в теорії масового обслуговування (теорії черг), яка використовується для розрахунку оптимального числа точок обслуговування, числа бензоколонок, числа робочих місць операціоністів в банку (таке число, щоб не було черг).

Крім того, формула Пуассона застосовується в ситуаціях, коли не потрібна висока точність розрахунків, а ймовірність події p не велика.

10. Локальна теорема де Муавра-Лапласа.

У 1730 р формула для наближення розрахунку значень для випадку, коли p = q = 0,5 запропонував французький математик де Муавр.

Пізніше в 1783 р Лаплас узагальнив результати, отримані де Муавром, у своїй теоремі. Якщо ймовірність p появи події Е в кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, то ймовірність появи події Е в n випробуваннях одно k раз наближено дорівнює значенню функції:

Створено спеціальні таблиці значень функції залежно від величини t. t - стандартизоване значення.

Приклад: Знайти ймовірність того, що 80 з 1000 придбають чоловіче взуття, якщо ймовірність покупки взуття p = 0,11 (за даними зі спостережень за попередній період).

1)

Оскільки у функції використана парна ступінь t - функція позитивна, тобто.

Таким чином, тільки в 404 випадках з 1 млн. Рівно 80 з 1000 відвідувачів придбають чоловіче взуття.

2)

Таким чином, в 242 випадках з 10000 рівно 120 з 1000 відвідувачів придбають чоловіче взуття.

11. Інтегральна формула Лапласа.

Локальна теорема Лапласа має важливе значення, проте її практичне значення обмежена. На практиці важливо знати ймовірність того, що подія Е станеться число разів, задане в певних межах.

Приклад: Можливість придбання покупцями чоловічого взуття від 80 до 120 чоловік з 1000.

, Тобто, дорівнює сумі ймовірностей несумісних подій покупки 1000 відвідувачів конкретного числа пар взуття в межах від 80 до 120 пар взуття.

Кожне з доданків визначається по локальній формулою Лапласа. Висока трудомісткість завдання очевидна, тому раціональним способом вирішення завдання є інтегрування локальної функції Лапласа.

Якщо ймовірність p появи подій Е в кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, то

, При цьому

Інтегрована функція описує розподіл ймовірності повної групи подій, тому її загальна площа в межах зміни t від до дорівнює 1.

Оскільки функція асимптотично наближається до осі абсцис в межах зміни t від до -5, а так само від +5 до вважається, що одиниці дорівнює площа кривої в межах ординат.

Значення функції дані в додатку 3, вони зазначені в межах від -t до + t.

Приклад: від 80 до 120

Таким чином, в 84 випадках з 100.

Складаючи і віднімаючи площі, визначені за таблицями завжди можна отримати необхідний результат.

12. Зовсім події. Гіпергеометричний розподіл.

Для виведення функції гипергеометрического розподілу проводяться випробування (вибірка) за схемою неповернутих кулі. У цьому випадку ймовірність появи події Е k-раз в n залежних випробуваннях підпадає під вплив не тільки числа відбираються одиниць n, але і чисельності всієї генеральної сукупності N.

Якщо p частка одиниць генеральної сукупності, які мають досліджуваним ознакою, а q - частка необладающіх цим ознакою, то ймовірність появи події Е k раз n залежних випробувань визначається за формулою:

, Де - число сполучень з pN = M елементів генеральної сукупності, які мають досліджуваним ознакою по k; - Число сполучень з qN = NM одиниць, необладающіх досліджуваним ознакою nk одиниць; - Число фіналів, що задовольняють і неудовлетворяющих даним випробуванню.

Математичне сподівання гипергеометрического розподілу не залежить від обсягу генеральної сукупності і як в Біноміальний розподіл визначається за формулою:

, Де - коригує дисперсію при бесповторном відборі в залежності від чисельності вибірки і генеральної сукупності.

Якщо чисельність генеральної сукупності досить велика, то, в цьому випадку, то, тобто, знаючи параметри біноміального розподілу завжди можна розрахувати параметри гипергеометрического.

13. Нормальний розподіл.

Нормальний розподіл - це найбільш важливий вид розподілу в статистиці.

Нормально розподіляються значення ознаки під впливом безлічі різних причин, які практично не взаємопов'язані один з одним і вплив кожної з яких порівняно мало, в порівнянні з дією всіх інших факторів.

Нормальний розподіл відображає варіацію значень ознаки у одиниць однорідної сукупності. Подібний розподіл спостерігається переважно в природничо-наукових випробуваннях (вимір росту, ваги).

У соціально-економічних явищах нормального розподілу дані зустрічаються рідко. Тут завжди присутні причини істотним чином впливають на рівень досліджуваного ознаки (результат управлінського впливу).

Тим не менш, гіпотеза про нормальний розподіл вихідних даних лежить в основі методології аналізу взаємозв'язків вибіркового методу і багатьох інших статистичних методів.

При досить великій кількості випробувань нормальна крива служить межею, до якого прагнуть багато видів розподілу, в тому числі биномиальное і гипергеометрическое.

Нормальний розподіл виражається функцією виду:

Ця функція характеризує щільність нормального розподілу ймовірності, її математичне очікування, а показник ступеня - стандартне значення відхилень емпіричних даних від среднеарифметических.

Масштабування даних кривої по осі x здійснюється величинами середньоквадратичного відхилення. Так як показник ступеня функції зведе в парну ступінь, функція позитивна, крива симетрична щодо середньої, тобто показник асиметрії дорівнює. Показник ексцесу кривою нормального розподілу так само дорівнює 0.

Значення параметрів і впливають на форму і положення графіка на координатної площині. Зі зміною при крива ковзає уздовж осі x. Зі зміною при чим більше тим більше плосковершинной стає нормальна крива. Нормальна крива має точки перегину з координатами. Площа, обмежена функцією і ординатами, проведеними з точок з координатами:

становить 0,6827 площі всієї кривої;

- 0,9545 площі всієї кривої;

- 0,9973 площі всієї кривої.

14. Порівняльна оцінка параметрів емпіричного і нормального розподілів. Критерій Пірсона.

Нормальний характер розподілу свідчить про кількісну однорідності статистичних даних та про відсутність будь-яких причин істотним чином визначають варіацію досліджуваного явища.

Тому статистичний аналіз нерідко починається з перевірки того, як фактично (емпірично) дані лягають на ідеальну теоретичну криву або апроксимуються (тобто вираз даних будь-якої кривої) порівняння емпіричних і теоретичних даних. Проводиться шляхом оцінки гіпотези нормального характеру розподілу. Імовірнісні статистичні припущення висуваються у вигляді нульової гіпотези. Відхилення даних емпіричних від нормальних носять випадковий характер. Оцінку нульової гіпотези в даному випадку здійснюють графічним методом або шляхом розрахунку спеціальних узагальнюючих показників подібності, званих критеріями згоди.

Незалежно від обраного методу генеральні ряди розподілу перетворюються в дискретні і стандартизируются.

Приклад: Відомо, що середньомісячна заробітна плата всіх робітників = 1402,42 руб., Середньоквадратичне відхилення = 338,58 руб.

Дані розподілу середньомісячної заробітної плати.

 Середньо-місячна заробітна плата

 Число раб-ков, (емпіреї.)

 (Теор.)

 До 700 16 600 -2,37 -2,81 0,0241 12,93 3,07 9,41 0,73

 700,1-900 56 800 -1,78 -1,58 0,0819 44,04 11,96 142,95 3,25

 900,1-1100 89 1000 -1,19 -0,71 0,1969 105,82 -16,82 282,90 2,67

 1100,1-1300 172 1200 -0,60 -0,18 0,3337 179,35 -7,35 54,05 0,30

 1300,1-1500 244 1400 -0,01 0,00 0,3989 214,44 29,56 873,70 4,07

 1500,1-1700 163 1600 0,58 -0,17 0,3365 180,87 -17,87 319,44 1,77

 1700,1-1900 93 1800 1,17 -0,69 0,2002 107,62 -14,62 213,80 1,99

 1900,1-2100 64 2000 1,76 -1,56 0,0840 45,17 18,83 354,42 7,85

 Понад 2100,1 13 2200 2,36 -2,77 0,0249 13,38 -0,38 0,14 0,01

 Разом 910 22,63

У зв'язку з тим, що табличні значення розраховані для безперервно змінюється ознаки з дисперсією рівною 1, необхідно скоригувати отримані частости на фактичну величину інтервалу і середньоквадратичне відхилення.

, Де величина інтервалу. Оскільки інтервали рівні, тоді.

Графіки не дозволяють визначити наскільки істотні відхилення, тому більш точним вважається спосіб розрахунку критеріїв згоди. Найбільш відомий з них:

Відповідно до формули, чим сильніше збіг кривих, тим менше величина. При відсутності відхилень, але навіть при невеликих відхиленнях величина залежить від числа доданків (тобто від числа груп). Якщо> 0, то необхідна його імовірнісна оцінка (стор. 368).

- Число ступенів свободи і задана ймовірність неістотності відхилень емпіричних даних і теоретичних. r - число груп, k - число параметрів, які не можна змінити.

Оскільки фактичне значення (22,63) набагато більше табличного (5,348) навіть для ймовірності 0,5, гіпотеза про випадковий характер відхилень емпіричних даних від теоретичних відхиляється.

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка