трусики женские украина

На головну

 Нечіткі множини в системах управління - Логіка

В. Я. Півкін, Є. П. Бакулін, Д. І. Кореньков

Нечіткі множини в системах управління

За редакцією

доктора технічних наук, професора Ю.М. Золотухіна

 Даний методичний посібник є введенням в теорію нечітких множин - активно розвивається в останні роки розділ математики, що дозволяє моделювати наближені міркування людини. У рукописному вигляді посібник було основою курсу лекцій, що читаються на кафедрі 'Автоматизації фізико-технічних досліджень' фізичного факультету НГУ.

Зміст

Передмову. 3

ВСТУП .. 4

1. нечітких множин .. 5

Приклади запису нечіткого безлічі. 5

Основні характеристики нечітких множин. 5

Приклади нечітких множин. 6

Про методи побудови функцій належності нечітких множин. 7

Операції над нечіткими множинами. 8

Наочне представлення операцій над нечіткими множинами. 9

Властивості операцій E і C. 9

Алгебраїчні операції над нечіткими множинами. 10

Відстань між нечіткими множинами, індекси нечіткості. 13

Принцип узагальнення. 16

2. нечітке відношення .. 17

Операції над нечіткими відносинами. 18

Композиція двох нечітких відносин. 21

Умовні нечіткі підмножини. 23

3. Нечітка І лінгвістичних змінних .. 27

Нечіткі числа. 28

Операції над нечіткими числами. 28

Нечіткі числа (L-R) -типу. 29

4. НЕЧІТКІ висловлювань і нечіткої моделі СИСТЕМ ... 32

Правила перетворень нечітких висловлювань. 33

Способи визначення нечіткої імплікації. 33

Логіко-лінгвістичний опис систем, нечіткі моделі. 35

Модель управління паровим котлом .. 36

Повнота і несуперечність правил управління. 39

Література. 40

Передмова

 Мабуть, найбільш вражаючим властивістю людського інтелекту є здатність приймати правильні рішення в обстановці неповної і нечіткої інформації. Побудова моделей наближених міркувань людини і використання їх в комп'ютерних системах майбутніх поколінь представляє сьогодні одну з найважливіших проблем науки.

Значне просування в цьому напрямку зроблено 30 років тому професором Каліфорнійського університету (Берклі) Лотфі А. Заде (Lotfi A. Zadeh). Його робота "Fuzzy Sets", що з'явилася в 1965 році в журналі Information and Control, + 8, заклала основи моделювання інтелектуальної діяльності людини і з'явилася початковим поштовхом до розвитку нової математичної теорії.

 Що ж запропонував Заде? По-перше, він розширив класичне канторовской поняття безлічі, допустивши, що характеристична функція (функція приналежності елемента безлічі) може приймати будь-які значення в інтервалі (0; 1), а не тільки значення 0 або 1. Такі безлічі були названі їм нечіткими (fuzzy ). Л. Заде визначив також ряд операцій над нечіткими множинами і запропонував узагальнення відомих методів логічного висновку modus ponens і modus tollens.

Ввівши потім поняття лінгвістичної змінної і допустивши, що в якості її значень (термів) виступають нечіткі множини, Л. Заде створив апарат для опису процесів інтелектуальної діяльності, включаючи нечіткість і невизначеність виразів.

Подальші роботи професора Л. Заде і його послідовників заклали міцний фундамент нової теорії і створили передумови для впровадження методів нечіткого управління в інженерну практику.

Вже до 1990 року з цієї проблематики опубліковано понад 10000 робіт, а число дослідників досягло 10000, причому в США, Європі та СРСР по 200-300 чоловік, близько 1000 - в Японії, 2000-3000 - в Індії і близько 5000 дослідників в Китаї.

 В останні 5-7 років почалося використання нових методів і моделей в промисловості. І хоча перші застосування нечітких систем управління відбулися в Європі, найбільш інтенсивно впроваджуються такі системи в Японії. Спектр додатків їх широкий: від управління процесом відправлення та зупинки поїзда метрополітену, управління вантажними ліфтами і доменної піччю до пральних машин, пилососів і СВЧ-печей. При цьому нечіткі системи дозволяють підвищити якість продукції при зменшенні ресурсо і енерговитрат і забезпечують більш високу стійкість до впливу чинників, що заважають в порівнянні з традиційними системами автоматичного управління.

Іншими словами, нові підходи дозволяють розширити сферу докладання систем автоматизації за межі застосовності класичної теорії. У цьому плані цікава точка зору Л. Заде: "Я вважаю, що зайве прагнення до точності стало надавати дію, що зводить нанівець теорію управління і теорію систем, так як воно призводить до того, що дослідження в цій області зосереджуються на тих і тільки тих проблемах, які піддаються точному рішенню. У результаті багато класи важливих проблем, в яких дані, цілі та обмеження є занадто складними або погано визначеними для того, щоб допустити точний математичний аналіз, залишалися і залишаються осторонь з тієї причини, що вони не піддаються математичної трактуванні. Для того щоб сказати що-небудь істотне для проблем подібного роду, ми повинні відмовитися від наших вимог точності і допустити результати, які є кілька розмитими або невизначеними ".

Зсув центру досліджень нечітких систем у бік практичних додатків призвело до постановки цілого ряду проблем таких, як нові архітектури комп'ютерів для нечітких обчислень, елементна база нечітких комп'ютерів і контролерів, інструментальні засоби розробки, інженерні методи розрахунку і розробки нечітких систем управління і багато іншого.

Основна мета пропонованого увазі читачів навчального посібника - привернути увагу студентів, аспірантів та молодих науковців до нечіткої проблематики і дати доступне введення в одну з найцікавіших областей сучасної науки.

професор Ю.Н.Золотухін

травня 1995г.ВВЕДЕНІЕ

 Математична теорія нечітких множин, запропонована Л. Заде понад чверть століття тому, дозволяє описувати нечіткі поняття і знання, оперувати цими знаннями і робити нечіткі висновки. Засновані на цій теорії методи побудови комп'ютерних нечітких систем істотно розширюють області застосування комп'ютерів. Останнім часом нечітке управління є однією з найактивніших і найрезультативніших областей досліджень застосування теорії нечітких множин. Нечітке управління виявляється особливо корисним, коли технологічні процеси є занадто складними для аналізу за допомогою загальноприйнятих кількісних методів, або коли доступні джерела інформації інтерпретуються якісно, ??неточно або невизначено. Експериментально показано, що нечітке управління дає кращі результати, порівняно з одержуваними при загальноприйнятих алгоритмах керування. Нечіткі методи допомагають керувати домною і прокатним станом, автомобілем і поїздом, розпізнавати мову і зображення, проектувати роботів, що володіють дотиком і зором. Нечітка логіка, на якій засновано нечітке управління, ближче за духом до людського мислення і природним мовам, ніж традиційні логічні системи. Нечітка логіка, в основному, забезпечує ефективні засоби відображення невизначеностей і неточностей реального світу. Наявність математичних засобів відображення нечіткості вихідної інформації дозволяє побудувати модель, адекватну реальності.

1. нечітких множин

Нехай E - універсальна множина, x - елемент E, а R - деяка властивість. Звичайне (чітке) підмножина A універсальної множини E, елементи якого задовольняють властивості R, визначається як множина впорядкованих пар A = {mA (х) / х}, де

mA (х) - характеристична функція, що приймає значення 1, якщо x задовольняє властивості R, і 0 - в іншому випадку.

Нечітка підмножина відрізняється від звичайного тим, що для елементів x з E немає однозначної відповіді "так-ні" щодо властивості R. У зв'язку з цим, нечітке підмножина A універсальної множини E визначається як множина впорядкованих пар A = {mA (х) / х }, де

mA (х) - характеристична функція приналежності (або просто функція приналежності), приймаюча значення в деякому цілком упорядкованому безлічі M (наприклад, M = [0,1]). Функція приналежності вказує ступінь (або рівень) приналежності елемента x підмножині A. Безліч M називають множиною приналежностей. Якщо M = {0,1}, то нечітке підмножина A може розглядатися як звичайна або чітке множество.Прімери записи нечіткої множини

Нехай E = {x1, x2, x3, x4, x5}, M = [0,1]; A - нечітка множина, для якого

mA (x1) = 0,3;

mA (x2) = 0;

mA (x3) = 1;

mA (x4) = 0,5;

mA (x5) = 0,9.

Тоді A можна представити у вигляді:

A = {0,3 / x1; 0 / x2; 1 / x3; 0,5 / x4; 0,9 / x5} або

A = 0,3 / x1 + 0 / x2 + 1 / x3 + 0,5 / x4 + 0,9 / x5, або

 A =

 x 1

 x 2

 x 3

 x 4

 x 5

 0,3 0 1 0,5 0,9

.

Зауваження. Тут знак "+" не є позначенням операції додавання, а має сенс об'едіненія.Основние характеристики нечітких множин

Нехай M = [0,1] і A - нечітка множина з елементами з універсальної множини E і безліччю приладдя M.

ВелічінаmA (x) називається висотою нечіткої множини A. Нечітке безліч A нормально, якщо його висота дорівнює 1, тобто верхня межа його функції приналежності дорівнює 1 (mA (x) = 1). ПріmA (x) <1 нечітка множина називається субнормальний.

Нечітке безліч порожньо, якщо "xIE mA (x) = 0. Непорожнє субнормального безліч можна нормалізувати за формулою mA (x): =.

Нечітке безліч унімодальне, mA (x) = 1 тільки на одному x з E.

Носієм нечіткої множини A є звичайне підмножина з властивістю mA (x)> 0, тобто носій A = {x / mA (x)> 0} "xIE.

Елементи xIE, для яких mA (x) = 0,5 називаються точками переходу безлічі A.Прімери нечітких множин

Нехай E = {0,1,2, .., 10}, M = [0,1]. Нечітке безліч "декілька" можна визначити наступним чином: "кілька" = 0,5 / 3 + 0,8 / 4 + 1/5 + 1/6 + 0,8 / 7 + 0,5 / 8; його характеристики: висота = 1, носій = {3,4,5,6,7,8}, точки переходу - {3,8}.

Нехай E = {0,1,2,3, ..., n, ...}. Нечітке безліч "малий" можна визначити:

"Малий" =.

Нехай E = {1,2,3, ..., 100} і відповідає поняттю "вік", тоді нечітка множина "молодий", може бути визначене за допомогою

m "молодий" (x) =.

Нечітке безліч "молодий" на універсальній множині E '= {Іванов, Петров, Сидоров, ...} задається за допомогою функції приналежності m "молодий" (x) на E = {1,2,3, .. 100} (вік ), званої по відношенню до E 'функцією сумісності, при цьому:

m "молодий" (Сидоров): = m "молодий" (x), де x - вік Сидорова.

Нехай E = {Запорожець, Жигулі, Мерседес, ....} - безліч марок автомобілів, а E '= [0, ?) - універсальна безліч "вартість", тоді на E' ми можемо визначити нечіткі множини типу: "для бідних "," для середнього класу "," престижні ", з функціями належності типу:

Маючи ці функції і знаючи вартості автомобілів з E в даний момент часу, ми тим самим визначимо на E 'нечіткі множини з цими ж назвами.

Так, наприклад, нечітка множина "для бідних", задане на універсальній множині E = {Запорожець, Жигулі, Мерседес, ....} виглядає наступним чином:

Аналогічно можна визначити Нечітке безліч "швидкісні", "середні", "тихохідні" і т.д.О методах побудови функцій приналежності нечітких множин

У наведених вище прикладах використані прямі методи, коли експерт або просто задає для кожного xIE значення mA (x), або визначає функцію сумісності. Як правило, прямі методи завдання функції приналежності використовуються для вимірних понять, таких як швидкість, час, відстань, тиск, температура і т.д., або коли виділяються полярні значення.

У багатьох завданнях при характеристиці об'єкта можна виділити набір ознак і для кожного з них визначити полярні значення, відповідні значенням функції приналежності, 0 або 1.

Наприклад в задачі розпізнавання осіб можна виділити наступні шкали:

 0 1

 x 1 висота чола низький широкий

 x 2 профіль носа кирпатий горбатий

 x 3 довжина носа короткий довгий

 x 4 розріз очей вузькі широкі

 x 5 колір очей світлі темні

 x 6 форма підборіддя загострений квадратний

 x 7 товщина губ тонкі товсті

 x 8 колір обличчя темний світлий

 x 9 обрис особи овальне квадратне

Для конкретної особи А експерт, виходячи з наведеної шкали, задає mA (x) I [0,1], формуючи векторну функцію приналежності {mA (x1), mA (x2), ... mA (x9)}.

При прямих методах використовуються також групові прямі методи, коли, наприклад, групі експертів пред'являють конкретну особу і кожен повинен дати один з двох відповідей: "ця людина лисий" або "ця людина не лисий", тоді кількість ствердних відповідей, поділене на загальне число експертів , дає значення m "лисий" (даного особи). (У цьому прикладі можна діяти через функцію сумісності, але тоді доведеться рахувати число волосинок на голові у кожного з пред'явлених експерту осіб).

Непрямі методи визначення значень функції приналежності використовуються у випадках, коли немає елементарних вимірних властивостей, через які визначається цікавить нас нечітка множина. Як правило, це методи попарних порівнянь. Якби значення функцій приналежності були нам відомі, наприклад, mA (xi) = wi, i = 1,2, ..., n, то попарні порівняння можна представити матрицею відносин A = {aij}, де aij = wi / wj ( операція ділення).

На практиці експерт сам формує матрицю A, при цьому передбачається, що діагональні елементи рівні 1, а для елементів симетричних відносно діагоналі aij = 1 / aij, тобто якщо один елемент оцінюється в a разів сильніше ніж інший, то цей останній повинен бути в 1 / a разів сильніше, ніж перший. У загальному випадку задача зводиться до пошуку вектора w, задовольняє рівнянню виду аw = lmaxw, де lmax- найбільше власне значення матриці A. Оскільки матриця А позитивна з побудови, рішення даного завдання існує і є положітельним.Операціі над нечіткими множинами

Включення.

Нехай A і B - нечіткі множини на універсальній множині E.

Кажуть, що A міститься в B, якщо "x IE mA (x) mB (x).

Позначення: A I B.

Іноді використовують термін "домінування", тобто у разі коли A I B, кажуть, що B домінує A.

Рівність.

A і B рівні, якщо "xIE mA (x) = mB (x).

Позначення: A = B.

Доповнення.

Нехай M = [0,1], A і B - нечіткі множини, задані на E. A і B доповнюють один одного, якщо

"XIE mA (x) = 1 - mB (x).

Позначення: B = або A =.

Очевидно, що = A. (Додаток визначено для M = [0,1], але очевидно, що його можна визначити для будь-якого впорядкованого M).

Перетин.

ACB - найбільша нечітка підмножина, що міститься одночасно в A і B.

mACB (x) = min (mA (x), mB (x)).

Об'єднання.

А E В - найменша нечітка підмножина, що включає як А, так і В, з функцією приналежності:

mAE B (x) = max (mA (x), mB (x)).

Різниця.

А - B = АCс функцією приналежності:

mA-B (x) = mA C (x) = min (mA (x), 1 - mB (x)).

Діз'юнктівная сума.

АAB = (А - B) E (B - А) = (А C) E (C B) з функцією приналежності:

mA-B (x) = max {[min {mA (x), 1 - mB (x)}]; [min {1 - mA (x), mB (x)}]}

Приклади.

Нехай:

A = 0,4 / x1 + 0,2 / x2 + 0 / x3 + 1 / x4;

B = 0,7 / x1 + 0,9 / x2 + 0,1 / x3 + 1 / x4;

C = 0,1 / x1 + 1 / x2 + 0,2 / x3 + 0,9 / x4.

Тут:

AIB, тобто A міститься в B або B домінує A, С незрівнянно ні з A, ні з B, тобто пари {A, С} і {A, С} - пари недомініруемих нечітких множин.

A ? B ? C.

= 0,6 / x1 + 0,8 / x2 + 1 / x3 + 0 / x4;

= 0,3 / x1 + 0,1 / x2 + 0,9 / x3 + 0 / x4.

ACB = 0,4 / x1 + 0,2 / x2 + 0 / x3 + 1 / x4.

АEВ = 0,7 / x1 + 0,9 / x2 + 0,1 / x3 + 1 / x4.

А - В = АC = 0,3 / x1 + 0,1 / x2 + 0 / x3 + 0 / x4;

В - А = C В = 0,6 / x1 + 0,8 / x2 + 0,1 / x3 + 0 / x4.

А A В = 0,6 / x1 + 0,8 / x2 + 0,1 / x3 + 0 / x4.Наглядное представлення операцій над нечіткими множинами

 Для нечітких множин можна будувати візуальне подання. Розглянемо прямокутну систему координат, на осі ординат якої відкладаються значення mA (x), на осі абсцис в довільному порядку розташовані елементи E (ми вже використали таке подання в прикладах нечітких множин). Якщо E за своєю природою впорядковано, то цей порядок бажано зберегти в розташуванні елементів на осі абсцис. Таке уявлення робить наочними прості операції над нечіткими множинами.

На верхній частині малюнка заштрихована частина відповідає нечіткій множині A і, якщо говорити точно, зображує область значень А і всіх нечітких множин, що містяться в A. На нижній - дані, AC, AE.Свойства операцій E і C.

Нехай А, В, С - нечіткі множини, тоді виконуються наступні властивості:

- Комутативність;

- Асоціативність;

- Ідемпотентність;

- Дистрибутивность;

AE? = A, де ? - порожня множина, тобто m? (x) = 0 "> xIE;

AC? = ?;

ACE = A, де E - універсальна множина;

AEE = E;

- Теореми де Моргана.

На відміну від чітких множин, для нечітких множин в загальному випадку:

AC? ?,

AE? E.

(Що, зокрема, проілюстровано вище в прикладі наочного подання нечітких множин).

Зауваження. Введені вище операції над нечіткими множинами засновані на використанні операцій max та min. У теорії нечітких множин розробляються питання побудови узагальнених, параметрезованих операторів перетину, об'єднання і доповнення, що дозволяють врахувати різноманітні смислові відтінки відповідних їм зв'язок "і", "або", "не".

Один з підходів до операторів перетину та об'єднання полягає в їх визначенні в класі трикутних норм і конорм.

Трикутної нормою (t-нормою) називається двомісна дійсна функція T: [0,1] '[0,1] ® [0,1], яка задовольняє таким умовам:

T (0,0) = 0; T (mA, 1) = mA; T (1, mA) = mA- обмеженість;

T (mA, mB) ? T (mC, mD), якщо mA ? mC, mB ? mD- монотонність;

T (mA, mB) = T (mB, mA) - комутативність;

T (mA, T (mB, mC)) = T (T (mA, mB), mC) - асоціативність;

Простим випадком трикутних норм є:

min (mA, mB)

твір mA ? mB

max (0, mA + mB-1).

Трикутної конормой (t-конормой) називається двомісна дійсна функція ^: [0,1] '[0,1] ® [0,1], з властивостями:

T (1,1) = 1; T (mA, 0) = mA; T (0, mA) = mA- обмеженість;

T (mA, mB) ? T (mC, mD), якщо mA?mC, mB?mD- монотонність;

T (mA, mB) = T (mB, mA) - комутативність;

T (mA, T (mB, mC)) = T (T (mA, mB), mC) - асоціативність.

Приклади t-конорм:

max (mA, mB)

mA + mB- mA ? mB

min (1, mA + mB) .Алгебраіческіе операції над нечіткими множинами

Алгебраїчне твір A і B позначається A ? B і визначається так:

"XIE mA ? B (x) = mA (x) mB (x).

Алгебраїчна сума цих множин обозначаетсяі визначається так:

"XIE = mA (x) + mB (x) -mA (x) mB (x).

Для операцій {?,} виконуються властивості:

- Комутативність;

- Асоціативність;

A ? ? = ?, A? = A, A ? E = A, AE = E

- Теореми де Моргана.

Не виконуються:

- Ідемпотентність;

- Дистрибутивность;

а також A ? = ?, A = E.

Зауваження. Докази приводяться властивостей операцій над нечіткими множинами ми залишаємо читачеві.

Для прикладу доведемо властивість :. Позначимо mA (x) через a, mB (x) через b. Тоді в лівій частині для кожного елемента х маємо: 1-ab, а в правій: (1-a) + (1-b) - (1-a) (1-b) = 1-a + 1-b-1 + a + b-ab = 1-ab. ?

Доведемо, що властивість дистрибутивности не виконується, тобто A ? (BC) ? (A ? B) (A ? C). Для лівій частині маємо: a (b + c-bc) = ab + ac-abc; для правої: ab + ac- (ab) (ac) = ab + ac + a2bc. Це означає, що дистрибутивность не виконується при a?a2. ?

Зауваження. При спільному використанні операцій {E, C, +, ?} виконуються властивості:

А ? (BEC) = (A ? B) E (A ? C);

А ? (BCC) = (A ? B) C (A ? C);

А (BEC) = (AB) E (AC);

А (BCC) = (AB) C (AC).

Продовжимо огляд основних операцій над нечіткими множинами.

На основі операції алгебраїчного твору (принаймні для цілих a ця основа очевидна) визначається операція зведення в ступінь a нечіткої множини A, де a - позитивне число. Нечітке безліч Aa визначається функцією приналежності mAa = maA (x). Окремим випадком зведення в ступінь є:

CON (A) = A2- операція концентрування,

DIL (A) = A0,5- операція розтягування,

які використовуються при роботі з лінгвістичними невизначеностями.

Множення на число. Якщо a - позитивне число, таке, що amA (x) ? 1, то нечітка множина aA має функцію приналежності:

maA (x) = amA (x).

Опукла комбінація нечітких множин. Нехай A1, A2, .., An- нечіткі множини універсальної множини E, а w1, w2, ..., wn- невід'ємні числа, сума яких дорівнює 1.

Опуклою комбінацією A1, A2, .., Anназивается нечітка множина A з функцією приналежності:

"XIE mA (x1, x1, ..., xn) = w1mA1 (x) + w2mA2 (x) + ... + wnmAi (x).

Декартовій твір нечітких множин. Нехай A1, A2, ..., An- нечіткі підмножини універсальних множин E1, E2, ..., Enсоответственно. Декартовій твір A = A1'A2' ...'Anявляется нечітким підмножиною множини E = E1'E2' ...'Enс функцією приналежності:

mA (x1, x1, ..., xn) = min {mA1 (x1), mA2 (x2), ..., mAi (xn)}.

Оператор збільшення нечіткості використовується для перетворення чітких множин в нечіткі і для збільшення нечіткості нечіткої множини.

Нехай A - нечітка множина, E - універсальна множина і для всіх xIE визначені нечіткі множини K (х). Сукупність усіх K (х) називається ядром оператора збільшення нечіткості Ф. Результатом дії оператора Ф на нечітка множина A є нечітка множина виду:

Ф (A, K) = mA (x) K (х),

де mA (x) K (х) - твір числа на нечітка множина.

Приклад:

E = {1,2,3,4};

A = 0,8 / 1 + 0,6 / 2 + 0/3 + 0/4;

K (1) = 1/1 + 0,4 / 2;

K (2) = 1/2 + 0,4 / 1 + 0,4 / 3;

K (3) = 1/3 + 0,5 / 4;

K (4) = 1/4.

Тоді

Ф (A, K) = mA (1) K (1) EmA (2) K (2) EmA (3) K (3) EmA (4) K (4) =

= 0,8 (1/1 + 0,4 / 2) E 0,6 (1/2 + 0,4 / 1 + 0,4 / 3) =

= 0,8 / 1 + 0,6 / 2 + 0,24 / 3.

Чітке безліч a-рівня (або рівня a). Безліччю a-рівня нечіткої множини A універсальної множини E називається чітке підмножина Aa універсальної множини E, яке визначається у вигляді:

Aa = {x / mA (x) ?a}, де a ? 1.

Приклад: A = 0,2 / x1 + 0 / x2 + 0,5 / x3 + 1 / x4,

тоді A0.3 = {x3, x4},

A0.7 = {x4}.

Досить очевидне властивість: якщо a1?a2, то Aa1 ? Aa2.

Теорема про декомпозиції. Усяке нечітка множина A розкладені по його безлічам рівня у вигляді:

A = aAa, де aAa- твір числа a на безліч A, і a "пробігає" область значень M функції належності нечіткої множини A.

Приклад: A = 0,1 / x1 + 0 / x2 + 0,7 / x3 + 1 / x4представімо у вигляді:

A = 0,1 (1,0,1,1) E 0,7 (0,0,1,1,) E 1 (0,0,0,1) =

= (0,1 / x1 + 0 / x2 + 0,1 / x3 + 0,1 / x4) E (0 / x1 + 0 / x2 + 0,7 / x3 + 0,7 / x4) E

E (0 / x1 + 0 / x2 + 0 / x3 + 1 / x4) = 0,1 / x1 + 0 / x2 + 0,7 / x3 + 1 / x4.

Якщо область значень функції приналежності складається з n градацій a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an, то A (при фіксованих значеннях градацій) представимо у вигляді:

A = aiAai,

тобто визначається сукупністю звичайних множин {Aa1, Aa2, ..., Aai}, де Aa1?Aa2?, ..., ?Aai.Расстояніе між нечіткими множинами, індекси нечіткості

Нехай A і B - нечіткі підмножини універсальної множини E. Введемо поняття відстані r (A, B) між нечіткими множинами. При введенні відстані звичайно пред'являються такі вимоги:

r (A, B) ? 0 - неотрицательность;

r (A, B) = r (B, A) - симетричність;

r (A, B) До цих трьох вимогам можна додати четверте: r (A, A) = 0.

Визначимо наступні відстані за формулами:

Відстань Хеммінга (або лінійне відстань):

r (A, B) = ?mA (xi) - mB (xi) ?.

Очевидно, що r (A, B) I [0, n].

Евклидово або квадратичне відстань:

e (A, B) =, e (A, B) I [0,].

Відносне відстань Хеммінга:

r (A, B) =, r (A, B) I [0,1].

Відносне евклідова відстань:

e (A, B) =, e (A, B) I [0,1].

Відстань Хеммінга і квадратичне відстань, у разі коли E нескінченно, визначаються аналогічно з умовою збіжності відповідних сум:

якщо E рахункове, то

r (A, B) = ?mA (xi) - mB (xi) ?,

e (A, B) =;

якщо E = R (числова вісь), то

r (A, B) =,

e (A, B) =.

Зауваження. Тут наведено два найбільш часто зустрічаються визначення поняття відстані. Зрозуміло, для нечітких множин можна ввести й інші визначення поняття відстані.

 Перейдемо до індексів нечіткості або показниками розмитості нечітких множин.

Якщо об'єкт х має властивість R (що породжує нечітка множина A) лише у приватній міру, тобто

0У загальному випадку показник розмитості нечіткої множини можна визначити у вигляді функціонала d (A) зі значеннями в R (позитивна піввісь), що задовольняє умовам:

d (A) = 0 тоді і тільки тоді, коли А - звичайне безліч;

d (A) максимально тоді і тільки тоді, коли mA (x) = 0.5 для всіх xIE.

d (A) d (B), якщо A є загостренням B, тобто

mA (x) ? mB (x) при mB (x) <0,5;

mA (x) ?mB (x) при mB (x)> 0,5;

mA (x) - будь при mB (x) = 0,5.

d (A) = d () - симетричність по відношенню до 0,5.

d (AEB) + d (ACB) = d (A) + d (B).

Зауваження. Наведена система аксіом при введенні конкретних показників розмитості часто використовується частково, тобто, наприклад, обмежуються властивостями P1, P2 і P3, або деякі властивості посилюються або послаблюються в залежності від розв'язуваної задачі.

Розглянемо індекси нечіткості (показники розмитості), які можна визначити, використовуючи поняття відстані.

Звичайне безліч, найближчим до нечіткого

Нехай A - нечітка множина. Питання: яке звичайне безліч AIE є найближчим до A, тобто знаходиться на мінімальному евклідовому відстані від нечіткої множини A. Таким підмножиною, що позначається A, є підмножиною з характеристичною функцією:

.

Зазвичай приймають mA (xi) = 0, якщо mA (xi) = 0,5.

Використовуючи поняття звичайного множини, найближчого до нечіткому, введемо такі індекси нечіткості нечіткої множини А.

Лінійний індекс нечіткості:

Тут r (A, A) - лінійне (хеммінгово) відстань, множник -Забезпечує виконання умови 0Квадратичний індекс нечіткості

, 0Тут e (A, A) - квадратичне (евклидово) відстань.

Зауваження.

1. Ми ввели лінійний і квадратичний індекси нечіткості, використовуючи поняття відстані і поняття звичайного множини, найближчого до нечіткому. Ці ж індекси можна визначити, використовуючи операцію доповнення, наступним чином:

- Лінійний індекс,

- Квадратичний індекс.

2. Відзначимо наступні властивості, пов'язані з найближчим звичайним безліччю:

АCВ = АCВ,

АEВ = АEВ;

а також "xIE: | mA (xi) -mA (xi) | =, звідки для лінійного індексу нечіткості маємо:

,

тобто в цьому поданні стає очевидним, що d (A) = d ().

3. Нечітке безліч з функцією прінадлежностііногда називають векторним індикатором нечіткості.

Оцінка нечіткості через ентропію

Обмежимося випадком кінцевого універсальної множини. Ентропія системи з n станами e1, e2, ..., en, з якими пов'язані ймовірності p1, p2, ..., pnопределяется виразом:

H (p1, p2, ..., pn) = -piln pi, Hmin = 0, Hmax = 1.

У разі нечітких множин покладемо:

pA (xi) =

Тоді загальну формулу, що дозволяє підрахувати ентропію по нечіткості, можна записати в наступному вигляді:

H (pA (x1), pA (x2), ..., pA (xn)) = -pA (xi) ln pA (xi).

Зауваження. Спроби використання ентропії в теорії нечітких множин (у наведеному вище вигляді) показали, що це не найкращий спосіб оцінки. Однак роботи з узагальнення поняття ентропії для нечітких множин продолжаются.Прінціп узагальнення

Принцип узагальнення - одна з основних ідей теорії нечітких множин - носить евристичний характер і використовується для розширення області застосування нечітких множин на відображення. Нехай X і Y - два заданих універсальних множини. Кажуть, що є функція, визначена на X зі значенням в Y, якщо, в силу деякого закону f, кожному елементу XIX відповідає елемент yIY.

Коли функцію f: X®Y називають відображенням, значення f (x) IY, яке вона приймає на елементі xIX, зазвичай називають чином елемента x.

Чином безлічі АIХ при відображенні с®Y називають безліч f (A) IY тих елементів Y, які є образами елементів множини А.

Зауваження. Ми нагадали класичне визначення відображення, яке в теорії нечітких множин прийнято називати чітким відображенням, тому поряд з ним ми введемо поняття нечіткого відображення (або нечіткої функції).

Будемо говорити, що мається нечітка функція f, визначена на X зі значенням в Y, якщо вона кожному елементу xIX ставить у відповідність елемент yIY зі ступенем приналежності mf (x, y). Нечітка функція f визначає нечітке відображення f: XY.

Принцип узагальнення полягає в тому, що при заданому чіткому f: X®Y або нечіткому f: XY відображенні для будь-якого нечіткої множини А, заданого на Х, визначається нечітка множина f (A) на Y, що є чином A.

Нехай f: X®Y задане чітке відображення,

а A = {mA (x) / х} - нечітка множина в Х. Тоді чином А при відображенні f є нечітка множина f (A) на Y з функцією приналежності:

mf (A) (y) = mA (x); yIY,

де f-1 (y) = {x / f (x) = y}.

У разі нечіткого відображення f: XY, коли для будь-яких xIX і yIY визначена двомісна функція приналежності mf (x, y), образом нечіткої множини А, заданого на Х, є нечітка множина f (A) на Y з функцією приналежності:

mf (A) (y) = min (mA (x), mf (x, y)).

Зауваження. Ми не наводимо прикладів використання принципу узагальнення. Пропонуємо подумати, яким чином можна визначити нечітке число і як за допомогою принципу узагальнення (не забуваючи декартова твори) і класичних операцій зведення числа в ступінь (одномісна), додавання і множення (двомісні) отримувати відповідні нечіткі результати. До нечітким відображенням ми повернемося, коли будемо розглядати поняття нечіткого відносини.

2. нечітке відношення

Нехай Е = Е1'Е2' ...'Еn- пряме твір універсальних множин і М - деяка безліч приладдя (наприклад М = [0,1]). Нечітке n-арное ставлення визначається як нечітке підмножина R на E, яка приймає свої значення в М. У разі n = 2 і М = [0,1], нечітким відношенням R між множинами X = Е1і Y = Е2будет називатися функція R: (X , Y) ® [0,1], яка ставить у відповідність кожній парі елементів (х, y) IX'Y величину mR (x, y) I [0,1]. Позначення: нечітке відношення на X'Y запишеться у вигляді: xIX, yIY: xRy. У випадку, коли X = Y, тобто X і Y збігаються, нечітке відношення R: X'X® [0,1] називається нечітким відношенням на множині X.

Приклади:

Нехай X = {x1, x2, x3}, Y = {y1, y2, y3, y4}, М = [0,1]. Нечітке відношення R = XRY може бути задане, наприклад, таблицею:

 y 1

 y 2

 y 3

 y 4

 x 1 0 0 0,1 0,3

 x 2 0 0,8 1 0,7

 x 3 1 0,5 0,6 1

Нехай X = Y = (-,), тобто множина всіх дійсних чисел. Ставлення x >> y (x багато більше y) можна задаеть функцією приналежності:

Відношення R, для якого mR (x, y) = ek (xy) 2, при досить великих k можна інтерпретувати так: "x і y близькі один до одного числа".

У разі кінцевих або рахункових універсальних множин очевидна інтерпретація нечіткого відносини у вигляді нечіткого графа, в якому пара вершин (xi, xj) у разі XRX з'єднується ребром з вагою mR (xi, xj), у разі XRY пара вершин (xi, yj) з'єднується ребром c вагою mR (xi, yj).

Приклади:

Нехай Х = {x1, x2, x3}, і задано нечітке відношення R: X'X® [0,1], представимое графом:

Нехай X = {x1, x2} і Y = {y1, y2, y3}, тоді нечіткий граф виду:

задає нечітке відношення XRY.

Зауваження. У загальному випадку нечіткий граф може бути визначений на деякому GIX'Y, де G - безліч впорядкованих пар (x, y) (необов'язково усіх можливих) таке, що GC = ? і GE = X'Y.

Будемо використовувати обозначеніявместоівместо.

Нехай R: X'Y® [0,1].

Носій нечіткого відносини.

Носієм нечіткої відносини R називається звичайне безліч впорядкованих пар (x, y), для яких функція приналежності позитивна:

S (R) = {(x, y): mR (x, y)> 0}.

Нечітке відношення містить дане нечітке відношення, або міститься в ньому.

Нехай R1і R2- два нечітких відносини такі, що:

"(X, y) IX' Y: mR1 (x, y) ? mR2 (x, y),

тоді кажуть, що R2содержіт R1ілі R1содержітся в R2.

Позначення: R1IR2.

Приклад:

Відносини R1, R2- відносини типу y >> x (y багато більше x). При k2> k1отношеніе R2содержіт R1.Операціі над нечіткими відносинами

Об'єднання двох відносин R1і R2.

Об'єднання двох відносин позначається R1ER2і визначається виразом:

mR1ER2 (x, y) = mR1 (x, y) U mR2 (x, y)

Приклади:

1. Нижче зображені стосунки дійсних чисел, змістовно означають: xR1y - "числа x і y дуже близькі", xR2y - "числа x і y дуже різні" і їх об'єднання xR1ER2y - "числа x і y дуже близькі або дуже різні".

Функції приналежності відносин задані на | yx |.

 m R1 E R2 (x, y) =

?

?

?

 m R1 (x, y), | y - x | ? a

 m R2 (x, y), | y - x |> a

де a - таке | yx |, що mR1 (x, y) = mR2 (x, y)

2.

 R 1

 y 1

 y 2

 y 3

 x 1 0,1 0 0,8

 x 1 лютого 0,7 0

 R 2

 y 1

 y 2

 y 3

 x 1 0,7 0,9 1

 x 2 0,3 0,4 0,5

 R 1 ER 2

 y 1

 y 2

 y 3

 x 1 0,7 0,9 1

 x 1 лютого 0,7 0,5

Перетин двох відносин.

Перетин двох відносин R1і R2обозначается R1CR2і визначається виразом:

mR1CR2 (x, y) = mR1 (x, y) U mR2 (x, y)

.

Приклади:

1. Нижче зображені відносини: xR1y, що означає "модуль різниці | yx | близький до a", xR2y, що означає "модуль різниці | yx | близький до b", і їх перетин.

Алгебраїчне твір двох відносин.

Алгебраїчне твір двох відносин R1і R2обозначается R1 ? R2і визначається виразом:

mR1 ? R2 (x, y) = mR1 (x, y) ? mR2 (x, y)

Алгебраїчна сума двох відносин.

Алгебраїчна сума двох відносин R1і R2обозначается R1R2і визначається виразом :.

Для введених операцій справедливі наступні властивості дистрибутивности:

R1C (R2ER3) = (R1CR2) E (R1CR3),

R1E (R2CR3) = (R1ER2) C (R1ER3),

R1 ? (R2ER3) = (R1 ? R2) E (R1 ? R3),

R1 ? (R2CR3) = (R1 ? R2) C (R1 ? R3),

R1 (R2ER3) = (R1R2) E (R1R3),

R1 (R2CR3) = (R1R2) C (R1R3).

Доповнення відносини.

Доповнення відносини R обозначаетсяі визначається функцією приналежності:

(X, y) = 1 - mR (x, y)

.

Діз'юнктівная сума двох відносин.

Діз'юнктівная сума двох відносин R1і R2обозначается RAR і визначається виразом:

R1AR2 = (R1C2) E (1CR2).

Звичайне відношення, найближчим до нечіткого.

Нехай R - нечітке відношення з функцією приналежності mR (x, y). Звичайне відношення, найближчим до нечіткого, позначається R і визначається виразом:

За домовленістю приймають mR (x, y) = 0 при mR (x, y) = 0,5.

Проекції нечіткого відносини.

Нехай R - нечітке відношення R: (x, y) ® [0,1]. Першою проекціейотношенія R (проекція на X) називається нечітка множина, задана на безлічі X, з функцією приналежності:

.

Аналогічно, другий проекцією (проекцією на Y) називається нечітка множина, задана на безлічі Y, з функцією приналежності:

.

Величина h (R) = називається глобальної проекцією відносини R. Якщо h (R) = 1, то відношення R нормально, в іншому випадку - субнормального.

Приклад:

 R =

 y 1

 y 2

 y 3

 y 4

 y 5

 x 1 0,1 0,2 1 0,3 0,9

 x 2 0,9 0,1 0,5 0,8 0,5

 x 3 0,4 0 0,6 1 0,3

 1-а проекція

1

 0,9

1

 = R 1 '

 R 2 '=

 0,9 0,2 1 1 0,9

1

 = H (R)

 2-а проекція

Циліндричні продовження проекцій нечіткого відносини

Проекції R1 ? і R2 ? нечіткого відносини XRY в свою чергу визначають в X'Y нечіткі отношеніяіс функціями приналежності:

(X, y) = (x) при будь-якому y, (x, y) = (y) при будь-якому x,

звані, відповідно, циліндричним продовженням R1 'і циліндровим продовженням R2'.

Зауваження. Очевидно, що для будь-яких нечітких підмножин А і В, визначених, відповідно, на X і Y, можна побудувати їх циліндричні продовження А і В.

Приклад (продовження):

Маємо:

 R 1 '=

 x 1 січня

 x 2 0,9

 x 3 січня

=

 y 1

 y 2

 y 3

 y 4

 y 5

 x 1 1 1 1 1 січня

 x 2 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9

 x 3 січня 1 1 1 1

и

 R 2 '=

 y 1

 y 2

 y 3

 y 4

 y 5

 0,9 0,2 1 1 0,9

=

 x 1 0,9 0,2 1 1 0,9

 x 2 0,9 0,2 1 1 0,9

 x 3 0,9 0,2 1 1 0,9

Сепарабельного відносин

Нечітке відношення XRY називається сепарабeльним, якщо воно дорівнює перетинанню циліндричних продовжень своїх проекцій, тобто якщо R = C, тобто mR (x, y) = (x) C (y).

Зауваження. Якщо визначено декартовій твір нечітких множин (вище воно введено), то, очевидно, нечітке відношення XRY сепарабельного, якщо воно є декартовим твором своїх проекцій, тобто R = R1''R2 '.

Приклад (продовження):

 C =

 y 1

 y 2

 y 3

 y 4

 y 5

 x 1 0,9 0,2 1 1 0,9

 x 2 0,9 0,2 0,9 0,9 0,9

 x 3 0,9 0,2 1 1 0,9

 ? R,

тобто вихідне відношення R несепарабельно.Композіція двох нечітких відносин

Композиція двох нечітких відносин

Нехай R1- нечітке відношення R1: (X'Y) ® [0,1] між X і Y, і R2- нечітке відношення R2: (Y'Z) ® [0,1] між Y і Z. Нечітке відношення між X і Z, що позначається R2 · R1, певне через R1і R2вираженіем

mR1 · R2 (x, z) = [mR1 (x, y) LmR1 (y, z)],

називається (max-min) -композиції відносин R1і R2.

Приклади:

 R 1

 y 1

 y 2

 y 3

 x 1 0,1 0,7 0,4

 x 1 лютого 0,5 0

 R 2

 z 1

 z 2

 z 3

 z 4

 y 1 0,9 0 1 0,2

 y 2 0,3 0,6 0 0,9

 y 3 0,1 1 0 0,5

 R 2 · R 1

 z 1

 z 2

 z 3

 z 4

 x 1 0,3 0,6 0,1 0,7

 x 2 0,9 0,5 1 0,5

mR1 · R2 (x1, z1) = [mR1 (x1, y1) L mR2 (y1, z1)] V [mR1 (x1, y2) L mR2 (y2, z1)] V [mR1 (x1, y3) L mR2 (y3, z1)] =

= (0,1L0,9) V (0,7L0,3) V (0,4L0,1) = 0,1V0,3V0,1 = 0,3

mR1 · R2 (x1, z2) = (0,1L0) V (0,7L0,6) V (0,4L 1) = 0V0,6V0,4 = 0,6

mR1 · R2 (x1, z3) = 0,1

...................

...................

mR1 · R2 (x2, z5) = 0,5

Зауваження. У даному прикладі спочатку використаний "аналітичний" спосіб композиції відносин R1і R2, тобто i-й рядок R1 "множиться" на j-й стовпець R2с використанням операції L, отриманий результат "згортається" з використанням операції V в m (xi, zj).

Нижче наведені графи, відповідні R1і R2, "склеєні" по Y. В отриманому графі розглядаємо шляху від xiк zjі кожному ставимо у відповідність мінімальний з "ваг" його складових. Потім визначаємо максимум по всіх шляхах з XIв zj, який і дає шукане m (xi, zj).

Властивості max-min композиції

Операція (max-min) -композиції асоціативна, тобто

R3 · (R2 · R1) = (R3 · R2) · R1,

дистрибутивну щодо об'єднання, але недістрібутівна щодо перетину:

R3 · (R2E R1) = (R3 · R2) E (R3 · R1),

R3 · (R2C R1) ? (R3 · R2) C (R3 · R1).

Крім того, для (max-min) -композиції виконується наступне важлива властивість: якщо R1IR2то, R · R1IR · R2.

(Max- *) - композиція

У виразі mR1 · R2 (x, z) = [mR1 (x, y) LmR2 (y, z)] для (max-min) -композиції відносин R1і R2операцію L можна замінити будь-який інший, для якої виконуються ті ж обмеження, що і для L: асоціативність і монотонність (в сенсі неубиванія) по кожному аргументу. Тоді:

mR1 · R2 (x, z) = [mR1 (x, y) * mR1 (y, z)]

Зокрема, операція L може бути замінена алгебраїчним множенням, тоді говорять про (max - prod) -композиції.

Звичайне підмножина a - рівня нечіткого відносини

Звичайним підмножиною a - рівня нечіткого відношення R називається чітке (звичайне) ставлення Ra таке, що

mR1 (x, y) =

Очевидно, що з a1 ? a2следует Ra1? Ra2.

Теорема декомпозиції

Будь-яке нечітке відношення R представимо у формі:

R = a ? Ra, 0де a ? Raозначает, що всі елементи Raумножаются на a.Условние нечіткі підмножини.

Нехай X і Y - універсальні множини, взаємозв'язок яких задана нечітким відношенням R: (X'Y) ® [0,1], тобто для кожної пари (x, y) IX'Y задано значення функції приналежності mR (x, y) I [0,1].

Нехай А - деякий нечітка множина, задане на Х, тобто визначена функція приналежності mA (x) для всіх х з Х. Тоді нечітка множина А і нечітке відношення R індукують в Y нечітке підмножина B з функцією приналежності

mB (y) = min [mA (x), mR (x, y)] = [mA (x) L mR (x, y)].

Позначення: B = A · R.

Приклад:

Нехай X = {x1, x2, x3}, Y = {y1, y2, y3, y4} і задані нечітке відношення

 XRY =

 y 1

 y 2

 y 3

 y 4

 x 1 0,8 1 0 0,3

 x 2 0,8 0,3 0,8 0,2

 x 3 0,2 0,3 0 0,4

і нечітка множина A = {0,3 / x1,0,7 / x2,1 / x3}.

Проведемо операцію L для А і шпальти y1:

 x 1

 x 2

 x 3

 0,3 0,7 1

L

 y 1

 0,8

 0,8

 0,2

=

 y 1

 0,3L0,8

 0,7L0,8

 1L0,2

=

 y 1

 0,3

 0,7

 0,2

Після виконання операції V на елементах отриманого стовпчика маємо:

mB (y1) = 0,3V0,7V0,2 = 0,7.

Проробивши аналогічні обчислення для y2, y3, y4імеем:

mB (y2) = 0,3

mB (y3) = 0,7

mB (y4) = 0,4.

І остаточно:

 A R B

 0,3 0,7 1

·

 0,8 1 0 0,3

 0,8 0,3 0,8 0,2

 0,2 0,3 0 0,4

=

 0,7 0,3 0,7 0,4

Зауваження. При заданому R, якщо А індукує В, то найближчим чітке підмножина А індукує В.

Нечіткі підмножини послідовно обумовлюють один одного

Якщо

А1індуцірует А2посредством R1,

А2індуцірует А3посредством R2,

.............................................

Аn-1індуцірует Аnпосредством Rn-1,

то

А1індуцірует Аnпосредством Rn-1 · Rn-2 · ... · R1,

де Rn-1 · Rn-2 · ... · R1- певна вище композиція нечітких відносин R1, R2, ..., Rn.

Приклад:

Повернемося до прикладу (max-min) -композиції.

 R 1 ·

 R 2 =

 R 1 · R 2

 y 1

 y 2

 y 3

 x 1 0,1 0,7 0,4

 x 1 лютого 0,5 0

 z 1

 z 2

 z 3

 z 4

 y 1 0,9 0 1 0,2

 y 2 0,3 0,6 0 0,9

 y 3 0,1 1 0 0,5

 z 1

 z 2

 z 3

 z 4

 x 1 0,3 0,6 0,1 0,7

 x 2 0,9 0,5 1 0,5

Нехай А = {0,3 / x1, 0,7 / x2}, тоді

 А 1

 R 1

 А 2

 0,3 0,7

·

 0,1 0,7 0,4

 1 0,5 0

=

 0,7 0,5 0,3

 А 2

 R 2

 А 3

 0,7 0,5 0,3

·

 0,9 0 1 0,2

 0,3 0,6 0 0,9

 0,1 1 0 0,5

=

 0,7 0,5 0,7 0,5

 А 1

 R 1 · R 2

 А 3

 0,3 0,7

·

 0,3 0,6 0,1 0,7

 0,9 0,5 1 0,5

=

 0,7 0,5 0,7 0,5

Трохи про бінарних відносинах виду XRX

Нечіткі відношення виду XRX задаються функцією приналежності mR (x, y), але з умовою, що x і y - елементи одного і того ж універсального безлічі. Залежно від своїх властивостей (основні - симетричність, рефлексивність, транзитивність) конкретні нечіткі відносини задають відносини подібності та відмінності, порядку або слабкого порядку між елементами Х. Вони мають велику сферу додатків в задачах автоматичної класифікації та прийняття рішень (порівняння альтернатив).

3. Нечітка І лінгвістичних змінних

Поняття нечіткої і лінгвістичної змінних використовується при описі об'єктів і явищ за допомогою нечітких множин.

Нечітка змінна характеризується трійкою , Де

a - найменування змінної,

X - універсальна безліч (область визначення a),

A - нечітка множина на X, що описує обмеження (тобто mA (x)) на значення нечіткої змінної a.

Лінгвістичної змінної називається набір , Де

b - найменування лінгвістичної змінної;

Т - безліч її значень (терм-множина), що представляють собою найменування нечітких змінних, областю визначення кожної з яких є безліч X. Безліч T називається базовим терм-множиною лінгвістичної змінної;

G - синтаксична процедура, що дозволяє оперувати елементами терм-множини T, зокрема, генерувати нові терми (значення). Безліч TE G (T), де G (T) - безліч згенерованих термів, називається розширеним терм-множиною лінгвістичної змінної;

М - семантична процедура, що дозволяє перетворити кожне нове значення лінгвістичної змінної, утворене процедурою G, в нечітку змінну, тобто сформувати відповідне нечітке безліч.

Зауваження. Щоб уникнути великої кількості символів

символ b використовують як для назви самої змінної, так і для всіх її значень;

користуються одним і тим же символом для позначення нечіткої множини і його назви, наприклад терм "молодий", що є значенням лінгвістичної змінної b = "вік", одночасно є і нечітка множина М ("молодий").

Присвоєння декількох значень символам припускає, що контекст дозволяє вирішити можливі невизначеності.

Приклад: Нехай експерт визначає товщину виробу, що випускається за допомогою понять "мала товщина", "середня товщина" і "велика товщина", при цьому мінімальна товщина дорівнює 10 мм, а максимальна - 80 мм.

Формалізація такого опису може бути проведена за допомогою наступної лінгвістичної змінної , Де

b - товщина виробу;

T - {"мала товщина", "середня товщина", "велика товщина"};

X - [10, 80];

G - процедура утворення нових термів за допомогою зв'язок "і", "або" і модифікаторів типу "дуже", "не", "злегка" та ін. Наприклад: "мала або середня товщина", "дуже мала товщина" та ін. ;

М - процедура завдання на X = [10, 80] нечітких підмножин А1 = "мала товщина", А2 = "середня товщина", А3 = "велика товщина", а також нечітких множин для термів з G (T) відповідно до правил трансляції нечітких зв'язок і модифікаторів "і", "або", "не", "дуже", "злегка" та ін. операції над нечіткими множинами види: А C В, АE В ,, CON А = А2, DIL А = А0 , 5і ін.

Зауваження. Поряд з розглянутими вище базовими значеннями лінгвістичної змінної "товщина" (Т = {"мала товщина", "середня товщина", "велика товщина"}) можливі значення, залежать від області визначення Х. В даному випадку значення лінгвістичної змінної "товщина виробу" можуть бути визначені як "близько 20 мм", "близько 50 мм", "близько 70 мм", тобто у вигляді нечітких чисел.

Продовження прикладу:

Функції приналежності нечітких множин:

"Мала товщина" = А1, "середня товщина" = А2, "велика товщина" = А3.

Функція приналежності:

нечітка множина "мала або середня товщина" = А1EА1.Нечеткіе числа

Нечіткі числа - нечіткі змінні, визначені на числовій осі, тобто нечітке число визначається як нечітка множина А на множині дійсних чисел R з функцією приналежності mA (x) I [0,1], де x - дійсне число, тобто xIR.

Нечітке число А нормально, есліmA (x) = 1, опукле, якщо для будь-яких x ? y ? z виконується

mA (x) ?mA (y) LmA (z).

Безліч a - рівня нечіткого числа А визначається як

АA = {x / mA (x) ?a}.

Підмножина SAIR називається носієм нечіткого числа А, якщо

S = {x / mA (x)> 0}.

Нечітке число А унімодальне, якщо умова mA (x) = 1 справедливо тільки для однієї точки дійсної осі.

Опукле нечітке число А називається нечітким нулем, якщо

mA (0) = (mA (x)).

Нечітке число А позитивно, якщо "xISA, x> 0

і негативно, якщо "xISA, x <0.Операціі над нечіткими числами

Розширені бінарні арифметичні операції (додавання, множення та ін.) Для нечітких чисел визначаються через відповідні операції для чітких чисел з використанням принципу узагальнення наступним чином.

Нехай А і В - нечіткі числа, и- нечітка операція, відповідна операціінад звичайними числами. Тоді

С = АВ UmC (z) = (mA (x) LmB (y))).

Звідси:

С = UmC (z) = (mA (x) LmB (y))),

С = U mC (z) = (mA (x) LmB (y))),

С = U mC (z) = (mA (x) L mB (y))),

С = U mC (z) = (mA (x) LmB (y))),

С = U mC (z) = (mA (x) LmB (y))),

С = U mC (z) = (mA (x) LmB (y))). Нечіткі числа (LR) -типу

Нечіткі числа (LR) -типу - це різновид нечітких чисел спеціального виду, тобто задаються за певними правилами з метою зниження обсягу обчислень при операціях над ними.

Функції приналежності нечітких чисел (LR) -типу задаються за допомогою незростаюча на безлічі невід'ємних дійсних чисел функцій дійсного змінного L (x) і R (x), що задовольняють властивостям:

а) L (-x) = L (x), R (-x) = R (x);

б) L (0) = R (0).

Очевидно, що до класу (LR) функцій відносяться функції, графіки яких мають такий вигляд:

Прикладами аналітичного завдання (LR) функцій можуть бути

L (x) =, p?0;

R (x) =, p? 0 і т.д.

Нехай L (y) і R (y) - функції (LR) -типу (конкретні). Унімодальне нечітке число А з модою а (тобто mA (a) = 1) c допомогою L (y) і R (y) задається наступним чином:

mA (x) =

де а - мода; a> 0, b> 0 - лівий і правий коефіцієнти нечіткості.

Таким чином, при заданих L (y) і R (y) нечітке число (унімодальне) задається трійкою А = (а, a, b).

Толерантне нечітке число задається, відповідно, четвіркою параметрів А = (а1, a2, a, b), де а1і a2- кордону толерантності, тобто в проміжку [а1, a2] значення функції приналежності дорівнює 1.

Приклади графіків функцій належності нечітких чисел (LR) -типу наведені нижче.

Ми не будемо тут розглядати операції над (LR) числами; відзначимо, що в конкретних ситуаціях функції L (y), R (y), а також параметри a, b нечітких чисел (а, a, b) і (а1, a2, a, b) повинні підбиратися таким чином, щоб результат операції (додавання, віднімання, ділення і т.д.) був точно або приблизно дорівнює нечіткому числу з тими ж L (y) і R (y), а параметри a ? і b ? результату не виходили за рамки обмежень на ці параметри для вихідних нечітких чисел, особливо якщо результат надалі братиме участь в операціях.

Зауваження. Рішення задач математичного моделювання складних систем із застосуванням апарату нечітких множин вимагає виконання великого обсягу операцій над різного роду лінгвістичними та іншими нечіткими змінними. Для зручності виконання операцій, а також для вводу-виводу і зберігання даних, бажано працювати з функціями приналежності стандартного виду.

Нечіткі множини, якими доводиться оперувати в більшості завдань, є, як правило, унімодальне і нормальними. Одним з можливих методів апроксимації унімодальних нечітких множин є апроксимація за допомогою функцій (LR) -типу.

Приклади (LR) -уявлення деяких лінгвістичних змінних:

 Терм ЛП (LR) -уявлення Графічне представлення

 Середній

 А = (а, a, b) LR

 a = b> 0 a b

 Малий

 А = (а, ?, b) LR

 a = ? a = ? b

 Великий

 А = (а, a, ?) LR

 b = ? a b = ?

 Приблизно в діапазоні

 А = (а 1, а 2, a, ?) LR

 a = b> 0

 a b

 a 1 a 2

 Певний

 А = (а, 0, 0) LR

 a = b = 0 a = 0 b = 0

 Різноманітний

 зона повної невизначеності

 А = (а, ?, ?) LR

 a = b = ? a = b = ?

4. НЕЧІТКІ висловлювань і нечіткої моделі СИСТЕМ

Нечіткими висловлюваннями будемо називати висловлювання такого вигляду:

Висловлювання , Де b - найменування лінгвістичної змінної, b '- її значення, якому відповідає нечітка множина на універсальній множині Х.

Наприклад вислів <тиск велике> припускає, що лінгвістичної змінної "тиск" надається значення "велике", для якого на універсальній множині Х змінної "тиск" визначено відповідне даному значенню "велике" нечітка множина.

Висловлювання , Де m - модифікатор, якому відповідають слова "ДУЖЕ", "більш-менш", "БАГАТО БІЛЬШЕ" та ін.

Наприклад: <тиск дуже велике>, <швидкість багато більше середньої> та ін.

Складові висловлювання, утворені з висловлювань видів 1. і 2. і союзів "І", "АБО", "ЯКЩО .., ТО ...", "ЯКЩО .., ТО .., ІНАКШЕ".

Висловлювання на безлічі значень фіксованої лінгвістичної змінної

Те, що значення фіксованої лінгвістичної змінної відповідають нечітким множинам одного і того ж універсального безлічі Х, дозволяє ототожнювати модифікатори "дуже" або "не" з операціями "CON" і "доповнення", а союзи "І", "АБО" з операціями " перетин "і" об'єднання "над нечіткими множинами.

Для ілюстрації поняття лінгвістичної змінної ми як приклад розглядали лінгвістичну змінну "товщина виробу" з базовим терм-множиною Т = {"мала", "середня", "велика"}. При цьому на Х = [10, 80] ми визначили нечіткі множини А1, А2, А3, що відповідають базовим значенням: "мала", "середня", "велика".

У цьому випадку висловленню <товщина виробу дуже мала> відповідає нечітка множина CONA = A2; висловленню <товщина виробу не велика чи середня> - нечітка множина А2Eвисказиванію <товщина виробу не мала і не велика> А1C.

Висловлювання <товщина виробу багато більше середньої> або <товщина виробу близька до середньої> вимагають використання нечітких відносин R ("багато більше, ніж") і R ("близько до"), заданих на Х'Х. Тоді цим висловлюванням будуть відповідати нечіткі множини A · R1і A · R2, індуковані нечіткими відносинами R1і R2.

Випадок двох і більше лінгвістичних змінних

Нехай и  - Лінгвістичні змінні, і висловлювань ,  відповідають нечіткі множини А і В задані на X і Y.

Складові нечіткі висловлювання виду 3, що зв'язують значення лінгвістичних змінних a і b, можна привести до висловлювань виду 1, ввівши лінгвістичну змінну (a, b), значенням якої будуть відповідати нечіткі множини на X'Y.

Нагадаємо, що нечіткі множини А і В, задані на X і Y, породжують на X'Y нечіткі множестваі, звані циліндричними продовженнями, з функціями приналежності:

(X, y) = mA (x) при будь-якому y,

(X, y) = mB (y) при будь-якому x,

де (x, y) X'Y.

Нечіткі множини, відповідні складовим висловлювань

и

,

визначаються за такими правилами (перетворення до виду 1), справедливим за умови невзаємодіючими змінних, тобто безлічі X і Y такі, що їх елементи не пов'язані будь-якої функціональної завісімостью.Правіла перетворень нечітких висловлювань

Правило перетворення ко?юнктівной форми

Справедливий вираз:

? <(a, b) є (a'Cb ')>.

Тут ? - знак підстановки, a'Cb '- значення лінгвістичної змінної (a, b), відповідне вихідного вислову , Якому на X'Y ставиться у відповідність нечітке множествоCc функцією приналежності

(X, y) = (x, y) L (x, y) = mA (x) LmB (y).

Правило перетворення диз'юнктивній форми

Справедливий вираз:

? <(a, b) є (a'Eb ')>, де значенням (a'Eb') лінгвістичної змінної (a, b) відповідає нечітке множествоE, з функцією приналежності

(X, y) = (x, y) V (x, y) = mA (x) VmB (y).

Зауваження 1. Правила справедливі також для змінних виду и , Коли у формі значень лінгвістичних змінних формалізовані невзаємодіючі характеристики одного і того ж об'єкта. Наприклад, для побудови нечіткої множини висловлювання <ніч тепла і дуже темна> потрібно використовувати правило ко?юнктівной форми, а для висловлювання <ніч тепла або дуже темна> - правило диз'юнктивній форми.

Зауваження 2. Якщо задана сукупність лінгвістичних змінних {}, I = 1, 2, .., n, то будь складене висловлювання, отримане з висловлювань  з використанням модифікаторів "дуже", "не", "більш-менш" та ін. і зв'язок "і", "або", можна привести до вигляду , Де a - складова лінгвістична змінна (a1, a2, .., an), a '- її значення, яке визначається (як і функція приналежності) відповідно до вищезазначених правилами.

Правило перетворення висловлювань імплікатівной форми

Справедливий вираз:

<Якщо a є a ', то b є b'> ? <(a, b) є (a'®b ')>, де значенням (a'®b') лінгвістичної змінної (a, b) відповідає нечітке відношення XRY на X'Y.

Функція приналежності mR (x, y) залежить від обраного способу завдання нечіткої імплікаціі.Способи визначення нечіткої імплікації

Будемо вважати, що задані універсальні множини X і Y, що містять кінцеве число елементів. Під способом визначення нечіткої імплікації "якщо А, то В" (де А і В нечіткі множини на X і Y відповідно) будемо розуміти спосіб завдання нечіткого відношення R на X'Y, відповідного даному висловлюванню.

З метою обґрунтованого вибору визначення нечіткої імплікації, японськими математиками Мідзумото, Танака і Фукамі було проведено дослідження всіх відомих з літератури визначень (плюс запропоновані авторами). Розглянуті визначення задавали наступні нечіткі відносини для висловлювання "якщо А, то В":

Rm = (A'B) E ('Y)

mRm (x, y) = (mA (x) L mB (y)) V (1 - mA (x));

Ra = ('Y) A (X'B)

mRa (x, y) = 1 L (1-mA (x) + mB (y));

Rc = A'B

mRc (x, y) = mA (x) L mB (y);

Rs = A'YX'B

mRs (x, y) =;

Rg = A'YX'B

mRg (x, y) =;

Rsg = (A'YX'B) C ()

;

Rgg = (A'YX'B) C ()

;

Rgs = (A'YX'B) C ()

;

Rss = (A'YX'B) C ()

;

Rb = ('Y) E (X'B)

mRb (x, y) = (1-mA (x)) U mB (y);

Ra = A'YX'B

;

R · = A'YX'B

R * = A'YX'B

mR * (x, y) = 1 - mA (x) + mA (x) ? mB (y);

R # = A'YX'B

mR # (x, y) = (mA (x) U mB (y)) U ((1 - mA (x)) U (1 - mB (y)) U (mB (y) U (1 - mA ( x));

RN = A'YX'B

Правилом виведення було композиційне правило виводу з використанням (max-min) -композиції.

В якості значень на вході системи розглядалися:

A '= A;

A '= "дуже А" = А2, mA0,5 (x) = mA (x) 2;

A '= "більш-менш А" = А0,5mA0,5 (x) = mA (x) 0,5;

A '= mA (x) 0,5, (x) = 1 - mA (x).

Наведемо таблицю підсумків дослідження. У ній символ "0" означає виконання відповідної схеми вхід-вихід, символ "x" - невиконання. Слідство "невідомо" (Н) відповідає твердженням: "якщо x = A, то не можна отримати жодної інформації про y".

У даній таблиці перша графа - "Посилка", друга - "Слідство".

 1 лютому

 R m

 R a

 R c

 R s

 R g

 R sg

 R gg

 R gs

 R ss

 R b Ra R ·

 R *

 R # RN

 A B x x 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x

 A 2

 B 2 x x x 0 x 0 x x 0 x x x x x x

 A 2 B x x 0 x 0 x 0 0 x x x x x x x

 A 0,5

 B 0,5 x x x 0 0 0 0 0 0 x x x x x x

 A 0,5 B x x 0 x x x x x x x x x x x x

 Н 0 0 x 0 0 x x x x 0 0 0 0 x x

 A B x x x x x 0 0 0 0 x x x x x x

Крім відповіді про виконання відповідної схеми (0 або х), авторами досліджені явні вирази для функцій приналежності наслідків по кожному з варіантів визначення нечіткої імплікації, на основі чого ними було сформульовано висновок:

- Rmі Raне можуть бути використані;

- Rcможет використовуватися частково; - Rs, Rg, Rsg, Rgg, Rgs, Rssрекомендовани до використання;

- Rb, Ra, R ·, R *, R #, RN не рекомендовані до іспользованію.Логіко-лінгвістичний опис систем, нечіткі моделі.

Логіко-лінгвістичні методи опису систем засновані на тому, що поведінка досліджуваної системи описується на природному (або близькому до природного) мовою в термінах лінгвістичних змінних.

Вхідні і вихідні параметри системи розглядаються як лінгвістичні змінні, а якісний опис процесу задається сукупністю висловлювань такого вигляду:

L1: якщо  то ,

L2: якщо  то ,

....................

Lk: якщо  то ,

де , I = 1,2, .., k - складові нечіткі висловлювання, визначені на значеннях вхідних лінгвістичних змінних, а , I = 1,2, .., k - висловлювання, визначені на значеннях вихідних лінгвістичних змінних.

За допомогою правил перетворення диз'юнктивній і ко?юнктівной форми опис системи можна привести до вигляду:

L1: якщо  то ,

L2: якщо  то ,

....................

Lk: якщо  то ,

де A1, A2, .., Ak- нечіткі множини, задані на декартовому добутку X універсальних множин вхідних лінгвістичних змінних, а B1, B2, .., Bk- нечіткі множини, задані на декартовому добутку Y універсальних множин вихідних лінгвістичних змінних.

Сукупність імплікацій {L1, L2, ..., Lk} відображає функціональну взаємозв'язок вхідних і вихідних змінних і є основою побудови нечіткого відносини XRY, заданого на творі X'Y універсальних множин вхідних і вихідних змінних. Якщо на множині X задано нечітке безліч A, то композиційне правило виводу B = A · R визначає на Y нечітка множина B з функцією приналежності

mB (y) = (mA (x) LmR (x, y))

Таким чином, композиційне правило виводу в цьому випадку задає закон функціонування нечіткої моделі системи.

Розглянемо широко цитований приклад вирішення задачі нечіткого логічного управління: побудова моделі управління паровим котлом.Модель управління паровим котлом

Прототипом моделі послужив паровий двигун (лабораторний) з двома входами (подача тепла, відкриття дроселя) і двома виходами (тиск в котлі, швидкість двигуна).

Мета управління: підтримка заданого тиску в котлі (залежить від подачі тепла) і заданої швидкості двигуна (залежить від відкриття дроселя). Відповідно до цього, схема системи управління двигуном виглядає наступним чином:

Розглянемо одну частину завдання - управління тиском.

Вхідні лінгвістичні змінні:

РЕ - відхилення тиску (різниця між поточним і заданим значеннями);

СРЕ - швидкість зміни відхилення тиску.

Вихідна лінгвістична змінна:

НС - зміна кількості тепла.

Значення лінгвістичних змінних:

NB - негативне велике;

NM- негативне середнє;

NS- негативне мале;

NO- негативне близьке до нуля;

ZO- близьке до нуля;

PO - позитивне близьке до нуля;

PS - позитивне мале;

PM - позитивне середнє;

PB - позитивне велике.

Керуючі правила (15 правил), що зв'язують лінгвістичні значення вхідних і вихідних змінних, мають вигляд: "Якщо відхилення тиску = Аiі, якщо швидкість відхилення тиску = Вi, то зміна кількості тепла, що подається одно Сi", де Аi, Вi, Сi- перераховані вище лінгвістичні значення.

Повний набір правил задавався таблицею:

+

 Відхилення

 тиску РЕ

 Швидкість зміни

 відхилення тиску СРЕ

 Зміна кількості

 подаваного тепла НС

 1 NB NB або NM PB

 2 NB або NM NS PM

 3 NS PS або NO PM

 4 NO PB або PM PM

 5 NO NB або NM NM

 6 PO або ZO NO NO

 7 PO NB або NM PM

 8 PO PB або PM NM

 9 PS PS або NO NM

 10 PB або PM NS NM

 11 PB NB або NM NB

 12 NO PS PS

 13 NO NS NS

 14 PO PS PS

 15 PO PS NS

Лінгвістичні значення відхилень задавалися нечіткими підмножинами на шкалах X, Y, Z наступною таблицею:

 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

 PB 0,3 0,7 1

 PM 0,3 0,7 1 0,7 0,3

 PS 0,3 0,7 1 0,7 0,3

 PO 0,3 1 0,7 0,3

 NO 0,3 0,7 1 0,3

 NS 0,3 0,7 1 0,7 0,3

 NM 0,3 0,7 1 0,7 0,3

 NB 1 0,7 0,3

Тобто області значень вхідних змінних PE, CPE та вихідної змінної НС представлялися 13 точками [-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6], рівномірно розташованими між максимальними негативними і позитивними значеннями цих змінних.

Наведемо керуючі правила до виду: "якщо (Аi' Вi), то Сi", де (Аi'Вi) декартовій твір нечітких множин А і В, заданих на шкалах X і Y з функцією приналежності

(X, y) = mAi (x) LmBi (y),

визначеної на X'Y.

Для кожного з правил виду "якщо (Аi'Вi), то Сi", де (Аi'Вi) - вхідний нечітка множина, а Сi- відповідне нечітке значення виходу, визначалося нечітке відношення

Ri = (Аi'Вi)'Сi, i = 1, 2, ..., 15

з функцією приналежності

mRi ((x, y), z) = (mAi (x) LmBi (y)) LmCi (z).

Сукупності всіх правил відповідало нечітке відношення

R = Ri

з функцією приналежності

mR (x, y, z) = mRi ((x, y), z).

При заданих значеннях А ?, В ? вхідних змінних регулює значення С ? вхідної змінної визначалося на основі композиційного правила виведення:

З ? = (А ?'У ?) R,

де- (max-min) -композиція.

Функція приналежності С ? має вигляд:

mC ? (z) = (mA ? (x) L mB ? (y)) L mR (x, y, z).

Числове значення z0 (зміна подається тепла) визначається при цьому або з умови mC ? (z0) = mC ? (z),

або за формулою

z0 =,

де N - кількість точок в Z (в даному випадку N = 13).

Завдання управління швидкістю двигуна вирішувалася аналогічно. Результати практичного використання показали, що розроблена нечітка модель управління порівнянна з класичними моделями оптимального управління.

Поява перших робіт з побудови моделей нечіткого логічного управління для конкретних систем визначило ряд загальних питань, що стосуються логічних основ моделей, в їх числі:

про повноту і несуперечності сукупності правил управління;

про адекватність уявлення правил управління виду "якщо А, то В" нечіткими відносинами, обумовленими різними способами;

про правильність способу виведення, заснованого на (max-min) -композиції і можливості використання інших видів операції композиції.

 Повнота і несуперечність правил управління

Найбільш часто вимога повноти для системи "якщо Аi, то Вi", i = 1,2, .., n, зводиться до

X = Supp Ai,

де Supp Ai- носій нечіткої множини Ai. Змістовно це означає, що для кожного поточного стану х процесу існує хоча б одне керуюче правило, посилка якого має ненульову ступінь приналежності для х.

Несуперечливість системи керуючих правил найчастіше трактується як відсутність правил, що мають подібні посилки і різні або взаємовиключні слідства.

Ступінь несуперечності i-го і k-го правил можна задавати величиною

Cik = | (mAi (x) L mAk (x)) - (mBi (y) L mBk (y)) |.

Підсумовуючи по k, отримуємо оцінку несуперечності i-го правила в системі:

Ci = Cik, 1Якщо ця оцінка перевершує деяке порогове значення, то правило з системи видаляється. Зокрема, для розглянутої вище моделі керуючої системи парового котла, оцінки ступенів несуперечності рівні:

 + правила 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

 C i 2,4 3,4 4,2 3,8 4,2 1,8 4,5 3,5 4,0 3,9 1,7 3,3 4,1 3,7 3,3

Таким чином, при пороговому значенні g = 3 в моделі залишається всього три правила 1, 6 і 11.

Література

Заде Л.А. Поняття лінгвістичної змінної та його застосування до прийняття наближених рішень. М.: Мир, 1976.

Кофман А. Введення в теорію нечітких множин. М .: Радио и связь, 1982.

Нечіткі множини в моделях управління і штучного інтелекту / Под ред. Д.А. Поспєлова. М., 1986.

Прикладні нечіткі системи / Под ред. Тета Т., Асаи К., Сугено М: Світ, 1993.

Нечіткі множини і теорія можливостей. Останні досягнення / Под ред. Р.Ягера М .: Радио и связь, 1986.

Орловський С.А. Проблеми прийняття рішень при нечіткій вихідній інформації. М .: Наука, 1981.

Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров І.П. Прийняття рішень на основі нечітких моделей. Приклади використання. Рига: / "Зінатне", 1990.

Малишев Н.Г., Берштейн Л.С., Боженюк А.В. Нечіткі моделі для експертних систем в САПР. М .: Вища школа, 1991.

Меліхов А.Н., Бернштейн Л.С., Коровін С.Я. Ситуаційні радять системи з нечіткою логікою. М .: Наука, 1990.

Р.Беллман, Л. Заде. Питання прийняття рішень в розпливчастих умовах // Питання аналізу та процедури прийняття рішень. / М .: Мир, 1976.

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка