трусики женские украина

На головну

 Процес і критерії перевірки статистичних гіпотез - Економіка

Зміст

Введення

Глава 1. Загальні поняття перевірки статистичних гіпотез

1.1 Сутність і види перевірки статистичних гіпотез

1.2 Вибір критеріїв для перевірки статистичних гіпотез

1.3 Основні принципи розрахунку критеріїв для перевірки статистичних гіпотез

Глава 2. Перевірка різних типів статистичних гіпотез

2.1 Перевірка гіпотези про закон розподілу генеральної сукупності з використанням критерію Пірсона

2.2 Перевірка гіпотези з невідомою дисперсією генеральної сукупності згідно з критерієм Стьюдента

2.3. Перевірка гіпотези про закон розподілу генеральної сукупності з використанням функції Лапласа

2.4 Перевірка гіпотези про закон розподілу генеральної сукупності з використанням критерію Фішера-Снедекора

Висновок

Список літератури

Додаток 1

Додаток 2

Додаток 3

Додаток 4

Введення

Актуальність. Останні роки відзначені стрімким розширенням області застосування теоретико-імовірнісних та статистичних методів. Вони застосовуються в різних науках: фізиці, техніки, геології, біології, лінгвістиці, медицині, соціології, управлінні і т. Д. Один з основних розділів статистики - теорія перевірки статистичних гіпотез. Поняття практичної статистики, процедура обгрунтованого зіставлення висловленої гіпотези щодо природи або величини невідомих статистичних параметрів аналізованого явища з наявними в розпорядженні дослідника вибірковими даними (вибіркою).

Статистична перевірка гіпотез проводиться за допомогою деякого статистичного критерію за загальною логічною схемою, що включає знаходження конкретного виду функції від результатів спостереження (критичної статистики), на підставі якої приймається остаточне рішення. Наприклад, можуть розглядатися гіпотези про загальний законі розподілу досліджуваної випадкової величини, про однорідність двох або декількох оброблюваних вибірок, про числових значеннях параметрів досліджуваної генеральної сукупності та ін. Результат перевірки може бути або негативним (дані спостереження суперечать висловленій гіпотезі), або невід'ємним. У першому випадку гіпотеза помилкова, у другому - її не можна вважати доведеною: просто вона не суперечить наявним вибірковими даними, однак таким же властивістю можуть поряд з нею володіти й інші гіпотези. Для статистичної перевірки гіпотез використовуються різні критерії. Зокрема, коли перевіряється згода між вибірковим і гіпотетичним розподілами, використовується критерій згоди, наприклад, критерій Пірсона «хі-квадрат», критерій Колмогорова-Смирнова та ін.

Статистичні критерії наводяться разом із зазначенням як тих областей, де їх застосування цілком виправдано, так і тих областей, де застосування вимагає обережності. Велика увага приділена побудові критеріїв, в тому чи іншому сенсі найкращих.

Мета роботи: ознайомитися з процесом перевірки статистичних гіпотез.

Поставлена ??мета визначила завдання роботи:

1. Визначити сутність, поняття перевірки статистичних гіпотез.

2. Розглянути етапи перевірки статистичних гіпотез.

3. Розглянути критерії перевірки статистичних гіпотез.

4. Ознайомитися з різними перевірками статистичних гіпотез.

Структура роботи: дана робота складається з вступу, двох розділів, висновків, списку літератури та додатку. У вступі викладено хід майбутньої роботи. 1 глава містить теоретичний опис загальних понять перевірки статистичних гіпотез. У 2 главі наведені розрахунки перевірок різних типів статистичних гіпотез. У висновку підведені підсумки роботи, зроблені висновки. Список літератури включає літературні джерела, використовувані в ході роботи. У додатку представлений матеріал, необхідний для перевірки статистичних гіпотез.

Глава 1. Загальні поняття перевірки статистичних гіпотез

1.1 Сутність і види перевірки статистичних гіпотез

У процесі статистичного аналізу іноді буває необхідно сформулювати і перевірити припущення (гіпотези) щодо величини незалежних параметрів або закону розподілу досліджуваної генеральної сукупності (сукупностей).

Наприклад, дослідник висуває гіпотезу про те, що «вибірка витягнута з нормальною генеральної сукупності» або «генеральні середні двох аналізованих сукупностей рівні». Такі припущення називаються статистичними гіпотезами.

Зіставлення висловленої гіпотези щодо генеральної сукупності з наявними вибірковими даними, супроводжуване кількісною оцінкою ступеня достовірності одержуваного виводу і здійснюване за допомогою того чи іншого статистичного критерію, називається перевіркою статистичних гіпотез.

Під статистичної гіпотезою розуміються різного роду припущення щодо характеру або параметрів розподілу випадкової змінної, які можна перевірити, спираючись на результати спостережень у випадковій вибірці.

Іншими словами, статистичної гіпотезою називається припущення про властивість генеральної сукупності, яке можна перевірити, спираючись на дані вибірки. Позначається гіпотеза буквою Н. Так, може бути висунута гіпотеза про те, що середня в генеральної сукупності дорівнює деякій величині.

Сенс перевірки статистичної гіпотези полягає в тому, щоб за наявними статистичними даними прийняти або відхилити статистичну гіпотезу з мінімальним ризиків помилки. Ця перевірка здійснюється за певними правилами.

Слід мати на увазі, що статистична перевірка гіпотез має імовірнісний характер. За допомогою статистичної перевірки гіпотез можна визначити ймовірність прийняття хибного рішення з тих чи інших результатами статистичного вивчення даного явища. Якщо ймовірність помилки невелика, то статистичні показники обчислені при вивченні явища, можуть бути використані для практичних цілей при малому ризик помилки.

Гіпотези в свою чергу класифікуються на:

- Прості і складні;

- Параметричні і непараметричні;

- Основні (висловлені) і альтернативні (конкуруючі).

Якщо висувний гіпотеза зводиться до твердження про те, що значення деякого невідомого параметра генеральної сукупності в точності одно заданій величині, то ця гіпотеза називається простою.

Наприклад: «Середньоподушний сукупний дохід населення Росії становить 10000 рублів на місяць»; «Рівень безробіття (частка безробітних в чисельності економічно активного населення) в Росії дорівнює 9%».

Складною називають гіпотезу, яка складається з кінцевого або нескінченного безлічі простих гіпотез, при цьому вказується деяка область можливих значень параметра.

Гіпотези про параметри генеральної сукупності називаються параметричними, про розподіли - непараметричних.

Висунута гіпотеза називається нульовою (основний). Її прийнято позначати Н0. При цьому передбачається, що дійсне розходження порівнюваних величин дорівнює нулю, а виявлене за даними відміну від нуля носить випадковий характер. Нульова гіпотеза відкидається тоді, коли за вибіркою виходить результат, який при істинності висунутої нульової гіпотези малоймовірний.

По відношенню до висловленої (основний) гіпотезі завжди можна сформулювати альтернативну (конкуруючу), що суперечить їй. Альтернативну (конкуруючу) гіпотезу прийнято позначати Н1.

В якості нульової гіпотези Н0прінято висувати просту гіпотезу, так як зазвичай буває зручніше перевіряти більш суворе твердження.

За своїм змістом статистичні гіпотези можна поділити на кілька основних типів:

- Гіпотези про вид закону розподілу досліджуваної випадкової величини;

- Гіпотези про числових значеннях параметрів досліджуваної генеральної сукупності;

- Гіпотези про однорідність двох або декількох вибірок або деяких характеристик аналізованих сукупностей;

- Гіпотези про загальному вигляді моделі, яка описує статистичну залежність між ознаками; та ін.

Так як перевірка статистичних гіпотез здійснюється на підставі вибіркових даних, тобто обмеженого ряду спостережень, рішення щодо нульової гіпотези Н0імеют імовірнісний характер. Іншими словами, таке рішення неминуче супроводжується деякою, хоча можливо і дуже малою, ймовірністю помилкового висновку як в ту, так і в інший бік.

Так, в якійсь невеликій частці випадків а нульова гіпотеза Н0может виявитися відкинутою, в той час як насправді в генеральної сукупності вона є справедливою. Таку помилку називають помилкою 1-го роду, а її ймовірність - рівнем значущості і обозначают.?

Навпаки, в якійсь невеликій частці випадків (?нулевая гіпотеза Н0прінімается, в той час як насправді в генеральної сукупності вона помилкова, а справедлива альтернативна гіпотеза Нх. Таку помилку називають помилкою 2-го роду. Імовірність помилки 2-го роду позначається як ??Вероятность 1 - називають потужністю критерію.

При фіксованому обсязі вибірки можна вибрати на свій розсуд величину ймовірності тільки однією з помилок. Збільшення ймовірності однієї з них призводить до зниження іншого.

Прийнято ставити ймовірність помилки 1-го роду ?? рівень значимості. Як правило, користуються деякими стандартними значеннями рівня значущості: 0,1; 0,05; 0,025; 0,01; 0,005; 0,001. Тоді, очевидно, з двох критеріїв, що характеризуються однією і тією ж імовірністю а (відхилити правильну насправді гіпотезу Н0), слід прийняти той, якому відповідає менша помилка 2-го роду, тобто велика потужність. Зниження вірогідності обох помилок і можна добитися шляхом збільшення обсягу вибірки.

Правильне рішення щодо нульової гіпотези Н0также може бути двох видів:

- Буде прийнята нульова гіпотеза Н0, коли в генеральної сукупності вірна нульова гіпотеза Н0; ймовірність такого рішення 1;

- Нульова гіпотеза Н0будет відхилена на користь альтернативної Н1, коли в генеральної сукупності нульова гіпотеза Н0отклоняется на користь альтернативної Н1; ймовірність такого рішення 1 ??мощность критерію.

Результати рішення щодо нульової гіпотези можна проілюструвати за допомогою таблиці 1.

статистичний гіпотеза перевірка Лаплас

Таблиця 1

 Нульова гіпотеза Н 0 Результати рішення относітельнонулевой гіпотези Н0

 Відхилена Прийнята

 Верна

 Помилка 1-го роду,

 її ймовірність

 Р (Н 1 / Н 0) =

 Правильне

 рішення, його

 ймовірність

 Р (Н 0 / Н 0) = 1 -

 Невірна

 Правильне

 рішення, його

 ймовірність

 Р (Н 1 / Н 1) = 1-?

 Помилка 2-го роду, її

 ймовірність

 Р ((Н 0 / Н 0) = ?

У відношенні властивостей генеральної сукупності можуть висуватися деякі гіпотези про величину середньої, дисперсії, характер розподілу, формою і тісноті зв'язку між змінними.

Перевірка гіпотези здійснюється на основі виявлення узгодженості емпіричних даних з гіпотетичними (теоретичними). Якщо розбіжність між порівнюваними величинами не виходить за межі випадкових помилок, гіпотезу приймають. При цьому не робиться ніяких висновків про правильність самої гіпотези, йдеться лише про узгодженість порівнюваних даних.

Основою перевірки статистичних гіпотез є дані випадкових вибірок, При цьому байдуже, чи оцінюються гіпотези щодо реальної чи гіпотетичної генеральної сукупності. Останнє відкриває шлях застосування цього методу за межами власне вибірки: при аналізі результатів експерименту, даних суцільного спостереження, але малої чисельності. У цьому випадку рекомендується перевірити, чи не викликана встановлена ??закономірність збігом випадкових обставин, наскільки вона характерна для того комплексу умов, в яких знаходиться досліджувана сукупність.

Особливо часто процедура перевірки статистичних гіпотез проводиться для оцінки суттєвості розбіжностей зведених характеристик окремих сукупностей (груп): середніх, відносних величин. Такого роду завдання, як правило, виникають у соціальній статистиці. Трудомісткість статистико-соціологічних досліджень призводить до того, що майже всі вони будуються на несплошном обліку. Тому проблема доказовості висновків у соціальній статистиці стоїть особливо гостро. Застосовуючи процедуру перевірки статистичних гіпотез, слід пам'ятати, що вона може гарантувати результати з певною ймовірністю лише по «неупередженим» вибірками, на основі об'єктивних даних.

1.2. Вибір критеріїв для перевірки статистичних гіпотез

Перевірка статистичних гіпотез здійснюється за допомогою статистичного критерію (назвемо його в загальному вигляді К), що є функцією від результатів спостереження.

Статистичний критерій - це правило (формула), за яким визначається міра розбіжності результатів вибіркового спостереження з висловленою гіпотезою Н0.

Як вже зазначалося вище, слід мати на увазі, що статистична перевірка гіпотез має імовірнісний характер, так як прийняті висновок грунтуються на вивченні властивостей розподілу випадкової змінної за даними вибірки, а тому завжди існує ризик допустити помилку. Однак за допомогою статистичної перевірки гіпотез можна визначити ймовірність прийняття хибного рішення. Якщо ймовірність останнього невелика, то можна вважати, що застосовуваний критерій забезпечує малий ризик помилки.

При проведенні перевірки статистичних гіпотез в першу чергу доводиться вирішувати завдання статистичної перевірки гіпотез про:

1) належності «виділяються» одиниць досліджуваної вибіркової сукупності генеральної сукупності;

2) вигляді розподілу досліджуваних ознак;

3) величиною середньої арифметичної і частки;

4) наявність та тісноті зв'язку між досліджуваними ознаками;

5) про форму кореляційної зв'язку.

При перевірці гіпотез є можливість зробити помилку двоякого роду:

а) помилка першого роду - проверяемая гіпотеза (нульова гіпотеза Н0) є в дійсності вірною, але результати перевірки призводять до відмови від неї;

б) помилка другого роду - проверяемая гіпотеза насправді є помилковою, але результати перевірки призводять до прийняття.

У статистиці в даний час є велика кількість критеріїв для перевірки практично будь-яких гіпотез. Притому основні принципи їх побудови та застосування є загальними. Для побудови статистичного критерію, що дозволяє перевірити деяку гіпотезу, необхідно наступне:

1) сформулювати проверяемую гіпотезу Н0. Поряд з перевіряється гіпотезою формулюється також конкуруюча (альтернативна) гіпотеза;

2) вибрати рівень значущості, контролюючий допустиму ймовірність помилки першого роду;

3) визначити область допустимих значень і так звану критичну область;

4) прийняти те чи інше рішення на основі порівняння фактичного і критичного значень критерію.

Перевірка статистичних гіпотез складається з наступних етапів:

- Формулюється у вигляді статистичної гіпотези завдання дослідження;

- Вибирається статистична характеристика гіпотези;

- Вибираються випробувана і альтернативна гіпотези на основі аналізу можливих помилкових рішень і їх наслідків;

- Визначаються область допустимих значень, критична область, а також критичне значення статистичного критерію (t, F) по відповідній таблиці;

- Обчислюється фактичне значення статистичного критерію;

- Перевіряється випробувана гіпотеза на основі порівняння фактичного і критичного значень критерію, і залежно від результатів перевірки гіпотеза або відхиляється, або не відхиляється.

Рівнем значущості буде називатися таке мале значення ймовірності попадання критерію в критичну область за умови справедливості гіпотези, що поява цієї події може розцінюватися як наслідок істотного розбіжності висунутої гіпотези і результатів вибірки. Зазвичай рівень значимості приймають рівним 0,05 або 0,01. Виходячи з величини рівня значущості, можна визначити критичну область, під якою розуміється така область значень вибіркової характеристики, потрапляючи в яку вони будуть свідчити про те, що проверяемая гіпотеза повинна бути відкинута. До критичної області відносяться ті значення, поява яких за умови вірності гіпотези було б малоймовірним.

Припустимо, що розраховане за емпіричними даними значення критерію потрапило в критичну область, тоді за умови вірності перевіряється гіпотези Н0вероятность цієї події буде не більше рівня значущості. Оскільки вибирається досить малим, то така подія є малоймовірним і, отже, проверяемая гіпотеза Н0может бути відкинута.

Якщо ж спостерігається значення характеристики не належить до критичної області і, отже, знаходиться в області допустимих значень, то проверяемая гіпотеза Н0не відкидається. Ймовірність влучення критерію в область допустимих значень при справедливості перевіряється гіпотези Н0равна 1.

Чим менше рівень значущості, тим менше ймовірність бракувати проверяемую гіпотезу, коли вона вірна, тобто менше ймовірність зробити помилку першого роду. Але при цьому розширюється область допустимих значень і, значить, збільшується ймовірність здійснення помилки другого роду.

Всі значення розглянутої характеристики, які не належать до критичної області утворюють так звану область допустимих значень. Якщо спостерігається значення характеристики знаходиться в області допустимих значень, то проверяемая гіпотеза приймається з імовірністю.

Вибір критерію для перевірки статистичних гіпотез може здійснюватися на підставі різних принципів. Найчастіше для цього користуються принципом відношення правдоподібності, який дозволяє побудувати критерій, найбільш потужний серед усіх можливих критеріїв. Суть його зводиться до вибору такого критерію К з відомою функцією щільності f (k) за умови справедливості гіпотези Н0, щоб при заданому умови значущості ?можно було б знайти критичну точку Ккрраспределенія f (k), яка розподілила б область допустимих значень, в якій результати вибіркового спостереження виглядають найбільш правдоподібними, і критичну область, в якій результати вибіркового спостереження виглядають менш правдоподібними щодо нульової гіпотези Н0.

Якщо такий критерій К обраний, і відома щільність його розподілу, то завдання перевірки статистичної гіпотези зводиться до того, щоб при заданому рівні значимості ?рассчітать за вибірковими даними спостережуване значення критерію Кнабл визначити, чи є воно найбільш або найменш правдоподібним відносно нульової гіпотези Н0.

Перевірка кожного типу статистичних гіпотез здійснюється за допомогою відповідного критерію, що є найбільш потужним в кожному конкретному випадку.

Як вже зазначалося раніше, перевірка статистичних гіпотез застосовується в різних областях для вивчення масових явищ. Вивчення масових явищ, як правило, здійснюється за неповної інформації. У складі зібраних даних можуть зустрічатися поодинокі спостереження, у яких окремі значення досліджуваних ознак помітно відрізняються від загальної тенденції зміни більшості значень. Причини таких відмінностей можуть бути різними:

1) через помилки спостереження;

2) внаслідок випадкового збігу різних обставин, кожен з яких окремо несуттєвий, але сукупне їх вплив призвело до таких різко виділяється від загальної картини значенням ознак;

3) як наслідок порушення однорідності досліджуваної сукупності.

У загальному випадку всі значення досліджуваних ознак фіксуються по відомих одиниць сукупності по їх частини, відібраної з урахуванням всіх вимог. Отже, первинні статистичні дані, включаючи і різко «виділяється», відповідають конкретним випадкам прояву досліджуваного явища. Отже, суб'єктивне відкидання «виділяються» одиниць неприпустимо.

Розглянемо використання критеріїв для перевірки статистичних гіпотез на прикладі закону нормального розподілу. Закон нормального розподілу лежить в основі багатьох теорем і методів статистики

- При оцінці репрезентативності вибірки (розрахунку помилки вибірки та розповсюдженні характеристик вибірки на генеральну сукупність);

- Вимірі ступеня тісноти зв'язку та складанні моделі регресії;

- Побудові та використання статистичних критеріїв та ін.

Як показують численні статистичні дослідження, частоти (частості) емпіричних розподілів за рідкісним винятком будуть відрізнятися від значень теоретичного розподілу. Розбіжності між частотами (частостей) емпіричного і теоретичного розподілу можуть бути несуттєвими і пояснені випадковостями вибірки і суттєвими при невідповідності обраного та емпіричного законів розподілу.

Для перевірки гіпотези про відповідність емпіричного розподілу теоретичному закону нормального розподілу використовуються особливі статистичні показники-критерії згоди (або критерії відповідності). До них відносяться критерії К.Пирсона, А.Н. Колмогорова, Романовського, Ястремського та ін.

Більшість критеріїв згоди базується на використанні відхилень емпіричних частот від теоретичних. Очевидно, що чим більше ці відхилення, тим гірше теоретичне розподіл відповідає емпіричному. Статистичні характеристики таких критеріїв згоди є деякими функціями цих відхилень.

1.3. Основні принципи розрахунку критеріїв для перевірки статистичних гіпотез

Перевірка кожного типу статистичних гіпотез здійснюється за допомогою відповідного критерію, що є найбільш потужним для в кожному конкретному випадку. Наприклад, перевірка гіпотези про вид закону розподілу випадкової величини може бути здійснена за допомогою критерію згоди Пірсона2; перевірка гіпотези про рівність невідомих значень дисперсій двох генеральних сукупностей - за допомогою критерію Фішера F; ряд гіпотез про невідомі значеннях параметрів генеральних сукупностей перевіряється за допомогою критерію Z - нормальної розподіленої випадкової величини і критерію t-Стьюдента і т. д.

Значення критерію, яка розраховується за спеціальними правилами на підставі вибіркових даних, називається спостережуваним значенням критерію (Кнабл.).

Значення критерію, що розділяють сукупність значень критерію на область допустимих значень (найбільш правдоподібних відносно нульової гіпотези Н0) і критичну область (область значень, менш правдоподібних відносно нульової гіпотези Н0), що визначаються на заданому рівні значущості а за таблицями розподілу випадкової величини К, обраної як критерій, називаються критичними точками (ККР).

Областю допустимих значень (областю прийняття нульової гіпотези Н0) називають сукупність значень критерію К, при яких нульова гіпотеза Н0не відхиляється.

Критичною областю називають сукупність значень критерію К, при яких нульова гіпотеза Н0отклоняется на користь конкуруючої Н1.

Розрізняють односторонню (правобічним або лівостороннім) та двосторонню критичні області.

Якщо конкуруюча гіпотеза - правобічна, наприклад, Н1: а> а0, то і критична область правостороння (малюнок 1). При правобічної конкуруючої гіпотезі критична точка (Ккр.п) приймає позитивні значення.

Малюнок 1

Якщо конкуруюча гіпотеза - лівостороння, наприклад, Н1: а <а0, то і критична область - лівостороння (малюнок 2). При лівосторонньої конкуруючої гіпотезі критична точка приймає негативні значення (Ккр.л).

Малюнок 2.

Якщо конкуруюча гіпотеза - двостороння, наприклад, Н1: а = а0, то і критична область - двостороння (малюнок 3). При двосторонньої конкуруючої гіпотезі визначаються 2 критичні точки (Ккр.лі Ккр.п).

Малюнок 3

Основний принцип перевірки статистичних гіпотез полягає в наступному:

- Якщо спостережуване значення критерію (Кнабл) належить критичній області, то нульова гіпотеза Н0отклоняется на користь конкуруючої;

- Якщо спостережуване значення критерію (Кнабл) належить області допустимих значень, то нульову гіпотезу Н0нельзя відхилити.

Можна прийняти рішення щодо нульової гіпотези Н0путем порівняння спостережуваного (Кнабл) і критичного значень критерію (ККР).

При правобічної конкуруючої гіпотезі:

- Якщо Кнабл <ККР, то нульову гіпотезу Н0нельзя відхилити;

- Якщо Кнабл> ККР, то нульова гіпотеза Н0отклоняется на користь конкуруючої Н1.

При лівосторонньої конкуруючої гіпотезі:

- Якщо Кнабл> - ККР, то нульову гіпотезу Н0нельзя відхилити;

- Якщо Кнабл <- ККР, то нульова гіпотеза Н0отклоняется на користь конкуруючої Н1.

При двосторонньої конкуруючої гіпотезі:

- Якщо - ККР <Кнабл <ККР, то нульову гіпотезу Н0нельзя відхилити;

- Якщо Кнабл> ККР або Кнабл <-Ккр, то нульова гіпотеза Н0отклоняется на користь конкуруючої Н1.

Алгоритм перевірки статистичних гіпотез зводиться до наступного:

1) сформулювати нульову Н0і альтернативну Н1гіпотези;

2) вибрати рівень значимості;

3) відповідно до виду висунутою нульової гіпотези Н0вибрать статистичний критерій для її перевірки, тобто - Спеціально підібрану випадкову величину К точне або наближене розподіл якої заздалегідь відомо;

4) за таблицями розподілу випадкової величини К, обраної як статистичного критерію, знайти критичне значення К (критичну точку або точки);

5) на підставі вибіркових даних за спеціальним алгоритмом обчислити спостережуване значення критерію Кнабл;

6) по виду конкуруючої гіпотези Н1определіть тип критичної області;

7) визначити, в яку область (допустимих значень або критичну) потрапляє спостережуване значення критерію Кнабл, і залежно від цього -прийняти рішення щодо нульової гіпотези Н0.

Слід зауважити, що навіть у тому випадку, якщо нульову гіпотезу Н0нельзя відхилити, це не означає, що висловлене припущення про генеральної сукупності є єдино придатним: просто йому не суперечать наявні вибіркові дані, проте таким же властивістю поряд з висловленою можуть володіти й інші гіпотези.

Можна інтерпретувати результати перевірки нульової гіпотези наступним чином:

- Якщо в результаті перевірки нульову гіпотезу Н0нельзя відхилити, то це означає, що наявні вибіркові дані не дозволяють з достатньою впевненістю відхилити нульову гіпотезу Н0, ймовірність нульової гіпотези Н0больше, а конкуруючої Н1- менше 1 -;

- Якщо в результаті перевірки нульова гіпотеза Н0отклоняется на користь конкуруючої Н1, то наявні вибіркові дані не дозволяють з достатньою впевненістю прийняти нульову гіпотезу Н0, ймовірність нульової гіпотези Н0меньше, а конкуруючої Н1- більше 1 -.

Глава 2. Перевірка різних типів статистичних гіпотез

2.1 Перевірка гіпотези про закон розподілу генеральної сукупності з використанням критерію Пірсона

Використання цього критерію засноване на застосуванні такої міри (статистики) розбіжності між теоретичним F (x) і емпіричним розподілом Fn (x), яка наближено підкоряється закону розподілу. Гіпотеза Н0о узгодженості розподілів перевіряється шляхом аналізу розподілу цієї статистики. Застосування критерію вимагає побудови статистичного ряду. (Додаток 1).

Приклад 1. У 7 випадках з 10 фірма-конкурент компанії «А» діяла на ринку так, як ніби їй заздалегідь були відомі рішення, що приймаються фірмою «А». На рівні значущості 0,05 визначте, чи випадково це, або у фірмі «А» працює інформатор фірми-конкурента?

Рішення. Для того щоб відповісти на поставлене запитання, необхідно перевірити статистичну гіпотезу про те, чи збігається даний емпіричне розподіл числа дій фірми-конкурента з рівномірним теоретичним розподілом?

Якщо ходи, що вживаються конкурентом, вибираються випадково, т. Е. У фірмі «А» - немає інформатора (інсайдера), то число «правильних» і «неправильних» її дій має розподілитися порівну, т. Е. По 5 (10/2 ), а це і є відмінна риса рівномірного розподілу.

Цей вид статистичних гіпотез відноситься до гіпотез про вид закону розподілу генеральної сукупності.

Сформулюємо нульову і конкуруючу гіпотези згідно з умовою завдання.

Н0: X ~ R (а; b) - випадкова величина X підпорядковується рівномірному розподілу з параметрами (а; b) (у контексті завдання - «У фірмі« А »-немає інформатора (інсайдера)»; «Розподіл числа вдалих ходів фірми- конкурента - випадково »);

Н1: випадкова величина X не підкоряється рівномірному розподілу (в контексті завдання - «В» фірмі «А» - є інформатор (інсайдер) »;« Розподіл числа вдалих ходів фірми-конкурента - невипадково »).

В якості критерію для перевірки статистичних гіпотез про невідомого законі розподілу генеральної сукупності використовується випадкова величина% 2. Цей критерій називають критерієм Пірсона.

Його спостережуване значення (?2набл) розраховується за формулою

де m (ЕМП) i- емпірична частота i-ї групи вибірки; m (теор) i- теоретична частота i -й групи вибірки.

Складемо таблицю розподілу емпіричних і теоретичних частот (таблиця 2).

Таблиця 2

 m (ЕМП) i 7 березня

 m (теор) i 5 травня

Знайдемо спостережуване значеніе2набл

Критичне значення (2кр) слід визначати за допомогою таблиць распределенія2по рівнем значущості і числа ступенів свободи k.

За умовою = 0,05, а число ступенів свободи розраховується за формулою

k = n - l - 1

де k - число ступенів свободи; n - число груп вибірки; l - число невідомих параметрів передбачуваної моделі, які оцінюються за даними вибірки (якщо всі параметри передбачуваного закону відомі точно, то l = 0).

За умовою задачі, число груп вибірки (n) дорівнює 2, так як можуть бути тільки 2 варіанти дій фірми-конкурента: «вдалі» і «невдалі», а число невідомих параметрів рівномірного розподілу (l) дорівнює 0.

Звідси k = 2- 0-1 = 1.

Найдем2крпо рівнем значущості а = 0,05 і числу ступенів свободи k = 1:

2кр (a = 0,05; k = 1) = 3,8

2набл <2кр, отже, на даному рівні значущості нульову гіпотезу не можна відхилити, розбіжності емпіричних і теоретичних частот - незначущі. Дані спостережень узгоджуються з гіпотезою про рівномірний розподіл генеральної сукупності.

Це означає, що для твердження про те, що дії фірми-конкурента на ринку невипадкові, немає підстав і на рівні значущості = 0,05 можна стверджувати, що у фірмі «А» немає платного інформатора фірми-конкурента.

Відповідь. На рівні значущості = 0,05 можна стверджувати, що у фірмі «А» немає платного інформатора фірми-конкурента.

Приклад 2. На рівні значущості = 0,025 перевірити гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності, якщо відомі емпіричні та теоретичні частоти (табл. 3):

Таблиця 3

 m (ЕМП) i 5 10 20 25 14 березня

 m (теор) i 6 14 28 18 8 3

Рішення. Сформулюємо нульову і конкуруючу гіпотези згідно з умовою завдання.

Н0: X ~ N (2) - випадкова величина X підпорядковується нормальному закону розподілу з параметрами і2.

Н1: випадкова величина X не підкоряється нормальному закону розподілу з параметрами і2.

В якості критерію для перевірки нульової гіпотези використовуємо критерій Пірсона2.

Знайдемо спостережуване значення (2набл):

Знайдемо критичне значення критерію (2кр) по таблиці распределенія2крпо рівнем значущості і числа ступенів свободи k.

За умовою = 0,025; число ступенів свободи знайдемо за формулою

k = n - l - 1

де k - число ступенів свободи; n - число груп вибірки; l-число невідомих параметрів передбачуваної моделі, які оцінюються за даними вибірки.

За умовою задачі число груп вибірки (n) дорівнює 6, а число невідомих параметрів нормального розподілу (l) дорівнює 2.

Звідси k = 6 2-1 = 3.

Найдем2крпо рівнем значущості = 0,025 і числу ступенів свободи k = 3:

2кр (= 0,025; k = 3) = 9,4

2набл> 2кр, отже, на даному рівні значущості нульова гіпотеза відхиляється на користь конкуруючої, розбіжності емпіричних і теоретичних частот - значущі. Дані спостережень не узгоджуються з гіпотезою про нормальний розподіл генеральної сукупності.

Відповідь. На рівні значущості = 0,025 дані спостережень не узгоджуються з гіпотезою про нормальний розподіл генеральної сукупності.

2.2 Перевірка гіпотези з невідомою дисперсією генеральної сукупності згідно з критерієм Стьюдента

Мета використання критерію Стьюдента - виявлення достовірності відмінності між даними двох вибірок однієї і тієї ж генеральної сукупності

Метод Стьюдента застосовується для порівняння двох вибірок, взятих з однієї і тієї ж генеральної сукупності, або двох різних станів однієї і тієї ж вибіркової сукупності.

При цьому можуть представитися такі випадки:

1. За обсягом:

а) обидві групи великі (n> 30);

б) обидві групи малі;

в) одна - велика, друга - мала.

2. За складом:

а) групи з попарно-залежними варіантами, коли i- варіанту першої групи порівнюється з i- варіант другої групи;

б) групи з попарно-незалежними варіантами (можна змінювати варіанти місцями всередині групи).

Приклад. Технічна норма передбачає в середньому 40 с на виконання певної технологічної операції на конвеєрі з виробництва годинників. Від працюючих на цій операції надійшли скарги, що вони насправді витрачають на неї більше часу. Для перевірки даної скарги вироблені хронометричні вимірювання часу виконання цієї технологічної операції у 16 ??працівниць, зайнятих на ній, і отримано середній час виконання операції X = 42 с. Чи можна за наявними хронометричним даними на рівні значущості = 0,01 відхилити гіпотезу про те, що середній час виконання цієї операції відповідає нормі, якщо:

а) виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення s - 3,5 с;

б) вибіркове середнє квадратичне відхилення 3,5 с?

Рішення, а) Для вирішення даного завдання необхідно перевірити гіпотезу про те, що невідома генеральна середня нормальної сукупності точно дорівнює певному числу, коли дисперсія генеральної сукупності невідома (вибірка мала, так як n = 16 менше 30).

Сформулюємо нульову і конкуруючу гіпотези згідно з умовою завдання.

Н0: а = а0 = 40 - невідоме математичне сподівання а (нормально розподіленої генеральної сукупності з невідомою дисперсією) одно гіпотетично передбачуваному числовому значенню а0 (стосовно умові даного завдання - час виконання технологічної операції відповідає нормі).

Н1: а> 40 - невідоме математичне сподівання а (нормально розподіленої генеральної сукупності з невідомою дисперсією) більше числового значення а0 (стосовно умові даного завдання - час виконання технологічної операції більше встановленої норми).

Так як конкуруюча гіпотеза - правобічна, то і критична область - правобічна.

В якості критерію для порівняння невідомого математичного очікування а (нормально розподіленої генеральної сукупності з невідомою дисперсією) з гіпотетичним числовим значенням а0іспользуется випадкова величина t-критерій Стьюдента. (Додаток 2).

Його спостережуване значення (tнабл) розраховується за формулою

де X - вибіркова середня; а0- числове значення генеральної середньої; s - виправлене середнє квадратичне відхилення; n - обсяг вибірки.

Знайдемо спостережуване значення tнабл

Критичне значення (tкр) слід знаходити за допомогою таблиць розподілу Стьюдента (додаток 2) за рівнем значущості і числа ступенів свободи k.

За умовою = 0,01; число ступенів свободи знайдемо за формулою

k = n - 1,

де k - число ступенів свободи; n - обсяг вибірки.

k = 16 - 1 = 15.

Знайдемо tкрпо рівнем значущості = 0,01 (для односторонньої критичної області) і числу ступенів свободи k = 15:

tкр (??????k = 15) = 2,6

Зауважимо, що при лівосторонньої конкуруючої гіпотезі Н1: а <40tкрследует знаходити за таблицями розподілу Стьюдента (додаток 2) за рівнем значущості (для односторонньої критичної області) і числу ступенів свободи k = n - 1 і привласнювати йому знак «мінус».

При двосторонньої конкуруючої гіпотезі Н1: а ? 40t слід знаходити за таблицями розподілу Стьюдента (додаток 2) за рівнем значущості а (для двосторонньої критичної області) і числу ступенів свободи k = n - 1.

tнабл Відповідь. За наявними хронометричним даними на рівні значущості а = 0,01 не можна відхилити гіпотезу про те, що середній час виконання цієї операції відповідає нормі. Отже, скарги робітниць - необґрунтовані.

Спостережуване значення критерію потрапляє в область допустимих значень (малюнок 4), отже, немає підстав відхилити нульову гіпотезу.

Малюнок 4

б) Для вирішення даного завдання необхідно перевірити гіпотезу про те, що невідома генеральна середня нормальної сукупності точно дорівнює певному числу, коли дисперсія генеральної сукупності невідома.

Алгоритм розв'язання задачі буде той же, що і в першому випадку. Однак спостерігається значення tнаблрассчітивается за формулою

де X - вибіркова середня; а0- числове значення генеральної середньої; виб вибіркове середнє квадратичне відхилення; n - обсяг вибірки.

Знайдемо спостережуване значення (tнабл)

Критичне значення (tкр) слід знаходити знаходити по таблиці розподілу Стьюдента (додаток 2) за рівнем значущості а і числу ступенів свободи k.

tнабл Відповідь. За наявними хронометричним даними на рівні значущості а = 0,01 не можна відхилити гіпотезу про те, що середній час виконання цієї операції відповідає нормі, скарги робітниць - необґрунтовані.

2.3 Перевірка гіпотези про закон розподілу генеральної сукупності з використанням функції Лапласа

Приклад. Економічний аналіз праці підприємств галузі дозволив висунуто гіпотезу про наявність 2 типів підприємств з різною середньою величиною показника продуктивності праці. Вибіркове обстеження 42 підприємств 1-ї групи дало наступні результати: середня продуктивність праці X - 119 деталей. За даними вибіркового обстеження, на 35 підприємствах 2-ї групи середня продуктивність праці Y - 107 деталей. Генеральні дисперсії відомі: D (Х) = 126,91 (дет.2); D (Y) = 136,1 (дет.2).

Вважаючи, що вибірки витягнуті з нормально розподілених генеральних сукупностей X і Y, на рівні значущості 0,05, перевірте, чи випадково отримане розходження середніх показників продуктивності праці в групах або ж є 2 типу підприємств з різною середньою величиною продуктивності праці.

Рішення. Для вирішення даного завдання необхідно порівняти 2 середні нормально розподілених генеральних сукупностей, генеральні дисперсії яких відомі (великі незалежні вибірки). У цьому завданню йдеться про великих вибірках, так як nх = 42 і nу = 35 більше 30. Вибірки - незалежні, так як з контексту задачі видно, що вони витягнуті з непересічних генеральнихсукупностей.

Сформулюємо нульову і конкуруючу гіпотези згідно з умовою завдання.

Н0: X = Y - генеральні середні 2 нормально розподілених сукупностей з відомими дисперсіями рівні (стосовно умові даного завдання - підприємства 2 груп відносяться до одного типу підприємств: середня продуктивність праці в 2 групах - однакова).

Н1: X ? Y- генеральні середні 2 нормально розподілених сукупностей з відомими дисперсіями нерівні (стосовно умові даного завдання - підприємства 2 груп відносяться до різного типу підприємств: середня продуктивність праці в 2 групах - неоднакова).

Висуваємо двосторонню конкуруючу гіпотезу, так як з умови задачі не випливає, що необхідно з'ясувати більше або менше продуктивність праці в одній з груп підприємств порівняно з іншою.

Оскільки конкуруюча гіпотеза - двостороння, то і критична область - двостороння.

В якості критерію для порівняння 2 середніх генеральних сукупностей, дисперсії яких відомі (великі незалежні вибірки), використовується випадкова величина Z.

Його спостережуване значення (Zнабл) розраховується за формулою

де X - вибіркова середня для X; Y - вибіркова середня для Y; 1> (Х) - генеральна дисперсія для X; D (Y) - генеральна дисперсія для Y; пх - обсяг вибірки для X; пу - обсяг вибірки для Y.

Знайдемо спостережуване значення (zнабл):

Так як конкуруюча гіпотеза - двостороння, критичне значення (zкр) слід знаходити за таблицею функції Лапласа (додаток 3) з рівності

Ф (zкр) = (1)

За умовою = 0,05.

Звідси

Ф0 (zкр) = (1-0,05) / 2 = 0,475.

По таблиці функції Лапласа (додаток 3) знайдемо, при якому (zкр) Ф0 (zкр) = 0,475.

Ф0 (1,96) = 0,475.

Враховуючи, що конкуруюча гіпотеза - двостороння, знаходимо дві критичні точки:

zкр (n) = 1,96; zкр (л) = -1,96

Зауважимо, що при лівосторонньої конкуруючої гіпотезі Н1: X При правобічної конкуруючої гіпотезі Н1: X> Yzкрнаходім по таблиці функції Лапласа (додаток 3) з рівності Ф0 (zкр) = (1 - 2) / 2.

Zнабл> zкр, отже, на даному рівні значущості нульова гіпотеза відкидається на користь конкуруючої. На рівні значущості = 0,05 можна стверджувати, що отримане розходження середніх показників продуктивності праці в групах невипадково, є 2 типу підприємств з різною середньою величиною продуктивності праці.

Спостережуване значення критерію потрапляє в критичну область (малюнок 5), отже, нульова гіпотеза відхиляється на користь конкуруючої.

Малюнок 5

Відповідь. На рівні значущості = 0,05 можна стверджувати, що отримане розходження середніх показників продуктивності праці в групах невипадково, є 2 типу підприємств з різною середньою величиною продуктивності праці.

2.4 Перевірка гіпотези про закон розподілу генеральної сукупності з використанням критерію Фішера-Снедекора

Приклад. Передбачається, що застосування нового типу різця скоротить час обробки деякої деталі. Хронометраж часу обробки 9 деталей, оброблених старим типом різців, дав наступні результати: середній час обробки деталі X - 57 хв, виправлена ??вибіркова дисперсія s2х = 186,2 (мін2). Середній час обробки 15 деталей, оброблених новим типом різців, - Y за даними хронометражних вимірів - 52 хв, а виправлена ??вибіркова дисперсія s2х = 166,4 (мін2). На рівні значущості = 0,01 дайте відповідь на питання, дозволило Чи використання нового типу різців скоротити час обробки деталі?

Рішення. Для вирішення даного завдання необхідно порівняти 2 середні нормально розподілених генеральних сукупностей, генеральні дисперсії яких невідомі, але передбачаються однаковими (малі незалежні вибірки). У цьому завданні йдеться про малі вибірках, так як nх = 9 і nу = 15 менше 30. Вибірки - незалежні, оскільки з контексту задачі видно, що вони витягнуті з непересічних генеральнихсукупностей.

Сформулюємо нульову і конкуруючу гіпотези згідно з умовою завдання.

Н0: X = Y - генеральні середні 2 нормально розподілених сукупностей з невідомими дисперсіями (але передбачуваними однаковими) рівні (стосовно умові даного завдання -середнє час, що витрачається на обробку деталі різцями нового і старого типу, - однаково, т. Е. Використання нового типу різця не дозволяє знизити час на обробку деталі).

Н1: X> Y - генеральна середня для X більше, ніж генеральна середня для Y (стосовно умові даного завдання - середній час, що витрачається на обробку деталі різцями старого типу, більше, ніж - нового, т. Е. Використання нового типу різця дозволяє знизити час на обробку деталі).

Так як конкуруюча гіпотеза - правобічна, то і критична область - правобічна.

Приступати до перевірки гіпотези про рівність генеральних середніх 2 нормально - розподілених сукупностей з невідомими дисперсіями можна лише в тому випадку, якщо генеральні дисперсії рівні. В іншому випадку, дана задача в теорії нерозв'язна.

Тому, перш ніж перевіряти цю гіпотезу, перевіримо гіпотезу про рівність генеральних дисперсій нормальних сукупностей.

Сформулюємо нульову і конкуруючу гіпотези, згідно з умовою завдання.

Н0: D (Х) = D (Y) - генеральні дисперсії 2 нормально розподілених сукупностей рівні.

Н0: D (Х)> D (Y) - генеральна дисперсія для X більше генеральної дисперсії для У. Висуваємо правобічну конкуруючу гіпотезу, так як виправлена ??вибіркова дисперсія для X значно більше, ніж виправлена ??вибіркова дисперсія для Y.

Так як конкуруюча гіпотеза - правобічна, то і критична область - правобічна.

В якості критерію для порівняння 2 дисперсій нормальних генеральних сукупностей використовується випадкова величина Р - критерій Фішера-Снедекора (додаток 4).

Його спостережуване значення (fнабл) розраховується за формулою

де s - велика (за величиною) виправлена ??вибіркова дисперсія; s2- менша (за величиною) виправлена ??вибіркова дисперсія.

Знайдемо fнабл

Критичне значення (fкр) слід знаходити за допомогою таблиці розподілу Фішера-Снедекора (додаток 4) за рівнем значущості і числа ступенів свободи k і k2.

За умовою а = 0,01; число ступенів свободи знайдемо за формулою

k1 = n1- 1; k2 = n2- 1,

де k1- число ступенів свободи більшої (за величиною) виправленої дисперсії; k2- число ступенів свободи меншою (за величиною) виправленої дисперсії; n1- обсяг вибірки більшою (за величиною) виправленої дисперсії; n2- обсяг вибірки меншою (за величиною) виправленої дисперсії.

Знайдемо k1і k2

k1 = 10 - 1 = 9;

k2 = 15 - 1 = 14.

Визначаємо fкрпо рівнем значущості = 0,01 і числу ступенів свободи k1 = 9 і k2 = 14:

fкр (= 0,01; k1 = 9; k2 = 14)

fнабл Отже, можна приступити до перевірки гіпотези про рівність генеральних середніх двох нормально розподілених сукупностей.

Знайдемо tнабл

Критичне значення (tкр) слід знаходити за таблицею розподілу Стьюдента (додаток 2) за рівнем значущості і числа ступенів свободи k.

За умовою = 0,01; число ступенів свободи знайдемо за формулою

k = nх + ny- 2,

г

де k - число ступенів свободи; nх- обсяг вибірки для X; ny- обсяг вибірки для Y.

k = 9 + 15 - 2 = 22.

Знайдемо tкрпо рівнем значущості = 0,01 (для односторонньої критичної області) і числу ступенів свободи k = 22

Зауважимо, що при лівосторонньої конкуруючої гіпотезі X При двосторонньої конкуруючої гіпотезі Х ? Y tкрнаходім за таблицями розподілу Стьюдента (додаток 3) за рівнем значущості (для двосторонньої критичної області) і числу ступенів свободи k = nх + ny- 2.

tнабл За наявними хронометричним даними на рівні значущості а = 0,01 не можна відхилити гіпотезу про те, що генеральні середні рівні, т. Е. Середній час, що витрачається на обробку деталі старим і новим типом різців, відрізняється незначимо, розбіжності між середніми - випадкові, використання нового типу різців не дозволяє знизити час обробки деталі.

Спостережуване значення критерію потрапляє в область допустимих значень (рисунок 6), отже, нульову гіпотезу можна відхилити.

Малюнок 6

Відповідь. На рівні значущості = 0,01 можна стверджувати, що використання нового типу різців дозволило скоротити час обробки деталі.

Висновок

Перевірка статистичних гіпотез - необхідна методика, використовувана для отримання даних в статистиці.

Проведена робота дозволила зробити наступні висновки:

- Під статистичної гіпотезою розуміються різного роду припущення щодо характеру або параметрів розподілу випадкової змінної, які можна перевірити, спираючись на результати спостережень у випадковій вибірці.

- Сенс перевірки статистичної гіпотези полягає в тому, щоб за наявними статистичними даними прийняти або відхилити статистичну гіпотезу з мінімальним ризиків помилки. Ця перевірка здійснюється за певними правилами.

- Гіпотези класифікуються на: прості і складні; параметричні і непараметричні; основні (висловлені) і альтернативні (конкуруючі).

- Перевірка гіпотези здійснюється на основі виявлення узгодженості емпіричних даних з гіпотетичними (теоретичними).

- Особливо часто процедура перевірки статистичних гіпотез проводиться для оцінки суттєвості розбіжностей зведених характеристик окремих сукупностей (груп): середніх, відносних величин. Такого роду завдання, як правило, виникають у соціальній статистиці.

- Перевірка статистичних гіпотез здійснюється за допомогою статистичного критерію (назвемо його в загальному вигляді К), що є функцією від результатів спостереження.

- У статистиці в даний час є велика кількість критеріїв для перевірки практично будь-яких гіпотез.

- Вибір критерію для перевірки статистичних гіпотез може здійснюватися на підставі різних принципів. Найчастіше для цього користуються принципом відношення правдоподібності, який дозволяє побудувати критерій, найбільш потужний серед усіх можливих критеріїв.

- Для кожної перевірки статистичних гіпотез існує певний алгоритм.

Список літератури

1. Аллен Р. Статистика. - М., 2005.

2. Богородская, Н.А. Статистика фінансів. - М., 2005.

3. Виноградова Н.М. Загальна теорія статистики. - М., 2000.

4. Гінзбург А.І. Статистика. - СПб., 2003.

5. Голуб Л.А. Соціально-економческая статистика - М., 2001.

6. Гусаров В.М. Теорія статистики. - М., 2008.

7. Джессен Л.Статістіческіе методи. - СПб., 2001.

8. Єлісєєва І.І ,. Юзбашев М.М Загальна теорія статистики. - М., 1995.

9. Єлісєєва І.І. Обробка статистичних даних. - М., 2001.

10. Єфімова М.Р., Петрова Е.В., Румянцева В.Н. Загальна теорія статистики. - М., 1996.

11. Курс соціально-економічної статистики / За ред. М.Г. Назарова. - Київ, 2005.

12. Льюїс К.Д. Методи прогнозування статистичних даних. - М., 2009.

13. Мілс Ф. Статистичні методи. - М., 1996.

14. Ніворожкіна Л.І. Основи статистики. - М., 2000.

15. Загальна теорія статистики [Текст]: підручник / Под ред. П.Р. Куликова. - М., 2002.

16. Переяслова І.Г. Основи статистики. - Ростов н / Д, 2007.

17. Практикум з соціально-економічній статистиці / Под ред..М.Южіна. - СПб., 2001.

18. Рябушкін Т.В. Фінанси і статистика. - М., 2002.

19. Салін В.М. Соціально-економічна статистика. - М., 2004.

20. Сіденко, А.В. Статистика. - М., 2000.

21. Статистика Л.П. Харченко, В.Г. Долженкова, В.Г. Йонин [и др.]; під ред. В.Г. Ионина. - М., 2001.

22. Статистика / Под ред. І.І. Єгорова, С.В. Куришева. - М., 2005.

23. Статистика фінансів / Под ред. М.В. Вахрамєєва, - М., 2003.

24. Шабалін О.П. Соціально-економічна статистика. - М., 2003.

25. Четиркін Є.М. Статистичні методи прогнозування. - М., 2005.

26. Економічна статистика / Под ред. Ю.Н. Іванова. - Мн., 1996.

27. Яковлєв С.В. Статистика. - М., 2005.

Додаток 1

Таблиця критерію Пірсона

 Число

 ступенів

 свободи k Рівень значимості

 0,01 0,025 0,05 0,95 0,975 0,99

 1 6,6 5,0 3,8 0,0039 0,00098 0,00016

 2 9,2 7,4 6,0 0,103 0,051 0,020

 3 11,3 9,4 7,8 0,352 0,216 0,115

 4 13,3 ПД 9,5 0,711 0,484 0,297

 5 15,1 12,8 ПД 1,15 0,831 0,554

 6 16,8 14,4 12,6 1,64 1,24 0,872

 7 18,5 16,0 14,1 2,17 1,69 1,24

 8 20,1 17,5 15,5 2,73 2,18 1,65

 9 21,7 19,0 16,9 3,33 2,70 2,09

 10 23,2 20,5 18,3 3,94 3,25 2,56

 11 24,7 21,9 19,7 4,57 3,82 3,05

 12 26,2 23,3 21,0 5,23 4,40 3,57

 13 27,7 24,7 22,4 5,89 5,01 4,11

 14 29,1 26,1 23,7 6,57 5,63 4,66

 15 30,6 27,5 25,0 7,26 6,26 5,23

 16 32,0 28,8 26,3 7,96 6,91 5,81

 17 33,4 30,2 27,6 8,67 7,56 6,41

 18 34,8 31,5 28,9 9,39 8,23 7,01

 19 36,2 32,9 30,1 10,1 8,91 7,63

 20 37,6 34,2 31,4 10,9 9,59 8,26

 21 38,9 35,5 32,7 11,6 10,3 8,90

 22 40,3 36,8 33,9 12,3 11,0 9,54

 23 41,6 38,1 35,2 13,1 11,7 10,2

 24 43,0 39,4 36,4 13,8 12,4 10,9

 25 44,3 40,6 37,7 14,6 13,1 11,5

 26 45,6 41,9 38,9 15,4 13,8 12,2

 27 47,0 43,2 40,1 16,2 14,6 12,9

 28 48,3 44,5 41,3 16,9 15,3 13,6

 29 49,6 45,7 42,6 17,7 16,0 14,3

 30 50,9 47,0 43,8 18,5 16,8 15,0

Додаток 2

Критичні точки розподілу Стьюдента

 Число

 ступенів

 свободи k

 Рівень значимості

 (Двостороння критична значимість)

 0,10 0,05 0,02 0,01 0,002 0,001

 1 6,31 12,7 31,82 63,7 318,3 637,0

 2 2,92 4,30 6,97 9,92 22,33 31,6

 3 2,35 3,18 4,54 5,84 10,22 12,9

 4 2ДЗ 2,78 3,75 4,00 7,17 8,61

 5 2,01 2,57 3,37 4,03 5,89 6,86

 6 1,94 2,45 3,14 3,71 5,21 5,96

 7 1,89 2,36 3,00 3,50 4,79 5,40

 8 1,86 2,31 2,90 3,36 4,50 5,04

 9 1,83 2,26 2,82 3,25 4,30 4,70

 10 1,81 2,23 2,76 3,17 4,14 4,59

 11 1,80 2,28 2,72 3,11 4,03 4,44

 12 1,78 2,18 2,68 3,05 3,93 4,32

 13 1,77 2,16 2,65 3,01 3,85 4,22

 14 1,76 2,14 2,62 2,98 3,79 4,14

 15 1,75 2,13 2,60 2,95 3,73 4,07

 16 1,75 2,12 2,58 2,92 3,69 4,01

 17 1,74 2,11 2,57 2,90 3,65 3,96

 18 1,73 2,10 2,55 2,88 3,61 3,92

 19 1,73 2,09 2,54 2,86 3,58 3,88

 20 1,73 2,09 2,53 2,85 3,55 3,85

 21 1,72 2,08 2,52 2,83 3,53 3,82

 22 1,72 2,07 2,51 2,82 3,51 3,79.

 23 1,71 2,07 2,50 2,81 3,49 3,77

 24 1,71 2,06 2,49 2,80 3,47 3,74

 25 1,71 2,06 2,49 2,79 3,45 3,72

 26 1,71 2,06 2,48 2,78 3,44 3,71

 27 1,71 2,05 2,47 2,77 3,42 3,69

 28 1,70 2,05 2,46 2,76 3,40 3,66

 29 1,70 2,05 2,46 2,76 3,40 3,66

 30 1,70 2,04 2,46 2,75 3,39 3,65

 40 1,68 2,02 2,42 2,70 3,31 3,55

 60 1,07 2,00 2,39 2,66 3,23 3,46

 120 1,66 1,98 2,36 2,62 3,17 3,37

Додаток 3

Таблиця функції Лапласа

 z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

 0,0 0,00000 0,00399 0,00798 0,01197 0,01595 0,01994 0,02392 0,02790 0,03188 0,03586

 0,1. 0,03983 0,04380 0,04776 0,05172 0,05567 0,05962 0,06356 0,06749 0,07142 0,07535

 0,2 0,07926 0,08317 0,08706 0,09095 0,09483 0,09871 0,10257 0,10642 0,11026 0,11409

 0,3 0,11791 0,12172 0,12552 0,12930 0,13307 0,13683 0,14058 0,14431 0,14803 ОП5173

 0,4 0,15542 0,15910 0,16276 0,16640 0,17003 0,17364 0,17724 0,18082 0,18439 0,18793

 0,5 0,19146 0,19497 0,19847 0,20194 0,20540 0,20884 0,21226 0,21566 0,21904 0,22240

 0,6 0,22575 0,22907 0,23237 0,23565 0,23891 0,24215 0,24537 0,24857 0,25175 0,25490

 0,7 0,25804 0,26115 0,26424 0,26730 0,27035 0,27337 0,27637 0,27935 0,28230 0,28524

 0,8 0,28814 0,29103 0,29389 0,29673 0,29955 0,30234 0,30511 0,30785 0,31057 0,31327

 0,9 0,31594 0,31859 ??0,32121 0,32381 0,32639 0,32894 0,33147 0,33398 0,33646 0,33891

 1,0 0,34134 0,34375 0,34614 0,34849 0,35083 0,35314 0,35543 0,35769 0,35993 0,36214

 1,1 0,36433 0,36650 0,36864 0,37076 0,37286 0,37493 0,37698 0,37900 0,38100 0,38298

 1,2 0,38493 0,38686 0,38877 0,39065 0,39251 0,39435 0,39617 0,39796 0,39973 0,40147

 1,3 0,40320 0,40490 0,40658 0,40824 0,40988 0,41149 0,41308 0,41466 0,41621 0,41774

 1,4 0,41924 0,42073 0,42220 0,42364 0,42507 0,42647 0,42785 0,42922 0,43056 0,43189

 1,5 0,43319 0,43448 0,43574 0,43699 0,43822 0,43943 0,44062 0,44179 0,44295 0,44408

 1,6 0,44520 0,44630 0,44738 0,44845 0,44950 0,45053 0,45154 0,45254 0,45352 0,45449

 1,7 0,45543 0,45637 0,45728 0,45818 0,45907 0,45994 0,46080 0,46164 0,46246 0,46327

 1,8 0,46407 0,46485 0,46562 0,46638 0,46712 0,46784 0,46856 0,46926 0,46995 0,47062

 1,9 0,47128 0,47193 0,47257 0,47320 0,47381 0,47441 0,47500 0,47558 ??0,47615 0,47670

 2,0 0,47725 0,47778 0,47831 0,47882 0,47932 0,47982 0,48030 0,48077 0,48124 0,48169

 2,1 0,48214 0,48257 0,48300 0,48341 0,48382 0,48422 0,48461 0,48500 0,48537 0,48574

 2,2 0,48610 0,48645 0,48679 0,48713 0,48745 0,48778 0,48809 0,48840 0,48870 0,48899

 2,3 0,48928 0,48956 0,48983 0,49010 0,49036 0,49061 0,49086 0,49111 0,49134 0,49158

 2,4 0,49180 0,49202 0,49224 0,49245 0,49266 0,49286 0,49305 0,49324 0,49343 0,49361

 2,5 0,49379 0,49396 0,49413 0,49430 0,49446 0,49461 0,49477 0,49492 0,49506 0,49520

 2,6 0,49534 0,49547 0,49560 0,49573 0,49585 0,49598 0,49609 0,49621 0,49632 0,49643

 2,7 0,49653 0,49664 0,49674 0,49683 0,49693 0,49702 0,49711 0,49720 0,49728 0,49736

 2,8 0,49744 0,49752 0,49760 0,49767 0,49774 0,49781 0,49788 0,49795 0,49801 0,49807

 2,9 0,49813 0,49819 0,49825 0,49831 0,49836 0,49841 0,49846 0,49851 0,49856 0,49861

 3,0 0,49865 0,49869 0,49874 0,49878 0,49882 0,49886 0,49889 0,49893 0,49896 0,49900

 3,1 0,49903 0,49906 0,49910 0,49913 0,49916 0,49918 0,49921 0,49924 0,49926 0,49929

 3,2 0,49931 0,49934 0,49936 0,49938 0,49940 0,49942 0,49944 0,49946 0,49948 0,49950

 3,3 0,49952 0,49953 0,49955 0,49957 0,49958 0,49960 0,49961 0,49962 0,49964 0,49965

 3,4 0,49966 0,49968 0,49969 0,49970 0,49971 0,49972 0,49973 0,49974 0,49975 0,49976

 3,5 0,49977 0,49978 0,49978 0,49979 0,49980 0,49981 0,49981 0,49982 0,49983 0,49983

 3,6 0,49984 0,49985 0,49985 0,49986 0,49986 0,49987 0,49987 0,49988 0,49988 0,49989

 3,7 0,49989 0,49990 0,49990 0,49990 0,49991 0,49991 0,49992 0,49992 0,49992 0,49992

 3,8 0,49993 0,49993 0,49993 0,49994 0,49994 0,49994 0,49994 0,49995 0,49995 0,49995

 3,9 0,49995 0,49995 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49997 0,49997

 4,0 0,499968

 4,5 0,49997

 5,0 0,4999997

Додаток 4

Критичні точки розподілу Фішера-Снедекора

 Рівень значимості а = 0,01

 1 161 200 216 225 230 234 237 239 241 242 243 244

 2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,36 19,37 19,38 19,39 19,40 19,41

 3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,88 8,84 8,81 8,78 8,76 8,74

 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,93 5,91

 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,78 4,74 4,70 4,68

 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,03 4,00

 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,63 3,60 3,57

 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,34 3,31 3,28

 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,13 3,10 3,07

 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,97 2,94 2,91

 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,86 2,82 2,79

 12 4,75 3,88 3,49 3,26 3,11 3,00 2,92 2,85 2,80 2,76 2,72 2,69

 13 4,67 3,80 3,41 3,18 3,02 2,92 2,84 2,77 2,72 2,67 2,63 2,60

 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,77 2,70 2,65 2,60 2,56 2,53

 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,70 2,64 2,59 2,55 2,51 2,48

 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,45 2,42

 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,62 2,55 2,50 2,45 2,41 2,38

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка