трусики женские украина

На головну

Оптимізація антен з використанням гібрида генетичного алгоритму - Комунікації і зв'язок

Зміст

Введення

1. Класифікація конфігурацій граток

2. Гібридний оптимизационный алгоритм

3. Приклад оптимізації

Список літератури:

Висновок

Вступ

За останнє десятиріччя застосування генетичних алгоритмів (ГА) як оптимизационных кошти розрахунку антен стало активною областю досліджень. Основні причини такого інтересу пов'язані з їх стійкістю, що дозволяє вирішувати такі оптимизационные задачі, для яких локальні методи оптимізації не ефективні, а також з їх універсальністю, що дає можливість успішно застосовувати одні і ті ж схеми до рішення різних задач (Гаупт 1995).

Однак у застосовності ГА є і характерні обмеження. У зв'язки з їх архітектурою, задачі, в яких отримання точних результатів від моделювання кожного можливого рішення вимагає великого часу обчислення, досі залишаються надзвичайно витратними.

Щоб подолати такі труднощі, були зроблені зусилля по знаходженню більш ефективних оптимизационных схем, що дало не тільки вдосконалені версії генетичних алгоритмів, напр., микрогенетические алгоритми (µГА) (Крішнакумар 1989) і гібридні ГА-тагучи (Цай і інш. 2004), але також нові глобальні методи оптимізації, засновані на різних філософіях, напр., оптимізації за принципом роїння елементів (Кенеди і Еберхард 2001) і оптимізації за принципом мурашника (Колеман і інш. 2004). Подібні удосконалення в поєднанні з можливостями комп'ютерів, що розширяються і розробкою паралельних кодів (Левін 1995) забезпечили отримання задовільних рішень для більш складних задач.

Крім того, в задачах, коли точність оптимізованого рішення не є критичной, звичайна міра, направлена на зниження повного часу обчислення, полягає в зменшенні обчислювального навантаження моделей шляхом, наприклад, використання грубої схеми розрахункової сітки в емуляторах, заснованих на методах кінцевих елементів (Мохамед 1999), або за допомогою зменшення числа базисних функцій в кодах, заснованих на методі моментів (Фернандес-Пантойя і інш. 2000). На жаль, часто буває складно виконати оцінку помилок, пов'язану з цими підходами.

У даному повідомленні для забезпечення точності кінцевого результату ми вводимо в процедуру оптимізації додатковий етап. Такий етап, заснований на методі картирования простору (КП) (Бандлер і інш. 2004), спочатку дозволяє операторам ГА використати при моделюванні грубі моделі з тим, щоб знайти приблизне рішення задачі. Після цього з допомогою КП отримують точне рішення задачі, економлячи на обчислювальних витратах. Методи КП в поєднанні з різними методами локальної оптимізації вже довели свою ефективність при рішенні різних оптимизационных задач в электромагнетике (Бакр 2000, Бандлер і інш. 1995).

Як приклад оптимізації приведемо використання гібрида ГА-АКП для вибору довжин і точок збудження для антенної гратки, що складається з 3 х 3 випромінювачів (микрополосок по типу латок) і що знаходиться на кінцевому (заземленому?) екрані. Результати і графіки для такого прикладу містяться в стендовій презентації, підготовленій для даного повідомлення.

1. Класифікація конфігурацій граток

Антенні гратки можна класифікувати по різних основах; в даній роботі ми вибрали широкий клас конфігурацій, що об'єднуються по ознаці однорідного збудження (намагнічення) елементів. Самими поширеними тут є періодична і довільна гратки. Такі гратки є полярно протилежними з точки зору їх геометрії і характеристик. Періодичні гратки здатні мати відносно низькі рівні бічних пелюсток, але є не дуже стійкими. Довільні гратки, з іншого боку, стійкі, але ним звичайно не властивий низький рівень бічних пелюсток. Тому періодичні і довільні гратки найкращим образом придатні тільки для своїх специфічних застосувань.

Крім вказаних конфігурацій можливі і інакші, засновані на ряді різноманітних підходів до розрахунку їх геометрії. Наприклад, виявилося, що вельми цінні особливості мають конфігурації, побудовані на фрактальній геометрії [19-21]. Детерминистские фрактальні гратки володіють такими автомодельными геометричними властивостями, які можна використати при створенні швидкого алгоритму формування ДН, що є очевидною перевагою при роботі з гратками, що мають велике N. Кроме того, детерминистские фрактальні гратки можна математично розраховувати за допомогою методу, що будується на системі итерированной функції (СИФ). У основі СИФ лежить ряд аффинных лінійних перетворень, що виконуються в точці (х, у), що знаходиться на эвклидовой площині. Звичайно для граток з геометрією, заснованою на фракталах, такі перетворення описуються трьома локальними параметрами rn, φn, ψnи глобальним фрактальним масштабним параметром sf, так що.

Таке визначення аффинных лінійних перетворень і використання глобального масштабного параметра забезпечує, що кожний перетворений об'єкт має ідентичний масштаб і аналогічний початковому об'єкту. Ряд N аффинных лінійних перетворень ω1, ω2,..., ωNназывается оператором Хатчинсона, для якого ми введемо символ W. Операцию Хатчинсона можна застосовувати рекурсивно і отримати СИФ наступного вигляду: де фрактал рівня ℓ+1, (що означається Fℓ+1) будується з фрактала рівня ℓ (F, що означається ℓ). Послідовні застосування оператора Хатчинсона дають все більш високо-порядкові ітерації фрактальної структури.

Інший тип гратки, званий фрактальною-довільною, поєднує впорядковані властивості фракталов з неврегульованими властивостями довільних граток. Фрактальні-довільні гратки створюються способом ad hoc (для особливого випадку), коли генератори довільно вибираються з ряду можливих виборів і застосовуються до фрактальної структури. Такий довільний вибір генераторів утрудняє математичний опис цих граток з допомогою СИФ. Загалом з малого набору параметрів, що містяться в генераторах, неможливо точно відтворити фрактальну-довільну геометрію, і тому вони по-теперішньому часу не рекурсивні. Цей факт перешкоджає використанню рекурсії при створенні швидкого алгоритму формування ДН для такого класу граток. Проте, завдяки поєднанню впорядкованих і неврегульованих геометричних властивостей, виявилося, що фрактальні-довільні гратки володіють відносно низьким рівнем бічних пелюсток і в той же час є стійкими. Тим самим такі гратки мають робочі характеристики, що поєднують характеристики періодичних і довільних граток.

Щоб подолати нестачі фрактальних-довільних граток і одночасно зберегти багато які з їх бажаних властивостей, створений особливий підклас фрактальних-довільних граток, названий ПФР. У попередній роботі ми розробили новий вигляд СИФ, здатний проводити полифрактальные структури. Аналогічно фрактальним-довільним, ПФР будуються з безлічі генераторів, 1,2,...М, кожний з яких має відповідний оператор Хатчинсона W1, W2,..., WM. Кожний оператор Хатчинсона Wm, в свою чергу, містить Nmаффинных лінійних перетворень ωm, 1, ωm, 2,..., ωm, Nm. Такі перетворення ωm, nидентичны за формою Ур.1, включаючи три локальних параметри rm, n, φm, n, ψm, nи один глобальний масштабний параметр sf, який застосовується по всій фрактальній структурі (нижній індекс m додається для вказівки на конкретний генератор). Крім трьох локальних параметрів тут введений четвертий локальний κm, n, який пов'язаний з кожним аффинным лінійним перетворенням. Цей параметр, званий показником зв'язку, є цілим значенням в межах від 1 до М, тобто числа генераторів, що використовуються для побудови ПФР, і застосовується для розпорядження того, як використовуються аффинные лінійні перетворення. Перетворення ωm, nможно виконати тільки для тих ПФР рівня ℓ, де генератор, що використовується на рівні ℓ, відповідає показнику зв'язку κm, n. Така процедура приводить до того, що з кожним оператором Хатчинсона може бути пов'язана тільки одна унікальна геометрія ПФР. Отже, набір ПФР Fℓрівні ℓ можна для зручності виразити в наступному записі (див. Ур.3), де перший нижній індекс визначає рівень ПФР, а другий - генератор, що використовується на цьому рівні. Звідси, ПФР рівня ℓ+1, створений генератором m, можна представити у вигляді Ур.4. Щоб настроювати межэлементное простір в конфігурації ПФР, ми використовуємо ще один глобальний масштабний параметр sg. Нарешті, відмітимо, що глобальний масштабний параметр sfможно винести (факторизовать) з операторів Хатчинсона, що дає ефективну нормалізовану процедуру побудови СИФ для ПФР рівня L (див. Ур.5).

Якщо використати визначення подібності аффинных лінійних перетворень так, як це представлене в Ур.1, з додаванням глобальних масштабних коефіцієнтів і конструкції, заснованої на показнику зв'язку, то можна розповсюдити дію швидких алгоритмів формування ДН, пов'язаних із звичайними фрактальними гратками, на ПФР. Таку широку методологію формування ДН, детально освітлену в, можна розглядати як вдосконалену СИФ, діючу не на геометричних структурах підгруп, а на основі їх діаграм спрямованості. Іншими словами, загальною ДН можна розглядати як що утворюється граткою, що складається з граток, а не як накладення радіовипромінювання, зробленого набором окремих изотропных точкових джерел. У Рівнянні 6 дане вираження для конфігурації підгрупи генераторів m рівня ℓ, яке засноване на ряді конфігурацій фрактальних підгруп рівня ℓ-1. Кінцеву конфігурацію радіовипромінювання можна визначити, використовуючи изотропные джерела для утворення ДН початкових підгруп і рекурсивно застосовуючи дане вираження аж до отримання ДН рівня L. Рекурсивние властивості формування ДН, що є у ПФР, дозволяють дослідити в ході процедури оптимізації набагато велику геометрію граток.

Таким чином, детермінований фрактальні, полифрактальные і фрактальні-довільні гратки співвідносяться один з одним багато в чому так, як квадрат з прямокутником, а прямокутник з паралелограмом. Фрактальні-довільні гратки володіють найбільш загальною геометрією, чим інші, що в найбільшій мірі утрудняє роботу з ними. Оскільки в ПФР застосовуються показники зв'язку для визначення того, як і коли застосовується будь-який з безлічі генераторів, вони є підкласом фрактальних-довільних граток. У свою чергу, детерминистские фрактальні гратки по суті є полифрактальными або фрактальними-довільними гратками, в яких для вибору є лише один генератор. Приклади всіх трьох типів граток показані на Рис. 1. Щоб вам було легше представити конфігурацію граток, ми використовуємо характерну геометрію фрактального дерева. Крім того, на Рис. 2 для представлення відносин, зв'язуючих три типи антенних граток в плані їх конфігурації, використана діаграма Венна. Параметр Scпредставляет поле рішення і містить набір всіх можливих методів, що використовуються для побудови антенних граток.

Концепції детерминистских фрактальних і полифрактальных граток можна використати не тільки ради їх зв'язку один з одним, але і для опису конфігурацій періодичних і довільних граток. Оскільки ПФР є підкласом фрактальних-довільних граток, положення, пов'язані з ПФР, в рівній мірі застосовні до фрактальних-довільних. Поняття, що стосуються ПФР, можна використати в описах всього ряду періодичних антенних граток, якщо ретельно підбирати параметри генератора так, щоб антенні елементи були на рівній відстані один від одного. Для рішення цієї задачі є декілька способів: можливо, найпростішим для розуміння є розкладене (факторированное) полифрактальное уявлення. Візьмемо, наприклад, періодичну гратку, повну кількість елементів PTкоторой можна представити складовим числом простих множників М, так що PT= р1р2... рМ. ПФР рівня М можна побудувати з М генераторів, по одному на кожний з простих множників. Будь-який оператор Хатчинсона Wmимеет рmаффинных лінійних перетворень (тобто Nm= pm), коли перетворення вибираються таким чином, щоб кожна з перетворених (перенесених) підгруп мала періодичний інтервал. Показник зв'язку для кожного з цих перетворень рівний рівню ℓ фрактальної-довільної гратки, так що кожний з генераторів повністю застосовується тільки до одного-єдиного рівня ПФР. Тому очевидно, що будь-яка конфігурація періодичної гратки повинна мати, принаймні, одну відповідність серед ПФР.

Хоч для опису будь-якої періодичної гратки можна використати розкладене полифрактальное уявлення, можуть існувати також і більш прості схеми полифрактальных періодичних граток. Розкладене полифрактальное уявлення можна спростити шляхом об'єднання декількох простих множників в невеликі складові числа, скорочуючи тим самим загальну кількість рівнів, необхідних для отримання антенної структури. Більш того хоч і не так очевидним образом, періодичні гратки можна також будувати з ПФР більш загального характеру. Далі, деякі періодичні гратки можна також описувати через детерминистские фрактальні гратки. Крім тривіального випадку одноступінчатої гратки, періодичну гратку можна побудувати в тому випадку, коли є можливість розікласти число елементів в структуру NL, де N представляє число трансформов в операторі Хатчинсона, а L представляє кількість рівнів у фрактальній гратці. Параметри визначають так, щоб інтервали між будь-якими аффинными лінійними перетвореннями оператора Хатчинсона були рівні.

Якщо набір вживаних генераторів так великий, що жоден з них не може бути вибраний більше за один раз, методологією ПФР можна користуватися для опису повністю довільних граток. Полифрактальная модель, хоч і є для чисто довільних граток громіздкої і неефективної, з теоретичної точки зору все ж цілком тут застосовна. Таким чином, можна зробити висновок, що з допомогою ПФР можна описати будь-який клас антенних граток. Крім того, в більшості випадків виявляється, що для граток, побудованих з безлічі генераторів, разупорядоченность (довільність) ПФР є більшою. Показана діаграма Венна представляє класифікацію періодичних, довільних, фрактальних і полифрактальных граток відносно кінцевої конфігурації гратки. У полі рішення Saпоказан ряд всіх можливих конфігурацій граток; це поле відрізняється від поля рішення Sс, представленого вище. Також очевидно, що будь-яку гратку можна представити у вигляді ПФР. Однак пунктиром позначена межа, за межами якої полифрактальную модель більше неможливо використати для опису геометрії антенної гратки. У даному рефераті ми пред'являємо оптимизационную процедуру, за допомогою якої можна, використовуючи поняття, характерні для ПФР, послідовно перетворювати гратки, що мають періодичну конфігурацію, засновану на фракталах, в більш довільні гратки. У наступних розділах детально обговорюються процеси, що використовуються для того, щоб оптимізація могла слідувати в цьому руслі.

антена оптимизационный гібридний алгоритм

2. Гібридний оптимизационный алгоритм

Блок-схема алгоритму, представлена на Малюнку 1, загалом складається з двох різних процедур, що виконуються послідовно. Спочатку оптимизатор ГА забезпечує - шляхом періодично, швидкого машинного моделювання можливих рішень, що повторюється- оптимальне рішення задачі з низькою точністю. Такий проміжний результат називають грубим оптимальним рішенням. Далі з метою перевірки того, наскільки таке рішення прийнятне для отримання кінцевого рішення задачі, виконується точне моделювання грубого рішення. Якщо при цьому виявляються незадовільні характеристики, тобто зміщення резонансних частот або підвищений рівень вхідних коефіцієнтів відображення, то запускається наступна процедура, заснована на АКП. На цьому етапі для отримання точного рішення задачі, званого точним оптимальним рішенням, використовують локальну оптимизатор, задействующий як грубу, так і точну модель. Таке рішення схоже з грубим рішенням, виданим ГА, в плані відповідності тих параметрів, які вибрані як цілі оптимізації. Отже, розробнику треба визначити параметри, які змінюються в процесі оптимізації - вони мають позначення хси хf(тут і далі див. позначення в тексті), а також характеристики (базисні функції, погрішність інтегралів і т.п.) як грубих, так і точних моделей. Цей етап критичен, так як правильність вибору визначає кінцевий успіх оптимізації. Груба модель повинна бути як можна більш швидкої, але такої, щоб її вихід Rc(хс) зберігав певну схожість з виходом Rf(хf) від точної моделі. Інакше не буде працювати етап АКП. Після того, як вибір зроблений, оптимизатор ГА, застосовуючи генетичні оператори тільки до грубих моделей, знаходить оптимальне грубе рішення, що означається х*з. Якщо виявилося, що відхилення виходу, отриманого при точному моделюванні Rf(х*з) оптимального грубого рішення, є більш високим, ніж це прийнятне, то АКП шукає відповідність Р між точною і грубою моделями хс= Р(хf) так, щоб Rf(хf) ≈ Rc(хс). Для визначення Р виконують итеративную локальну оптимізацію. Ключовими етапами АКП є фаза видобування параметрів, коли затверджується груба модель, краще усього відповідна для певної точної моделі; рівень оновлення відповідності (картирования), коли за допомогою рівняння Бройдена (Бандлер і інш. 1995) змінюється оцінка Р; і рівень інвертування відповідності, коли визначається точна модель для наступної ітерації. Якщо груба і точна моделі вибрані так, як слід, така итеративная процедура видає точне оптимальне рішення х*f, при котром виходи Rf(хf) і Rc(хс) є схожими аж до зазделегідь встановленого рівня точності. Детальніше об АКП можна прочитати в (Бандлер і інш. 2004).

3. Приклад оптимізації

Для перевірки адекватності методу як приклад оптимізації пропонується визначення необхідних довжин і точок збудження для антенної гратки, що складається з 3 х 3 випромінювачів (типу латок), розміщеної на кінцевому квадратному (заземленому?) екрані і працюючої на частоті 4,5 ГГц. При симетричність задачі, представленій на Малюнку 2(а), маємо всього 12 оптимизационных параметрів, пов'язаних як з довжиною (L1..., L6), так і з відстанню точок збудження від центра випромінювача (d1,... d6). Постійними величинами в даному прикладі є ширина випромінювача (W = 3 см), довжина сторони екрана (Lg= 12 см) і відстань між антенами і землею (h = 0,15 см). Підкладкою, що Використовується є повітря.

Для рішення цієї задачі за допомогою глобального оптимизатора необхідний надійний код, який моделював би довільно створені конструкції. Всі результати, представлені в роботі, отримані з рішення інтегрального рівняння електричного поля зі змішаним потенціалом, вмісного високо-порядкові базисні функції Лежандра, за допомогою методу моментів (Йоргенсен і інш. 2004). При заданому специфічному наборі довжин і точок збудження, описаному вище, для точного рішення задачі потрібно 6000 базисних функцій і, якщо використати 2,2 ГГц-ий процесор AMD Opteron, необхідний час аналізу, рівне 4 мін. на одну частоту. Оскільки для виконання оптимизационного процесу в простір пошуку входить 1012возможных рішень, алгоритм µГА отримує результати оптимізації через приблизно 3000 емуляцій. При відсутності параллелизма обробки загальний час оптимізації для такої простої задачі міг би бути біля дев'яти днів. Застосування грубої моделі елементів, даюче скорочення як числа базисних функцій, так і точність інтегралів, що було описано в попередньому розділі, допомагає отримати результат швидше, правда ціною зміщення емульованої характеристики по частотному спектру приблизно на 100 МГц.

Таким чином, довелося вдатися до виконання оптимізації ГА-АКП. Етап ГА, де використовувалися тільки грубі моделі гратки, був виконаний за допомогою себе, що зарекомендував алгоритму µГА (Крішнакумар 1989), при використанні сукупності, рівній 5 елементам і зміні сукупності при збіжності в 80%. Як оператори ГА використовувалися турнірний відбір і двухэлементное схрещування (Бэк і інш. 1997). Результати, що Отримуються мали формат з фіксованою точкою, в якому усього було 12 цілих розрядів; для представлення довжини - від 3 до 3,25 см, а для представлення відстані точок збудження до центра випромінювача - від 0,33 до 0,60 див. Значення, допустимі для довжин випромінювачів в процесі ГА, були встановлені за допомогою апроксимувати рівнянь, що використовуються для розрахунку частоти резонансу прямокутної микрополосковой випромінювальної антени, розташованої на нескінченному (заземленому?) екрані; значення частоти лежали в інтервалі від 4,4 до 4,8 ГГц, що відповідало значенням довжин в 3,25 і 3 см, відповідно. Функція придатності (відповідність) F була вибрана так, щоб при 4,5 ГГц мінімізувати максимальне значення модуля (амплітуди) вхідного коефіцієнта відображення для будь-якої антени гратки (F = max{¦S11¦i}; i = 1,...,6). На Малюнку 3 показана амплітуда вхідного коефіцієнта відображення кожного антенного елемента для такого грубого рішення; у кожного випромінювача тут різні частоти резонансу, але всі вони знаходяться біля бажаного робочого значення в 4,5 Ггц.

Проте, моделювання, виконане на точній моделі тієї ж антени, показало зміщення спектра приблизно в 130 МГц (див. Малюнок 4). Для виправлення цього ефекту була проведена процедура АКП. Точний простір визначили за допомогою лише двох параметрів хf, кожний з яких масштабував відповідно значення довжин і відстаней від точок збудження, отриманих при оптимальному грубому рішенні. Як вказано в (Бакр 2000), зійду моделі краще усього досягаюся при використанні в аналізі декількох частотних точок. У цьому випадку в інтервалі від 4,25 до 4,75 ГГц розподілили 11 частотних точок. Фазу видобування параметрів виконали за допомогою агресивного підходу картирования простору (Бандлер і інш. 1995), а також прийняття для всіх випромінювачів, розташованих вдовж частотної кривої нашого аналізу - як міра подібності точної і грубої моделей - среднеквадратической помилки від відстані між їх відповідними дійсними частинами вхідного повного опору. Іншими важливими моментами вибору на етапі АКП були критерії останова процесу, які були встановлені на 10-4, а також числова оцінка аналітичного визначника Якобі, що виконується за допомогою різницевої апроксимації уперед. Основний момент при досягненні швидкої збіжності полягав в оцінці подібності між виходами з грубої і точної моделей, коли як вимірювальна функція використали не амплітуду вхідного коефіцієнта відображення, а дійсну частину вхідного повного опору. Це було зумовлене тим, що велика монотонність дійсної частини вхідного повного опору дозволяє набути кращих значень різницевої апроксимації уперед. Провівши всього три точних емуляції і 45 грубих, алгоритм досяг остаточного рішення. На Малюнку 5 показане ефективне коректування робочої точки до 4,5 ГГц.

Нарешті, була виконана оцінка часу, зекономленого за рахунок використання методу ГА-АКП в порівнянні з методом ГА, що використовує тільки точні емуляції. Знаючи, що в цьому випадку витрата часу на роботу з точною моделлю в 6,5 раз більше на одну частоту, чим при роботі з грубою моделлю, і що кожна точна або груба емуляція, виконана на етапі АКП, вирішувала 11 частотних точок, визначили, що застосування гібридного методу дозволило виконати оптимізацію приблизно в 5,25 раз швидше. Отже, поки показник часу залежить від різниці між часом аналізу точної і грубої моделей, для досягнення більшої економії розробнику доведеться шукати швидше здійснимі грубі моделі. У будь-якому випадку цей процес потрібно виконувати дуже ретельно, оскільки етап АКП ефективний тільки тоді, коли вихід з грубої моделі подібний виходу з точної.

Висновок

У даному повідомленні запропонована ефективна схема оптимізації антен. Вона полягає в застосуванні услід за заснованою на ГА оптимізацією, що використовує при моделюванні характеристики антени грубу модель, додаткової процедури АКП. Цей останній етап збільшує точність оптимізованих результатів, а весь підхід загалом, як показано, має перевагу з точки зору обчислювальних витрат в порівнянні із застосуванням ГА тільки до емуляції точної моделі. Плануються подальші дослідження для порівняння ефективності методу ГА-АКП з ефективністю інших гібридних методів, що поєднують методи локальної оптимізації з АКП.

Список літератури:

1. Антени і пристрої СВЧ. Розрахунок і проектування антенних граток і їх випромінюючих елементів / Під ред. Д.І. Воськресенського. М.: Сов. радіо, 1972.

2. Драбкин А.Л., Зузенко В.Л., Кислов А.Г. Антенно-фідерние пристрою. М.: Сов. радіо, 1974.

3. Антени і пристрої СВЧ: Методичні вказівки до лабораторних робіт. Частина 1 / Під ред. А.В. Рубцова. Рязань, 2006.

4. Антени і пристрої СВЧ. Проектування фазованих антенних граток / Під ред.Д.І. Воськресенського. М.: Радіо і зв'язок, 1994.

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка