На головну

 Рівняння Пуассона. Його застосування для розрахунку полів у вакуумі - Математика

М.І. Векслер, Г.Г. Зегря

Рівняння Пуассона для ? = 1 виглядає:

 (16)

Це рівняння - основа практичних чисельних розрахунків.

У завданнях, розв'язуваних аналітично, ? і ? зазвичай залежать тільки від однієї координати. При інтегруванні можна обчислювати інтеграли як невизначені, не забуваючи виписувати + const, а потім окремо знаходити ці константи. Якщо раccматріваются окремі діапазони координат, то на незаряджених кордонах необхідно "зшивати" потенціал: ? і - для вакууму - d ? / dx (або d? / dr) не повинні мати розриву. Якщо межа заряджена (?), то d? / dx відчуває стрибок на величину -? / ?0. Крім того, якщо ? і сумарний заряд кінцеві, то ? усюди кінцевий.

Інший варіант - відразу правильно писати межі інтегрування. Для цього використовується відоме (або очевидне із симетрії задачі) значення поля () в одній якій-небудь точці і значення потенціалу в якій-небудь точці (не обов'язково в тій же, де знаємо поле). Якщо в задачі не обумовлено інше, то слід приймати ? | ? = 0. Так, наприклад, для випадку залежності потенціалу тільки від однієї сферичної координати r

 (17)

після перенесення r2 в праву частину і двох послідовних інтегруванні отримуємо:

=

 (18)

 ? (r) =

 (19)

При цьому взято ? | r = ? = 0 і враховано ту обставину, що при усюди кінцевому ? поле в центрі дорівнює нулю (-d? / dr | r = 0 = 0).

Задача. Пластина ширини 2a (її ?? 1) заряджена рівномірно за обсягом (? (x) = ?0); при x = 0 (центр пластини) ? = 0. Знайти ? (x).

Відповідь :, | x |a

Задача. Пластина ширини 2a (її ?? 1) заряджена як ? (x) = ? x2; при x = 0 (центр пластини) ? = 0. Знайти ? (x).

Рішення: Ми працюємо в декартовій системі координат, причому очевидно, що і поле, і потенціал залежать тільки від x. Якщо ?> 0 (?> 0) то поле - з симетрії задачі - направлено по осі x при x> 0 і проти осі x при x <0. Відповідно до рівняння Пуассона:

=

 = 0 x> a або x <-a

Після першого інтегрування (інтеграл беремо як невизначений)

=

 = AL, x <-a

 = AR, x> a

Невірним було б записати одну загальну константу для d? / dx при x> a і x <-a. Друге інтегрування дає:

 ? (x) =

 ? (x) = ALx + BL, x <-a

 ? (x) = ARx + BR, x> a

Для знаходження шести констант у нас є чотири умови зшивання (по два для кордонів x = -a і x = a). Крім того, дано вказівку взяти ? (0) = 0. Видно також, що Ex | x = 0 = -d? / dx | x = 0 = 0. Останнє очевидно з симетрії задачі. Звідси відразу

 Ac = 0, Bc = 0

З симетрії випливає також, що ? (x) = ? (-x) і що Ex (x) = -Ex (-x), внаслідок чого

 AR = -AL, BR = BL

Це робить достатнім розгляд умов зшивання тільки на одній з кордонів, наприклад при x = a:

 = (ARx + BR) | x = a

 = AR | x = a

Спочатку отримуємо AR (AR = -? a3 / 3?0), а потім BR (BR = ? a4 / 4?0), після чого залишається виписати відповідь:

 ? (x) =

 ? (x) =

 ? (x) =

Альтернативою було б інтегрування з виписуванням меж відразу:

 Ex (x) =

 ? =

Таке інтегрування вірно завжди, у тому числі при x <0. Точки x = ± a при цьому нічим не виділені, але треба пам'ятати, що поза дільницею -aЗадача. Кулю радіуса R заряджений як ? (r) = ?0 (1-r / R). Знайти повний заряд кулі Q, поле Er (r), а також потенціал ? (r) при r = 0 ... + ?.

Рішення: Повний заряд кулі знаходиться як

 Q =

=

При обчисленні ми використовували вираз для елемента об'єму dV в сферичних координатах (не слід змішувати фігурує при цьому ? з позначенням потенціалу). Рівняння Пуассона записується:

=

Поcле однократного інтегрування в межах 0 ... r маємо

=

=

Зауважимо, що - з точністю до знака - ми вже отримали полі, оскільки. Для знаходження потенціалу ? (r) потрібно повторне інтегрування:

 r> R:

r =

Список літератури

1. І.Є. Іродів, Завдання з загальної фізики, 3-е изд., М .: Видавництво БІНОМ, 1998. - 448 с .; або 2-е вид., М .: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батигін, І.М. Топтигін, Збірник завдань з електродинаміки (під ред. М.М. Бредова), 2-е вид., М .: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Ліфшиц, Теоретична фізика. т.8 Електродинаміка суцільних середовищ, 2-е вид., М .: Наука, 1992. - 661 с.

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://edu.ioffe.ru/r

© 8ref.com - українські реферати
8ref.com