трусики женские украина

На головну

 Рівняння Пуассона. Його застосування для розрахунку полів у вакуумі - Математика

М.І. Векслер, Г.Г. Зегря

Рівняння Пуассона для ? = 1 виглядає:

 (16)

Це рівняння - основа практичних чисельних розрахунків.

У завданнях, розв'язуваних аналітично, ? і ? зазвичай залежать тільки від однієї координати. При інтегруванні можна обчислювати інтеграли як невизначені, не забуваючи виписувати + const, а потім окремо знаходити ці константи. Якщо раccматріваются окремі діапазони координат, то на незаряджених кордонах необхідно "зшивати" потенціал: ? і - для вакууму - d ? / dx (або d? / dr) не повинні мати розриву. Якщо межа заряджена (?), то d? / dx відчуває стрибок на величину -? / ?0. Крім того, якщо ? і сумарний заряд кінцеві, то ? усюди кінцевий.

Інший варіант - відразу правильно писати межі інтегрування. Для цього використовується відоме (або очевидне із симетрії задачі) значення поля () в одній якій-небудь точці і значення потенціалу в якій-небудь точці (не обов'язково в тій же, де знаємо поле). Якщо в задачі не обумовлено інше, то слід приймати ? | ? = 0. Так, наприклад, для випадку залежності потенціалу тільки від однієї сферичної координати r

 (17)

після перенесення r2 в праву частину і двох послідовних інтегруванні отримуємо:

=

 (18)

 ? (r) =

 (19)

При цьому взято ? | r = ? = 0 і враховано ту обставину, що при усюди кінцевому ? поле в центрі дорівнює нулю (-d? / dr | r = 0 = 0).

Задача. Пластина ширини 2a (її ?? 1) заряджена рівномірно за обсягом (? (x) = ?0); при x = 0 (центр пластини) ? = 0. Знайти ? (x).

Відповідь :, | x |a

Задача. Пластина ширини 2a (її ?? 1) заряджена як ? (x) = ? x2; при x = 0 (центр пластини) ? = 0. Знайти ? (x).

Рішення: Ми працюємо в декартовій системі координат, причому очевидно, що і поле, і потенціал залежать тільки від x. Якщо ?> 0 (?> 0) то поле - з симетрії задачі - направлено по осі x при x> 0 і проти осі x при x <0. Відповідно до рівняння Пуассона:

=

 = 0 x> a або x <-a

Після першого інтегрування (інтеграл беремо як невизначений)

=

 = AL, x <-a

 = AR, x> a

Невірним було б записати одну загальну константу для d? / dx при x> a і x <-a. Друге інтегрування дає:

 ? (x) =

 ? (x) = ALx + BL, x <-a

 ? (x) = ARx + BR, x> a

Для знаходження шести констант у нас є чотири умови зшивання (по два для кордонів x = -a і x = a). Крім того, дано вказівку взяти ? (0) = 0. Видно також, що Ex | x = 0 = -d? / dx | x = 0 = 0. Останнє очевидно з симетрії задачі. Звідси відразу

 Ac = 0, Bc = 0

З симетрії випливає також, що ? (x) = ? (-x) і що Ex (x) = -Ex (-x), внаслідок чого

 AR = -AL, BR = BL

Це робить достатнім розгляд умов зшивання тільки на одній з кордонів, наприклад при x = a:

 = (ARx + BR) | x = a

 = AR | x = a

Спочатку отримуємо AR (AR = -? a3 / 3?0), а потім BR (BR = ? a4 / 4?0), після чого залишається виписати відповідь:

 ? (x) =

 ? (x) =

 ? (x) =

Альтернативою було б інтегрування з виписуванням меж відразу:

 Ex (x) =

 ? =

Таке інтегрування вірно завжди, у тому числі при x <0. Точки x = ± a при цьому нічим не виділені, але треба пам'ятати, що поза дільницею -aЗадача. Кулю радіуса R заряджений як ? (r) = ?0 (1-r / R). Знайти повний заряд кулі Q, поле Er (r), а також потенціал ? (r) при r = 0 ... + ?.

Рішення: Повний заряд кулі знаходиться як

 Q =

=

При обчисленні ми використовували вираз для елемента об'єму dV в сферичних координатах (не слід змішувати фігурує при цьому ? з позначенням потенціалу). Рівняння Пуассона записується:

=

Поcле однократного інтегрування в межах 0 ... r маємо

=

=

Зауважимо, що - з точністю до знака - ми вже отримали полі, оскільки. Для знаходження потенціалу ? (r) потрібно повторне інтегрування:

 r> R:

r =

Список літератури

1. І.Є. Іродів, Завдання з загальної фізики, 3-е изд., М .: Видавництво БІНОМ, 1998. - 448 с .; або 2-е вид., М .: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батигін, І.М. Топтигін, Збірник завдань з електродинаміки (під ред. М.М. Бредова), 2-е вид., М .: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Ліфшиц, Теоретична фізика. т.8 Електродинаміка суцільних середовищ, 2-е вид., М .: Наука, 1992. - 661 с.

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://edu.ioffe.ru/r

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка