трусики женские украина

На головну

 Теореми Силова - Математика

ВСТУП

Будова абелевих груп багато в чому визначається будовою максимальних р-підгруп. У теорії кінцевих груп максимальні підгрупи також відіграють істотну роль. Теорема, доведена норвезьким математиком Л. силових в 1872 році, стала наріжним каменем теорії кінцевих груп. Вона неодноразово узагальнювалася в різних напрямках як у нашій країні (С. А. Чуніхін та ін.), Так і за кордоном (Ф. Холл та ін.). У зв'язку з цією теоремою і на честь її автора максимальні р-підгрупи кінцевих (а часто і нескінченних) груп називаються Сіловская р-підгрупами. Проблема знаходження сіловской підгрупи даної групи є важливим завданням обчислювальної теорії груп. Для груп перестановок Вільям Кантор довів, що Сіловская p-підгрупа може бути знайдена за час, полиномиальное від розміру задачі (в даному випадку це порядок групи, помножений на кількість породжують елементів).

Кажуть, що група G діє на безлічі М, якщо для кожних елементів, визначено елемент, прічемі me = m для всіх ,; тут e - одиниця групи G. Множествоназивается орбітою елемента m. Очевидно, орбіти будь-яких двох елементів з М або збігаються, або не перетинаються, так що безліч М розбивається на непересічні орбіти. Людвіг Сілов (норв. Peter Ludvig Mejdell Sylow - фонетично правильніше транслітерація «Сюлов»; 1832-1918) - норвезький математик. Автор кількох робіт з теорії еліптичних функцій і з теорії груп. З 1858 по 1898 роки був учителем у школі в місті Фредеріксхальд. У 1862 році Сілов замінив професора з теорії Галуа в університеті Христиании, де він поставив завдання, яка призвела до найбільш важливого результату його життя - так званим теорем Силова, опублікованими в 1872 році.

ГЛАВА 1. теоремі Силова

Нехай G - кінцева група, а р - просте число, яке ділить порядок G. Підгрупи порядку ptназиваются р-підгрупами. Виділимо з порядку групи G примарной дільник по р, тобто | G | = pns, де s не ділиться на р. Тоді сіловской р-підгрупою називається підгрупа G, що має порядок pn. Під N (P) розуміється нормалізатор підгрупи Р в G.

Теорема 1. (перша теорема Силова).

Сіловскіе р-підгрупи існують.

Доказ.

Доведемо теорему індукцією по порядку G. При | G | = p теорема вірна. Нехай тепер | G |> p. Нехай Z (G) - центр групи G. Можливі два випадки:

а) p ділить | Z |. Тоді в центрі існує циклічна група (як елемент примарной розкладання центру), яка нормальна в G. Факторгруппа G з цієї циклічної групі має менший порядок, ніж G, значить, за припущенням індукції, в ній існує Сіловская p-підгрупа. Розглянемо її прообраз в G. Він і буде потрібної нам сіловской p-підгрупою G.

б) p поділяє | Z |. Тоді розглянемо розбиття G на класи спряженості: (оскільки якщо елемент лежить в центрі, то його клас спряженості складається з нього одного). Порядок G ділиться на p, значить, повинен знайтися клас Ka, порядок якого не ділиться на p. Відповідний йому нормалізатор має порядок pnr, r Теорема 2. (друга теорема Силова).

Всяка p-підгрупа міститься в деякій сіловской p-підгрупи. Всі сіловскіе p-підгрупи сполучені (тобто кожна представляється у вигляді gPg- 1, де g - елемент групи, а P - Сіловская підгрупа з теореми 1).

Доказ

Отже, нехай сіловскіе р-підгрупи в G існують і Р - одна з них. Нехай, далі, - довільна р-підгрупа групи G, не обов'язково Сіловская. Заставімдействовать лівими зрушеннями на множествелевих суміжних класів G по Р. Довжина будь орбіти относітельноделіт порядок ,. Таким чином,

де, ... - довжини орбіт. Так як НСД (m, p) = 1, то хоча б одна орбіта має довжину pki = 1, т. Е.

(1)

для деякого елемента. Переписавши співвідношення (1) у вигляді, ми приходимо до висновку, що

(2)

(Поскольку- група). Зокрема, якщо-Сіловская р-підгрупа, то || = | Р |, і з (2) випливає, що =.

Теорема 3 (третій теорема Силова).

Кількість сіловскіх p-підгруп порівняно з одиницею за модулем Pи ділить порядок G.

Доказ.

Розглянемо кілька більш загальну ситуацію. Саме, нехай, де, t може ділиться на p, і пусть- число всіх підгруп порядкав G. Виявляється, що має місце порівняння, зокрема, G містить підгрупи будь-якого порядку, s = 1,2, ..., n і.

Міркуємо таким чином. Дія лівими зрушеннями групи G на собі індукує дію G на множині

всіх-елементних підмножин. Причому. Множестворазбівается на G-орбіти, так що

,

де- стаціонарна підгрупа деякого представника.

Так як, то- об'єднання кількох правих суміжних класів G по. Тому, звідки. У случаеімеем. Равенстваіеквівалентни. Отримуємо

(- Деякий елемент із G) і, стало бути, - підгрупа порядку. Орбітаісчерпивается деяким числом лівих суміжних классовгруппи G по.

Зворотно: кожна подгруппапорядкапріводіт до орбітедліни t. Різні подгрупписпріводят до різних орбітах, оскільки знаступних, откудаі. Таким чином, є взаємно однозначна відповідність між підгрупами порядкаі орбітамідліни t. Тоді порівняння записується як

Де слід було б написати, щоб підкреслити залежністьвід G.

Якщо взяти за G циклічну групу порядку, то для неёі тому

Так як ліві частина порівнянь з одного й того ж модулю збігаються, то маємо

А це і дає шукане порівняння

Отримаємо корисне уточнення теорем Силова.

Теорема 4.

Справедливі наступні твердження:

1) .сіловская p-підгрупа P групи G нормальна в G тоді і тільки тоді, коли

2) .Звичайно група G порядкаявляется прямим добутком своїх сіловскіх- подгруппв точності тоді, коли всі ці підгрупи нормальні в G.

Доказ.

1) .Все сіловскіе підгрупи, що відповідають даним простому делителю р порядку, по другій теоремі Силова сполучені, і якщо P-одна з них, то

нормальна в G

2) .Еслі- пряме твір своїх сіловскіх підгруп, тонормальна в G як будь-який прямий множник. Значить умова нормальності необхідно.

Нехай теперьнормальна в G ,, т.е .. Зауважимо, що. Стало бути ,, а звідси для любихімеем

Тобто елементиіперестановочни.

Уявімо, що одиничний елементзапісан у вигляді, де- елемент порядку. Ти поклав скориставшись перестановочностьюполучім

Але так як а івзаімно прості, то. Це вірно при будь-якому j, і, стало бути, равенствовозможно лише при

З іншого боку, кожен елементпорядка, записується у вигляді ,,. Досить покласти, де показники визначаються умовами

теорема силов кінцева група

,

Якщо тепер-інший запис x у вигляді твору-елементів, то в силу перестановочне, з різними нижніми індексами будемо мати

,

що, як було показано вище, тягне рівності

, Т.е ..

Отже, кожен елемент групи G записується, і притому єдиним чином у вигляді.

Зауваження

Нормальна Сіловская p-підгрупа P групи G типова в G, тобто инвариантна при дії будь-якого автоморфізм. Дійсно ,, Тому-Сіловская р-підгрупа, і, стало бути ,, якщо. Аналоги сіловскіх підгруп простежуються в алгебраїчних структурах, далеких від кінцевих груп.

Слідство

Якщо все подільники | G |, крім 1, після поділу на p дають залишок, відмінний від одиниці, то в G є єдина Сіловская p-підгрупа і вона є нормальною (і навіть характеристичної).

Приклади сіловскіх підгруп.

Приклад 1.

Аддитивная група кільця вичетовразлагается в прямий добуток своїх сіловскіх p-підгруп, які є циклічними підгрупами порядків, якщо n має канонічне розкладання n =.

Приклад 2.

Сіловскіе p-підгрупи симетричних груп. Як ми знаємо, Який максимальний показник e (n), при которомделіт n !? У послідовності 1,2, ..., n кратними p будуть числа p, 2p, ..., kp, де, тому. Так як, тоУдобно розкласти n по підставі p :, тоді

Розглянемо спочатку групи, коли n ступінь p. Нехай вуже знайдена Сіловская p-підгрупа, тобто подгруппапорядка. Побудуємо за нею вподгруппупорядка. Для цього розіб'ємо переставляються символи 1,2, ..., на послідовні відрізки довжини. Есліі x - підстановка на символах i-го відрізка, то легко збагнути, що- підстановка на символах (i + 1) -го відрізка (додавання по модулю p). Звідси видно, що підгрупа, породжена підгрупами, є з прямим твором, і, стало бути, підгрупа, породжена подгруппойі елементом с, ізоморфна сплетенню. Подгруппа- шукана, так як.

Одночасно ми бачимо, що Сіловская p-підгрупа візоморфна послідовному сплетенню (... (циклічної группис самою собою m раз.

Тепер нехай n довільно. Розіб'ємо символи 1, ..., n наодноелементних, р-елементних і т.д. відрізків. На кожному з цих відрізків розглянемо симметрическую групу - вона буде деякій мірі, а в ній візьмемо сіловскую p-підгрупу, побудовану як вище. Так як ці підгрупи діють на непересічних множинах, то їх порожденіеявляется їх прямим твором, а тому має порядок

Отже, - Сіловская p-підгрупа в. З побудови видно, що вона ізоморфна прямому добутку декількох послідовних сплетінь типу (... (.

Приклад 3

Розглянемо загальні лінійні групи над кінцевими полями. Нехай p - просте число, m, n - цілі чіслаі. Покажемо, що- Сіловская p-підгрупа групи. Порахуємо порядки цих груп.

Які n-ки над полеммогут бути першим рядком невиродженої матриці? Очевидно, будь-які, крім нульовий, т. Е.штук. Якщо перший рядок обрана, то в якості другого рядка можна взяти будь-яку, що не пропорційну першої; таких рядків. Якщо два перші рядки вже обрано, то в якості третьої можна взяти будь-який рядок, не залежну лінійно від перших двох; це даетвозможность. І так далі. Значить ,.

Так як кутові елементи матріцпробегают незалежно один від одного все поле, а всього кутових місць, то. З порівняння порядків ми бачимо, що- Сіловская p-підгрупа групи.

Знаходження сіловской підгрупи.

Проблема знаходження сіловской підгрупи даної групи є важливим завданням обчислювальної теорії груп. Для груп перестановок Вільям Кантор довів, що Сіловская p-підгрупа може бути знайдена за час, полиномиальное від розміру задачі (в даному випадку це порядок групи, помножений на кількість породжують елементів).

ГЛАВА 2.РЕШЕНІЕ ЗАВДАНЬ З застосування теорії силових

Завдання 1.

Доведемо, що група порядку 350 не може бути простою.

Рішення

, Значить, Сіловская 5-підгрупа має порядок 25. N5 повинно ділити 14 і порівняно з 1 по модулю 5. Цим умовам задовольняє тільки одиниця. Значить, в G одна Сіловская 5-підгрупа, а значить, вона нормальна, і тому G не може бути простою.

Завдання 2

Знайти сіловскіе р-підгрупи в групі всіх матріцс визначником 1 над полеміз р елементів.

Рішення.

Пусть- группас визначником 1 над полеміз р елементів. З розкладання

Загальна лінійна група суміжні класи послідує, що

(1)

Рассматріваякак групу автоморфізмів двовимірного векторного простору V над, легко знайти порядок. Дійсно, діє на безлічі парбазісних векторів. Образомможет бути будь відмінний від нуля вектор (їх всегоштук), а при всякому вибореобразомможет бути будь векторизуется (таких векторів імеетсяштук). Стало бути ,, що в поєднанні з (1) приводить до формули

Принаймні дві сіловскіе р-підгрупи группими знаходимо відразу:

,.

Відповідно до теореми 3 маємо

а так як

і, отже, нормалізаторсодержіт підгрупу

порядку p (p-1), то залишається єдина можливість

.

Між групою

і симетричної группойнепосредственно встановлюється ізоморфізм

(Обидві групи мають однакове завдання утворюють і співвідношеннями). При p> 2 группаімеет центрпорядка 2. Фактор-група, яку природно називати проективної спеціальною групою (вона є групою перетворень проективної прямий), відіграє важливу роль в алгебрі з часів Галуа. Справа в тому, що при p> 3 группапростая, і це, поряд з, - один з найбільш ранніх прикладів кінцевих простих груп.

Завдання 3

Описати за допомогою теореми Силова всі можливі типи груп порядку pq.

Рішення

Нехай р, q - прості числа, р а) Сіловская р-підгрупа (а) єдина. Тоді вона нормальна і, значить ,. Так як, то. Таким чином, в цьому випадку.

б) Мається q сіловскіх р-підгруп. Звичайно, це можливо лише за умови. Нехай. Якщо r = 1, то знову, т. е .. Нехай. Індукцією по х отримуємо, откудадля всіх цілих х, у. При х = р, у = 1 це дає, крім того, отримуємо формулу множення.

Назад, легко перевірити, що якщо ,,, то ця формула множення визначає неабелева групу порядку pq. Нарешті, рішення сравненіясоставляют циклічну групу порядку р, тому ті з них, які, мають вигляд, де r - одне з них. Всі ці рішення визначають одну і ту ж групу, так як заміна породжує а напріводіт до заміни r на.

Таким чином, за допомогою теореми Силова ми описали всі можливі типи груп порядку pq; їх виявилося два - Абель і неабелев, причому другий існує тільки за умови.

ВИСНОВОК

При вивченні абелевих груп видно, що їх будова багато в чому визначається будовою максимальних р-підгруп. У теорії кінцевих груп максимальні р-підгрупи також відіграють істотну роль. У цьому курсової були доведені теореми Силова про кінцевих групах: для кожного ступеня, що ділить порядок групи, існує підгрупа порядку, причому есліделіт порядок групи, то всяка підгрупа порядкасодержітся в деякій підгрупі порядку; всі максимальні р-підгрупи попарно сполучені в групі, а їх число порівняно з 1 по модулю р. Ця теорема була доведена норвезьким математиком Л. силових в 1872 році. У зв'язку з цією теоремою і на честь її автора максимальні р-підгрупи кінцевих (а часто і нескінченних) груп називаються Сіловская р-підгрупами.

З теореми Силова випливає, зокрема, що сіловскіе р-підгрупи кінцевої групи - це в точності підгрупи порядку, де- максимальний ступінь р, що ділить порядок групи. Відзначимо, що якщо число m ділить порядок кінцевої групи G, але не є ступенем простого числа, то в G може і не бути підгруп порядку m - наприклад, в знакозмінної групі А4 близько 12 немає підгруп порядку 6.

В теорії груп теореми Силова являють собою неповний варіант зворотної теореми до теоремі Лагранжа і для деяких дільників порядку групи G гарантують існування підгруп такого порядку.

Список використаних джерел

1. А. І. Кострикін. Введення в алгебру, III частина. М .: Физматлит, 2001.

2. Е. Б. Вінберг. Курс алгебри. М .: Факторіал-Пресс, 2002.

3. М.І. Каргаполов, Ю.І. Мерзляков. Основи теорії груп. М.: Наука, 1982.

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка