трусики женские украина

На головну

 Математичні методи оптимізації - Економіко-математичне моделювання

Завдання 1. Графічне рішення задачі розподілу ресурсів

· Записати стандартну і канонічну форми.

· Знайти всі базисні і допустимі базисні рішення. Визначити оптимальне базисне рішення.

· Знайти графічно оптимальне базисне рішення.

Фірма випускає два види виробів А і В. Кожен виріб проходить обробку на двох технологічних лініях.

Відома таблиця технологічних коеффіціентов- часу обробки (у хвилинах) кожного виробу на кожній технологічній лінії. Крім цього, відомі ринкова ціна кожного ізделіяіі загальний час кожної лінііі.

 Вироби А Вироби В Загальний час роботи лінії

 Лінія 1 60 32 1920

 Лінія 2 36 60 2160

 Ціна одного виробу 30 25

РІШЕННЯ

Запишемо стандартну і канонічну форми

Позначимо:

план випуску виробу А;

план випуску виробу В.

Тоді витрати лінії 1 і лінії 2, необхідні для виробництва планабудут рівні відповідно:

Планбудет допустимим, якщо витрати для лінії 1 і лінії 2 не перевищують загального часу роботи кожної з ліній, тобто виконуються нерівності:

Цільовою функцією служить виручка від реалізації допустимого планапрі обмеженнях

(1.1)

Для канонічної форми ці обмеження потрібно перетворити в рівності. Для цього введемо дві додаткові змінні

залишок від виробництва на лінії 1 (залишок часу обробки)

залишок від виробництва на лінії 2 (залишок часу обробки).

Тоді отримаємо канонічну форму задачі:

-знайти змінні, які дають максимум цільової функції

при обмеженнях

(1.2)

· Знайдемо всі базисні рішення.

Отримані обмеження утворюють систему двох рівнянь з чотирма невідомими. Серед нескінченної кількості рішень цієї системи базисні рішення виходять наступним чином. Дві змінних прирівняємо до 0. Ці змінні назвемо вільними. Значення інших змінних отримуємо з рішення системи. Ці змінні назвемо базисними. Базисне рішення називається допустимим, якщо воно неотрицательно.

1) Пустьсвободние змінні. Підставляючи значення (1.2), отримуємо систему рівнянь

Отже, базисне рішення має вигляд

.

Базисне рішення означає, що вироби А та вироби В не виробляються. Це базисне рішення є допустимим. Виручка від реалізації цього плану складе

.

2) Пустьсвободние змінні. Підставляючи значення (1.2) отримуємо систему

Отже, базисне рішення має вигляд

.

Це базисне рішення означає, що виріб А не проводиться, виріб В виробляється в кількості 60 од., Час виготовлення продукції на лінії 1 використовується повністю, для виробництва на лінії 2 не вистачає 1440 хвилин роботи. Це базисне рішення не є допустимим.

3) Пустьсвободние змінні. Підставляючи значеніяв (1.2) отримуємо систему

для базисних переменнихі. Отже, базисне рішення має вигляд

.

Це базисне рішення означає, що виріб А не проводиться, виріб В виробляється в кількості 36 одиниць, час виготовлення продукції лінії 1 використовується не повністю і його залишок становить 768 хвилин, а на лінії 2 використовується повністю. Це базисне рішення є допустимим. Виручка від реалізації цього плану составітден.ед.

4) Пустьсвободние змінні. Підставляючи значеніяв (1.2) отримуємо систему

для базисних змінних. Отже, базисне рішення має вигляд. Базисне рішення означає, що вироби А виробляється в кількості 32 од., Виріб В не проводиться, час виготовлення продукції лінії 1 використовується повністю, а час виготовлення лінії 2 неповністю використовується, його залишок становить 1008 хвилин. Це базисне рішення є допустимим. Виручка від реалізації цього плану складе

ден. од.

5) Пустьсвободние змінні. Підставляючи значеніяв (1.2) отримуємо систему

для базисних змінних. Отже, базисне рішення має вигляд. Це базисне рішення означає, що вироби А виробляється 60 од., Виріб В не виробляється, не вистачає часу обробки 1680 хвилин для першої лінії, а час обробки другої лінії використовується повністю. Це базисне рішення не є допустимим.

6) Пустьсвободние змінні. Тоді базисні переменниеінайдём із системи рівнянь

Звідси випливає, що базисне рішення має вигляд. Це рішення означає, що вироби А виробляються в колічествеед., Вироби В виробляються в кількості, час обробки на кожній з ліній використовується повністю. Це базисне рішення є допустимим. Виручка від реалізації составітден.ед.

· Визначимо оптимальне базисне рішення.

З теорії лінійного програмування випливає, що оптимальне рішення можна знайти серед допустимих базисних рішень. Звідси випливає, що для визначення оптимального рішення потрібно обчислити значення цільової функції на всіх допустимих базисних рішеннях. Оптимальним буде базисне рішення, на якому значення цільової функції найбільше.

У таблиці 1.1 наведені всі допустимі базисні рішення і відповідні їм значення виручки.

двоїстий завдання рівноважний попит корисність товар

Таблиця 1.1

 № Базисні змінні небазисних змінні

1

2

3

4

Максимальне значення виручки досягається на четвертий базисному рішенні у цій таблиці

Отже, виріб А виробляється в колічествеед., Виріб В проводиться в колічествеед., Час обробки на кожній з ліній використовується повністю ().

Графічне рішення задачі

Розглянемо завдання в стандартній формі: знайти змінні, які забезпечують максимальне значення функції

при обмеженнях

На горизонтальній осі прямокутної системи координат будемо відкладати план випуску продукції, а на вертикальній - план випуску другої продукції.

Розглянемо перше обмеження. Безліч точок, що задовольняють рівності, утворює пряму на площині. Побудуємо цю пряму по її точкам перетину з осями координат. Для визначення координат точки А перетину з осьюв рівняння підставимо. З нього випливає, тобто Для визначення координат точки В перетину з осьюв рівняння підставимо. З нього випливає, т.е .. Неравенствуудовлетворяют всі крапки однієї з півплощини, які утворила побудована пряма. Для її визначення достатньо перевірити справедливість нерівності для однієї точки. Для початку коордінатнеравенство виконується. Отже, всі точки півплощині, що містить початок координат, будуть графічним зображенням цієї нерівності. Аналогічно побудуємо прямуюпо її точкам перетину з осями координат :. Всі точки півплощині, що містить початок коордінатбудут графічним зображенням нерівності. Враховуючи обмеження на знак, безліч точок четирёхугольнікаявляется безліччю всіх допустимих рішень. Всі кутові точки (крайні точки) четирёхугольнікасоответствуют допустимим базисним рішенням:

кутова точкасоответствует базисного рішенням

,,;

кутова точкасоответствует базисного рішенням

,,,;

кутова точкасоответствует базисного рішенням

,,,;

кутова точкасоответствует базисного рішенням ,,,.

Тепер графічно знайдемо точку чотирикутника, яка визначить оптимальне рішення.

З теорем математичного аналізу випливає, що оптимальне рішення слід шукати лише серед точок кордону чотирикутника. Для її визначення на початку координат побудуємо вектор, координати якого є ринковими цінами. Прямаяпроходіт через початок координат перпендикулярно вектору. Вона визначає всі плани, в яких виручка дорівнює 0. Векторуказивает напрямок зростання виручки. Якщо пряму нульовий виручки (рожева лінія) переміщати паралельно в напрямку вектора, то значення виручки буде збільшуватися. Так як серед внутрішніх точок четирёхугольнікаоптімального рішення не може бути, то пряму потрібно перемістити до кордону чотирикутника, тобто до точки.

Таким чином, точкаопределяет оптимальне рішення. Відповідне точкебазісное рішення

є оптимальним рішенням. Максимальна виручка дорівнюватиме. Уравненіеопределяет рівняння максимальної виручки (верхня рожева лінія).

Завдання 2. Двоїста задача

· Записати двоїсту задачу і дати її економічний сенс.

· Знайти оптимальне рішення двоїстої задачі.

· Визначити доцільність виробництва продукції С, для якої на виготовлення одиниці продукції потрібно 60 хвилин і 50 хвилин часу виготовлення на першій і другій лінії відповідно. Ринкова ціна становить 120 ден. од. за одиницю продукції.

РІШЕННЯ

Запишемо двоїсту задачу і дамо її економічний сенс.

Правило побудови двоїстої задачі полягає в наступному. Кожному рівності прямої задачі відповідає двоїста змінна

Стрілки показують, що перший рівності відповідає змінна, а друга - змінна.

Для визначення цільової функціідвойственной завдання двоїсті переменниеіумножаются на праві частини рівностей і складаються:

.

Кожної змінної прямий задачісоответствует обмеження двоїстої задачі. Ліві частини цих обмежень для переменнойзапісиваются наступним чином. Двоїсті переменниеіумножаются на коефіцієнти перед переменнойі складаються :.

Аналогічно, записуються ліві частини обмежень для змінної. Двоїсті переменниеіумножаются на коефіцієнти перед переменнойі складаються :. Ліва частина обмежень для переменнойравна, а для змінної. Праві частини обмежень рівні коефіцієнтам 30, 25, 0, 0 цільової функції

перед змінними. Ліві і праві частини обмежень з'єднуються знаком.

В результаті двоїста задача має вигляд:

знайти двоїсті переменниеі, при яких цільова функціямінімальна

при обмеженнях

Змінні, називаються допустимим рішенням двоїстої задачі, якщо вони задовольняють всім обмеженням і оптимальними, якщо вони допустимі і на них цільова функціядостігает мінімуму.

Економічний сенс двоїстої задачі:

двоїста переменнаяопределяет тіньову ціну роботи 1 хвилини обладнання лінії 1, а двоїста переменнаяопределяет тіньову ціну роботи 1 хвилини обладнання лінії 2.

Тоді цільова функціязадаёт вартість часу роботи обладнання в тіньових цінах відповідно для лінії 1 і лінії 2.

Вираженіеопределяет вартість 60 хвилин і 36 хвилин, витрачених на виготовлення одиниці виробу А в тіньових цінах, а вираженіеопределяет вартість 32 хвилин і 60 хвилин, витрачених на виготовлення одиниці виробу В в тіньових цінах.

Визначимо величини приведених вартостей.

Якщо велічінаположітельна, то вартість ресурсів більше ринкової ціни цього продукту. У цьому випадку виробництво продукту збитково. Якщо велічінаотріцательна, то вартість ресурсів менше ринкової ціни цього продукту. Якщо велічінаравна 0, то вартість ресурсів дорівнює ринковій ціні. Обмеження двоїстої задачі

Звідси випливає, що при допустимих тіньових ценахпроізводство обох продуктів неприбуткове.

Можна дати наступну економічну інтерпретацію двоїстої задачі. Деяка фірма пропонує виробнику продукції продати їй всі запаси ресурсів за тіньовими цінами. Рішення двоїстої задачі визначає мінімальний рівень ринкових цін, при якому виробляти продукцію неприбуткове.

Знайдемо оптимальне рішення двоїстої задачі

З першого завдання випливає, що припустиме базисне рішення

є оптимальним рішенням прямої задачі.

За оптимальному базисному решеніюпрямой завдання знайдемо оптимальне рішення двоїстої. Для цього всі обмеження двоїстої завдання, що відповідають базисним переменнимнужно замінити равенствами

З цих рівностей знайдемо оптимальні значення двоїстих змінних, мінімальне значення цільової функції дорівнює

.

Оптимальна тіньова ціна роботи 1 хвилини обладнання лінії 1 дорівнює, а оптимальна тіньова ціна 1 хвилини обладнання лінії 2 дорівнює.

Вартість роботи технологічного обладнання, витрачених на виготовлення одиниці виробу А дорівнює

,

а вартість роботи технологічного обладнання, витрачених на виготовлення одиниці виробу В дорівнює

.

Наведені вартості кожного виду вироби будуть рани

Звідси випливає, що виробництво виробів А і В рентабельно.

Визначимо доцільність виробництва продукції С, для якої на виготовлення одиниці продукції потрібно 60 хвилин і 50 хвилин часу виготовлення на першій і другій лінії відповідно. Ринкова ціна становить 120 ден. од. за одиницю продукції. Для цього обчислимо вартість ресурсів, витрачених на виготовлення одиниці продукції С:

ден. од.

Наведена вартість цього виду продукції буде дорівнює

.

Звідси випливає, що виробництво одиниці продукції З принесе прібильден. од.

Завдання 3. Функція корисності

Нехай функція корисності наборів з двох товаровімеет вид, де

.

· Знайти набір товарів, який має таку ж корисність, як набори кількість другого товару дорівнює 1.

· Для наборанайті граничні корисності першого і другого товарів.

· В набореколічество першого товару збільшується на 0,1, а другий зменшується на 0,2. Знайти наближене зміна корисності.

РІШЕННЯ

1. Функція корисності має вигляд :. Знайдемо корисність набір:

Крива безразлічіяопределяет всі набори товарів, які мають таку ж корисність як набір. З цього рівняння можна знайти набір товарів, у якому кількості другого товару одно, підставивши це значення в рівняння кривої байдужості ,. Таким чином, набориібезразлічни для споживача.

2. Знайдемо приватні похідні функції корисності

Гранична корисність першого товару в набореравна значенням приватної проізводнойв точці (3,8):

.

Гранична корисність другого товару в набореравна значенням приватної проізводнойв точці (3,8):

Знайдемо зміна корисності, якщо кількість першого товару збільшується на 0,1, тобто, а кількість другого товару зменшується на 0,2, тобто .. Наближене зміна корисності обчислимо за формулою

.

Отже, корисність набору, рівна, збільшується на 0,0065. Таким чином, корисність нового набору

Завдання 4. Модель Стоуна

Функція корисності споживача має вигляд

, Де

.

1. Знайти рівноважний попит і його корисність, якщо ринкова ціна першого товару, ринкова ціна другого товарав споживач виділяє на придбання товарів суммуденежних одиниць.

2. Знайти функції попиту на обидва види товарів.

3. Знайти попит на обидва товари при збільшенні доходу на 30 грошових одиниць і при зменшенні доходу на 60 грошових одиниць.

РІШЕННЯ

1. Функція корисності споживача має вигляд

.

Обчислимо рівноважний попит при заданих цінах і доході. Знайдемо вартість мінімального набору товарів

.

Сума, що залишилася денеграспределяется пропорційно коефіцієнтам еластичності цих товарів

.

На придбання першого товару виділяється сума

.

На придбання 2-го товару - сума

.

Поділивши виділені кошти на ринкові ціни товарів, отримуємо кількість товару, що купується понад встановлених нормативів

Таким чином, оптимальний попит складе

одиниць першого товару і

одиниць другого товару.

Корисність рівноважного набору буде дорівнює

.

2. Знайдемо функції попиту, замінюючи в формулах попиту

,.

Ці формули визначають попит на продукцію при будь-яких цінах і доходах.

3. Оцінимо вплив на попит зміни доходу обох товарів. Знайдемо реакцію попиту на зміну доходу на 1 грошову одиницю. Приватні похідні по доходупоказивают зміну попиту на перший і другий товари відповідно при зростанні доходу на 1 грошову одиницю.

Диференціюючи отримані вище функції попиту по М, отримуємо

.

Обчислимо ці приватні похідні при заданнихі:

.

Так як значення приватних похідних позитивні, то обидва товари є цінними: зі зростанням доходу на 1 грошову одиницю попит на обидва товари зростає: попит на перший товар збільшується на, а друга - на.

При збільшенні доходу споживача на 30 грошових одиниць попит на перший товар збільшиться наодиницю, а другий наи складе

,.

При зменшенні доходу споживача на 60 грошових одиниць попит на перший товар знизиться наодиницю, а попит на другий товар знизиться наодиницю і складе відповідно:

,.

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка