трусики женские украина

На головну

 Метод простої ітерації для розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь - Математика

Міністерство науки і освіти РФНовосібірскій державний технічний університет

Кафедра економічної інформатікіКурс: "Чисельні методи" Пояснювальна записка до курсової роботи на тему "Метод простої ітерації для розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь"

Факультет: Бізнесу

Викладач: Саричева О. М.

Новосибірськ, 2010

Зміст

1. Введення

2. Математична постановка задачі та опис методу

3. Опис програмного забезпечення

3.1 Загальні відомості

3.2 Функціональне призначення програми

3.3 Виклик і завантаження програми

3.4 Вхідні дані

3.5 Вихідні дані

3.6 Опис алгоритмів

3.6.1 Програмний модуль metod1.m

3.6.2 Програмний модуль metod2.m

3.7 Використовувані програмні та технічні засоби

4. Опис тестових завдань

5. Аналіз результатів рахунки, висновки

6. Висновок

Додатки

Список літератури

1. Введення

У цій роботі необхідно розглянути один з безлічі існуючих ітераційних методів - метод простої ітерації для розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Перш ніж говорити про вищевказаному методі, дамо коротку характеристику взагалі ітераційним методам.

Ітераційні методи дають можливість знайти рішення системи, як межа нескінченного обчислювального процесу, що дозволяє по вже знайденим наближенням до вирішення побудувати наступне, більш точне наближення. Привабливою рисою таких методів є їх самоісправляемость і простота реалізації на ЕОМ. Якщо в точних методах помилка в обчисленнях, коли вона не компенсується випадково іншими помилками, неминуче веде до помилок в результаті, то в разі сходящегося ітераційного процесу помилка в якомусь наближенні виправляється в наступних обчисленнях, і таке виправлення вимагає, як правило, тільки декількох зайвих кроків однакових обчислень. Ітераційний метод, для того щоб почати по ньому обчислення, вимагає знання одного або декількох початкових наближень до рішення.

Умови та швидкість збіжності кожного ітераційного процесу істотно залежать від властивостей рівнянь, тобто від властивостей матриці системи, і від вибору початкових наближень.

2. Математична постановка задачі та опис методу

2.1 Математична постановка задачі

Дослідити метод простої ітерації для розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь, а саме: вплив способу переходу від системи F (x) = x до системи x = (x) на точність отриманого рішення, швидкість збіжності методу, час рахунку, число операцій.

2.2 Опис методу

Нехай дана система лінійних алгебраїчних рівнянь у вигляді Ax = b (2.2.1).

Нехай (2.2.1.) Наведена яким-небудь чином до виду x = Cx + f (2.2.2), де C - деяка матриця, f - вектор-стовпець. Виходячи з довільного вектора

x01

x (0) = x02

x03

будуємо ітераційний процес x (k + 1) = Cx (k) + f (k = 0,1,2,3, ...) або в розгорнутій формі

x1 (k + 1) = c11x1 (k) + c12x2 (k) + ... + c1nxn (k) + f1, (2.2.3)

xn (k + 1) = cn1x1 (k) + cn2x2 (k) + ... + 1nnxn (k) + fn.

Виробляючи ітерації, отримаємо послідовність векторів x (1), x (2), ..., x (k), ... Доведено, що якщо елементи матриці C задовольняють одну з умов

(I = 1,2, ..., n) (2.2.4)

(J = 1,2, ..., n) (2.2.5),

то процес ітерації сходиться до точного рішення системи x при будь-якому початковому векторі x (0), тобто

x = x (k).

Таким чином, точне рішення системи виходить лише в результаті нескінченного процесу, і всякий вектор x (k) з отриманої послідовності є наближеним рішенням. Оцінка похибки цього наближеного рішення x (k) дається одній з наступних формул:

| Xi- xi (k) || xi (k) - xi (k-1) |, (2.2.4 ')

якщо виконана умова (2.2.4), або

| Xi- xi (k) || xi (k) - xi (k-1) |, (2.2.5 ')

якщо виконана умова (2.2.5). Ці оцінки можна ще підсилити відповідно так:

max | xi- xi (k) || xi (k) - xi (k-1) |, (2.2.4 '')

або

| Xi- xi (k) || xi (k) - xi (k-1) |. (2.2.5 '')

Процес ітерацій закінчують, коли зазначені оцінки свідчать про досягнення заданої точності.

Початковий вектор x (0) може бути обраний, взагалі кажучи, довільно. Іноді беруть x (0) = f. Однак, найбільш доцільно в якості компонент вектора x (0) взяти наближені значення невідомих, отримані грубої прикидкой.

Приведення системи (2.2.1) до виду (2.2.2) можна здійснити різними способами. Важливо тільки, щоб виконувалася одна з умов (2.2.4) або (2.2.5). Обмежимося розглядом двох таких способів.

Перший спосіб. Якщо діагональні елементи матриці А відмінні від нуля, тобто

aii0 (i = 1,2, ..., n),

то систему (2.2.1) можна записати у вигляді

x1 = (b1- a12x2- ... - a1nxn),

x2 = (b2- a21x1- a23x3- ... - a2nxn), (2.2.6)

xn = (bn- an1x1- ... - an n-1xn-1).

У цьому випадку елементи матриці С визначаються наступним чином:

(Ij), cii = 0,

і тоді умови (2.2.4) і (2.2.5) відповідно набувають вигляду

(I = 1,2, ..., n), (2.2.7)

(J = 1,2, ..., n). (2.2.8)

Нерівності (2.2.7), (2.2.8) будуть виконані, якщо діагональні елементи матриці А задовольняють умові

(I = 1,2, ..., n), (2.2.9)

тобто якщо модулі діагональних коефіцієнтів для кожного рівняння системи більше суми модулів всіх інших коефіцієнтів (не рахуючи вільних членів).

Другий спосіб дозволяє записати систему (2.2.1) у вигляді

x1 = b1- (a11-1) x1- a12x2- ... - a1nxn,

x2 = b2- a21x1- (a22-1) x2- ... - a2nxn, (2.2.10)

xn = bn- an1x1- an2x2- ... - (ann-1) xn.

і пояснень не вимагає.

3. Опис програмного забезпечення

3.1 Загальні відомості

Це програмне забезпечення представлено у вигляді двох основних програмних модулів (файли metod1.m і metod2.m) і чотирьох допоміжних модулів (файли system_a.m, system_b.m, x0.m і x_ok.m).

3.2 Функціональне призначення програми

Це програмне забезпечення призначене для розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь виду Ax = b методом простої ітерації.

Програмний модуль metod1.m містить безпосередньо алгоритм розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом простої ітерації, що використовує перший спосіб переходу від системи виду F (x) = x до системи виду x = (x) (див. П.2.2.).

Програмний модуль metod2.m також містить безпосередньо алгоритм розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом простої ітерації, але використовує другий спосіб переходу від системи виду F (x) = x до системи виду x = (x) (див. П.2.2.).

Допоміжний модуль system_a.m містить матрицю А вихідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду Ax = b.

Допоміжний модуль system_b.m містить стовпець b вихідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду Ax = b.

Допоміжний модуль x0.m містить стовпець початкового наближення до точного рішення вихідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду Ax = b.

Допоміжний модуль x_ok.m містить стовпець точного рішення вихідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду Ax = b.

Зауваження: модулі system_a.m, system_b.m, x0.m завжди описує сам користувач, що працює з даним програмним забезпеченням, залежно від розв'язуваної системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Модуль x_ok.m також може бути описаний користувачем, але він не є обов'язковим, так як точного рішення зазвичай у користувача немає. Відсутність даного модуля не впливає на правильність роботи програми, він є допоміжним і необхідний лише для оцінки похибки отриманого рішення (як цього вимагає завдання), але що зазвичай не потрібно в прикладному використанні даного програмного забезпечення.

3.3 Виклик і завантаження програми

Для виклику програми на виконання необхідно завантажити програму MatLab 3.5f (і вище), потім в командному рядку даного середовища набрати ім'я одного з програмних модулів (metod1.m або metod2.m).

3.4 Вхідні дані

1. system_а - матриця А вихідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду Ax = b, зчитує з модуля system_а.m;

2. system_b - стовпець b вихідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду Ax = b, зчитує з модуля system_b.m;

3. x0 - стовпець початкових наближень, зчитує з модуля x0.m;

4. x_ok - стовпець точного рішення вихідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду Ax = b, зчитує з модуля x_ok.m.

Зауваження: якщо відсутній модуль x_ok.m, то змінна x_ok не передається в основні програмні модулі.

3.5 Вихідні дані

Вихідними даними програмних модулів metod1.m і metod2.m є файл total - файл-звіт, що містить результати одного або декількох ітераційних процесів, а саме: отримані рішення, похибки отриманого рішення, швидкість збіжності методу, час рахунку, число операцій.

3.6 Опис алгоритмів

3.6.1 Програмний модуль metod1.m

Оригінальний текст модуля metod1.m представлений в Пріложеніі1.

Спочатку проводиться ініціалізація змінних result (рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь), temp (проміжні значення рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь на кожному кроці ітерації), size_system (розмірність системи), flag (прапор для зупинки ітераційного процесу), edop1 (абсолютне значення k-го і (k + 1) -го рішення), number_iter (кількість ітерацій), time (час рахунку), number_oper (кількість операцій), a (матриця А системи Ax = b), b (стовпець b системи Ax = b). Після цього на дисплей виводиться запит допустимої похибки. Коли похибка введена, відбувається очищення екрана, обнулення вбудованого в MatLab лічильника операцій з плаваючою точкою, запам'ятовування поточного моменту часу.

Далі після цих приготувань запускається цикл переходу від системи виду F (x) = x до системи виду x = (x) першим способом (див. П.2.2.) І розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом простої ітерації. Блок-схема циклу представлена ??на рис.1.

Як тільки закінчується цикл ітерацій, відбувається повторне запам'ятовування поточного моменту часу і кількості операцій з плаваючою крапкою. По закінченні даних дій відбувається підрахунок часу рахунки, як різниці раніше запомненних моментів часу. Далі відбувається запис отриманого рішення в файл total.

Далі виробляється перевірка, чи існує файл x_ok.m. Якщо такий є, то вираховується похибка отриманого рішення і записується у файл total.

Після вищеописаних дій відбувається останній запис у файл total відомостей про кількість кроків, необхідних для збіжності методу, часу рахунки, числі операцій.

Потім відбувається підготовка масштабу майбутнього графіка ітераційного процесу та безпосередньо його побудова, після якого виконання програми переривається до натискання будь-якої клавіші.

І нарешті, коли яка-небудь клавіша буде натиснута, відбудеться очищення екрану і побудова графіків залежності похибки від кроку ітерації.

3.6.2 Програмний модуль metod2.m

Оригінальний текст модуля metod2.m представлений в Пріложеніі1.

Алгоритм даного програмного модуля аналогічний алгоритму модуля metod1.m. Єдина відмінність - реалізація циклу переходу від системи виду F (x) = x до системи виду x = (x) (див. П.2.2.) І розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом простої ітерації. Блок-схема циклу представлена ??на рис.2.

3.7 Використовувані програмні та технічні засоби

Всі модулі даного програмного забезпечення написані на мові MatLab в редакторі Norton Editor з комплексу утиліт Norton Utilities 8.0.

Для правильної роботи програм metod1 і metod2 необхідна операційна система MS DOS (будь-якої версії) або операційна система Windows95, програма MatLab 3.5f (або вище), а також персональний комп'ютер, сумісний з IBM PC 386SX (або вище).

4. Опис тестових завдань

В якості тестових завдань розглянемо дві системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

Cістема1

1,02x1- 0,25x2- 0,30 x3 = 0,515

-0,41x1 + 1,13x2- 0,15x3 = 1,555 (4.1)

-0,25x1- 0,14x2 + 1,21x3 = 2,780

Точне рішення: x1 = 2,0; x2 = 2,5; x3 = 3,0.

В якості початкового наближення x (0) візьмемо два вектори: x (0) = (1000,1000,1000); x (0) = (1,1,1).

Сістема2

0,22x1 + 0,02x2 + 0,12x3 + 0,13x4 = -3

0,02x1 + 0,14x2 + 0,04x3- 0,06x4 = 14

0,12x1 + 0,04x2 + 0,28x3 + 0,08x4 = 250 (4.2)

0,14x1- 0,06x2 + 0,08x3 + 0,26x4 = -77

Точного рішення немає.

В якості початкового наближення x (0) візьмемо два вектори: x (0) = (0,10,20,30); x (0) = (- 270, -503,1260, -653).

Всі обчислення будемо проводити при заданій точності = 0.001.

5. Аналіз результатів рахунки, висновки

Результати обчислень тестових систем лінійних алгебраїчних рівнянь представлені у вигляді файлів-звітів, які наведені в Додатку 2, а також у вигляді графіків ітераційних процесів і графіків залежностей похибок рішень вихідних систем лінійних алгебраїчних рівнянь від кроку ітерації, які наведені в Пріложеніі3.

Аналізуючи ці результати, можна зробити наступні висновки.

По-перше, кількість ітерацій сильно залежить від матриці А вихідної системи рівнянь виду Ax = b. Чим ближче діагональні елементи матриці А до нуля, тим більше ітерацій потрібно для того, щоб вирішити вихідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь.

По-друге, на кількість кроків впливає початкове наближення. Чим воно ближче до точного рішення, тим менше потрібно кроків для збіжності методу. Слід зазначити, що в розглянутих прикладах досить точне початкове наближення вимагає кількості ітерацій приблизно в 1,7-2,0 рази менше, ніж довільне, досить далеко віддалені від точного рішення, наближення.

По-третє, швидкість збіжності методу залежить від того, яким способом реалізований перехід від системи виду F (x) = x до системи виду x = (x).

Аналіз рахунку показує, що якщо діагональні елементи матриці А не близькі до нуля, то при будь-якому наближенні (досить точному і не дуже) кількість кроків, потрібних для збіжності методу, практично не залежить від способу переходу від системи виду F (x) = x до системі виду x = (x). А якщо елементи діагоналі матриці A близькі до нуля і наближення недостатньо точне, то метод сходиться швидше, якщо в ньому реалізований перший спосіб переходу від системи виду F (x) = x до системи виду x = (x) (див. П.2.2. ).

Число операцій для розв'язання вихідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь при використанні першого способу переходу потрібно дещо менше, ніж для розв'язання вихідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь при використанні другого способу переходу. Це вдалося з'ясувати при вирішенні системи

(4.1) при наближенні x (0) = (1,1,1), так як в цьому випадку для обох способів знадобилося однакову кількість кроків для збіжності та однаковий час рахунку, але різне число операцій з плаваючою крапкою.

Час рахунки, як видно з результатів рішення систем (4.1) і (4.2) лінійно залежить від кількості кроків і числа операцій. Чим показники останніх вище, тим більше час рахунку.

Нарешті, похибки отриманих рішень, як видно з файлу-звіту, не перевищує задану похибку.

Виходячи з тестових систем лінійних алгебраїчних рівнянь та результатів їх вирішення, можна зробити наступні висновки.

Метод простої ітерації (при будь-якому способі переходу від системи виду F (x) = x до системи виду x = (x)) сходиться швидко, якщо діагональні елементи матриці А системи Ax = b близькі до одиниці, а решта - близькі до нуля, і наближення досить близько до точного рішення. Але при вирішенні систем Ax = b з матрицею А, відмінної від вищеописаної, метод сходиться при першому способі переходу більш швидко в разі, якщо початкове наближення далеко від точного рішення, а якщо наближення досить близько лежить до точного рішення, то при другому способі переходу метод сходиться дещо швидше, ніж при першому.

Отже, можна сказати, що застосування в прикладних задачах даного методу виправдано, але вибір переходу до системи x = (x) залежить від типу конкретної розв'язуваної системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

6. Висновок

У цій роботі був реалізований метод простої ітерації для розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь у вигляді двох програм, кожна з яких використовує свій власний спосіб переходу від системи виду F (x) = x до системи виду x = (x).

Взагалі кажучи, метод простої ітерації не відрізняється підвищеною збіжністю (може взагалі не зійтися), але якщо він сходиться, то цей метод зазвичай має високу точність рахунку і досить високу швидкість збіжності. Слід зазначити, що все перераховане вище залежить від самої вихідної системи Ax = b і способу переходу до системи виду x = (x). Якщо метод не сходиться, значить не дотримуються умови збіжності методу або використовується невдалий перехід до системи x = (x).

Додатки

ітерація лінійне рівняння алгебри

Додаток 1

Модуль METOD1.M

result = x0 ';

temp = x0 ';

size_system = size (system_a);

flag = ones (size_system (1), 1);

edop1 = zeros (1, size_system (1));

number_iter = 0;

time = 0;

number_oper = 0;

a = system_a;

b = system_b;

% Format long;

edop = input ('Введіть похибка:');

clc;

flops (0);

t1 = clock;

while any (flag)

for i = 1: size_system (1)

temp (i) = b (i) / a (i, i);

for ii = 1: size_system (1)

if (i ~ = ii)

temp (i) = temp (i) -a (i, ii) / a (i, i) * result (number_iter + 1, ii);

end;

end;

e (i) = abs (result (number_iter + 1, i) -temp (i));

if e (i) <= edop

flag (i) = 0;

else flag (i) = 1;

end;

end;

edop1 = [edop1; e];

result = [result; temp];

number_iter = number_iter + 1;

end;

t2 = clock;

number_oper = flops;

time = etime (t2, t1);

res = result ';

v = size (res);

fprintf ('total', '\ nРезультати ітераційного процесу, реалізованого першим способом \ n');

for i = 1: size_system (1)

fprintf ('total', '\ nX% g дорівнює:', i);

fprintf ('total', '% g', res (i, v (2)));

end;

if exist ('x_ok') == 2

dy = abs (x_ok-res (:, v (2)));

for i = 1: size_system (1)

fprintf ('total', '\ nПогрешнось кореня Х% g дорівнює:', i);

fprintf ('total', '% g', dy (i));

end;

end;

fprintf ('total', '\ nМетод сходиться при першому способі за% g кроків', number_iter);

fprintf ('total', '\ nВремя рахунки для першого способу:% g', time);

fprintf ('total', '\ nЧісло операцій при вирішенні першим способом:% g \ n', number_oper);

iter = 0: number_iter;

m = [max (x0 '), max (res (:, v (2)))];

n = [min (x0 '), min (res (:, v (2)))];

miny = min (n); maxy = max (m);

ax = [0, number_iter, miny, maxy];

axis (ax);

for i = 1: size_system (1)

plot (iter, result (:, i));

hold on;

title ('Graph of iter. process by first metod');

end;

pause;

clg;

hold off;

for i = 1: size_system (1)

plot (iter, edop1 (:, i));

title ('Graph of E (m) by first metod');

pause;

end;

clc;

Модуль METOD2.M

result = x0 ';

temp = x0 ';

size_system = size (system_a);

flag = ones (size_system (1), 1);

edop1 = zeros (1, size_system (1));

number_iter = 0;

time = 0;

number_oper = 0;

a = system_a;

b = system_b;

% Format long;

edop = input ('Введіть похибка:');

clc;

flops (0);

t1 = clock;

while any (flag)

for i = 1: size_system (1)

temp (i) = b (i);

for ii = 1: size_system (1)

if (i ~ = ii)

temp (i) = temp (i) -a (i, ii) * result (number_iter + 1, ii);

else temp (i) = temp (i) - (a (i, ii) -1) * result (number_iter + 1, ii);

end;

end;

e (i) = abs (result (number_iter + 1, i) -temp (i));

if e (i) <= edop

flag (i) = 0;

else flag (i) = 1;

end;

end;

edop1 = [edop1; e];

result = [result; temp];

number_iter = number_iter + 1;

end;

t2 = clock;

number_oper = flops;

time = etime (t2, t1);

res = result ';

v = size (res);

fprintf ('total', '\ nРезультати ітераційного процесу, реалізованого другим способом \ n');

for i = 1: size_system (1)

fprintf ('total', '\ nX% g дорівнює:', i);

fprintf ('total', '% g', res (i, v (2)));

end;

if exist ('x_ok') == 2

dy = abs (x_ok-res (:, v (2)));

for i = 1: size_system (1)

fprintf ('total', '\ nПогрешнось кореня Х% g дорівнює:', i);

fprintf ('total', '% g', dy (i));

end;

end;

fprintf ('total', '\ nМетод сходиться при другому способі за% g кроків', number_iter);

fprintf ('total', '\ nВремя рахунки для другого способу:% g', time);

fprintf ('total', '\ nЧісло операцій при вирішенні другим способом:% g \ n', number_oper);

iter = 0: number_iter;

m = [max (x0 '), max (res (:, v (2)))];

n = [min (x0 '), min (res (:, v (2)))];

miny = (min (n)); maxy = (max (m));

ax = [0, number_iter, miny, maxy];

axis (ax);

for i = 1: size_system (1)

plot (iter, result (:, i));

hold on;

title ('Graph of iter. process by second metod');

end;

pause;

clg;

hold off;

for i = 1: size_system (1)

plot (iter, edop1 (:, i));

title ('Graph of E (m) by second metod');

pause;

end;

clc;

Один з варіантів модуля SYSTEM_A.M

function [F] = system_a ();

F = [1.02, -0.25, -0.30;

-0.41,1.13, -0.15;

-0.25, -0.14,1.21];

Один з варіантів модуля SYSTEM_B.M

function [F] = system_b ();

F = [0.515; 1.555; 2.780];

Один з варіантів модуля X0.M

function [F] = x0 ();

F = [1000; 1000; 1000];

Один з варіантів модуля X_OK.M

function [F] = x_ok ();

F = [2.0; 2.5; 3.0];

Додаток 2

Файл TOTAL результатів рішення системи (4.1) з x (0) = (1000,1000,1000)

Результати ітераційного процесу, реалізованого першим способом

X1 дорівнює: 2.00077

X2 дорівнює: 2.50077

X3 дорівнює: 3.00054

Похибка кореня Х1 дорівнює: 0.000767669

Похибка кореня Х2 дорівнює: 0.000771614

Похибка кореня Х3 дорівнює: 0.000544976

Метод сходиться при першому способі за 18 кроків

Час рахунки для першого способу: 0.05

Число операцій при вирішенні першим способом: 612

Результати ітераційного процесу, реалізованого другим способом

X1 дорівнює: 2.00037

X2 дорівнює: 2.50004

X3 дорівнює: 3.00008

Похибка кореня Х1 дорівнює: 0.000370626

Похибка кореня Х2 дорівнює: 3.92304e-005

Похибка кореня Х3 дорівнює: 7.93105e-005

Метод сходиться при другому способі за 17 кроків

Час рахунки для другого способу: 0.06

Число операцій при вирішенні другим способом: 629

Файл TOTAL результатів рішення системи (4.1) з x (0) = (1,1,1)

Результати ітераційного процесу, реалізованого першим способом

X1 дорівнює: 1.99939

X2 дорівнює: 2.49937

X3 дорівнює: 2.99956

Похибка кореня Х1 дорівнює: 0.000609367

Похибка кореня Х2 дорівнює: 0.000630859

Похибка кореня Х3 дорівнює: 0.000441667

Метод сходиться при першому способі за 10 кроків

Час рахунки для першого способу: 0.06

Число операцій при вирішенні першим способом: 340

Результати ітераційного процесу, реалізованого другим способом

X1 дорівнює: 2.00002

X2 дорівнює: 2.4996

X3 дорівнює: 2.99979

Похибка кореня Х1 дорівнює: 2.32305e-005

Похибка кореня Х2 дорівнює: 0.000402933

Похибка кореня Х3 дорівнює: 0.000207955

Метод сходиться при другому способі за 10 кроків

Час рахунки для другого способу: 0.06

Число операцій при вирішенні другим способом: 370

Файл TOTAL результатів рішення системи (4.2) з x (0) = (-270, -503,1260, -653)

Результати ітераційного процесу, реалізованого першим способом

X1 дорівнює: -271.808

X2 дорівнює: -505.362

X3 дорівнює: 1269.24

X4 дорівнює: -656.953

Метод сходиться при першому способі за 79 кроків

Час рахунки для першого способу: 0.55

Число операцій при вирішенні першим способом: 4819

Результати ітераційного процесу, реалізованого другим способом

X1 дорівнює: -271.82

X2 дорівнює: -505.348

X3 дорівнює: 1269.24

X4 дорівнює: -656.941

Метод сходиться при другому способі за 72 кроків

Час рахунки для другого способу: 0.55

Число операцій при вирішенні другим способом: 4392

Файл TOTAL результатів рішення системи (4.2) з x (0) = (0,10,20,30)

Результати ітераційного процесу, реалізованого першим способом

X1 дорівнює: -271.809

X2 дорівнює: -505.362

X3 дорівнює: 1269.24

X4 дорівнює: -656.954

Метод сходиться при першому способі за 122 кроків

Час рахунки для першого способу: 0.93

Число операцій при вирішенні першим способом: 7442

Результати ітераційного процесу, реалізованого другим способом

X1 дорівнює: -271.821

X2 дорівнює: -505.348

X3 дорівнює: 1269.24

X4 дорівнює: -656.94

Метод сходиться при другому способі за 153 кроків

Час рахунки для другого способу: 1.32

Число операцій при вирішенні другим способом: 9333

Додаток 3

Графік ітераційного процесу на прикладі рішення системи (4.1) з x (0) = (1000,1000,1000) програмою METOD1

Графік ітераційного процесу на прикладі рішення системи (4.1) з x (0) = (1000,1000,1000) програмою METOD2

Графік ітераційного процесу на прикладі рішення системи (4.1)

з x (0) = (1,1,1) програмою METOD1

Графік ітераційного процесу на прикладі рішення системи (4.1) з x (0) = (1,1,1) програмою METOD2

Графік ітераційного процесу на прикладі рішення системи (4.2)

з x (0) = (0,10,20,30) програмою METOD1

Графік ітераційного процесу на прикладі рішення системи (4.2) з x (0) = (0,10,20,30) програмою METOD2

Графік ітераційного процесу на прикладі рішення системи (4.2)

з x (0) = (- 270, -503,1260, -653) програмою METOD1

Графік ітераційного процесу на прикладі рішення системи (4.2) з x (0) = (-270, -503,1260, -653) програмою METOD2

Графіки залежностей похибок рішень системи (4.1) від кроку ітерації при використанні програми METOD1.M і при x (0

) = (1000,1000,1000)

Графіки залежностей похибок рішень системи (4.1) від кроку ітерації при використанні програми METOD2.M і при x (0) = (1000,1000,1000)

Графіки залежностей похибок рішень системи (4.1) від кроку ітерації при використанні програми METOD1.M і при x (0

) = (1,1,1)

Графіки залежностей похибок рішень системи (4.1) від кроку ітерації при використанні програми METOD2.M і при x (0) = (1,1,1)

Графіки залежностей похибок рішень системи (4.2) від кроку ітерації при використанні програми METOD1.M і при x (0) = (-

270, -503,1260, -653)

Графіки залежностей похибок рішень системи (4.2) від кроку ітерації при використанні програми METOD2.M і при x (0) = (- 270, -503,1260, -653)

Графіки залежностей похибок рішень системи (4.2) від кроку ітерації при використанні програми METOD1.M і при x (0

) = (0,10,20,30)

Графіки залежностей похибок рішень системи (4.2) від кроку ітерації при використанні програми METOD2.M і при x (0) = (0,10,20,30)

Список літератури

1. Копченова Н.В., Марон І.А. Обчислювальна математика в прикладах і задачах.- М .: Наука, 1972

2. Крилов В.І., Бобков В.В., Монастирський П.І. Обчислювальні методи.- М .: Наука, 1976

3. Саричева О.М. Чисельні методи в економіке.- Новосибірськ, 1995

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка