трусики женские украина

На головну

 Деякі чудові криві - Математика

Міністерство освіти і науки РФ

Череповецький державний університет

Інститут інформаційних технологій

Кафедра прикладної математики

Дисципліна: Геометрія і алгебра

Курсова робота

на тему «Деякі чудові криві»

м Череповець

2010-2011 н.р.

Зміст

Введення

1. строфоїди

1.1 Визначення

1.2 Історичні відомості

1.3 стереометрическая освіту

1.4 Особливості форми

1.5 Завдання

2. Цисоїда Діокла

2.1 Визначення та побудова

2.2 Історичні відомості

2.3 Площа S смуги

2.4 Обсяг V тіла обертання

2.5 Завдання

3. Декартов лист

3.1 Історичні відомості

3.2 Побудова

3.3 Особливості форми

3.4 Завдання

4. Равлик Паскаля

4.1 Визначення та побудова

4.2 Історичні відомості

4.3 Особливості форми

4.4 Властивості нормалі

4.5 Побудова дотичної

4.5 Завдання

5. Лемніската

5.1 Визначення

5.2 Історичні відомості

5.3 Побудова

5.4 Особливості форми

5.5 Властивості нормалі

5.6 Побудова дотичної

5.7 Завдання

Висновок

Використана література

Введення

У даній роботі ми розглянемо деякі чудові криві та їх особливості.

У параграфі 1 буде розглянута строфоїди, особливості її форми, стереометричне освіту і історичні відомості.

У 2-му параграфі ми вивчимо цисоїди Діокла і деякі формули, пов'язані з нею.

У параграфі 3 дізнаємося метод побудови, особливості форми та історичні відомості про криву, званої «Декартов лист».

У 4-му параграфі розглянемо равлика Паскаля. Її визначення, побудова, особливості форми, властивості нормалі і побудова дотичній. плоский кривої лемніската Бернули строфоїди

У параграфі 5 буде вивчена лемніската Бернуллі: визначення, побудова, історичні відомості, особливості форми, властивості нормалі і побудова дотичній.

А також за допомогою завдань дізнаємося формули кривих в прямокутній декартовій і полярній системах координат.

1. строфоїди

1.1 Визначення.

Пряма строфоїди, або просто строфоїди, визначається так: беремо взаємно-перпендикулярні прямі AB, CD (рис.1) і на одній з них точку A; через неї проводимо свавілля пряму AL, що перетинає CD в точці P. На AL відкладаємо відрізки PM1 ,, PM2равние PO (O - точка перетину AB і CD). Строфоїди (пряма) є геометричне місце точок M1, M2.

Коса строфоїди (рис.2) будується аналогічно з тією різницею, що AB і CD перетинаються Косокутні.

1.2 Історія питання

Строфоїди була розглянута (ймовірно, вперше) Ж. Роберваля в 1645 під ім'ям птероіди. Нинішню назву введено Міді в 1849 р

1.3 стереометрическая освіту

Уявімо собі циліндричну поверхню з віссю CD (див. Рис.1) і радіусом AO. Через точку A проведемо перпендикулярну площині креслення довільну площину K (пряма AL - слід цій площині). У перетині отримаємо еліпс; його фокуси M1, M2опісивают пряму строфоїди.

Коса строфоїди будується аналогічно з тією лише різницею, що циліндрична поверхня замінюється конічної: вісь конуса (OS на рис.2) проходить через O перпендикулярно AB; пряма UV, що проходить через B паралельно CD, - одна з утворюють. Точки M1, M2- фокуси відповідного конічного перетину; коса строфоїди розташована на обох порожнинах конічної поверхні і проходить через вершину S останньої.

1.4 Особливості форми

Точка O - вузлова; дотичні до гілок, які проходять через O, взаємно перпендикулярні (як для прямої, так і для косою строфоїди). Для косою строфоїди (рис.2) пряма UV служить асимптотой (при нескінченному віддаленні вниз). Крім того, UV стосується косою строфоїди в точці S, равноотстоящей від A і B.

У прямій строфоїди точка дотику S «йде в нескінченність» (при видаленні вгору), так що пряма UV (див. Рис.1) служить асимптотой для обох гілок.

1.5 Завдання

Написати рівняння строфоїди в прямокутній декартовій системі координат, осями якої є прямі AB і CD, а напрямок осі OX визначається напрямом осі строфоїди.

Рішення:

Нехай O - початок координат; вісь OX спрямована по променю OB; AO = a, AOD = ?; коли строфоїди - коса, система координат - Косокутна, вісь OY направлена ??по променю OD:

(1)

Для прямої строфоїди рівняння (1) приводиться до виду

.

2. Цисоїда Діокла

2.1 Визначення та побудова

На відрізку OA = 2a, як на діаметрі, будуємо окружність C (рис.3) і проводимо через A дотичну UV. Через O проводимо довільну пряму OF, що перетинає UV в точці F; ця пряма перетне (вдруге) окружність C в точці E. На пряме OF від точки F у напрямку до O відкладаємо відрізок FM, рівний хорді OE.

Лінія, що описується точкою M при обертанні OF близько O, називається цисоїди Діокла - по імені грецького вченого 2 століття до н.е., який ввів цю лінію для графічного розв'язання задачі про подвоєння куба.

Особливості форми. Цисоїда симетрична щодо OA, проходить через точки B, D і має асимптоту UV (x = 2a); O - точка повернення (радіус кривизни RO = O).

Побудова дотичної. Щоб побудувати дотичну до цисоїди в її точці M, проводимо MPOM. Нехай Q, P - точки перетину MP з прямими OX, OY. Від точки P на продовженні відрізка QP відкладаємо відрізок PK = PQ. Будуємо KNMO і ONQP. Точку N перетину KN і ON з'єднуємо з M. Пряма MN - нормаль до цисоїди. Шукана дотична MT перпендикулярна MN.

2.2 Історичні відомості

Диокл визначав цисоїди за допомогою іншого побудови. Він проводив діаметр BD, перпендикулярний OA; точка M виходила в перетині хорди OE з прямою GG?BD, проведеної через точку G, симетричну з E щодо BD. Тому лінія Діокла розташовувалася цілком всередині кола C. Вона складалася з дуг OB і OD. Якщо замкнути лінію BOD ??півколом BAD, описаної точкою E, виходить фігура, що нагадує лист плюща. Звідси назва «Цисоїда».

Приблизно в 1640 р Роберваль, а пізніше Р. де Слюз помітили, що Цисоїда необмежено триває і за межі кола, якщо точка E описує та іншу півколо BOD; тоді M лежить на продовженні хорди OE. Однак найменування «Цисоїда Слюз», запропоноване Гюйгенсом, що не утвердилося в літературі.

2.3 Площа S смуги

укладеної між цисоїди і її асимптотой (ця смуга простягається в нескінченність), конечна; вона втричі більше площі виробляє кола C:

.

2.4 Обсяг V тіла обертання

вищезгаданої смуги близько асимптоти UV дорівнює обсягу V? тіла обертання кола C близько тієї ж осі (Слюз):

.

При обертанні тієї ж смуги близько осі симетрії виходить тіло нескінченного обсягу.

2.5 Завдання

Дана Цисоїда Діокла з полюсом в точці O, віссю OA і параметром 2a. Прийнявши точку O за полюс, а вісь кривої за вісь полярної системи, вивести рівняння кривої в полярних координатах. Записати рівняння кривої в прямокутній декартовій системі координат.

Рішення:

Нехай O - початок координат, OX - вісь абсцис. Тоді рівняння в прямокутній системі координат:

.

Якщо O - полюс і OX - полярна вісь, то рівняння в полярних координати буде мати вигляд:

.

3. Декартов лист

3.1 Історичні відомості

У 1638 р Р. Декарт, щоб спростувати (невірно їм зрозуміле) правило П. Ферма для знаходження дотичних, запропонував Ферма знайти дотичну до лінії. При звичайному для нас тлумаченні негативних координат ця лінія, яку в 18 столітті стали називати декартовим листом, складається з петлі OBAC (рис.4) і двох нескінченних гілок (OI, OL).

Але в такому вигляді її представив вперше Х. Гюйгенс (у 1692 р). До цього лініюпредставлялі у вигляді чотирьох пелюсток (один з них OBAC), симетрично розташованих у чотирьох координатних кутах. Тому її називали «квіткою жасмину».

3.2 Побудова

Щоб побудувати декартовий лист з діаметром петліпроведем окружність A радіусаі яку-небудь пряму GH, паралельну AO. Далі проведемо прямі AA?і OE, перпендикулярні AO, і відзначимо точки A?, E їх перетину з GH. Нарешті, відкладемо на промені OA відрізок OF = 3OA і проведемо пряму FE. Тепер шукана лінія будується по точках наступним чином.

Через O проводимо будь-яку пряму ON і через точку N, де ця пряма перетинає (вдруге) окружність, проводимо NQAA?. Точку Q, де NQ перетинає пряму OF з'єднуємо з A?і відзначаємо точку K, де QA?пересекает FE. Проводимо пряму AK до перетину з прямою GH в точці Q?. Нарешті, відкладаємо на прямий OA відрізок OP, рівний і равнонаправленних з відрізком A?Q?. Пряма M1M2, проведена через P паралельно AA?, перетне пряму ON в точці M1. Ця точка (а також точка M2, симетрична їй щодо AO), належить шуканої лінії.

Коли точка N, виходячи з O, описує коло A проти годинникової стрілки, точка M1опісивает траєкторію LOCABOI.

3.3 Особливості форми

Точка O - вузлова. Дотичні, що проходять через O, збігаються з осями координат. Пряма OA () є вісь симетрії. Точка, найбільш віддалена від вузлової точки, називається вершиною (коеффіціентвиражает діагональ квадрата, сторона якого дорівнює найбільшою хорді OA петлі, так що). Пряма UV () - асимптота обох нескінченних гілок.

3.4 Завдання

Написати рівняння декартова листа в прямокутній системі координат і, прийнявши точку O за полюс, в полярній системі координат.

Рішення:

Рівняння в прямокутній системі:

.

Рівняння в полярній системі (OX - полярна вісь):

.

4. Равлик Паскаля

4.1 Визначення та побудова

Дано: Точка O (полюс), окружність K діаметра OB = a (рис.6), що проходить через полюс (основна окружність; вона показана на кресленні пунктиром), і відрізок. З полюса O проводимо довільну пряму OP. Від точки P, де пряма OP вдруге перетинає коло, відкладаємо в обидві сторони від P відрізки. Геометричне місце точок M1, M2 (жирна лінія на рис.6) називається равликом Паскаля - на честь Етьєна Паскаля (1588 - 1651), батька знаменитого французького вченого Блеза Паскаля (1623 - 1662).

4.2 Історичні відомості

Термін «равлик Паскаля» запропонований Ж. Роберваля, сучасником і другом Паскаля. Роберваль розглядав цю лінію як один з видів узагальненої Конхоїда.

4.3 Особливості форми

Улітку Паскаля симетрична відносно прямої OB. Ця пряма (вісь равлики) перетинає равлика: 1) у точці O (якщо остання належить равлику); 2) у двох точках A, C (вершини). Форма лінії залежить від співвідношення між отрезкаміі.

1) Коли (лінія 1 жирна; для неї) равлик Паскаля перетинає сама себе в вузловій точці O

,

Утворюючи дві петлі: зовнішню OHA1GO і внутрішню OH'C1G'O. Кутовий коефіцієнт дотичних OD, OE в вузловий точці:

.

Для побудови дотичних досить провести хорд OD, OE довжини l в окружності K. Найбільш віддаленим від осі точкам G, H зовнішньої петлі відповідає значення

;

Найбільш віддаленим точкам G ', H'внутренней петлі - значення

.

Відповідне полярне значення полярного радіуса:

.

2) Коли (лінія 2 на рис.6), внутрішня петля стягується до полюса і перетворюється в точку повернення, де рух у напрямку променя OX змінюється рухом у протилежному напрямку. Найбільш віддаленим від осі точкам L, M відповідають значення

.

Лінія 2 називається кардіоїд, тобто «Сердцеобразной» (термін введений Кастіллоном в 1741г.). Вона зображена окремо на рис.7

3) Коли (лінія 3; для неї), равлик Паскаля - замкнута лінія без самопересеченія; відірвавшись від полюса, вона укладає його всередині себе. Найбільш віддаленим від осі точкам L ', N'отвечает значення. Втративши точки повернення, равлик набуває замість точки перегину R, Q, яким відповідає значення. Кут ROQ, під яким відрізок RQ видно з полюса, у міру возрастаніясначала зростає від нуля до; цьому значенню відповідає. При подальшому увеліченііугол ROQ убуває, прагнучи до нуля при.

4) пріточка перегину, зливаючись з вершиною C пропадають (причому кривизна в точці C стає рівною нулю). Улітку набуває овальну форму і зберігає її при всіх значеннях

(Лінія 4; для неї). Найбільш віддаленим від осі точкам L '', N''отвечает значення

.

4.4 Властивості нормалі

Нормаль равлики Паскаля в її точці M (рис.7) проходить через точку N основного кола K, діаметрально протилежну тій точці P, де OM перетинається з основною окружністю.

4.5 Побудова дотичної

Щоб провести дотичну до равлику Паскаля в її точці M, соежіняем останню з полюсом O. Крапку N основною окрудності K, діаметрально протилежного точці P, з'єднуємо з M. Пряма MN буде нормаллю до равлику. Проводячи MTMN, отримаємо шукану дотичну.

4.6 Завдання

Дана равлик Паскаля з полюсом в точці O. Написати рівняння в прямокутній і полярній системах координат.

Рішення:

Нехай початок координат - в полюсі O, вісь OX спрямована по променю OB. Тоді рівняння в прямокутній системі координат буде мати вигляд:

. (1)

Строго кажучи, це рівняння являє фігуру, що складається з равлики Паскаля і полюса O, який може і не належати певному вище геометричному місцю (такий випадок має місце для ліній 3 і 4 на рис.6).

Рівняння в полярній системі (O - полюс, OX - полярна вісь):

, (2)

гдеменяется від будь-якого значеніядо.

5. Лемніската

5.1 Визначення

Лемніската є геометричне місце точці, для яких добуток відстаней від них до кінців данно отрещкаравно. Точки F1, F2називаются фокусами лемніскати; пряма F1F2- її віссю.

5.2 Історичні відомості

У 1694 Якоб Бернули в роботі, присвяченій теорії припливів і відливів, використовував як допоміжний засіб лінію, яку він задає рівнянням. Він відзначає схожість цієї лінії (рис.8) з цифрою 8 і узлообразних пов'язкою, яку він іменує «лемніском». Звідси називання лемніската. Лемніската отримала широку івестную в 1718 р, коли італійський математик Джуліо Карло Фаньяно (1682 - 1766) встановив, що інтеграл, що представляє довжину дуги лемніскати, що не виражається через елементарні функції, і тим не менш лемніската можна розділити (за допомогою лінійки і циркуля) на n рівних дуг за умови, чтоіліілі, де m - будь-яке ціле позитивне число.

Лемніската є приватний вид лінії Кассіні. Однак, хоча лінії Кассіні отримали загальну популярність з 1749, тотожність «вісімки Кассіні» з лемніската Бернули була уставновлена ??лише в 1806 р (італійським математиком Саладін).

5.3 Побудова

Можна застосовувати загальний спосіб побудована лінія Кассіні, але нижчевикладений спосіб (К. Маклорена) і простіше і краще. Будуємо (див. Рис.) Окружність радіусас центром в точці F1 (або F2). Проводимо довільну січну OPQ і відкладаємо на цій прямій в обидві сторони від точки O відрізки OM і OM1, рівні хорді PQ. Точка M опише одну з петель лемніскати, точка M1- іншу.

5.4 Особливості форми

Лемніската має дві осі симетрії: пряму F1F2 (OX) і пряму OYOX. Точка O - вузлова; обидві гілки мають тут перегин. Дотичні в цій точці складають з віссю OX кути. Точки A1, A2лемніскати, найбільш віддалені від вузла O (вершини лемніскати), лежать на осі F1F2на расстоянііот вузла.

5.5 Властивості нормалі.

Подяоний радіус OM лемніскати утворює з нормаллю MN кут, удвічі більше полярного кута:

.

Іншими словами: уголмежду віссю OX і вектором NN'внешней нормалі лемніскати в точці M дорівнює потроєному полярному куту точки M:

.

5.6 Побудова дотичної

Щоб побудувати дотичну до лемніската в її точці M, проводимо полярний радіус OM і будуємо. Перпендикуляр MT до прямої MN є шукана дотична.

5.7 Завдання

Написати рівняння лемніскати Бернуллі в прямокутній системі координат (O - серідіни відрізка F1F2) і в полярній системі координат (O - полюс).

Рішення:

Нехай точка O - початок координат; вісь OX спрямована по F1F2. Тоді Рівняння в прямокутній системі координат:

.

Якщо O - полюс, OX - полярна вісь, то рівняння в полярній системі:

.

Уголізменяется в промежуткахі.

Висновок

У даній роботі ми розглянули деякі чудові криві, вивчили їх способи побудови, особливості форми і завдання, пов'язані з цими кривими.

У параграфі 1 була розглянута строфоїди, особливості її форми, стереометричне освіту і історичні відомості.

У 2-му параграфі ми вивчили цисоїди Діокла і деякі формули, пов'язані з нею.

У параграфі 3 дізналися метод побудови, особливості форми та історичні відомості про криву, званої «Декартов лист».

В 4-му параграфі розглянули равлика Паскаля. Її визначення, побудова, особливості форми, властивості нормалі і побудова дотичній.

У параграфі 5 була вивчена лемніската Бернуллі: визначення, побудова, історичні відомості, особливості форми, властивості нормалі і побудова дотичній.

А також за допомогою завдань дізналися формули кривих в прямокутній декартовій і полярній системах координат.

Використана література:

1. Маркушевич А.І., Чудові криві, М., 1978, 48 стор. З іл.

2. Вигодський М.Я., Довідник з вищої математики, М .: АСТ: Астрель, 2008, 991 стор. З іл.

3. Атанасян Л.С. і Атанасян В.А., Збірник завдань з геометрії. Навч. посібник для студентів фіз.-мат. фак. пед. ін-тів. Ч. I, М., "Просвітництво", 1973, 256 с.

4. Гурова А.Е. Чудові криві навколо нас. М, 1989

5. Маркушевич А.І. Чудові криві. - М, 1978

6. http://ru.wikipedia.org/wiki/Строфоида

7. http://ru.wikipedia.org/wiki/Лемниската_Бернулли

8. http://ru.wikipedia.org/wiki/Улитка_Паскаля

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка