трусики женские украина

На головну

 Стійкість лінійної системи авторегулювання - Комунікації і зв'язок

Введення

Сучасна теорія автоматичного регулювання є основною частиною теорії управління. Система автоматичного регулювання складається з регульованого об'єкту і елементів управління, які впливають на об'єкт при зміні однієї або декількох регульованих змінних. Під впливом вхідних сигналів (управління або обурення), змінюються регульовані змінні. Мета ж регулювання полягає у формуванні таких законів, при яких вихідні регульовані змінні мало відрізнялися б від необхідних значень. Рішення даного завдання в багатьох випадках ускладнюється наявністю випадкових збурень (перешкод). При цьому необхідно вибирати такий закон регулювання, при якому сигнали управління проходили б через систему з малими спотвореннями, а сигнали шуму практично не пропускалися.

Теорія автоматичного регулювання пройшла значний шлях свого розвитку. На початковому етапі були створені методи аналізу стійкості, якості і точності регулювання безперервних лінійних систем. Потім отримали розвиток методи аналізу дискретних і дискретно-безперервних систем. Можна відзначити, що способи розрахунку безперервних систем базуються на частотних методах, а розрахунку дискретних і дискретно-безперервних - на методах z-перетворення.

В даний час розвиваються методи аналізу нелінійних систем автоматичного регулювання. Порушення принципу суперпозиції в нелінійних системах, наявність цілого ряду чергуються (залежно від впливу) режимів стійкого, нестійкого рухів і автоколивань ускладнюють їх аналіз. Ще з великими труднощами зустрічається проектувальник при розрахунку екстремальних і самоналагоджувальних систем регулювання.

1.Устойчівость лінійної системи авторегулювання. Загальні відомості

Стійкість системи означає, що вона принципово може виконувати свої функції. Для лінійних систем можна користуватися таким визначенням стійкості: лінійна система стійка, якщо при обмеженому вхідній дії вихідний процес теж обмежений.

Прямим методом аналізу стійкості є рішення диференціального рівняння, що описує систему:

гдеі- відповідно вихідний і вхідний процеси в системі.

Стійкість лінійної системи не залежить від виду вхідного впливу, і можна взяти його будь-яким, в тому числі і нульовим, але зручніше прийняти x (t) = 1 (t). У цьому випадку рішенням диференціального рівняння буде перехідна характеристика. І по виду її можна визначити стійкість системи. Якщо перехідна характеристика прагне до постійного значення, то система стійка. Якщо ж перехідна характеристика йде в нескінченність, то нестійка. З рішення диференціального рівняння випливає, що вихідний процес обмежений, якщо корені характеристичного рівняння розташовуються в лівій півплощині.

anpn + an-1pn-1 + ... + a0 = 0

При аналізі стійкості систем авторегулювання найбільш часто використовується критерій стійкості Найквіста. Згідно з цим критерієм замкнута система стійка при стійкій розімкнутої, якщо годограф частотної характеристики розімкнутої системи не охоплює точки з координатами (-1, 0) .Тіповой вид годографа частотної характеристики розімкнутої системи, описуваної передавальної функцією

, (3)

К

 Re

 K p (jw)

 -1

 Im

 Рис. 1

Годограф починається на дійсній осі, так як на нульовій частоті коефіцієнт передачі розімкнутої системи є дійсною величиною Кр (0) = К. Із зростанням частоти модуль коефіцієнта передачі Кр (w) зменшується і вноситься негативний фазовий зсув Jр (w), тому вектор Кр ( jw) повертається за годинниковою стрілкою. При w = ? Кр (w) = 0 і Jр (w) = - 3p¤2. Для стійкої системи точка (-1, 0) повинна лежати поза фігури, утвореної годографом частотної характеристики і дійсною позитивної полуосью.

Якщо в разомкнутую систему входять інтегратори, то годограф частотної характеристики розімкнутої системи починається в нескінченності. Такі системи називаються астатичними. Кількість інтеграторів одно порядку астатизма. Для системи з одним інтегратором, що має передавальну функцію годограф починається в третьому квадранті (рис. 2), а для системи з двома інтеграторами з передавальної функцією

, (4)

- (5)

у другому квадраті, тому вже на нульовій частоті інтегратор вносить фазовий зсув, рівний p¤2.

 K p (jw)

 Re

 Im

 -1

 K p (jw)

 -1

 Re

 Im

 Рис. 2 Рис. 3

Для побудови замкнутого контуру в цих випадках потрібно до годографу додати стільки чвертей окружності нескінченного радіуса, скільки інтеграторів в розімкнутої системі. На рис. 2 і рис. 3 це додавання умовно показано пунктирною лінією. Замкнута система з годографом Кр (jw), зображеному на рис. 2, стійка, а на рис. 3 - нестійка. Причому остання є структурно-нестійкою, тобто нестійкою при будь-якому коефіцієнті передачі розімкнутої системи.

 До 1

 Dj

 K p (jw)

1

 -1

 Re

 Im

 Рис. 4

За годографу частотної характеристики розімкнутої системи можна оцінити ступінь стійкості. Для цього вводиться поняття запасів стійкості по посиленню і по фазі. Запас стійкості по посиленню DК показує, у скільки разів потрібно змінити коефіцієнт передачі розімкнутої системи, щоб замкнута з стійкою стала нестійкою. Запас стійкості по фазі Dj показує, який фазовий зсув потрібно ввести в разомкнутую систему, щоб замкнута з стійкою стала нестійкою. На рис. 4 показано, як ці запаси визначаються за годографу частотної характеристики розімкнутої системи. Запас стійкості по посиленню DК = = 1¤К1, де К1-коефіцієнт передачі розімкнутої системи на частоті, для якої Jр (w) = -p.Запас стійкості по фазі дорівнює куту Dj між негативною дійсною полуосью і лінією, що з'єднує початок координат з точкою перетину годографа з окружністю одиничного радіуса.

На практиці зручніше користуватися не годографом частотної характеристики, а амплітудно-частотної і фазочастотной характеристиками. І ще більш зручно використовувати логарифмічні АЧХ і ФЧХ, тобто Лах і ЛФХ. Критерій Найквіста в цьому випадку формулюється так: замкнута лінійна система стійка при стійкій розімкнутої, якщо в області частот, де Лах розімкнутої системи позитивна, ЛФХ розімкнутої системи або не перетинає значення -p, чи перетинає її зверху вниз і знизу вгору однакову кількість разів. При монотонної ЛФХ розімкнутої системи стійкість можна визначити, порівнюючи дві характерні частоти: частоту зрізу Wср, на якій Лах перетинає вісь частот, і критичну частоту Wкр, на якій ЛФХ перетинає значення -p. Для стійкої системи Wкр> Wср. Запас стійкості по посиленню DL визначається на критичній частоті як відстань від Лах до осі частот, а запас стійкості по фазі - на частоті зрізу як відстань від -p до ЛФХ (рис.5).

w

 Dj

 DL

 L p (w)

 j p (w)

 -p

 w ср

 w кр

 L, дБ

 Рис. 5

Логарифмічні частотні характеристики дозволяють легко і наочно дослідити вплив параметрів системи на її стійкість. Розглянемо це на прикладі системи з передавальної функцією (3).

На рис. 6 зображені Лах і ЛФХ розімкнутої системи для наступних значень постійних часу: Т1 = 10-1с, Т2 = 10-2с, Т3 = = 10-3с і різних значень коефіцієнта передачі К = 10; 100; 103. При К = 10 замкнута система стійка. Запас стійкості по фазі: 45 град, щодо посилення: 20 дБ. При К = 100 система знаходиться на межі стійкості і при К = 1000 нестійка.

На рис.7 зображені логарифмічні характеристики розімкнутої системи при К = 100, Т2 = 10-2с, Т3 = 10-3с і різних значень Т1: 1 с; 0,1 с і 0,01 с. Видно, що збільшення постійної часу Т1делает систему стійкою і чим більше Т1, тим більше запаси стійкості. Зменшення Т1пріведет до нестійкості системи. Найбільш несприятливою буде ситуація, коли всі постійні часу максимально близькі один до одного, тобто при Т1 = (Т2 + Т3) ¤ 2. При подальшому зменшенні Т1ЛФХ підводиться в області частот, близьких до частоти зрізу, і схильність системи до нестійкості буде зменшуватися. При Т1 = 0 ЛФХ НЕ БУДЕ перетинати значення -p, і система буде стійкою при будь-якому коефіцієнті передачі.

 10

 w, рад / с

 L, дБ

 j p (w)

 -3p / 2

 -p

 -p / 2

 -60

 -40

 -20

 40

 20

 10 березня

1

 0,1

 До р = 10

 До р = 10 лютого

 До р = 10 березня

 L p (w)

 j, радий

 w, рад / с

 Т 1 = 0

 Т 1 = 00,1с

 Т 1 = 0,1с

 Т 1 = 1с

 -p

 -3p / 2

 -60

 -40

 10

1

 0,1

 20

 40

 j, радий

 L, дБ

 Рис. 6 Рис. 7

Схема моделювання показана на рис. 8.

Рис.8

Дослідження стійкості для зручності порівняння проводиться на трьох моделях, що відрізняються структурою або параметрами.

2.Оптімальние лінійні САР

Завдання оптимального синтезу лінійної системи авторегулювання при випадкових впливах полягає у визначенні такої структури і параметрів системи, при яких помилки мінімальні. Це так звана задача оптимальної лінійної фільтрації. Вона була вирішена Колмогоровим, Вінером, Калманом. У постановці Вінера і Колмогорова вхідні процеси задаються їх енергетичними спектрами. Для САР вхідними процесами є задає xз (t) і обурює xв (t) впливу з енергетичними спектрами Sxз (w) і Sxв (w). Оптимальна частотна характеристика без урахування фізичної реалізованості системи має вигляд:

Копт (jw) = Sxз (w) / [Sxз (w) + Sxв (w)].

Пояснюється така форма частотної характеристики просто. В області частот, де Sxв (w) = 0 АЧХ замкнутої системи дорівнює 1, що і потрібно для безпомилкового стеження. В області частот, зайнятих спектром обурює впливу, коефіцієнт передачі повинен бути тим менше, чим більше інтенсивність перешкоди.

Незручність даного підходу для синтезу САР полягає в тому, що визначається тільки частотна характеристика замкнутої системи, а структура системи неочевидна. У цьому відношенні зручніше підхід Калмана, що визначає структуру оптимальної системи. На відміну від попереднього підходу, що описує задає вплив енергетичним спектром, в підході Калмана задає вплив утворюється пропусканням білого шуму через формуючий фільтр, який будується як пристрій зі зворотним зв'язком. Формує фільтр описується векторним диференціальним рівнянням, яке називається рівнянням стану:

dXз (t) / dt = AXз (t) + Bn (t),

де n (t) - білий шум,

Xз (t) - вектор-стовпець змінних стану, якими зазвичай є сам процес xз (t) і його похідні,

А - матриця системи,

В - матриця управління.

Для формування задає впливу до рівняння стану додається рівняння спостереження:

xз (t) = CXз (t),

де С - матриця спостереження, що встановлює зв'язок процесу xз (t) з вектором змінних стану Xз (t).

 x з (t)

 X з (t)

 n (t)

А

С

 1 / р

В

 Рис. 9

За цим рівнянням побудована модель, представлена ??на рис. 9. Сформований таким чином задає вплив надходить на вхід САР разом з возмущающим впливом, який вважається білим шумом. Доведено, що оптимальний фільтр Калмана повторює структуру формуючого фільтра з точністю до матричного коефіцієнта передачі К (рис. 10) .Елементи матриці К і визначають оптимальність системи.

 y (t) = x з (t)

С

А

 1 / р

K

 x в (t)

 x з (t)

 Рис. 10

Проілюструємо сказане на прикладі системи першого порядку. Нехай в якості формуючого фільтра використовується інтегруюча ланцюг з постійною часу Тф. Її передавальна функція: Кф (р) = 1 / (1 + РТФ). Цією передавальної функції відповідає диференціальне рівняння в операторної формі:

(РТФ + 1) xp (t) = n (t).

У звичайній формі воно записується так:

.

Звідси

.

Модель, побудована за цим рівнянням, зображена на рис. 31

 n (t)

 1 / T ф

 1 / T ф

 1 / p

 x з (t)

 Рис. 11

Оптимальна система представлена ??на рис. 12.

Оптимальне значення коефіцієнта передачі:

, (13)

де r - відношення спектральних щільностей випадкових процесів n (t) і xв (t).

 1 / T ф

 y (t) = x (t)

 1 / p

K

 x в (t)

 x з (t)

 Рис. 12

Дисперсія помилки стеження в оптимальній системі:

. (14)

Розглянемо помилки в системі, що відрізняється від оптимальної. Відмінність системи від оптимальної може полягати як у відмінності коефіцієнта К від оптимального при оптимальній структурі системи, так і в неоптимальності самої структури.

Відмінність коефіцієнта передачі К від оптимального призведе до збільшення помилки. Помилка складається з динамічної помилки і помилки по обуренню. Дисперсія динамічної помилки

.

Спектральна щільність задає впливу

.

Дисперсія задає впливу

.

Висловимо спектральную щільність Sn0процесса n (t) через дисперсію задає впливу: Sn0 = 2Tфs2xз.

Частотна характеристика розімкнутої системи для схеми, зображеної на рис. 32, має вигляд:

.

І відповідно,

.

Тоді

. (15)

 КT ф = 1

 КT ф = 5

 КT ф = 20

 S (w)

 0,5

 0,75

 0,25

 10

 w, рад / с

 0,1

1

S

К

 Рис. 13

Для пояснення причини зменшення динамічної помилки із зростанням коефіцієнта передачі К звернемося до рис. 13, на якому представлені енергетичний спектр процесу xз (t) (пунктирна лінія) і АЧХ замкнутої системи при різних значеннях КТФ (суцільні лінії). Бачимо, що чим більше КТФ, тим менше відміну коефіцієнта передачі замкнутої системи від 1 в області частот, зайнятих спектром задає впливу.

Дисперсія помилки по обуренню обчислюється за формулою:

.

Так як спектральна щільність обурює впливу в r разів менше спектральної щільності Sn0, то

и

. (16)

Дисперсія помилки по обуренню збільшується з ростом КТФ, оскільки збільшується площа під АЧХ замкнутої системи. Залежність дисперсії сумарної помилки s2 = s2дін + s2возот КТфпоказана на рис. 14 для різних значень r. Мінімум досягається при оптимальному значенні коефіцієнта передачі. Слід зазначити, що оптимум не надто критичний і при дворазовому відміну коефіцієнта передачі від оптимального дисперсія помилки збільшується на 15 - 20%.

Рис.

Розглянемо тепер, до якого збільшення дисперсії призведе відміну структури системи від оптимальної. Припустимо, що система першого порядку (рис. 32) здійснює стеження за процесом xз (t), утвореним з білого шуму формує фільтром другого порядку з пере-даточние функцією Кф (р) = = 1 / (1 + рТф1) 2. Підберемо Тф1так, щоб площі під | Кф (jw) ?2для одноланкового і двухзвенного фільтрів були однаковими. Тоді буде дотримуватися рівність дисперсій вихідних процесів обох фільтрів при однаковій спектральної щільності вхідного білого шуму. Ця умова виконується при Тф1 = Тф / 2. На рис. 15 представлені АЧХ фільтрів: одноланкового (суцільна лінія) і двухзвенного (пунктирна лінія). Через відмінності спектрів задає впливу зміниться динамічна помилка. Дисперсія динамічної помилки стане рівною:

.

Дисперсія помилки по обуренню залишиться колишньою, так як частотна характеристика замкнутої системи не змінилася. На рис. 36 показано, у скільки разів збільшується мінімальна дисперсія сумарної помилки в системі з неоптимальною структурою в порівнянні з дисперсією помилки в оптимальній системі залежно від r.

0

 0,25

 0,75

 0,5

S

1

 0,1

 wT ф

 2,5

2

 1,5

1

 10

1

r

 s 2 хв / s 2 опт

 Рис. 15 Рис. 16

Дисперсія помилки в оптимальній системі розрахована за формулою:

.

Досліджувана модель, яка містить формує фільтр і оптимальну систему, наведена на рис. 17.

Рис. 17

У верхній частині моделі розташований формує фільтр: одно- і дволанковий, а в нижній частині - оптимальна система для задає впливу, сформованого однозвенной фільтром.

Висновок

Формування систем автоматичного регулювання, як правило, виконують на основі аналітичних методів аналізу або синтезу. На цьому етапі проектування систем регулювання на основі прийняті припущень складають математичну модель системи і вибирають попередню її структуру. Залежно від типу моделі (лінійна або нелінійна) вибирають метод розрахунку для визначення параметрів, що забезпечують задані показники стійкості, точності і якості. Після цього уточнюють математичну модель і з використанням засобів математичного моделювання визначають динамічні процеси в системі. При дії різних вхідних сигналів знімають частотні характеристики і порівнюють з розрахунковими. Потім остаточно встановлюють запаси стійкості системи по фазі і модулю і знаходять основні показники якості.

Далі, задаючи на модель типові управляючі дії; знімають характеристики точності. На підставі математичного моделювання складають технічні вимоги на апаратуру системи. З виготовленої апаратури збирають регулятор і передають його на напівнатурного моделювання, при якому об'єкт регулювання набирають у вигляді математичної моделі.

Розвиток теорії автоматичного регулювання на основі рівнянь стану і z-перетворень, принципу максимуму і методу динамічного програмування удосконалює методику проектування систем регулювання і дозволяє створювати високоефективні автоматичні системи для самих різних галузей народного господарства. Отримані таким чином системи автоматичного регулювання забезпечують високу якість своєї продукції, знижують її собівартість і збільшують продуктивність праці.

Список літератури

1. Коновалов Г.Ф. Радиоавтоматика: Підручник для вузів. М .: Радіотехніка, 2003. 288 с.

2. первак С.В. Радиоавтоматика: Підручник для вузів. М .: Радио и связь, 1982. 296 с.

3. Радиоавтоматика: Навчальний посібник / За ред. В.А.Бесекерского. М .: Вища школа, 1985.271 с.

4. Системи радіоавтоматики і їх моделі: Учеб. посібник / Ю.Н.Грішаев; Рязан. радіотехн. інститут. Рязань, 1977. 46 с.

5. Шахгільдян В.В., Ляховкін А.А. Системи фазового автопідстроювання частоти. М .: Связь, 1972.448 с.

6. Синтез частотних характеристик лінійних систем автоматичного регулювання: Метод. вказівки / Рязан. держ. Радіотехн.акад .; Упоряд. Ю.Н.Грішаев. Рязань, 2000. 12 с.

автоматичний регулювання лінійний система

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка