трусики женские украина

На головну

 Моделювання руху парашутиста - Математика

Білоруський національний технічний університет

РЕСПУБЛІКАНСЬКИЙ ІНСТИТУТ ІННОВАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ

КАФЕДРА ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ

Курсова робота

Дисципліна «Математичне моделювання»

Тема: «Моделювання руху парашутиста»

Мінськ 2008

Зміст

Введення

1. Вільне падіння тіла з урахуванням опору середовища

2. Формулювання математичної моделі та її опис.

3. Опис програми дослідження за допомогою пакету Simulink

4. Рішення завдання програмним шляхом

Список використаних джерел

Введення

 Формулювання проблеми:

Катапульта викидає манекен людини з висоти 5000 метрів. Парашут не розкривається, манекен падає на землю. Оцінити швидкість падіння в момент удару об землю. Оцінити час досягнення манекеном граничній швидкості. Оцінити висоту, на якій швидкість досягла граничного значення. Побудувати відповідні графіки, провести аналіз і зробити виводи.Цель роботи:

Навчитися складати математичну модель, вирішувати диференціальні рівняння програмними засобами (використовується мова технічних обчислень MatLAB 7.0, пакет розширення Simulink) і аналізувати отримані дані про математичної моделі.

1. Вільне падіння тіла з урахуванням опору середовища

При реальних фізичних рухах тіл в газовій або рідинної середовищі тертя накладає величезний відбиток на характер руху. Кожен розуміє, що предмет, скинутий з великої висоти (наприклад, парашутист, який стрибнув з літака), зовсім не рухається равноускоренно, так як у міру набору швидкості зростає сила опору середовища. Навіть цю, відносно нескладну, завдання не можна вирішити засобами "шкільної" фізики: таких завдань, що становлять практичний інтерес, дуже багато. Перш ніж приступати до обговорення відповідних моделей, згадаємо, що відомо про силу опору.

Закономірності, обговорювані нижче, носять емпіричний характер і аж ніяк не мають настільки суворою і чіткого формулювання, як другий закон Ньютона. Про силу опору середовища рухається тілу відомо, що вона, взагалі кажучи, росте з ростом швидкості (хоча це твердження не є абсолютним). При відносно малих швидкостях величина сили опору пропорційна швидкості і має місце співвідношення, де визначається властивостями середовища і формою тіла. Наприклад, для кульки - це формула Стокса, де - динамічна в'язкість середовища, r - радіус кульки. Так, для повітря при t = 20 ° С і тиску 1 атм = 0,0182 Hcм-2 для води 1,002 Hcм-2, для гліцерину 1480 Hcм-2.

Оцінимо, при якій швидкості для падаючого вертикально кулі сила опору зрівняється з силою тяжіння (у рух стане рівномірним).

Маємо

або

(1)

Нехай r = 0,1 м, = 0,8 кг / м (дерево). При падінні в повітрі м / с, в воде17 м / с, в гліцеріне0,012 м / с.

Насправді перші два результату абсолютно не відповідають дійсності. Справа в тому, що вже при набагато менших швидкостях сила опору стає пропорційною квадрату швидкості :. Зрозуміло, лінійна по швидкості частину сили опору формально також збережеться, але якщо, то внеском можна знехтувати (це конкретний приклад ранжирування факторів). Про величину k2 відомо наступне: вона пропорційна площі перерізу тіла S, поперечного по відношенню до потоку, і щільності середовища і залежить від форми тіла. Зазвичай представляють k2 = 0,5сS, де с - коефіцієнт лобового опору - безрозміряний. Деякі значення з (для не дуже великих швидкостей) наведені на рис.1.

При досягненні досить великій швидкості, коли утворюються за обтічним тілом вихори газу або рідини починають інтенсивно відриватися від тіла, значення с в кілька разів зменшується. Для кулі воно стає приблизно рівним 0,1. Подробиці можна знайти в спеціальній літературі.

Повернемося до зазначеної вище оцінки, виходячи з квадратичної залежності сили опору від швидкості.

Маємо

або

(2)

для кульки

(3)

 Диск

 Півсфера

 Півсфера

 Куля

 Каплевидної тіло

 Каплевидної тіло

 з = 1,11

 з = 1,33

 з = 0,55

 с = 0,4

 с = 0,045

 з = 0,01

Рис 1. Значення коефіцієнта лобового опору для деяких тіл, поперечний переріз яких має зазначену на малюнку форму

Приймемо r = 0,1 м, = 0,8.103 кг / м3 (дерево). Тоді для руху в повітрі (= 1,29 кг / м3) получаем18 м / с, у воді (= 1.103 кг / м3) 0,65 м / с, в гліцерині (= 1,26.103 кг / м3) 0,58 м / с.

Порівнюючи з наведеними вище оцінками лінійної частини сили опору, бачимо, що для руху в повітрі і в воді її квадратична частина зробить рух рівномірним задовго до того, як це могла б зробити лінійна частина, а для дуже вузького гліцерину справедливо зворотне твердження. Розглянемо вільне падіння з урахуванням опору середовища. Математична модель руху - рівняння другого закону Ньютона з урахуванням двох сил, що діють на тіло: сили тяжіння і сили опору середовища:

(4)

Рух є одновимірним; проектуючи векторне рівняння на вісь, спрямовану вертикально вниз, отримуємо

(5)

Питання, яке ми будемо обговорювати на першому етапі, такий: який характер зміни швидкості з часом, якщо всі параметри, що входять у рівняння (7) задані? При такій постановці модель носить суто дескриптивний характер. З міркувань здорового глузду зрозуміло, що при наявності опору, зростаючого зі швидкістю, в якийсь момент сила опору зрівняється з силою тяжіння, після чого швидкість більше зростати не буде. Починаючи з цього моменту ,, і відповідну усталену скоростьможно знайти з умови = 0, вирішуючи НЕ диференціальне, а квадратне рівняння. Маємо

(6)

(Другий - негативний - корінь, природно, відкидаємо). Отже, характер руху якісно такий: швидкість при падінні зростає від до. Як і за яким законом - це можна дізнатися, лише вирішивши диференціальне рівняння (7).

Однак навіть у настільки простий завданню ми прийшли до диференціального рівняння, яке не відноситься ні до одного з стандартних типів, що виділяються в підручниках з диференціальних рівнянь, що допускають очевидним чином аналітичне рішення. І хоча це не доводить неможливість його аналітичного рішення шляхом хитромудрих підстановок, але вони не очевидні. Припустимо, однак, що нам вдасться знайти таке рішення, виражене через суперпозицію декількох алгебраїчних і трансцендентних функцій - а як знайти закон зміни в часі переміщення? Формальний відповідь проста:

(7)

але шанси на реалізацію цієї квадратури вже зовсім невеликі. Справа в тому, що клас звичних нам елементарних функцій дуже вузький, і абсолютно звичайна ситуація, коли інтеграл від суперпозиції елементарних функцій не може бути виражений через елементарні функції в принципі. Математики давно розширили безліч функцій, з якими можна працювати майже так само просто, як з елементарними (т. Е. Знаходити значення, різні асимптотики, будувати графіки, диференціювати, інтегрувати). Тим, хто знайомий з функціями Бесселя, Лежандра, інтегральними функціями і ще двома десятками інших, так званих спеціальних функцій, легше знаходити аналітичні рішення задач моделювання, що спираються на апарат диференціальних рівнянь. Однак навіть отримання результату у вигляді формули не знімає проблеми подання його у вигляді, максимально доступному для розуміння, чуттєвого сприйняття, бо мало хто може, маючи формулу, в якій поєднані логарифми, ступеня, коріння, синуси і тим більше спеціальні функції, детально уявити собі описуваний нею процес - а саме це є мета моделювання.

У досягненні цієї мети комп'ютер - незамінний помічник. Незалежно від того, якою буде процедура отримання рішення - аналітичної або чисельної, - задумаємося про зручні способи представлення результатів. Зрозуміло, колонки чисел, яких найпростіше добитися від комп'ютера (що при табулюванні формули, знайденої аналітично, що в результаті чисельного рішення диференціального рівняння), необхідні; слід лише вирішити, в якій формі і розмірах вони зручні для сприйняття. Занадто багато чисел в колонці бути не повинно, їх важко буде сприймати, тому крок, з яким заповнюється таблиця, взагалі кажучи, набагато більше кроку, з яким вирішується диференціальне рівняння у випадку чисельного інтегрування, тобто далеко не всі значення і, знайдені комп'ютером, слід записувати в результуючу таблицю (табл. 2).

Таблиця 2

Залежність переміщення і швидкості падіння від часу (від 0 до 15 с)

 t (c) S (m)

 (М / с) t (c) S (m)

 (М / с)

0

1

2

3

4

5

6

7

0

 4.8

 18.7

 40.1

 66.9

 97.4

 130.3

 164.7

0

 9,6

 17,9

 24,4

 28,9

 31,9

 33,8

 35,0

8

9

 10

 11

 12

 13

 14

 15

 200.1

 235.9

 272.1

 308.5

 345.0

 381.5

 418.1

 454.7

 35.6

 36.0

 36.3

 36.4

 36.5

 36.6

 36.6

 36.6

Крім таблиці необхідні графіки залежностей і; по них добре видно, як змінюються з часом швидкість і переміщення, тобто приходить якісне розуміння процесу.

Ще один елемент наочності може внести зображення падаючого тіла через рівні проміжки часу. Ясно, що при стабілізації швидкості відстані між зображеннями стануть рівними. Можна вдатися і до колірної розфарбуванні - прийому наукової графіки, описаного вище.

Нарешті, можна запрограмувати звукові сигнали, які подаються через кожен фіксований відрізок шляху, пройдений тілом - скажімо, через кожен метр або кожні 100 метрів - залежно від конкретних обставин. Треба вибрати інтервал так, щоб спочатку сигнали були рідкісними, а потім, із зростанням швидкості, сигнал чувся все частіше, поки проміжки незрівняються. Таким чином, сприйняття допомагають елементи мультимедіа. Поле для фантазії тут велике.

Наведемо конкретний приклад вирішення задачі про вільно падаючому тілі. Герой знаменитого фільму "Небесний тихоход" майор Булочкин, впавши з висоти 6000 м в річку без парашута, не тільки залишився живий, але навіть зміг знову літати. Спробуємо зрозуміти, можливо, чи таке насправді або ж подібне трапляється тільки в кіно. Враховуючи сказане вище про математичне характері завдання, виберемо шлях чисельного моделювання. Отже, математична модель виражається системою диференціальних рівнянь.

(8)

Зрозуміло, це не тільки абстрактне вираження обговорюваної фізичної ситуації, але і сильно ідеалізоване, тобто ранжування факторів перед побудовою математичної моделі вироблено. Обговоримо, чи не можна зробити додаткове ранжування вже в рамках самої математичної моделі з урахуванням конкретно розв'язуваної задачі, а саме - чи буде впливати на політ парашутиста лінійна частина сили опору і чи варто її враховувати при моделюванні.

Так як постановка задачі має бути конкретною, ми приймемо угоду, яким чином падає людина. Він досвідчений льотчик і напевно здійснював раніше стрибки з парашутом, тому, прагнучи зменшити швидкість, він падає не "солдатиком", а обличчям вниз, "лежачи", розкинувши руки в сторони. Зростання людини візьмемо середній - 1,7 м, а полуобхват грудної клітки виберемо як характерної відстані - це приблизно 0,4 м. Для оцінки порядку величини лінійної складової сили опору скористаємося формулою Стокса. Для оцінки квадратичної складової сили опору ми повинні визначитися зі значеннями коефіцієнта лобового опору і площею тіла. Виберемо як коефіцієнта число з = 1,2 як середнє між коефіцієнтами для диска і для півсфери (вибір дня якісної оцінки правдоподібний). Оцінимо площа: S = 1,7 - 0,4 = 0,7 (м2).

У фізичних задачах на рух фундаментальну роль грає другий закон Ньютона. Він говорить, що прискорення, з яким рухається тіло, прямо пропорційно діючої на нього силі (якщо їх декілька, то рівнодіюча, тобто векторній сумі сил) і обернено пропорційно його масі:

.

Так для вільно падаючого тіла під дією тільки власної маси закон Ньютона набуде вигляду:

Або в диференціальному вигляді:

Взявши інтеграл від цього виразу, отримаємо залежність швидкості від часу:

Якщо в початковий момент V0 = 0, тоді.

Далі визначимо залежність висоти від часу, для чого проинтегрируем останній вираз.

.

З'ясуємо, при якій швидкості зрівняються лінійна і квадратична складові сили опору. Позначимо цю швидкість Тоді

або

Ясно, що практично з самого початку швидкість падіння майора Булочкіна набагато більше, і тому лінійної складової сили опору можна знехтувати, залишивши лише квадратичную складову.

Після оцінки всіх параметрів можна приступити до чисельного вирішення завдання. При цьому слід скористатися будь-яким з відомих методів інтегрування систем звичайних диференціальних рівнянь: методом Ейлера, одним з методів групи Рунге - Кутта або одним з численних неявних методів. Зрозуміло, у них різна стійкість, ефективність і т.д. - Ці суто математичні проблеми тут не обговорюються.

Обчислення проводяться до тих пір, поки не опуститься на воду. Приблизно через 15 с після початку польоту швидкість стає постійною і залишається такою до приземлення. Відзначимо, що в ситуації, що розглядається опір повітря радикально змінює характер руху. При відмові від його обліку графік швидкості, зображений на малюнку 2, замінився б дотичній до нього на початку координат.

Рис. 2. Графік залежності швидкості падіння від времені2. Формулювання математичної моделі та її опис

парашутист падіння опір математична модель

При побудові математичної моделі необхідно дотримання наступних умов:

- Манекен масою 50 кг відповідно падають в повітрі з щільністю 1,225 кг / м3;

- На рух впливають тільки сили лінійного і квадратичного опору;

- Площа перерізу тіла S = 0.4 м2;

Тоді для вільно падаючого тіла під дією сил опору закон Ньютона набуде вигляду:

,

де a - прискорення тіла, м / с2,

m - його маса, кг,

g - прискорення вільного падіння на землі, g = 9,8 м / с2,

v - швидкість тіла, м / c,

k1 - лінійний коефіцієнт пропорційності, приймемо k1 = ? = 6??l (? - динамічна в'язкість середовища, для повітря ? = 0,0182 Н.с.м-2; l - ефективна довжина, приймемо для середньостатистичної людини при зростанні 1,7 м і відповідному обхваті грудної клітки l = 0,4 м),

k2 - квадратичний коефіцієнт пропорційності. K2 = ? = С2?S. В даному випадку достовірно можна дізнатися лише щільність повітря, а площа манекена S і коефіцієнт лобового опору С2 для нього визначити складно, можна скористатися отриманими експериментальними даними і прийняти K2 = ? = 0,2.

Тоді отримаємо закон Ньютона в диференціальному вигляді:

Так як

Тоді можна скласти систему диференціальних рівнянь:

Математична модель при падінні тіла в гравітаційному полі з урахуванням опору повітря виражається системою з двох диференціальних рівнянь першого порядка.3. Опис програми дослідження за допомогою пакету Simulink

Для імітаційного моделювання руху парашутиста в системі MATLAB використовуємо елементи пакету розширення Simulink. Для завдання величин початкової висоти - H_n, кінцевою висоти - H_ k, числа - pi, ? - динамічна в'язкість середовища - my, обхват - R, масі манекена m, коефіцієнт лобового опору - c, щільність повітря - ro, площа перетину тіла - S , прискорення вільного падіння - g, початкова швидкість - V_n використовуємо елемент Constant що знаходиться в Simulink / Sources (малюнок 3).

Малюнок 3. Елемент Constant

Для операції множення використовуємо блок Product, що знаходиться в Simulink / Math Operations / Product (малюнок 4).

Малюнок. 4

Для введення k1 - лінійного коефіцієнта пропорційності і k2 - квадратичного коефіцієнта пропорційності використовуємо елемент Gain, що знаходиться в Simulink / Math Operations / Gain (Малюнок. 5.)

Малюнок. 5

Для інтегрування - елемент Integrator. Що знаходиться в Simulink / Continuous / Integrator. Малюнок. 6.

Малюнок. 6

Для виведення інформації використовуємо елементи Display і Scope. Знаходяться в Simulink / Sinks. (Малюнок. 7)

Малюнок. 7

Математична модель для дослідження з використанням перерахованих вище елементів, що описує послідовний коливальний контур наведена на рисунку 8.

Малюнок. 8

Програма досліджень

1. Дослідження графіка залежності висоти від часу і швидкості від часу маса парашутиста дорівнює 50кг.

Рисунок 9

З графіків видно, що при розрахунку падіння парашутиста масою 50 кг, такі дані: максимальна швидкість дорівнює 41,6 м / с і час одно 18с, і повинна досягатися через 800 м падіння, тобто в нашому випадку на висоті близько 4200 м.

Малюнок. 10

2. Дослідження графіка залежності висоти від часу і швидкості від часу маса парашутиста дорівнює 100кг.

Малюнок 11

Рисунок 12

З масою парашутиста 100 кг .: максимальна швидкість дорівнює 58 м / с і час одно 15с, і повинна досягатися через 500 м падіння, тобто в нашому випадку на висоті близько 4500 м. (малюнок. 11., малюнок. 12).

Висновки за отриманими даними, які справедливі для манекенів, що відрізняються тільки масою, але з однаковими розмірами, формою, типом поверхні та іншими параметрами, що визначають зовнішній вигляд об'єкта.

Легкий манекен при вільному падінні в гравітаційному полі з урахуванням опору середовища досягає меншою граничної швидкості, але за менший проміжок часу і, природно, при однаковій початковій висоті - в нижчій точці траєкторії, ніж важкий манекен.

Чим важче манекен, тим швидше він досягне землі. 4. Рішення завдання програмним шляхом

М-файл функції parashut.m:

% Функція моделювання руху парашутиста

function dhdt = parashut (t, h)

global k1 k2 g m

% Система ДУ першого порядку

dhdt (1,1) = -h (2);

dhdt (2,1) = (m * g-k1 * h (2) -k2 * h (2) * h (2)) / m

М-файл виводу результатів parashutist.m:

% Моделювання руху парашутиста

% Васильцов С. В.

clc

global h0 g m k1 k2 a

% K1-лінійний коефіцієнт пропорційності, який визначається властивостями середовища і формою тіла. Формула Стокса.

k1 = 6 * 0.0182 * 0.4;

% K2-квадратичний коефіцієнт пропорційності, пропорційний площі перетину тіла, поперечного по

% Відношення до потоку, щільності середовища і залежить від форми тіла.

k2 = 0.5 * 1.2 * 0.4 * 1.225

g = 9.81; % Прискорення вільного падіння

m = 50; % Маса манекена

h0 = 5000; % Висота

[T h] = ode45 (parashut, [0200], [h0 0])

r = find (h (:, 1)> = 0);

s = length (r);

b = length (t);

h (s + 1: b,:) = [];

t (s + 1: b,:) = [];

a = g- (k1 * -h (:, 2) + k2 * h (:, 2). * h (:, 2)) / m% обчислюємо прискорення

% Побудова графіка залежності висоти від часу

subplot (3,1,1), plot (t, h (:, 1), 'LineWidth', 1, 'Color', 'r'), grid on;

xlabel ('t, c'); ylabel ('h (t), m');

title ('Графік залежності висоти від часу', 'FontName', 'Arial', 'Color', 'r', 'FontWeight', 'bold');

legend ('m = 50 kg')

% Побудова графіка залежності швидкості від часу

subplot (3,1,2), plot (t, h (:, 2), 'LineWidth', 1, 'Color', 'b'), grid on;

xlabel ('t, c');

ylabel ('V (t), m / c');

Title ('Графік залежності швидкості від часу', 'FontName', 'Arial', 'Color', 'b', 'FontWeight', 'bold');

legend ('m = 50 kg')

% Побудова графіка залежності прискорення від часу

subplot (3,1,3), plot (t, a, '-', 'LineWidth', 1, 'Color', 'g'), grid on;

text (145, 0, 't, c');

ylabel ('a (t), m / c ^ 2');

Title ('Графік залежності прискорення від часу', 'FontName', 'Arial', 'Color', 'g', 'FontWeight', 'bold');

legend ('m = 50 kg')

Екранна форма виведення графіків.

Список використаних джерел

1. Вся фізика. Е.Н. Изергина. - М .: ТОВ «Видавництво« Олімп », 2001. - 496 с.

2. Касаткін І. Л. Репетитор з фізики. Механіка. Молекулярна фізика. Термодинаміка / Под ред. Т. В. Шкіль. - Ростов Н / Д: вид-во «Фенікс», 2000. - 896 с.

3. Компакт-диск «Самовчитель MathLAB». ТОВ «Мультисофт», Росія, 2005.

4. Методичні вказівки до Курсовий роботі: дисципліна Математичне моделювання. Рух тіла при обліку опору середовища. - Мінськ. РІІТ БНТУ. Кафедра ІТ, 2007. - 4 с.

5. Рішення систем диференціальних рівнянь в Matlab. Дубанов А.А. [Електронний ресурс]. - Режим доступу: http://rrc.dgu.ru/res/exponenta/ educat / systemat / dubanov / index.asp.htm;

6. Енциклопедія д.д. Фізика. Т. 16. Ч.1. с. 394 - 396. Опір руху і сили тертя. А. Гордєєв. / Глав. ред. В.А. Володін. - М. Аванта +, 2000. - 448 с.

7. Matlab Function Reference [Електронний ресурс]. - Режим доступу: http://matlab.nsu.ru/Library/Books/Math/MATLAB/help/techdoc/ref/.

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка