трусики женские украина

На головну

Застосування подвійних інтегралів - Математика

Застосування подвійних інтегралів

Содержание

1. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах

2. Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії

3. Застосування подвійних інтегралів до задач механіки
1. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах

Нехай функція  неперервна в деякій замкненій і обмеженій області , тоді існує інтеграл

.

Припустимо, що за допомогою формул

 (1)

ми переходимо в інтегралі  до нових змінних  та . Вважатимемо, що з формул (1) однозначно можна визначити  та :

. (2)

Згідно з формулами (2), кожній точці  ставиться у відповідність деяка точка  на координатній площині з прямокутними координатами  і .

Нехай множина всіх точок  утворює обмежену замкнену область . Формули (1) називаються формулами перетворення координат, а формули (2) - формулами оберненого перетворення.

Справедлива така теорема.

Теорема. Якщо перетворення (2) переводить замкнену обмежену область  в замкнену обмежену область  і є взаємно однозначним, і якщо функції (1) мають в області  неперервні частинні похідні першого порядку і відмінний від нуля визначник

 

, (3)

 

а функція  неперервна в області , то справедлива така формула заміни змінних

. (4)

Функціональний визначник називається визначником Якобі або якобіаном.

Таким чином, виконуючи заміну змінних в інтегралі  за формулами (1), ми маємо елемент площі  в координатах  замінити елементом площі  в координатах  і стару область інтегрування  замінити відповідною їй областю .

Розглянемо заміну декартових координат  полярними  за відомими формулами. Оскільки

.

То формула (3) набирає вигляду

 (4)

де область  задана в декартовій системі координат , а  - відповідна їй область в полярній системі координат.

У багатьох випадках формулу (4) доцільно застосовувати тоді, коли підінтегральна функція або рівняння границі області  містить суму , оскільки ця сума в полярних координатах має досить простий вигляд:

 

.

 

Якщо область  (рис.1, а) обмежена променями, які утворюють з полярною віссю кути  та   і кривими  та  , то полярні координати області  змінюються в межах ,  (рис.1, б). Тому формулу (4) можна записати у вигляді

 (5)

Рисунок 1 - Область: а) ; б)

подвійний інтеграл полярна координата

Якщо область  охоплює початок координат, тобто точка  є внутрішньою точкою області , то

 (6)

де  - полярне рівняння межі області .

Приклади

1. Обчислити інтеграл , якщо область  - паралелограм,

обмежений прямими  (рис.1, а).

Розв'язання

Безпосереднє обчислення цього інтеграла надто громіздке, тому що як в напрямі осі  так і в напрямі осі  область  потрібно спочатку розбити на три області, а потім обчислювати три подвійних інтеграли.

Виконаємо таку заміну змінних: , тоді прямі  та  в системі  переходять в прямі  та  у системі  (рис.1, б), а прямі  та  відповідно в прямі  та .

Таким чином, область  (паралелограм) переходить у системі  в прямокутник .

Рисунок 2 - Область: а) ; б)

Далі маємо

За формулою (3)

2. У подвійному інтегралі , де  - круг, обмежений колом , перейти до полярних координат з полюсом в точці , і обчислити отриманий інтеграл.

Розв'язання

Область  зображена на рис.2.

Рівняння, які пов'язують  і полярні координати  з полюсом у точці , мають вигляд , причому видно, що кут  змінюється в межах від  до .

Рисунок 3 - Область

Підставивши вирази для  і  в рівняння кола, отримаємо , звідки  або . Ці дві криві на площині  при  обмежують область , яка є прообразом області  при відображенні. Якобіан  відображення дорівнює . Підінтегральна функція  у нових змінних дорівнює . За формулою (3) маємо

.

Одержаний подвійний інтеграл за областю  зводимо до повторного:

і обчислюємо повторний інтеграл, застосовуючи формулу Ньютона - Лейбніца:

2. Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії

1. Площа плоскої фігури. Якщо в площині  задана фігура, що має форму обмеженої замкненої області , то площа  цієї фігури знаходиться, як відомо, за формулою:

.

2. Об'єм тіла. Об'єм циліндричного тіла, твірні якого паралельні осі  і яке обмежене знизу областю  площини , а зверху - поверхнею , де функція  неперервна та невід'ємна в області , знаходиться за формулою (2):

3. Площа поверхні. Якщо поверхня , задана рівнянням

 (7)

проектується на площину  в область  (рис.3) і функції , ,  неперервні в цій області, то площу  поверхні  знаходять за формулою

 (8)

Рисунок 4 - Поверхня

Виведемо цю формулу. Розіб'ємо довільним способом область  на  частин , які не мають спільних внутрішніх точок і площі яких дорівнюють . У кожній частині  візьмемо точку ; на поверхні  їй відповідатиме точка , де . Через точку  проведемо дотичну площину  [3]

.

На площині  виділимо ту її частину, яка проектується на площину  в область . Позначимо цю частину дотичної площини через , а її площу - через . Складемо суму

. (9)

Границю  суми (9), коли найбільший з діаметрів  областей  прямує до нуля, назвемо площею поверхні (7), тобто за означенням покладемо

. (10)

Обчислимо цю границю. Оскільки область , яка має площу , проектується в область  з площею , то , де  - кут між площинами  та  (рис.3), тому .

Але гострий кут  дорівнює куту між віссю  і нормаллю  до дотичної площини, тобто куту між векторами та . Знайдемо за формулою (4)

.

Отже,

.

Підставляючи значення  в (10), отримуємо

.

Під знаком границі маємо інтегральну суму, складену для неперервної в області  функції . Ця функція інтегровна в області , тому границя у формулі (10) існує і дорівнює подвійному інтегралу (8).

  3. Застосування подвійних інтегралів до задач механіки

1. Маса пластини. Нехай на площині  маємо матеріальну пластину, яка має форму обмеженої замкненої області , в кожній точці якої густина визначається неперервною функцією . Маса такої пластини визначається за формулою (1.8):

.

2. Центр маси пластини. Статичні моменти. Нехай матеріальна пластина в площині  має форму області , густина пластини в точці дорівнює , де  - неперервна функція в області  Розіб'ємо область  на частини , виберемо в кожній з них довільну точку  і наближено вважатимемо, що маса  частини  дорівнює , де  - площа області . Коли вважати, що кожна з цих мас зосереджена в точці , то пластину можна розглядати як систему цих матеріальних точок. Тоді координати  та  центра маси пластини наближено визначатимуться рівностями

.

Щоб знайти точні значення координат, перейдемо в цих формулах до границі при . Тоді інтегральні суми перейдуть у подвійні інтеграли і координати центра маси пластини визначатимуться формулами

. (11)

Величини

 (12)

називаються статичними моментами пластини відносно осі  та .

Враховуючи формули (8), (11) і (12), координати центра мас можна записати у вигляді

 

.

 

Якщо пластина однорідна, тобто має сталу густину , то у формулах (1.8), (11) і (12) слід покласти .

3. Моменти інерції пластини. Відомо, що момент інерції матеріальної точки відносно деякої осі дорівнює добутку маси точки на квадрат її відстані від цієї осі, а момент інерції системи матеріальних точок відносно однієї і тієї самої осі дорівнює сумі моментів інерції всіх точок системи.

Нехай матеріальна пластина має форму області  у площині , а неперервна функція  визначає густину в кожній точці цієї пластини. Розіб'ємо область  на частини , площі яких дорівнюють , і виберемо в кожній з цих частин довільну точку . Замінимо пластину системою матеріальних точок з масами . Якщо пластину розглядати як систему цих матеріальних точок, то моменти інерції пластини відносно осі  та відносно  наближено визначатимуться за формулами

.

Перейшовши до границі в кожній із сум при , отримуємо точні формули для обчислення моментів інерції розглядуваної пластини відносно координатних осей:

. (13)

Знайдемо момент інерції  пластини відносно початку координат.

Враховуючи, що момент інерції матеріальної точки  з масою  відносно початку координат дорівнює , аналогічно отримуємо, що

. (14)

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка