трусики женские украина

На головну

 Інтегрування та диференціювання інтегралів, залежних від параметра - Математика

Федеральне агентство з освіти

Державна освітня установа вищої професійної освіти

Пермський державний педагогічний університет

Кафедра математичного аналізу

Курсова робота

Інтегрування та диференціювання інтегралів, залежних від параметра

Перм 2010

Зміст

Введення

1. Регулярність інтегралів, залежних від параметра

2. Інтеграл коші на кривій

3. Інтеграл коші на області

3.1 Аналітична залежність від параметра

3.2 Існування похідних всіх порядків у аналітичної функції

3.3 Висновок формули Коші

3.2 Наслідки з формули Коші

Висновок

Список літератури

Введення

Поняття «інтеграл» безпосередньо пов'язане з інтегральним обчисленням - розділом математики, які займаються вивченням інтегралів, їх властивостей і методів обчислення. Разом з диференціальним численням інтегральне числення становить основу математичного аналізу.

Оскільки метою мого минулого курсової роботи було вивчення деяких аспектів теми, таких як інтегрування та диференціювання інтегралів, залежних від параметра.

Мета даної курсової роботи є вивчення нових аспектів за темою «інтеграли, залежні від параметрів» і накопичення матеріалів для наступних робіт з даної тематики.

У цій роботі я розглянув інтеграли Коші по крівойі інтеграли Коші по площині, також була розглянута аналітична функція, аналітична залежність від параметра.

Для досягнення мети необхідно вирішити такі завдання:

· Знайти і вивчити літературу з даної теми

· Накопичити та систематизувати отриману інформацію по темі

· Вивчити основні поняття.

Об'єктом дослідження є різні види інтегралів залежних від параметра в курсі ВНЗ.

У роботі використані такі методи дослідження:

1. Аналіз наукової літератури за темою «інтеграли, залежні від параметрів»

2. Синтез отриманих знань

3. Узагальнення отриманих знань

Робота налічує 26 сторінки, складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, бібліографічного списку використаної літератури і містить 10 найменувань, допоміжні покажчики, а також містить 2 ілюстрації.

1. Регулярність інтегралів, залежних від параметра

Розглянемо інтеграл

. (1)

Теорема 1. [7, c. 111] Хай виконані умови:

1) - кінцева кусочно-гладка крива;

2) функціянепреривна ПОПР, де- область в комплексній площині;

3) при кожному фіксірованномфункціярегулярна пов області.

Тоді інтеграл (1) є регулярна в областіфункція.

Доказ. В силу умов 1, 2 функціянепреривна в області. Візьмемо довільну точкуі побудуємо коло, яке містить точкуі лежить всередині. Застосуємо теорему Морера. Пусть- замкнута крива, що в колі. Тоді

, (2)

так як порядок інтегрування можна переставити, а інтеграл поравівшейся нулю (інтегральна теорема Коші). За теоремою Морера функціярегулярна в колі; отже, регулярна в області.

Слідство 1. Пусть- необмежена кусочно-гладка крива, нехай виконані умови 2, 3 і така умова:

4) інтеграл (1) сходиться рівномірно по, де- будь-яка замкнута подобласть області.

Тоді функціярегулярна в області.

Наслідок 2. Нехай умови 1, 3 виконані, але функціяможет має особливості в кінцях кривої. Якщо функціянепреривна ПОПР, не належить кінцями виконана умова 4, то функціярегулярна в області.

Доказ наслідків 1 і 2 проводиться точно також, як і в теоремі 1; інтеграли в (2) можна переставляти в силу рівномірної збіжності інтеграла (1).

Теорема 2. [7, c.112] Нехай виконані умови теореми 1. Тоді

. (3)

Доказ. Пусть- коло, що лежить в областіі- його межа. Тоді пріімеем

Перестановка порядку інтегрування можлива в силу безперервності підінтегральної функції і кінцівки кривих.

Зауваження. Теорема 2 залишається в силі, якщо виконані умови слідства 1 або 2, і інтеграл (3) сходиться рівномірно по, де- будь-яка замкнута подобласть області.Аналітіческіе властивості інтегральних перетворень.

Найбільш уживаними в математичній фізиці інтегральними перетвореннями є перетворення Лапласа, Фур'є і Меллінген.

Нехай функціяопределена на півосі. Її перетворенням Лапласа називається функція

. (4)

Теорема 3. [7, c.113] Нехай функціянепреривна пріі задовольняє оцінці

(5)

Тоді її перетворення Лапласаесть функція, регулярна в півплощині.

Доказ. Скористаємося наслідком 1 з теореми 1. Умови 2, 3 теореми 1 виконані. Нехай. Тоді

.

Так каксходітся, то за ознакою Вейєрштрасса інтеграл (4) сходиться рівномірно ПОПР функціярегулярна в цій півплощині. В силу проізвольностіфункціярегулярна прі.

Перетворенням Фур'є функцііопределенной на дійсній осі, називається функція

(6)

Теорема 4. [7, c.113] Нехай функціянепреривна пріі задовольняє оцінками

, (7)

де. Тоді її перетворення Фурьеесть функція, регулярна в смузі.

Доказ. Розіб'ємо інтеграл (6) на два інтеграла:

.

В силу умови (7) і теореми 3 функціярегулярна в півплощині, а функція-у півплощині, що і доводить теорему.

Зокрема, якщо функціяфінітна, т.е.прі, і неперервна при, то її перетворення Фур'є є цілою функцією. Це випливає з теореми 1, оскільки в цьому випадку

.

Перетворенням Меллина функції, визначеної на півосі, називається функція

(8)

Тут.

Теорема 5. [7, c.114] Нехай функціянепреривна пріі задовольняє оцінками:

, (9)

де. Тоді її перетворення Мелліна є функцією, регулярної в смузі.

Доказ. Розіб'ємо інтеграл (8) на два інтеграла

.

Нехай, і; тоді

.

Так каксходітся при, то, за ознакою Вейєрштрасса, інтегралсходітся рівномірно ПОПР. В силу слідства 2 функціярегулярна в півплощині.

Далі, при, іімеем

З збіжності інтегралаі слідства 1 випливає, що функціярегулярна в півплощині.

Перетворення Фур'є і Мелліна пов'язані наступним співвідношенням:

, (10)

де- перетворення Мелліна, а- перетворення Фур'є функції. Дійсно, роблячи заміну змінної, отримуємо

(Ми припускаємо, що всі інтеграли сходяться). Останній інтеграл збігається з правою частиною формули (10).

Зокрема, за допомогою співвідношення (10) можна вивести теорему 5 з теореми 4.

2. Інтеграл коші на кривій

(11)

Інтеграл називається інтегралом типу Коші. Досліджуємо його аналітичні властивості в припущенні, що функціянепреривна на кривій.

1. Пусть- кінцева крива. Тоді додаток ксостоіт з кінцевого або нескінченного числа областей. У кожній з цих областей інтеграл типу Коші є регулярною функцією в силу теореми 1. Однак ці регулярні функції, взагалі кажучи, різні, тобто не є аналітичними продовженнями один одного. Наприклад,

Покажемо, що функція, представлена ??інтегралом (11) регулярна в нескінченно віддаленій точці. Роблячи заменуі вважаючи, отримуємо

.

Так як- кінцева крива, то знаменательпрі досить малих функціярегулярна в точці силу теореми 1.

2. Пусть- нескінченна крива. Обмежимося, для простоти випадком, коли-речова вісь; тоді

(12)

Нехай функціяудовлетворяет оцінці

(13)

Покажемо, що тоді формула (12) визначає дві функції, які регулярні в півплощинах, відповідно. Скористаємося наслідком 1. Розглянемо випадок. Пустьлежіт в півсмузі :, де ,. При вещественнихі пріімеем, якщо. Отже,

Оскільки інтегралсходітся, то за ознакою Вейєрштрасса інтегралсходітся рівномірно по. В силу слідства 1 функціярегулярна при; так какможно вибрати як завгодно великим, а- як завгодно малим, то інтеграл (12) являє функцію, регулярну у верхній півплощині. Аналогічно доводиться, що інтеграл (12) являє функцію, регулярну в нижній півплощині.

Приклад 1. [7, c.119] Нехай функціянепреривна на півосі задовольняє оцінці. Тоді інтеграл типу Коші представляє функцію, регулярну в площині з розрізом по півосі.

3. Якщо функціярегулярная на контурі інтегрування, то інтеграл типу Коші допускає аналітичне продовження через точки контуру. Прийом, який при цьому використовується, полягає в тому, що ми зрушуємо контур інтегрування.

Приклад 2. [7, c.119] Нехай

.

Функціярегулярна в колі. Покажемо, що функціюможно аналітично продовжити на всю комплексну площину. Покладемо при

.

Функціярегулярна в колі. Покажемо, що

.

тим самим наше твердження буде доведено. Підінтегральна функціярегулярна в кільці, якщо, так як функціярегулярна при всіх.

Отже, в силу інтегральної теореми Коші інтеграли по окружностяміот функцііравни Причт й потрібно було довести.

Цей приклад допускає наступне узагальнення. Розглянемо інтегралтіпа коші (11), де- проста замкнута крива. Тоді цей інтеграл визначає функцію, регулярну в області, що лежить всередині.

Нехай функціярегулярна в замкнутій області, обмеженої крівиміі, де- проста замкнута крива, ілежіт всередині. Тоді формула

дає аналітичне продовження функції область, що лежить всередині. Дійсно, функціярегулярна в області, якщо, так що в силу інтегральної теореми Коші

.

Інтеграл в лівій частині цієї формули задає функцію, регулярну в, а інтеграл у правій частині дорівнює. Отже ,, і наше твердження доведено.

Аналогічний метод можна застосовувати до інтегралів виду (12).

Теорема 6. [7, c.120] Нехай функціярегулярна в смузі задовольняє умові

.

Тоді інтеграл (2) допускає аналітичне продовження у півплощині це продолженіедается формулою

3. Інтеграл коші на області 3.1 Аналітична залежність від параметра

Аналітична залежність від параметра. Розглядаючи інтеграл Коші, ми бачимо, що подинтегральная функція залежить від двох комплексних змінних: змінної інтегрірованіяі фіксованого значення змінної. Тим самим інтеграл Коші є інтегралом, залежних від параметра. Природно поставити питання про загальні властивості інтегралів по комплексної змінної, що залежать від параметра.

Нехай задана функція двох комплексних змінних, однозначно визначена для значень комплексної переменнойіз області для значення комплексної змінної, що належать деякій кусково-гладкою кривою С. Взаємне розташування області крівойможет бути абсолютно довільно. Нехай функція двох комплексних переменнихудовлетворяют таким умовам:

a) Функціяпрі будь-якому значенііявляется аналітичної функціейв області.

b) функціяй її проізводнаяявляются безперервними функціями за сукупністю переменнихпрі довільної зміни областііна кривої;

Умова () означає, що дійсна і уявна частини функціінепреривни за сукупністю змінних.

Очевидно, що при зроблених припущеннях інтеграл від функцііпо крівойсуществует При будь-якому є функцією комплексної змінної

(14)

Природно поставити питання про властивості функції. Виявляється, що при зроблених припущеннях щодо функцііфункціяявляется аналітичною функцією комплексної переменнойв області, причому похідну функцііможно обчислювати за допомогою диференціювання під знаком інтеграла.

Для того щоб довести це твердження, розглянемо криволінійний інтеграл

.

Так як, за припущенням, функціііобладают приватними похідними пої, безперервними за сукупністю змінних, то приватні похідні функцііпо змінним, існують і їх можна обчислити за допомогою диференціювання під знаком інтеграла (14):

Самі функціііявляются безперервними функціями змінних, в області. На підставі аналогічних властивостей функциии використовуючи умови Коші-Рімана для функції, отримаємо

(15)

Таким чином, длявиполнени умови Коші-Рімана (приватні похідні функцііінепреривни і зв'язані співвідношеннями (15)), що і доводить аналітічностьв області.

Зауважимо, що

(16)

Звідси випливає можливість обчислення похідною від інтеграла шляхом диференціювання підінтегральної функції по параметру. При цьому, есліудовлетворяет тим же умовам () і (), що і, тотакже є аналітичною функцією в області. 3.2 Існування похідних всіх порядків у аналітичної функції

Розглянуте властивість інтегралів, залежних від параметра, дозволяє встановити важливі характеристики аналітичних функцій. Як ми бачили, значення функції, аналітичної в деякій області, обмеженої контуром, і безперервної в замкнутій області, у внутрішніх точках цієї області миє бути виражене через граничні значення за допомогою інтеграла Коші:

. (17)

Розглянемо в областінекоторую замкнуту подобласть, відстань усіх точок якої від граніциобластібольше деякого позитивного числа. Функція

є аналітичною функціейв областіпрічем її приватна проізводнаяв цій галузі є безперервною функцією своїх аргументів. Тим самим в силу загальних властивостей інтегралів, залежних від параметра, у внутрішніх точках областіпроізводнаяможет бути представлена ??у вигляді

(18)

Інтеграл (18) є інтегралом, що залежать від параметра, причому його подинтегральная функція має ті ж властивості, що й подинтегральная функція інтеграла (17). Отже, є аналітичною функціейв областіпрічем для її похідної справедлива формула

. (19)

Так як для будь-якої внутрішньої точкіобластіможет бути побудована відповідна замкнута подобластьто формули (18) і (19) справедливі в будь-якій точці. Має місце і більш загальна теорема.

Теорема 7. [6, c.58] Нехай функціяявляется аналітичної в області безперервної в замкнутій області. Тоді у внутрішніх точках областісуществует похідна будь-якого порядку функції, причому для неї має місце формула

(20)

Для доказу цієї теореми достатньо повторити попередні міркування відповідне число разів. Отже, якщо функціяявляется аналітичною функцією в області, то в цій області функціяобладает безперервними похідними всіх порядків. Ця властивість аналітичної функції комплексної змінної істотно відрізняє її від функції дійсної змінної, що має безперервну першу похідну в деякій області. В останньому випадку з існування першої похідної, взагалі кажучи, не слід існування вищих похідних.

Розглянемо ряд важливих наслідків встановленого якості аналітичної функції комплексної змінної.

Теорема 8 (Морера). [6, c.59] Нехай функціяявляется безперервної в однозв'язної області інтеграл відпоїли будь-якому замкнутому контуру, цілком належить, дорівнює нулю. Тогдаявляется аналітичною функцією в області.

Доказ. Було доведено, що за умов теореми функція

,

де, - довільні точки області, а інтеграл береться за будь-якого шляху, що з'єднує ці точки в області, є аналітичною в цій області функцією, причому. Але, як тільки що було встановлено, похідна аналітичної функції також є аналітичною функцією, т. Е. Існує безперервна похідна функції, а саме функція, що і доводить теорему.

Відзначимо, що теорема 1.10 є в певному сенсі зворотної стосовно теоремі Коші. Її легко узагальнити і на багатозв'язкові області.

Теорема 9 (Ліувілля). [6, c.59] Нехай на всій комплексній площині функціяявляется аналітичної, а її модуль рівномірно обмежений. Тоді ця функціятождественно дорівнює постійною.

Доказ. Запишемо значення проізводнойв довільній точкепо формулою (18):

,

причому будемо вести по колу деякого радіусас центром в точці. т.е .. За умовою теореми існує така константа, чтонезавісімо від. Тому

.

Так як радіусможно вибрати як завгодно великим, ане залежить від, то. В силу довільності вибору точкізаключаем, чтона всій комплексній площині. Звідси випливає, что.3.3 Висновок формули Коші

Нехай функціяявляется аналітичної в однозв'язної області, обмеженої контуром. Візьмемо довільну внутрішню точкуі побудуємо замкнутий контур, цілком лежить ві містить точкувнутрі себе. Розглянемо допоміжну функцію

(21)

Функція, очевидно, є аналітичною функцією усюди в області, за винятком точки. Тому, якщо ми в областівозьмем такий замкнутий контур, що лежить всередині, щоб точкапопала всередину області, обмеженої контуром, то функціябудет аналітичної в двохзв'язной області, укладеної між контураміі. Згідно з теоремою Коші інтеграл від функцііпо крівойравен нулю:

Змінивши напрям інтегрування в другому інтегралі, це рівність можна переписати у вигляді

(22)

Оскільки інтеграл, що стоїть ліворуч, не залежить від вибору контурато цим властивістю володіє і інтеграл, що стоїть праворуч. Для подальших розглядів зручно в якості контуру інтегрірованіявибрать окружностьнекоторого радіусас центром в точці (Рис. 1). Поклавши, маємо.

Останній інтеграл перетворимо наступним чином:

(23)

Устремим теперьк нулю. Так як- аналітична, а отже, безперервна функція в області, то для будь-якого позитивного чісламожно вказати таке значення, чтодля. Звідси випливає, що прісуществует межа

Так як у формулі (23) останній доданок не залежить отто

, А следовательноі згідно (22)

(24)

Інтеграл, що стоїть в правій частині, виражає значення аналітичної функції деяких точкечерез її значення на будь-якому контурі, що лежить в області аналітичності функциии містить точкувнутрі. Цей інтеграл і називається інтегралом Коші. Формула (24) часто називається формулою Коші.

Зауваження 1. У формулі (24) інтегрування проводиться по замкнутому контуру, цілком лежить в області аналітичності функциии містить усередині точку. При додатковому умовах безперервного замкнутої областіаналогічная формула має місце в силу теореми 6 (стор. 56) і при інтегруванні по граніцеобласті.

Зауваження 2. Проведені розгляду залишаються справедливими і у випадку многосвязной області. При цьому для виведення основної формули (24) слід розглядати такий замкнутий контур, який може бути стягнутий до точки, весь час залишаючись в області. Тоді легко показати, що за умови безперервності функції замкнутої областіс кусочно-гладкою межею формула (24) залишається справедливою при інтегруванні в позитивному напрямку по повній граніцеданной многосвязной області.3.2 Наслідки з формули Коші

Зробимо ряд зауважень з приводу формули (24).

1. Інтеграл відапо замкнутому контуруцеліком який лежить в областіаналітічності функції, має сенс для будь-якого положення точкіна комплексній площині за умови, що ця точка не лежить на контурі. При цьому, якщо точкалежіт всередині, то значення інтеграла одно; якщо точкалежіт поза, значення інтеграла дорівнює нулю, оскільки в цьому випадку подинтегральная функція є аналітичною всюди всередині. Отже,

(25)

Пріінтегралв звичайному сенсі не існує, однак при додаткових вимогах на поведінку функцііна контуреетому інтегралу може бути надано певний сенс. Так, якщо функціяудовлетворяет на контуреусловію Гельдера *

то існує головне значення по Коші інтеграла

гдепредставляет собою частину контура, що лежить поза колом. При цьому

2. Пусть- аналітична функція в однозв'язної областіі- деяка внутрішня точка цієї області. Опишемо з цієї точки як з центру коло радіуса, цілком лежить в області. Тоді за формулою Коші отримаємо

Але на колі, тому

(26)

Або

(27)

Ця формула носить назву формули середнього значення і висловлює значення аналітичної функції в центрі кола як середнє з її граничних значень.

3. Принцип максимуму модуля аналітичної функції. Нехай функціяявляется аналітичної в області безперервної в замкнутій області. Тоді або, або максимальні значеніядостігаются тільки на кордоні області.

Дійсна функція двох дійсних змінних

за умовою є безперервною в замкнутій області. Тому вона досягає свого максимального значеніяв якої-небудь точкеданной області. Тобто

(28)

Припустимо, що точка- внутрішня точка області. Побудуємо в областікругнекоторого радіусас центром в точці запишемо формулу середнього значення дляі.

Враховуючи формулу (28), отримаємо

.

Отже,

(29)

З цього співвідношення в силу безперервності функцііна контурі інтегрування і нерівності (28) випливає, що

. (30)

Дійсно, по (28) функціяне може бути великими в одній точці контуру інтегрування. Якщо ми припустимо, що в якій-небудь точкеконтура інтегрування функціястрого менше, то з непреривностіследует, чтострого менше в деякій околиці точки, т. Е. Можна вказати отрезокінтегрірованія, на якому

.

Тоді

що суперечить (29). Отже, співвідношення (30) дійсно має місце. Це означає, що на колі радіусас центром в точкефункціяімеет постійне значення, рівне свого максимального значення в області. Те ж матиме місце і на будь окружності меншого

радіуса з центром в точці, а отже, і в усьому колі. Тепер легко показати, що це ж значення функціяімеет і в будь-який інший внутрішньої точкеобласті. Для цього з'єднаємо точкіікрівой, цілком лежить в області віддаленої від її кордони не менше ніж на деяке позитивне число. Візьмемо точку, яка є останньою спільною точкою крівойі кола (Рис. 2). Оскільки, то, повторюючи проведені вище міркування, покажемо, що всередині кругас центром в точкерадіусамодуль функцііпрінімает постійне значення, рівне максимальному значенню. Взявши на крівойточку, що є останньою спільною точкою крівойі кола, і продовжуючи даний процес, ми в результаті кінцевого числа кроків одержимо, що всередині кола, якому належить точка, має місце рівність, що і доводить висловлене твердження.

Отже, ми показали, що приймаємо максимальне значення деяких внутрішній точці області, тово усієї області.

Таким чином, якщо функціяне є постійною величиною в області, то вона не може досягати свого максимального значення у внутрішніх точках. Але так як функція, безперервна в замкнутій області, досягає свого максимального значення в будь-якій точці цієї області, то в останньому випадку функціядолжна досягати свого максимального значення в граничних точках.

В якості останнього зауваження відзначимо, що якщо аналітична в областіфункціяне дорівнює нулю в жодній точці цієї області і неперервна в, то має місце принцип мінімуму модуля цієї функції. Для доказу цього твердження досить розглянути функціюі скористатися принципом максимуму модуля цієї функції.

Висновок

Дана робота присвячена темі «Теорія і рішення інтегралів залежних від параметра».

В ході роботи були виконані наступні завдання

1. Була підібрана і вивчена література по темі «інтеграли, залежні від параметрів»;

2. були вивчені інтеграли Коші;

3. була розглянута аналітична функція.

У дипломній роботі буде узагальнено весь теоретичний матеріал зібраний і вивчений раніше.

інтеграл крива перетворення формула

Список літератури

1) Берман Г.Н. Збірник задач з курсу математичного аналізу: учеб.-практ. Посібник / Г.М. Берман. - СПб .: Професія, 2001.

2) Зорич, В.А. Математичний аналіз: у 2 т. / В.А. Зорич. - М .: Наука, 1984.

3) Колмогоров, А. Н., Фомін, С.В. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу / О.М. Колмогоров, С.В. Фомін. - М .: Наука, 1976.

4) Ляшко, І. І. Боярчук, А. К. Гай, Я. Г. Головач, Г. П. Математичний аналіз: у 3 т. Т. 3.Кратние і криволінійні інтеграли / І.І Ляшко, А.К . Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач. - М .: Едиториал УРСС, 2001.

5) Нікольський, С.М. Математичний аналіз: у 2 т. / С.М. Нікольський. - М .: Наука, 1973.

6) Свєшнікова, А. Г., Тихонов, А.Н. Курс вищої математики та Математичної фізики / А. Г. Свєшнікова, А.Н.Тихонов. - М .: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

7) Сидоров, Ю.В., Федорюк, М.В., Шабунін, М.І. Лекції з теорії функції комплексного змінного / Ю.В.Сідоров, М.В. Федорюк, М.І. Шабунін. - М .: Наука, 1989.

8) Соболєв, В. І. Лекції з додаткових розділів математичного аналізу / В.І. Соболєв. - М .: Наука, 1968.

9) Фіхтенгольц, Г.М. Курс диференціального й інтегрального числення / Г.М. Фіхтенгольц. - М.: Физматгиз, 1962.

10) Шерстнєв, А. Н. Конспект лекцій з математичного аналізу / О.М. Шерстнєв. - М., 2003.

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка