трусики женские украина

На головну

 Інтеграли, залежні від параметра - Математика

Міністерство освіти і науки РФ

Федеральне Агентство за освітою

ГОУ ППО «Таганрозький державний педагогічний інститут»

Курсова робота

на тему: Інтеграли, залежні від параметра

Таганрог. 2009

Введення

Математичний аналіз - загальноосвітня математична дисципліна, об'єктом вивчення якої є велика частина математики, пов'язана з поняттями функції, похідної та інтеграла. Мета дисципліни «Математичний аналіз» - ознайомлення з фундаментальними методами дослідження змінних величин за допомогою аналізу нескінченно малих, основу якого складає теорія диференціального й інтегрального числення.

Об'єктами вивчення в даній дисципліні є насамперед функції. З їх допомогою можуть бути сформульовані як закони природи, так і різноманітні процеси, що відбуваються в техніці. Звідси об'єктивна важливість математичного аналізу як вивчення функцій. 2 Інтеграли, залежні від параметра.

1.Несобственние інтеграли

Невласні інтеграли першого роду.

Нехай f: [a, + R і интегрируема за Ріманом на будь-якому відрізку [a, A] (A (а, Формальне вираження

назвемо невласних інтегралом першого роду.

Определені2.1 Невласний інтеграл першого роду назвемо сходящимся, якщо існує

У цьому випадку будемо говорити, що число I є значенням інтеграла і писати

Якщо ж зазначений межа дорівнює нескінченності або зовсім не існує, то будемо говорити, що інтеграл розходиться.

За аналогічних пропозиціях визначимо невласні інтеграли

и

Прімер.2.1. Дослідити на збіжність інтеграл

?Пустьтогда

Якщо, то існує конечнийто є інтеграл J сходиться, прічемЕслітоі тому інтеграл J розходиться. Пріінтеграл також розходиться, так какпрі

Таким чином, інтеграл J сходиться пріі розходиться при ^

Теорема 2.1 (критерій Коші) Для збіжності невласного інтеграла

Необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова Коші

(1)

Позначимо

(2)

Тоді збіжність інтеграла J означає існування кінцевого межі функцііпріа цю межу, згідно з критерієм Коші для функцій, існує в тому і тільки тому випадку, коли функція F задовольняє умові

(3)

З формули (2) в силу властивостей інтеграла випливає, що

Тому умова (3), будучи необхідним і достатнім для збіжності інтеграла J, виконується тоді і тільки тоді, коли виконується умова (1), якщо взяти ?

Якщо використовувати визначення границі функції по Гейне, то можна сформулювати

Пропозиція 2.1сходітся тоді і тільки тоді, коли

для будь-якій послідовності > + ?, послідовність інтеграловсходітся.

Визначення 2. 2. Назвемо інтегралабсолютно сходящимся, якщо сходиться інтеграл

Теорема 2.2. Еслісходітся абсолютно, то він сходиться.

Доказ. Так як інтеграл сходиться абсолютно, то за критерієм Кошівиполняется умова

Але тоді і

За будь-яких ¦

Визначення 2.3. Еслісходітся, але не сходиться абсолют-

але, то будемо називати його умовно збіжним.

Теорема 2.3 (Вейерштрасс). Нехай функції f, g: [а; + ?) > R, інтегровними за Ріманом на [а; А] при будь-якому А> а, для всехісходітся. Тогдатоже сходиться й притім абсолютно.

Доказ. Так каксходітся, то за критерієм Коші

Але тоді при А ', А "> маємо:

З отриманої оцінки, в силу критерію Комі, випливає і збіжність і абсолютна збіжність інтеграла від f (x) -

Зауваження 2.1. Нерівність формулюванні теореми може виконуватися лише для, де b> a. Це випливає з того, що завжди можна уявити

Перший інтеграл в цьому представлення не особливий, а до другого можна застосувати доведену теорему.

Приклад 2.2 Розглянемо інтеграли

Рішення. Так какасходітся, якщо р> 1 (прімер2.1) то виходили, і притому абсолютно, при р> 1. Другий інтеграл розглядається аналогічно.

Теорема 2.4 (Дирихле) Нехай функції f, g: і інтегровними за Ріманом на [а; А] при будь-якому А> а. Тогдасходітся, якщо виконані наступні дві умови:

1) обмежений на [а; + ?);

2) функція g (x) монотонно прямує до нуля при

Доказ. За першою умовою існує постійна М така, що.

За другим условіютакое, що при А> буде виконуватися нерівність. За другим же умові функцію g (x) можна вважати неотрицательной. Візьмемо застосуємо до інтегралувторую теорему про середнє значення (формулу Боннз), згідно якої найдётсятакое, що

Але тоді, оскільки

справедлива оцінка

для будь-яких А ', А ">. За критерієм Коші інтеграл сходиться.

Теорема 2.5 (Абель) Нехай функції f, g: [а; + ?) > R і інтегровними за Ріманом на [а; А] при будь-якому А> а. Тогдасходітся, якщо виконані наступні дві умови:

1) сходиться;

2) функція g (x) монотонна і обмежена на [а; + ?).

Доказ. В силу другої умови існує.

Тоді

Перший з інтегралів праворуч сходиться за ознакою Дирихле, оскільки

монотонно прямує до нуля при х > + ?, а другий сходиться в силу умови 1 доводити теореми. ¦

Зауваження 2.2 При доведенні теореми Абеля було використано очевидне властивість

невласних інтегралів: якщо сходяться інтегралиі, то сходиться і, при цьому = +

Приклад 2.3 Повернемося до розглянутих вище прикладів

Рішення. За ознакою Дирихле ці інтеграли сходяться при р> 0, оскільки за цієї умови дріб v 0, а інтегралиочевідно, обмежені.

Приклад 2.4 Розглянемо

Рішення. Цей інтеграл сходиться за ознакою Абеля. Дійсно, збіжність інтегралаустановлена ??в попередньому прикладі, а

функція arctg х монотонна і обмежена. ¦ Невласні інтеграли другого роду

Нехай функція f: (а; b] > R, необмежена в околі точки а, але интегрируема за Ріманом на [а + ?, b] при будь-якому 0 Формальне вираженіеназовём невласним інтегралом другого роду.

Визначення 2.4 Невласний інтеграл другого роду назвемо сходящимся, якщо існує

У цьому випадку будемо говорити, що число I є значенням інтеграла і писати

Якщо ж зазначений межа дорівнює нескінченності або зовсім не існує, то будемо говорити, що інтеграл розходиться. Аналогічно визначається

якщо функція f визначена на [а; b), интегрируема на [а; b-?] при будь-якому 0 Якщо ж функція f визначена на [а; b] \ {c}, а <с Приклад 2.5сходітся при р <1 і розходиться при р.

Теорема 2.6 (критерій Коші) Якщо функція f: (a; b] > R, необмежена в околі точки а, але интегрируема за Ріманом на [а + ?, b] при будь-якому Про Це твердження доводиться так само, як і аналогічне твердження для невласних інтегралів першого роду. Так само вводиться поняття абсолютної і умовної збіжності та встановлюється співвідношення між ними. Так само формулюється і доводиться ознака збіжності Вейерштраса. Інтеграли в сенсі головного значення

Визначення 2.5 Нехай функція f: R > R, интегрируема за Ріманом на будь-якому кінцевому відрізку, але невласний інтегралне існує. Тоді, якщо існує, мо він називається інтегралом в сенсі головного значення і позначається символом

(P.)

Визначення 2.6 Нехай функція f: [а; b] \ {з} > R, а <с [А; с - ?] і [с + ?; b] при будь-якому ?> 0, ноне існує. Тоді, якщо существуетто він називається інтегралом в сенсі головного значення н позначається символом (p.)

Приклад 2.6 Розглянемо

Рішення. Це - розходиться інтеграл другого роду, оскільки показник ступеня p = 1. Однак

Отже, розглянутий інтеграл існує в сенсі головного значення і

(P.)

Приклад 2.7 Розглянемо

Рішення. Цей інтеграл розходиться, так як подинтегральная функція f (х) ~.

Але

Отже, цей інтеграл існує в сенсі головного значення і (p.)

Власні інтеграли, залежні від параметра

Нехай f: [а; b] х Y > R, де [а; b] R, Y- будь безліч,

а [а; b] х Y = {(х, у): х [а; b], уY}. Припустимо, чтофункція f інтегровна за Ріманом на відрізку [а; b].

Визначення 2.7 Функцію

(2.1)

певну на безлічі Y при описаних вище умовах, будемо називати власним інтегралом, залежних від параметра. Вивчимо властивості цього інтеграла, обмежившись найпростішим випадком:

У = [с; d] R, і ввівши позначення

П [а b] х [с; d] = {(х, у): х [а; b], у [с; d]}.

Теорема 2.7 Нехай функція f неперервна на прямокутнику П. Тоді функція I (у) неперервна на відрізку [а; b].

Доказ. Функція неперервна на множині, якщо вона неперервна в кожній точці множини. Візьмемо, тому, будь [с; d] і

будь> 0 і покажемо, що знайдеться> 0 таке, що якщо у [с; d] і

, То буде виконуватися неравенствоПрямоугольнік П - компактне безліч в, тому по теоремі

Кантора функція f рівномірно неперервна на П, отже, за обраним> 0 можна вказати таке> 0, що якщо

то буде виконуватися нерівність

Покладемо х '= х "= х, у' = у, у" =. Тоді

Отримана оцінка доводить не тільки безперервність, але і рівномірну (оскільки ? не залежить від) безперервність функції I (у) на відрізку [а; b]. ¦

Теорема 2.8 Нехай функція f неперервна на прямокутнику П. Тоді функція I (у) интегрируема на відрізку [с; d] і справедливо рівність

(2.2)

Доказ. Інтегрованість I (у) випливає з попередньої теореми і теореми про інтегрованості безперервних функцій. Рівність же 2.2 випливає з теореми про зведення кратного інтеграла до повторного. для безперервної на прямокутнику П функції існує, який може бути зведений до повторного в будь-якому порядку.

Теорема 2.9 Якщо функція f неперервна і має безперервну приватну проізводнуюна прямокутнику П, то функція I (у) дифференцируема на відрізку [с; d] і справедливо рівність

(2.3)

Доказ. Так какнепреривна на П, то, використовуючи попередню теорему, для будь-якого у [с; d] можемо написати рівність

(2.4)

Спростимо ліву частину рівності 2.4 за допомогою формули Ньютона-Лейбніца.

Позначимо через J (?) внутрішній інтеграл в правій частині рівності (2.4). Тоді рівність (2.4) прийме вигляд:

(2.5)

По теоремі 2.7 J (?) - безперервна на [с; d] функція. Але тоді за теоремою про похідну інтеграла із змінною верхньою межею права частина рівності (3.5) (отже, і ліва) дифференцируема на відрізку [с; d]. З тієї ж теоремі з рівності (3.5) отримуємо:

що й потрібно. ¦ Розглянемо тепер більш загальний випадок, коли не тільки подинтегральная функція, але й межі інтегрування залежать від параметра. Отже, нехай функція f (x, у) визначена на прямокутнику П = [а; Ь] х [с; d], інтегрована по х на відрізку [а; b] для кожного у [с; d], функції а (у) і b (у) задані на відрізку [с; d] і [с; d] виконується а ? а (у) ? b (у) ? b. Розглянемо інтеграл

(2.6)

Теорема 2.10 Нехай функція f (x, у) неперервна на П, а функції а (у), b (у) безупинні на [с; d]. Тоді функція I (у), певна рівністю (2.6), неперервна на [с; d].

Доказ. Нехай y [с; d]. Покажемо, чтодля цього розіб'ємо інтеграл на три доданків, використовуючи властивість адитивності інтеграла.

(2.7)

Тут інтеграли позначені в порядку проходження. Розглянемо кожен з них окремо. Перший з інтегралів - інтеграл з постійними межами виду 2.1, його безперервність доведена в теоремі 2.7. Тому

Займемося другим інтегралом. Функція f (x, у) неперервна на П, отже, обмежена. Тому існує постійна М така, що

П.

Але тоді

А так як функція b (у) неперервна на [с; d], ТОПР, тому

Цілком аналогічно доводиться, що і

Таким чином,

що потрібно було довести.

Теорема 2.11 Нехай функція f неперервна на прямокутнику П і

має на ньому безперервну приватну похідну, а функції а (у) і

b (у) діфференцируєми на відрізку [с; d]. Тоді функція I (у), що визначається рівністю (2.6), дифференцируема на відрізку [с; d] і її похідна може бути обчислена за формулою

(2.8)

Доказ. Оскільки дифференцируемость на проміжку є дифференцируемость в кожній точці проміжку, то возьмёмна відрізку [с; d] і покажемо, що I (у) диференційована в точці, і чтопредставляется у вигляді правій частині формули (2.8). Для цього скористаємося поданням I (у) у вигляді (2.7) і покажемо, що кожний доданок

правій частині (2.7) дифференцируемого і обчислимо його похідну. Перший з інтегралів у правій частині (2.7) має постійні межі

інтегрування. Його дифференцируемость встановлена ??в теоремі 2.9.

Тому

(2.9)

Тепер доведемо дифференцируемость і обчислимо похідну другого доданка в правій частині (2.7). (Зазначимо, що.) За визначенням похідної

Так як подинтегральная функція неперервна (по х), то по властивості

певного інтеграла знайдеться с = с (у) ,, таке, що

.

Але тоді

так як перший межа існує по теоремі про трьох функціях і в силу безперервності функції f на прямокутнику П, а другий - в силу

дифференцируемости функції b (у). Отже,

. (2.10)

Цілком аналогічно доводиться, що третій доданок в (2.7) дифференцируемого і що

. (2.11)

Отже, всі три доданків у правій частині рівності (2.7) діфференцируєми в точці, значить, і функція I (у) диференційована в точці. (2.12)

Підставивши сюди значення похідних (формули (2.9), (2.10), (2.11)), одержимо уявлення (2.8) в точці. ¦

Зауваження 2.3 Умови теорем 2.7 - 2.11 є достатніми.

декларовані в теоремах властивості можуть виконуватися і при порушенні умов цих теорем. Але бути впевненим у їх виконанні при порушенні умов теорем можна. Розглянемо відповідні приклади.

Приклад 2.8 Розглянемо

Рішення. Підінтегральна функція на прямий у = х терпить розрив.

Однак, обчисливши інтеграл, переконаємося, що він представляє безперервну функцію від у на всій речовій прямий.

1. Нехай у? 0 .;

2.Пусть про <у <1. I (у) =

3.Пусть у ? 1.Нетрудно переконатися, що функція, I (у) має однакові межі

зліва і справа в точках у = 0 і у = 1, тому безперервна. Приклад 2.9 Розглянемо

Рішення. Підінтегральна функція терпить розрив у точці (0; 0), однак, обчисливши інтеграл, переконаємося, що він представляє інтегруються

на відрізку [0; 1] функцію.

невласний інтеграл параметр безперервність

тому

Проте спроба проинтегрировать по параметру під знаком інтеграла призведе до іншого результату.

¦

Приклад 2.10 Розглянемо

Рішення. Легко бачити, що інтеграл задовольняє умовам теореми 2.11 на будь-якому відрізку [с; d]. Знайдемо похідну I '(y), використовуючи формулу 2.8.

Невласні інтеграли, залежні від параметра

Нехай Y - довільна безліч, f: [а; + ?) х Y > R. Припустимо, що для кожного усходітся.

Тоді на безлічі

Y визначена функція

(2.13)

яку будемо називати невласним інтегралом першого роду, залежним від параметра.

Рівномірна збіжність

Поняття рівномірної збіжності для невласних інтегралів, залежних від параметра, настільки ж важливо, як і для функціональних рядів.

Визначення 2.8 Будемо говорити, що інтеграл (2.13) сходиться рівномірно на безлічі Y, якщо його залишок рівномірно прагне до нуля на цій множині, тобто, еслітакое, чтовиполняется нерівність

(2.14)

Теорема 2.12 (критерій Коші) для того, щоб інтеграл (2.13) сходився рівномірно на безлічі Y, необхідно і достатньо виконання наступної умови (умова Коші) :, залежне

тільки від, таке, щобуде виконуватися нерівність

(2.15)

Доказ. Нехай інтеграл (2.13) сходиться рівномірно на безлічі Y. Тоді, взявши будь> 0, подберемтак, щоб для

будь-яких А> Аі увиполнялось нерівність.

Візьмемо Люби будь у. Тоді

і необхідність доведена.

Навпаки, якщо виконана умова (2.15), то воно виконано для будь-якого фіксованого у. Але тоді за теоремою 2.1 для будь-якого фіксованого уінтеграл (2.13) сходиться, тобто, для кожного усуществуетПоетому, поклавши в (2.15) і спрямувавши А "до + ?, одержимо для будь-якого у

що означає рівномірну на Y збіжність інтеграла (2.13).

Теорема 2.13 (Вейерштрасс) Нехай f: [a, + ?) > R і для будь-яких

А (> а) і уфункція f інтегровна за Ріманом на відрізку [а; A].

Нехай g: [а; + ?) > R, для всіх х [а; + ?), увиполняется неравенствоісходітся. Тоді інтеграл (2.13) сходиться рівномірно (і абсолютно) на безлічі Y.

Доказ. За критерієм Коші для невласних інтегралів першого роду (див. 2.1) для будь-якого> 0 найдётсятакое, що для любихбудет виконуватися неравенствоНо тоді для будь-якого у, для любихімеем:

Залишається застосувати теорему 2.12. .

Приклад 2.11 Розглянемо

Рішення. Цей інтеграл сходиться рівномірно на R, оскільки має місце

Оценкаасходітся. ¦

Теорема 2.14 (Дирихле) Нехай функції f, g: [а; + ?) х Y > R і

інтегровними за Ріманом на [а; А] при будь-яких А> а й у.

Тогдасходітся рівномірно на Y, якщо виконані такі дві умови:

1) рівномірно обмежений на [а; + ?), тобто, існує постійна М така, що для будь-яких А> а й у

2) функція у (х, у) монотонно по х при кожному уі рівномірно по спрямуємося до нуля при х > + ?.

Доказ. Доказ цієї теореми таке ж, як і доказ теореми 2.4, потрібно лише простежити, щоб всі оцінки виконувалися рівномірно по параметру. За першою умовою існує постійна М така, що для всіх

A> а і уімеет місце оцінка:

(2.16)

За другим умові для будь-якого> 0 знайдеться (> а) таке, що

для будь-яких А> і увиполнено

(2.17)

Візьмемо застосуємо до інтегралувторую теорему про середнє значення (тільки на цей раз в загальному вигляді, оскільки невідомий знак g (х, у)), згідно якої знайдеться А = А (у), А [А ', А "], таке, що

(2.18)

Оцінимо (2.18) за допомогою (2.16) і (2.17).

для будь-якого у з безлічі Y. Використовуючи критерій Коші, отримуємо необхідну твердження. ¦

Теорема 2.15 (Абель) Нехай функції f, g: [а; + ?) х Y > R і

інтегровними за Ріманом на [а; А] при будь-яких А> а й у. Тогдасходімся рівномірно на Y, якщо виконані такі дві умови:

1) сходимося рівномірно на безлічі Y;

2) функція g (х, у) монотонна по х при кожному уі рівномірно

по уогранічена, тобто, існує постійна М така, що

для всіх х [а; + ?) і у.

Приклад 2.12 Розглянемо, де b> 0 постійна, а параметр а задовольняє умові

Рішення. Покладемо f (x, a) = sinax, g (x, a) Тоді

при х > + ?, і це умова (зважаючи незалежності функції g від а) виконано рівномірно по а. Так як обидві умови ознаки Діріхле виконані, то розглянутий інтеграл сходиться рівномірно в зазначеній галузі.

Приклад 2.13 Розглянемо (a?0)

Рішення. Покладемо f (x, а) =, g (х, а) =. Так як

сходиться рівномірно по а (через його відсутність) за ознакою Дирихле, а функція, очевидно, монотонна по х і при х ? 0, у ?0 обмежена, то розглянутий інтеграл сходиться рівномірно в зазначеній галузі за ознакою Абеля. 2.4 Властивості невласних інтегралів, залежних від параметра.

Вивчимо властивості невласних інтегралів першого роду, що залежать від параметра, обмежившись найпростішим випадком: безліч Y є відрізок [с; d] речовій осі. Введемо позначення

і доведемо попередньо наступну лему.

Лемма 2.1 Якщо інтеграл (2.13) сходиться рівномірно на безлічі Y

то послідовність функцій

, () (2.19)

теж рівномірно сходиться на безлічі Y до функції I (y).

Теорема 2.16 Якщо функція f (x, у) визначена і неперервна на П, а інтеграл (2.13) сходиться рівномірно на відрізку [с; d], мо функція I (у), що визначається цим інтегралом, неперервна на [с; d].

Доказ. По теоремі 2.7 функції I (y) (nN) неперервні на відрізку [с; d]. За лемі 2.1 послідовність функцій I (y) (nN) сходиться рівномірно на відрізку [с; d] до функції, I (у). Але тоді за теоремою про межу рівномірно збіжної послідовності безперервних функцій функція I (у) неперервна на відрізку [с; d].

Наступна теорема є в деякому роді зворотної до попередньої.

Теорема 2.17 (Діні) Якщо функція f (x, у) неперервна і неотрицательна П, а функція I (у), що визначається інтегралом (2.13), неперервна на відрізку [с; d], то інтеграл (2.13) сходиться рівномірно на відрізку [с; d].

Доказ. По теоремі 2.7 функції I (y) (nN) (див. (2.19)) неперервні на відрізку [с; d]. Так як функція f (x, у) неотрицательна, то послідовність функцій I (y) (nN) монотонно не убуває.

Але тоді, оскільки гранична функція, I (у) цієї послідовності теж неперервна, до неї можна застосувати теорему Діні для послідовностей, згідно з якою послідовність I (у) сходиться до функції I (у) рівномірно на відрізку [с; d]. Останнє означає, що для будь-якого> 0 знайдеться номер nтакой, що при n> nДля всіх у [с; d] справедливо нерівність.

Покласти візьмемо. Тоді, враховуючи неотрицательность функції f (x, y), для всіх уполучаем:

і рівномірна збіжність інтеграла доведена.

Теорема 2.18 Якщо функція f (x, у) визначена і неперервна на а інтеграл (2.13) сходиться рівномірно на відрізку [с; d], то функція I (у), що визначається цим інтегралом, интегрируема на [с; d] і справедливо рівність

(2.20)

Доказ. Знову розглянемо послідовність I (у). За лемі 2.1 вона сходиться рівномірно на відрізку [с; d] до функції I (у), а по теоремі 2.8 функції послідовності інтегровними на відрізку [с; d].

Тоді по теоремі про интегрируемости граничної функції рівномірно

сходящейся послідовності функція I (у) интегрируема на відрізку [с; d] і

Можливість зміни порядку інтегрування випливає з тієї ж теореми 2.8.

Теорема 2.19 ecли функція f (x, у) неперервна на множині Пі

має на ньому безперервну приватну похідну (х, y), інтеграл (2.13) сходиться, а інтеграл

(2.21)

сходиться рівномірно на [с; d], то функція I (у) дифференцируема на відрізку [с; d] і справедливо рівність

(2.22)

Доказ. Розглянемо послідовність функцій I (y). За умовою теореми ця послідовність сходиться на відрізку [с; d] (оскільки сходиться інтеграл (2.13)). По теоремі 2.9 функції I (у) (N) діфференцируєми на відрізку [с; d], а по лемі 2.1 послідовність похідних I (у) сходиться на цьому відрізку рівномірно. Але тоді за теоремою про дифференцируемости граничної функції рівномірно збіжної послідовності функція I (у) дифференцируема на відрізку [с; d]

У деяких випадках буває необхідно змінити порядок інтегрування, коли і змінна х і параметр у змінюються на нескінченних проміжках. Нехай

Теорема 2.20 Нехай функція f (x, у) неперервна і неотрицательна на К. Інтеграли

(2.23)

обидва сходяться і є безперервними функціями відповідно на [с; + ?) і [а; + ?). Тоді рівність

(2.24)

справедливо за умови існування одного з повторних інтегралів.

Доказ. Припустимо, що існує лівий з інтегралів у рівності (2.24). Покажемо, що в такому випадку існує і правий інтеграл, і що вони рівні. Для цього достатньо встановити, що для будь-якого

з> 0 знайдеться атаки, що для будь-якого А> Абудет виконуватися нерівність

(2.25)

Перетворимо ліву частину (2.25). Так як для інтеграла

виконані умови теореми Діні (теорема 2.17), то він рівномірно сходиться на будь-якому сегменті [а; А], отже по теоремі 2.18

Тому

де число С поки не визначено.

Виберемо> О і оцінимо обидва останні інтеграла. Так як

сходиться, знайдеться СТАКО, що для будь-якого С> збудеться мати місце нерівність

Але тоді, зважаючи неотрицательности функції f (x, y), яке б не було

А ? а, і

(2.26)

Виберемо і зафіксуємо З> Сі оцінимо перший інтеграл. За теоремою Дінісходітся рівномірно на відрізку [с; З],

тому существуеттакое, що якщо А>, то для будь-якого у [с; С]

Тому

(2.27)

Оцінка (2.25) отримана, отже, теорема доведена. ¦

Обчислення інтегралів, залежних від параметра Розглянемо інтеграл, що залежить від параметра ?:

Вкажемо без докази, що якщо функція f (x, ?) неперервна по x на відрізку, то функція

Є безперервною функцією на відрізку. Отже, функцію I (?) можна інтегрувати по ? на відрізку:

Вираз, що стоїть праворуч, є дворазовий інтеграл від функції f (x, ?) по прямокутнику, розташованому в площині Ox?. Можна змінити порядок інтегрування в цьому інтегралі:

Ця формула показує, що для інтегрування інтеграла, залежного від параметра ?, досить проінтегрувати по параметру ? підінтегральний вираз. Ця формула також буває корисна при обчисленні визначених інтегралів.

Так як існує конечнийто інтеграл J існує і сходиться (за визначенням), причому. ^

Прімер2.15 Обчислити інтеграл

Невизначений інтеграл від підінтегральної функції не береться в елементарних функціях. Для його обчислення розглянемо інший інтеграл, який можна легко обчислити:

(?> 0).

Інтегруючи цю рівність в межах від ? = a до ? = b, отримаємо

Змінюючи порядок інтегрування в першому інтегралі, перепишемо це рівність у наступному вигляді:

Звідки, обчислюючи внутрішній інтеграл, отримуємо

¦

Література

1. Тер-Крікоров А.М., Курс математичного аналізу: Навчальний посібник для вузів. -2-Е изд, М.: Фізмаліт: Лабораторія Базових Знань, 2003.

2. Піскунов Н.С. Диференціальне й інтегральне числення: Навчальний посібник для втузов.т.2,13-е вид. М .: Наука, Головна редакція фізико-математичної літератури, 1985.

3. Ільїн В.А., Позняк Е. Г., Основи математичного аналізу. Частини 1,2, М .: Наука, 1971, 1973.

4. Рудін В., Основи математичного аналізу, М .: Мир, 1966.

5. Зорич В.А., Математичний аналіз. Частини 1,2, М .: Наука, 1981, 1984.

6. Фіхтенгольц Г.М., Основи математичного аналізу. Тома 1.2, М .: Наука, 1968.

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка