трусики женские украина

На головну

 Системи випадкових величин - Комунікації і зв'язок

Введення

У статистичній радіотехніці частот доводиться мати справу одночасно з кількома випадковими величинами, наприклад, миттєві значення напруги на виходах антеною решітки при впливі на її вхід сигналів і перешкод і т.д. Властивості системи кількох СВ не вичерпуються властивостями окремої СВ, так як при цьому необхідно опис зв'язку між складовими системи СВ.

1. Функції розподілу системи з двох випадкових величин

Функцією розподілу системи з двох СВназивается ймовірність спільного виконання двох нерівностей:

.

За визначенням, функція распределеніяесть ймовірність попадання випадкової точки з коордінатамів квадрат з нескінченними розмірами, розташований лівіше і нижче цієї точки на площині. Окремо для кожної СВ X і Y можна визначити одновимірну функцію розподілу, наприклад, є ймовірність потрапляння в напівплощина, розташовану лівіше точки з координатою x. Також іє ймовірність потрапляння в напівплощина нижче точки y.

Властивості:

1) є неубутна функція обох своїх аргументів;

2) на - ? по обох осях вона дорівнює нулю;

3) при рівності + ? одного з аргументів згідно з іншим аргументу вона перетворюється в одновимірну функцію розподілу;

4) якщо обидва аргументи дорівнюють + ?, то = 1.

Ймовірність попадання випадкової точки в квадрат R з коордінатаміпо осі x іпо осі y дорівнює

.

існує як для безперервних, так і для дискретних СВ.

2. Двовимірна щільність ймовірності

Двовимірна щільність ймовірності є межа наступного відносини:

.

Якщо не вигубите тільки неперервна, а й дифференцируема, то двовимірна щільність вероятностіесть друга змішана приватна похідна функцііпо x і по y.

Размерностьобратна твору размерностей СВ X і Y.

Таким чином, двовимірна щільність ймовірності є межа відношенню ймовірності попадання точки в малий прямокутник до площі цього прямокутника, коли обидва розміру прямокутника прагнуть до нуля. Геометріческіможно представити як деяку поверхню.

Якщо розсікти цю поверхню площиною, паралельній площині x0y, і спроектувати отримане перетин на площину x0y, то вийде крива, звана "кривої рівної щільності ймовірності".

Іноді зручно розглядати сімейства кривих рівної щільності при різних рівнях перетину. Як і для одновимірної щільності ймовірності, тут вводиться поняття елемента ймовірності.

Ймовірність попадання випадкової точки в довільну область G визначається двовимірним інтегралом відпоїли цій галузі. Геометрично це обсяг, ограніченнийі областю G.

Якщо G є прямокутник з координатами вершин по осі x: і, а по осі y: і, то ймовірність попадання випадкової точки в цей прямокутник визначається інтегралом

.

Властивості двовимірної щільності ймовірності:

є неотрицательная величина;

властивість нормировки аналогічно одновимірної щільності ймовірності, але при двовимірному інтегруванні в нескінченних межах. 3. Умовні закони розподілу окремих СВ, що входять в систему СВ

Маючи закон розподілу системи двох СВ, завжди можна визначити закони розподілу окремих СВ, що входять в систему. Наприклад, в. Якщо відома щільність ймовірності, то.

Аналогічно визначається.

Таким чином, знаючи двовимірну щільність ймовірності, завжди можна визначити одновимірну щільність ймовірності. Зворотну задачу в загальному випадку вирішити неможливо. Її можна вирішити, якщо відомі умовні щільності ймовірності або функції розподілу.

Умовним законом розподілу СВ, що входить в систему, називається її закон розподілу, визначений за умови, що інша СВ прийняла певне значення :. У цьому випадку можна знайти двовимірну щільність ймовірності за формулою. З цих виразів випливає:

,. 4. Статистична взаємозалежність і незалежність

СВ X називається незалежною від СВ Y, якщо закон розподілу величини X не залежить від того, яке значення прийняла СВ Y. У цьому случаепрі будь-якому y. Необхідно зауважити, що якщо СВ X не залежить від СВ Y, то і СВ Y не залежить від СВ X. Для незалежних СВ теорема множення законів розподілу має вигляд:

.

Ця умова розглядається як необхідна і достатня умова незалежності СВ. Розрізняють поняття функціональної та статистичної залежностей. При статистичної залежності не можна вказати точно значення, яке приймає одна з СВ, якщо відомо значення іншої, можна лише визначити вплив в середньому. Але в міру збільшення взаємозалежності статистична залежність перетворюється в функціональную.5. Числові характеристики системи двох СВ. Коррелированность

Як і для однієї СВ, для системи двох СВ можна використовувати початкові і центральні моменти.

Початковим моментом порядку k, s системи (X, Y) називається МО твори:;.

Центральним моментом порядку k, s системи (X, Y) називається МО твори k-й і s-го ступеня відповідних зосереджених величин.

Для безперервних СВ -

,

.

Перший початковий момент є МО для відповідної СВ X або Y.

Аналогічно є і другий центральні моменти системи СВ: і, які характеризують ступінь розкиданості випадкової точки вздовж осей x і y відповідно.

Особливу роль у статистичній радіотехніці грає другий змішаний центральний момент = KXY- кореляційний момент.

Для безперервних СВ кореляційний момент виражається формулою

.

Цей момент, крім розсіювання СВ, характеризує і взаємозалежність СВ X і Y. При цьому, якщо СВ X і Y незалежні, то. Доведемо це припущення: якщо СВ X і Y незалежні ,, то останній інтеграл розпадається на два незалежних інтеграла, в яких є твір двох перших центральних моментів. Ці моменти дорівнюють нулю.

Щоб виключити вплив розкиданості СВ на кореляційний момент, його ділять на твір середньоквадратичних відхилень СВ X і СВ Y. Виходить безрозмірна величина, що має назву "коефіцієнт кореляції" :. Якщо СВ X і СВ Y незалежні, то всегдаЗначіт, незалежні СВ завжди некорреліровани, проте зворотне не завжди вірно. Коррелированность характеризує не всяку взаємозалежність, а лише лінійну статистичну взаємозалежність. Це означає, що при зростанні однієї СВ МО інший має тенденцію зростати (або спадати) в середньому за лінійним законом. Коефіцієнт кореляції характеризує ступінь розкиданості координат точки щодо лінійної залежності між X і Y. Якщо СВ X і Y мають лінійну функціональну залежність, то коефіцієнт кореляції дорівнює ± 1, залежно від знака нахилу цієї функції. При цьому говорять про позитивної або негативної кореляції.

У багатьох радіотехнічних пристроях є типові радіотехнічні тракти, які з трьох каскадно з'єднаних елементів: вхідний лінійного ланцюга, нелінійного безінерційного елемента і вихідний лінійної ланцюга. В якості цих елементів можуть виступати різні електричні ланцюги із заданими характеристиками. На вхід радіотехнічного тракту впливає аддитивная суміш сигналу і перешкоди:

,

де s (t) - сигнал у вигляді гармонійного або квазігармоніческого коливання; x (t) - гаусів процес з рівномірною спектральною щільністю потужності (білий або квазібелий шум).

Відомо [2], що в таких умовах при вирішенні задачі виявлення критерієм якості роботи пристрою може служити відношення сигнал / перешкода, яке визначається трьома виразами:

система випадкова величина

відношення сигнал / перешкода за рівнем, де As- амплітуда сигналу; - дисперсія шуму;

відношення сигнал / перешкода по потужності;

енергетичне відношення сигнал / перешкода, де- енергія сигналу; - спектральна щільність потужності перешкоди (білого або квазібелого шуму).

Якщо тривалість сигналу, то, а, де- ширина енергетичної смуги квазібелого шуму.

Щільність ймовірності сигналу (з випадковою початковою фазою)

,, А шуму -.

Якщо сигнал і перешкоди незалежні, то, і щільність ймовірності їх суміші визначається інтегралом згортки:

. 6. Довільне число СВ

Часто доводиться мати справу в статистичній радіотехніці з системами багатьох СВ. У цьому випадку повною характеристикою системи СВ може служити закон розподілу всієї системи СВ. Наприклад, є багатоканальна в просторі антенна система, за допомогою якої прийом ведеться в декількох точках простору. При цьому і обробка сигналів в приймальних пунктах проводиться спільно. Для представлення законів розподілу системи більш ніж трьох СВ доводиться використовувати багатовимірний простір. Зв'язок між функцією розподілу і щільністю ймовірності в цьому випадку забезпечується n-мірної похідної (n - число СВ, що входять в систему).

Вірогідність попадання координат випадкової точки в обмежений простір n-мірної системи визначається n-кратним інтегруванням по цьому простору щільності ймовірності. 7. Числові характеристики системи кількох СВ

Закон розподілу системи СВ (функції розподілу або щільності ймовірності) є повною, вичерпною характеристикою системи кількох СВ. Однак не завжди можливо застосовувати такий опис СВ. Наприклад, через обмеженість експериментального матеріалу або через те, що такий опис володіє зайвої громіздкістю. Крім того, дуже часто тип розподілу відомий (наприклад, n-мірний нормальний). Тому застосовують опис системи СВ за допомогою обмеженого числа числових характеристик. До таких характеристик відносяться:

N математичних очікувань (МО), що характеризують середні значення входять в систему СВ;

N дисперсій, що характеризують ступінь їх розкиданості щодо своїх МО;

N (N - 1) кореляційних моментів, що визначають попарно кореляцію СВ в системі :.

Слід зазначити, що кореляційний момент при i = j перетворюється на дисперсію, т.е ..

Часто все кореляційні моменти розташовують у вигляді так званої кореляційної матриці:

.

За визначенням кореляційного моменту ,. Отже, кореляційна матриця завжди "симетрична", тобто її елементи, симетричні відносно діагоналі, рівні між собою. Позначають її символом. Уздовж головної діагоналі розташовуються дисперсії. Якщо все СВ, що входять в систему СВ, некорреліровани, то всі елементи матриці, крім діагональних, дорівнюють нулю. Іноді користуються нормованої кореляційної матрицею, складеної з коефіцієнтів кореляції :. Якщо все СВ некорреліровани, то утворюється одинична матриця, у якої діагональні елементи - одиниці, а недіагональні - нулі.

У відношенні з / п = | y (t0) | / snвихчіслітель повинен бути максимальним в заданий момент часу, тому необхідно розглядати фазовий спектр. Так як спектр представлений у вигляді косинусних коливань, вони повинні підсумовуватися на виході ланцюга у фазі, щоб максимальна миттєве значення було при t = t0, тобто Jк (w) = -js (w) - wt0- такі вимоги до фазової характеристиці забезпечать задані вимоги по максимізації y (t0). Модуль передавальної функції ланцюга повинен з точністю до постійного множника повторювати модуль спектральної щільність сигналу K (w) = AS (w). З урахуванням вимог до фазової характеристиці ланцюга K (jw) = AS (w) exp [-jjs (w)] exp (-jwt0), так як S (jw) = S (w) exp [jjs (w)], то K (jw) = AS (jw) exp (-jwt0).

Покажемо, що знайдене вираз для комплексного коефіцієнта передачі є оптимальним в сенсі максимуму відносини з / п = | y (t0) | / snвих. Для лінійного ланцюга справедливий принцип суперпозиції, тобто можна окремо розглядати проходження сигналу і шуму:

| Y (t0) | = | (2p) -1 / 2S (jw) K (jw) exp (-jwt0) dw |,

а snвих = [(2p) -1 / 2Wn (w) K2 (w) dw] 1/2.

Підставимо отримані вирази у відношення сигнал / перешкода:

| Y (t0) | / snвих =

= | (2p) -1 / 2S (jw) K (jw) exp (-jwt0) dw | / [(2p) -1 / 2Wn (w) K2 (w) dw] 1/2.

У математиці існує нерівність Шварца:

| F1 (x) F2 (x) dx | 2 ? [| F1 (x) | 2dx] [| F2 (x) | 2dx],

де F1 (x) і F2 (x) - деякі комплексні функції. Застосуємо це нерівність для нашого випадку. Тоді відношення сигнал / перешкода з / п ? 1 / [(2p) -1S2 (w) dw] 1/2. Так як Еs = (2p) -1S2 (w) dw, то з / п ? 1 /. При цьому значенні з / п K (jw) = Kопт (jw). Ця нерівність перетворюється в рівність за умови, що F2 (x) = F1 (x). Застосуємо цю умову до K (jw), отримаємо Kопт (jw) exp (jwt0) = AS (jw), тоді Kопт (jw) = AS (jw) exp (-jwt0).

На виході суматора сигнал утворюється таким чином :. Зведення в квадрат є нелінійної операцією, але вона виконується вже після максимізації відносини сигнал / шум на виходах лінійних узгоджених фільтрів і впливає незначно.

На виходах квадратурних узгоджених фільтрів визначаються квадрати складових комплексної обвідної (синусною і косинусной) і складаються в суматорі. Отриманий квадрат кореляційного інтеграла інваріантний до початковій фазі вхідного сигналу (визначається квадрат довжини вектора в комплексній системі координат). Однак наявність двох каналів призводить до втрат у відношенні сигнал / шум в два рази по потужності (або - 3 дБ), оскільки шум в сумматоре подвоюється по дисперсії.

Таким чином, застосування синтезованої структури призводить до незалежності від початкової фази, але призводить до ускладнення узгодженого фільтра (треба мати два узгоджених фільтра). 8. Двовимірний нормальний закон щільності ймовірності

Двовимірна нормальна щільність ймовірності задається формулою

,

в которойі- математичні очікування СВ X і Y; и- среднеквадратические відхилення цих СВ; R - коефіцієнт кореляції.

Зауважимо, що криві рівної щільності ймовірності мають вигляд еліпсів:

.

На цій підставі еліпси мають назву еліпсів рівних ймовірностей або еліпсів розсіювання. Залежно від знака величини R еліпси мають різну форму і орієнтацію на площині x0y. При цьому головні осі еліпса пропорційні головним среднеквадратическим відхиленнями, які пов'язані зі среднеквадратическими відхиленнями наступними формулами:

;

,

де a - кут між однією з головних осей еліпса і віссю 0x. Якщо головні осі еліпса збігаються з осями координат, то можна стверджувати, що СВ X і Y є некоррелірованнимі, а головні среднеквадратические відхилення рівні среднеквадратическим відхилень. Якщо ж при цьому дісперсіііодінакови, то еліпси розсіювання перетворюються в окружності.

Нормальний розподіл має виняткову роль у статистичній радіотехніці. Майже всі шуми радіоприймальних пристроїв підпорядковані нормальному закону (їх миттєві значення). Універсальність нормального закону пояснюється тим, що кожна СВ, що є сумою дуже великого числа незалежних СВ, кожна з яких має незначний вплив на суму, розподілена за нормальним законом, причому незалежно від виду розподілу кожного доданка (центральна гранична теорема теорії ймовірності) (рис.1 ).

Рис.1

Оскільки в вираз для нормальної щільності ймовірності входить тільки R, то для нормальних СВ некоррелированности одночасно означає і їх незалежність. Неважко довести це твердження, якщо у вираз для нормальної щільності ймовірності підставити R = 0. При цьому вираз для двовимірної нормальної щільності ймовірності перетворюється на витвір одновимірних нормальних щільності ймовірностей.

Бібліографічний список

1. Математичні основи сучасної радіоелектроніки [Текст] / І.А. Большаков [та ін.]. - М .: Сов. радіо, 2009. - 208 с.

2. Манжос, В.Н. Теорія і техніка обробки радіолокаційної інформації на тлі перешкод [Текст] / Я.Д. Ширман, В.Н. Манжос. - М .: Радио и связь, 2011. - 416 с.

3. Жовінскій, В.Н. Інженерний експрес-аналіз випадкових процесів [Текст] / О.М. Жовінскій, В.Н. Жовінскій. - М .: Енергія, 2009. - 112 с.

4. Федосов, В.П. Статистична радіотехніка [Текст]: конспект лекцій / В.П. Федосов, В.П. Рижов. - Таганрог: Изд-во ТРТІ, 2008. - 76 с.

5. Гнеденко, Б.Н. Курс теорії ймовірності [Текст] / Б.М. Гнеденко. - М .: Физматгиз, 2011. - 203 с.

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка