трусики женские украина

На головну

 Інтеграційний метод Ейлера для розв'язання лінійних систем алгебраїчних рівнянь - Математика

Міністерство освіти і науки Російської Федерації

Новосибірський державний технічний університет

Кафедра економічної інформатікіКурсовая робота з дисципліни «Чисельні методи» на тему:

«Інтеграційний метод Ейлера для розв'язання лінійних систем алгебраїчних рівнянь»

Факультет: Бізнесу

Викладач: Саричева О.М.

Новосибірськ, 2010

ЗМІСТ

ВСТУП

1. Математична постановка задачі

2. ОПИС ПРОГРАМНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ

2.1 Загальні відомості

2.2 Функціональне призначення

2.3 Логічна структура

2.4 Вхідні дані

2.5 Виклик і завантаження

2.6 Вихідні дані

3. ОПИС ТЕСТОВИХ ЗАВДАНЬ

3.1 Для звичайних лінійних ОДУ

3.2 Для жорстких ОДУ

4. АНАЛІЗ РЕЗУЛЬТАТІВ. ВИСНОВКИ

ВИСНОВОК

Список використаних джерел

ДОДАТКИ

ВСТУП

Метод Ейлера для розв'язання лінійних систем алгебраїчних рівнянь є ітераційним методом, який припускає завдання досить близьких до шуканого рішення вихідних даних.

У даній роботі потрібно проаналізувати вплив кроку на помилки інтегрування і число ітерацій, а також порівняти рішення звичайних і жорстких систем. Для цього необхідно скласти програму мовою MatLAB, що реалізовує метод, і протестувати її при різних вихідних даних.

1. Математична постановка задачі

Нехай задана система ОДУ:

Чисельне інтегрування цієї системи полягає у визначенні значень x (t) на інтервалі часу від 0 до Т при заданих початкових умовах х (0). При цьому інтервал часу від 0 до Т розбивається на кроки з інтервалом Dtm = hm = (tm + 1-tm), тут m - номер кроку, m =. Чергове значення хm + 1вичісляется на підставі попередніх значень х:

xm + 1 = xm + hmF (xm, tm)

Для подальшого вирішення системи ОДУ методом Ейлера лінеарізіруем її в точці xm, tm:

Матриця, при етомсуть константи, обчислені в точці лінеаризації:

=

Вхідний сигнал при лінеаризації є відомою функцією часу і при фіксованому tmна кроці hmможет вважатися константою. Елементи матриці А міняються лише зі зміною точки лінеаризації.

Характеристики методу:

1. Точність. Формула xm + 1 = xm + hmF (xm, tm) апроксимує ряд Тейлора для функції x (tm- 1) до лінійного по h члена включно. Тому ?amiпропорціональна hm2. Можна сказати, що існує таке значення інтервалі, при якому

?

2. Стійкість. Для аналізу стійкість матрицю А призводять до діагонального вигляду: A = P?P-1. Тоді система прийме вигляд: x '= P?P-1x. Нульовий стан рівноваги сістемиасімптотіческі стійко при a <0, значить і метод Ейлера для цього рівняння, що має вигляд, також асимптотично стійкий. При a> 0 нульовий стан рівноваги системи нестійка. Отже, сістематакже нестійка.

3. Крок інтегрування. При дотриманні абсолютної або відносної стійкості:

h <2tmin,

У будь-яких випадках крок потрібно коригувати за умовами точності.

Ейлер лінійний рівняння програма інтерація

2. ОПИС ПРОГРАМНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ

У цьому розділі будуть розглянуті параметри програми і її логічна структура.

2.1 Загальні відомості

Програма написана на мові MatLAB в середовищі MatLAB 6.5. Для роботи програми необхідна наявність операційної системи Windows 95 і вище, а також наявність середовища MatLAB 6.5 (на більш пізніх версіях середовища програму не тестувалася). Програма включає в себе 4 файлів: Start.m - головний файл, необхідний для запуску програми на виконання і побудови графіка функцій і помилок, Fun.m - містить ОДУ для обчислення, FunT - функція обчислення точного рішення системи, RK1.m - містить рішення системи методом Ейлера.

2.2 Функціональне призначення

Програма призначена для вирішення систем лінійних ОДУ методом Ейлера. Висновок рішення проводиться за графіками. На них відображені залежності рішення від часу інтегрування.

2.3 Логічна структура

Роботу програми можна представити за допомогою схеми, зображеної на рис.1:

Рис. 1. Блок-схема програми

Розглянемо кожен з етапів роботи програми докладніше.

Введення вихідних даних здійснюється шляхом внесення змін до тексту програми.

Далі програма викликає RK1.m, де відбувається рішення системи методом Ейлера, слідуючи алгоритмом:

1. завдання вихідних даних, ініціалізація змінних

2. обчислення значень х, якщо обраний спосіб вирішення з перемінним кроком, то відбувається обчислення кроку і його порівняння з максимальним, який заданий спочатку

3. формування t_out, y_out, в які заносяться відповідно час інтегрування і значення х.

Далі відбувається виклик FunT, де обчислюється точне рішення системи.

Після чого відбувається побудова графіків.

2.4 Вхідні дані

В якості вхідних даних виступають:

a) лінійне ОДУ

b) крок інтегрування

c) допустима помилка апроксимації

d) початкові значення х

2.5 Виклик і завантаження

Виклик програми відбувається через середовище MatLAB. Для цього треба вказати директорію доступу до файлів програми і ввести в командний рядок ім'я головного файлу - start.m. Програма займає 1.5 КБ місця жорсткого диска (початковий час інтегрування). При обчисленні результату і побудові графіків використовується незначний обсяг пам'яті.

2.6 Вихідні дані

Вихідна інформація представляється в графічному вигляді. Значення всіх змінних можна переглянути через середу MatLAB.

3. ОПИС ТЕСТОВИХ ЗАВДАНЬ

В ході тестування програм, що реалізують метод Ейлера для звичайних і жорстких лінійних ОДУ, досліджувався вплив кроку інтегрування на помилку апроксимації і число ітерацій. Для цього дослідження вводилися різні значення.

3.2 Для звичайних лінійних ОДУ

Програма тестувалася на системі:

 Величина кроку Помилка апроксимації число ітерацій

 0,1 0,0099 256

 0,01 0,01 1932

 0,001 0,0073 358

 0,0001 0,01 2569

 0,00001 0,0015 1

При вирішенні цієї ж системи c змінним кроком число ітерацій зросла до 2530, при цьому помилка апроксимації склала 0,0099.

3.3 Для жорстких ОДУ

Програма тестувалася на системі:

Число ітерацій при вирішенні системи склало 2016, помилка апроксимації дорівнює 0,01.

 Величина кроку Помилка апроксимації число ітерацій

 0,1 0,0091 157

 0,01 0,01 1169

 0,001 0,01 7129

 0,0001 0,01 25258

 0,00001 0,0012 1

У Додатку 2 міститися графіки ітерацій для кроку 0,01 і 0,001 для звичайних систем і для кроку 0,01 - для жорстких.

4. АНАЛІЗ РЕЗУЛЬТАТІВ. ВИСНОВКИ

Провівши аналіз результатів тестування, можна сказати, що найбільш ефективна програма при кроці інтегрування рівному 0,00001, оскільки саме тоді помилка апроксимації мінімальна і число ітерацій дорівнює 1.

Видно, що чим менше помилка апроксимації, тим менше ітерацій потрібно для вирішення.

При кроці 0,00001 на графіки були у вигляді прямих, що можна списати на округлення значень при обчисленні.

Виходячи з графіків, також можна сказати, що рішення збігаються, однак, при заданому максимумі итерационного кроку кількість ітерацій в цьому методі значно перевищує кількість ітерацій при тому ж кроці в методі з постійним кроком, практично не впливаючи при цьому на помилку апроксимації.

Проаналізувавши результати вирішення жорсткої системи, можна сказати, що погана обумовленість матриці робить практично непоказовим графічне рішення, оскільки по ньому дуже складно судити про поведінку обох змінних, в силу того що на тлі однієї з них (х2) не помітна інша.

Тобто:

· Величина кроку впливає на число ітерацій

· Точність рішення залежить від величини кроку

· Рішення систем із змінним або постійним кроком, рівним максимальному кроці способу з перемінним кроком, однаково

· Жорсткість системи ускладнює аналіз результату рішення

ВИСНОВОК

У даній роботі був досліджений явний метод Ейлера для розв'язання звичайних і жорстких систем ОДУ. Було проаналізовано вплив величини кроку інтегрування на помилку апроксимації, і її вплив на число ітерацій. Для цього була написана програма (Додаток 1), що реалізує метод, і протестована при різних вихідних даних.

Список використаних джерел

1 Ортега Дж., Рейнболдт В. Ітераційні методи розв'язання нелінійних систем рівнянь з багатьма неізвестнимі.-М .: Світ, 1975.- 558 стр.

2 Самарський А.А., Гулін А.В. Чисельні методи: Учеб. Посібник для вузів.- М .: Наука, 1989.- 432 стр.

3 Саричева О.М. Чисельні методи в економіці / О.М. Саричева.- Новосибірськ, 1995.- 67 стор.

ДОДАТКИ

ДОДАТОК 1

Текст головний програми:

h = 0.01; % Крок інтегрування

t0 = 0; % Початковий час інтегрування

x0 = [0; 0];

Edop = 0.01;

[T_out, y_out] = RK1 (t0, x0, h, Edop); % Виклик RK1

ytoch = FunT (t_out); % Точне рішення

% Побудова графіка рішення методом Рунге-Кутта 1

plot (t_out, y_out);

grid;

title ('Solution for x1 and x2 by method Runge-Kutta 1');

ylabel ('x');

xlabel ('t');

Текст програми для вирішення ОДУ методом Ейлера з постійним кроком:

function [t_out, y_out] = RungeKutta1 (t0, x0, h, Edop);

% Функція рішення методом Рунге-Кутта 1

t = t0;

x = x0;

t_out = t;

y_out = x0;

E = [1; 1];

while E> Edop

K1 = Fun (t, x);

dx = h * K1;

x0 = x;

x1 = x0 + (h / 2) * Fun (t + h, x);

x1 = x1 + (h / 2) * Fun (t + h, x1);

x = x + dx;

E = abs (x1-x);

t = t + h;

t_out = [t_out, t];

y_out = [y_out, x];

end

Текст програми для вирішення ОДУ методом Ейлера зі змінним кроком:

function [t_out, y_out] = RungeKutta1 (t0, x0, h, Edop);

% Функція рішення методом Рунге-Кутта 1

t = t0;

hmax = h;

x = x0;

xmax = max (x0)

t_out = t;

y_out = x0;

E = [1; 1];

while E> Edop

K1 = Fun (t, x);

dx = h * K1;

x0 = x;

x1 = x0 + (h / 2) * Fun (t + h, x);

x1 = x1 + (h / 2) * Fun (t + h, x1);

x = x + dx;

E = abs (x1-x);

hi = (0.001 * xmax) ./ (abs (Fun (t, x)) + (0.001 * xmax) ./ hmax);

h = min (hi);

if h> hmax

hmax = h;

end

t = t + h;

t_out = [t_out, t];

y_out = [y_out, x];

end

ДОДАТОК 2

Графік функції для явного методу Ейлера для звичайної системи ОДУ з постійним кроком інтегрування 0,01:

Графік функції для явного методу Ейлера для звичайної системи ОДУ з постійним кроком інтегрування 0,001:

Графік функції для явного методу Ейлера для звичайної системи ОДУ з перемінним кроком інтегрування менше 0,01:

Графік функції для явного методу Ейлера для жорсткої системи ОДУ з постійним кроком інтегрування 0,01:

Графік функції для явного методу Ейлера для жорсткої системи ОДУ з постійним кроком інтегрування 0,001:

Графік функції для явного методу Ейлера для жорсткої системи ОДУ з перемінним кроком інтегрування менше 0,01:

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка