На головну

 Теореми Силова - Математика

ВСТУП

Будова абелевих груп багато в чому визначається будовою максимальних р-підгруп. У теорії кінцевих груп максимальні підгрупи також відіграють істотну роль. Теорема, доведена норвезьким математиком Л. силових в 1872 році, стала наріжним каменем теорії кінцевих груп. Вона неодноразово узагальнювалася в різних напрямках як у нашій країні (С. А. Чуніхін та ін.), Так і за кордоном (Ф. Холл та ін.). У зв'язку з цією теоремою і на честь її автора максимальні р-підгрупи кінцевих (а часто і нескінченних) груп називаються Сіловская р-підгрупами. Проблема знаходження сіловской підгрупи даної групи є важливим завданням обчислювальної теорії груп. Для груп перестановок Вільям Кантор довів, що Сіловская p-підгрупа може бути знайдена за час, полиномиальное від розміру задачі (в даному випадку це порядок групи, помножений на кількість породжують елементів).

Кажуть, що група G діє на безлічі М, якщо для кожних елементів, визначено елемент, прічемі me = m для всіх ,; тут e - одиниця групи G. Множествоназивается орбітою елемента m. Очевидно, орбіти будь-яких двох елементів з М або збігаються, або не перетинаються, так що безліч М розбивається на непересічні орбіти. Людвіг Сілов (норв. Peter Ludvig Mejdell Sylow - фонетично правильніше транслітерація «Сюлов»; 1832-1918) - норвезький математик. Автор кількох робіт з теорії еліптичних функцій і з теорії груп. З 1858 по 1898 роки був учителем у школі в місті Фредеріксхальд. У 1862 році Сілов замінив професора з теорії Галуа в університеті Христиании, де він поставив завдання, яка призвела до найбільш важливого результату його життя - так званим теорем Силова, опублікованими в 1872 році.

ГЛАВА 1. теоремі Силова

Нехай G - кінцева група, а р - просте число, яке ділить порядок G. Підгрупи порядку ptназиваются р-підгрупами. Виділимо з порядку групи G примарной дільник по р, тобто | G | = pns, де s не ділиться на р. Тоді сіловской р-підгрупою називається підгрупа G, що має порядок pn. Під N (P) розуміється нормалізатор підгрупи Р в G.

Теорема 1. (перша теорема Силова).

Сіловскіе р-підгрупи існують.

Доказ.

Доведемо теорему індукцією по порядку G. При | G | = p теорема вірна. Нехай тепер | G |> p. Нехай Z (G) - центр групи G. Можливі два випадки:

а) p ділить | Z |. Тоді в центрі існує циклічна група (як елемент примарной розкладання центру), яка нормальна в G. Факторгруппа G з цієї циклічної групі має менший порядок, ніж G, значить, за припущенням індукції, в ній існує Сіловская p-підгрупа. Розглянемо її прообраз в G. Він і буде потрібної нам сіловской p-підгрупою G.

б) p поділяє | Z |. Тоді розглянемо розбиття G на класи спряженості: (оскільки якщо елемент лежить в центрі, то його клас спряженості складається з нього одного). Порядок G ділиться на p, значить, повинен знайтися клас Ka, порядок якого не ділиться на p. Відповідний йому нормалізатор має порядок pnr, r Теорема 2. (друга теорема Силова).

Всяка p-підгрупа міститься в деякій сіловской p-підгрупи. Всі сіловскіе p-підгрупи сполучені (тобто кожна представляється у вигляді gPg- 1, де g - елемент групи, а P - Сіловская підгрупа з теореми 1).

Доказ

Отже, нехай сіловскіе р-підгрупи в G існують і Р - одна з них. Нехай, далі, - довільна р-підгрупа групи G, не обов'язково Сіловская. Заставімдействовать лівими зрушеннями на множествелевих суміжних класів G по Р. Довжина будь орбіти относітельноделіт порядок ,. Таким чином,

де, ... - довжини орбіт. Так як НСД (m, p) = 1, то хоча б одна орбіта має довжину pki = 1, т. Е.

(1)

для деякого елемента. Переписавши співвідношення (1) у вигляді, ми приходимо до висновку, що

(2)

(Поскольку- група). Зокрема, якщо-Сіловская р-підгрупа, то || = | Р |, і з (2) випливає, що =.

Теорема 3 (третій теорема Силова).

Кількість сіловскіх p-підгруп порівняно з одиницею за модулем Pи ділить порядок G.

Доказ.

Розглянемо кілька більш загальну ситуацію. Саме, нехай, де, t може ділиться на p, і пусть- число всіх підгруп порядкав G. Виявляється, що має місце порівняння, зокрема, G містить підгрупи будь-якого порядку, s = 1,2, ..., n і.

Міркуємо таким чином. Дія лівими зрушеннями групи G на собі індукує дію G на множині

всіх-елементних підмножин. Причому. Множестворазбівается на G-орбіти, так що

,

де- стаціонарна підгрупа деякого представника.

Так як, то- об'єднання кількох правих суміжних класів G по. Тому, звідки. У случаеімеем. Равенстваіеквівалентни. Отримуємо

(- Деякий елемент із G) і, стало бути, - підгрупа порядку. Орбітаісчерпивается деяким числом лівих суміжних классовгруппи G по.

Зворотно: кожна подгруппапорядкапріводіт до орбітедліни t. Різні подгрупписпріводят до різних орбітах, оскільки знаступних, откудаі. Таким чином, є взаємно однозначна відповідність між підгрупами порядкаі орбітамідліни t. Тоді порівняння записується як

Де слід було б написати, щоб підкреслити залежністьвід G.

Якщо взяти за G циклічну групу порядку, то для неёі тому

Так як ліві частина порівнянь з одного й того ж модулю збігаються, то маємо

А це і дає шукане порівняння

Отримаємо корисне уточнення теорем Силова.

Теорема 4.

Справедливі наступні твердження:

1) .сіловская p-підгрупа P групи G нормальна в G тоді і тільки тоді, коли

2) .Звичайно група G порядкаявляется прямим добутком своїх сіловскіх- подгруппв точності тоді, коли всі ці підгрупи нормальні в G.

Доказ.

1) .Все сіловскіе підгрупи, що відповідають даним простому делителю р порядку, по другій теоремі Силова сполучені, і якщо P-одна з них, то

нормальна в G

2) .Еслі- пряме твір своїх сіловскіх підгруп, тонормальна в G як будь-який прямий множник. Значить умова нормальності необхідно.

Нехай теперьнормальна в G ,, т.е .. Зауважимо, що. Стало бути ,, а звідси для любихімеем

Тобто елементиіперестановочни.

Уявімо, що одиничний елементзапісан у вигляді, де- елемент порядку. Ти поклав скориставшись перестановочностьюполучім

Але так як а івзаімно прості, то. Це вірно при будь-якому j, і, стало бути, равенствовозможно лише при

З іншого боку, кожен елементпорядка, записується у вигляді ,,. Досить покласти, де показники визначаються умовами

теорема силов кінцева група

,

Якщо тепер-інший запис x у вигляді твору-елементів, то в силу перестановочне, з різними нижніми індексами будемо мати

,

що, як було показано вище, тягне рівності

, Т.е ..

Отже, кожен елемент групи G записується, і притому єдиним чином у вигляді.

Зауваження

Нормальна Сіловская p-підгрупа P групи G типова в G, тобто инвариантна при дії будь-якого автоморфізм. Дійсно ,, Тому-Сіловская р-підгрупа, і, стало бути ,, якщо. Аналоги сіловскіх підгруп простежуються в алгебраїчних структурах, далеких від кінцевих груп.

Слідство

Якщо все подільники | G |, крім 1, після поділу на p дають залишок, відмінний від одиниці, то в G є єдина Сіловская p-підгрупа і вона є нормальною (і навіть характеристичної).

Приклади сіловскіх підгруп.

Приклад 1.

Аддитивная група кільця вичетовразлагается в прямий добуток своїх сіловскіх p-підгруп, які є циклічними підгрупами порядків, якщо n має канонічне розкладання n =.

Приклад 2.

Сіловскіе p-підгрупи симетричних груп. Як ми знаємо, Який максимальний показник e (n), при которомделіт n !? У послідовності 1,2, ..., n кратними p будуть числа p, 2p, ..., kp, де, тому. Так як, тоУдобно розкласти n по підставі p :, тоді

Розглянемо спочатку групи, коли n ступінь p. Нехай вуже знайдена Сіловская p-підгрупа, тобто подгруппапорядка. Побудуємо за нею вподгруппупорядка. Для цього розіб'ємо переставляються символи 1,2, ..., на послідовні відрізки довжини. Есліі x - підстановка на символах i-го відрізка, то легко збагнути, що- підстановка на символах (i + 1) -го відрізка (додавання по модулю p). Звідси видно, що підгрупа, породжена підгрупами, є з прямим твором, і, стало бути, підгрупа, породжена подгруппойі елементом с, ізоморфна сплетенню. Подгруппа- шукана, так як.

Одночасно ми бачимо, що Сіловская p-підгрупа візоморфна послідовному сплетенню (... (циклічної группис самою собою m раз.

Тепер нехай n довільно. Розіб'ємо символи 1, ..., n наодноелементних, р-елементних і т.д. відрізків. На кожному з цих відрізків розглянемо симметрическую групу - вона буде деякій мірі, а в ній візьмемо сіловскую p-підгрупу, побудовану як вище. Так як ці підгрупи діють на непересічних множинах, то їх порожденіеявляется їх прямим твором, а тому має порядок

Отже, - Сіловская p-підгрупа в. З побудови видно, що вона ізоморфна прямому добутку декількох послідовних сплетінь типу (... (.

Приклад 3

Розглянемо загальні лінійні групи над кінцевими полями. Нехай p - просте число, m, n - цілі чіслаі. Покажемо, що- Сіловская p-підгрупа групи. Порахуємо порядки цих груп.

Які n-ки над полеммогут бути першим рядком невиродженої матриці? Очевидно, будь-які, крім нульовий, т. Е.штук. Якщо перший рядок обрана, то в якості другого рядка можна взяти будь-яку, що не пропорційну першої; таких рядків. Якщо два перші рядки вже обрано, то в якості третьої можна взяти будь-який рядок, не залежну лінійно від перших двох; це даетвозможность. І так далі. Значить ,.

Так як кутові елементи матріцпробегают незалежно один від одного все поле, а всього кутових місць, то. З порівняння порядків ми бачимо, що- Сіловская p-підгрупа групи.

Знаходження сіловской підгрупи.

Проблема знаходження сіловской підгрупи даної групи є важливим завданням обчислювальної теорії груп. Для груп перестановок Вільям Кантор довів, що Сіловская p-підгрупа може бути знайдена за час, полиномиальное від розміру задачі (в даному випадку це порядок групи, помножений на кількість породжують елементів).

ГЛАВА 2.РЕШЕНІЕ ЗАВДАНЬ З застосування теорії силових

Завдання 1.

Доведемо, що група порядку 350 не може бути простою.

Рішення

, Значить, Сіловская 5-підгрупа має порядок 25. N5 повинно ділити 14 і порівняно з 1 по модулю 5. Цим умовам задовольняє тільки одиниця. Значить, в G одна Сіловская 5-підгрупа, а значить, вона нормальна, і тому G не може бути простою.

Завдання 2

Знайти сіловскіе р-підгрупи в групі всіх матріцс визначником 1 над полеміз р елементів.

Рішення.

Пусть- группас визначником 1 над полеміз р елементів. З розкладання

Загальна лінійна група суміжні класи послідує, що

(1)

Рассматріваякак групу автоморфізмів двовимірного векторного простору V над, легко знайти порядок. Дійсно, діє на безлічі парбазісних векторів. Образомможет бути будь відмінний від нуля вектор (їх всегоштук), а при всякому вибореобразомможет бути будь векторизуется (таких векторів імеетсяштук). Стало бути ,, що в поєднанні з (1) приводить до формули

Принаймні дві сіловскіе р-підгрупи группими знаходимо відразу:

,.

Відповідно до теореми 3 маємо

а так як

і, отже, нормалізаторсодержіт підгрупу

порядку p (p-1), то залишається єдина можливість

.

Між групою

і симетричної группойнепосредственно встановлюється ізоморфізм

(Обидві групи мають однакове завдання утворюють і співвідношеннями). При p> 2 группаімеет центрпорядка 2. Фактор-група, яку природно називати проективної спеціальною групою (вона є групою перетворень проективної прямий), відіграє важливу роль в алгебрі з часів Галуа. Справа в тому, що при p> 3 группапростая, і це, поряд з, - один з найбільш ранніх прикладів кінцевих простих груп.

Завдання 3

Описати за допомогою теореми Силова всі можливі типи груп порядку pq.

Рішення

Нехай р, q - прості числа, р а) Сіловская р-підгрупа (а) єдина. Тоді вона нормальна і, значить ,. Так як, то. Таким чином, в цьому випадку.

б) Мається q сіловскіх р-підгруп. Звичайно, це можливо лише за умови. Нехай. Якщо r = 1, то знову, т. е .. Нехай. Індукцією по х отримуємо, откудадля всіх цілих х, у. При х = р, у = 1 це дає, крім того, отримуємо формулу множення.

Назад, легко перевірити, що якщо ,,, то ця формула множення визначає неабелева групу порядку pq. Нарешті, рішення сравненіясоставляют циклічну групу порядку р, тому ті з них, які, мають вигляд, де r - одне з них. Всі ці рішення визначають одну і ту ж групу, так як заміна породжує а напріводіт до заміни r на.

Таким чином, за допомогою теореми Силова ми описали всі можливі типи груп порядку pq; їх виявилося два - Абель і неабелев, причому другий існує тільки за умови.

ВИСНОВОК

При вивченні абелевих груп видно, що їх будова багато в чому визначається будовою максимальних р-підгруп. У теорії кінцевих груп максимальні р-підгрупи також відіграють істотну роль. У цьому курсової були доведені теореми Силова про кінцевих групах: для кожного ступеня, що ділить порядок групи, існує підгрупа порядку, причому есліделіт порядок групи, то всяка підгрупа порядкасодержітся в деякій підгрупі порядку; всі максимальні р-підгрупи попарно сполучені в групі, а їх число порівняно з 1 по модулю р. Ця теорема була доведена норвезьким математиком Л. силових в 1872 році. У зв'язку з цією теоремою і на честь її автора максимальні р-підгрупи кінцевих (а часто і нескінченних) груп називаються Сіловская р-підгрупами.

З теореми Силова випливає, зокрема, що сіловскіе р-підгрупи кінцевої групи - це в точності підгрупи порядку, де- максимальний ступінь р, що ділить порядок групи. Відзначимо, що якщо число m ділить порядок кінцевої групи G, але не є ступенем простого числа, то в G може і не бути підгруп порядку m - наприклад, в знакозмінної групі А4 близько 12 немає підгруп порядку 6.

В теорії груп теореми Силова являють собою неповний варіант зворотної теореми до теоремі Лагранжа і для деяких дільників порядку групи G гарантують існування підгруп такого порядку.

Список використаних джерел

1. А. І. Кострикін. Введення в алгебру, III частина. М .: Физматлит, 2001.

2. Е. Б. Вінберг. Курс алгебри. М .: Факторіал-Пресс, 2002.

3. М.І. Каргаполов, Ю.І. Мерзляков. Основи теорії груп. М.: Наука, 1982.

© 8ref.com - українські реферати
8ref.com