На головну

Теорія і практика обчислення визначників - Математика

ТЕОРІЯ І ПРАКТИКА ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧНИКІВ

1. Основні поняття і теореми

Def. Нехай задано квадратну матрицю А n-го порядку з елементами aij, де i визначає номер рядка, j - номер стовпця і при цьому через хj позначені стовпці матриці А, тобто

 і .

Визначником (det A) квадратної матриці А зі стовпцями хj називається функціонал j(х1, х2, ... , хn) щодо стовпців цієї матриці, який:

а) лінійний за кожним з аргументів (полілінійний):

теорема обчислення визначник сума

j(х1, ..., aхi1 + bхi2, ... , хn) = aj(х1, ... , хi1, ... , хn) + bj(х1, ... , хi2, ... , хn);

б) абсолютно антисиметричний (антисиметричний по будь-якій парі аргументів): j(х1, ... , хi, ... , хj, ... , хn) = -j(х1, ... , хj, ... , хi, ... , хn);

в) підкоряється умові нормування:

.

Тоді, з огляду на загальний вигляд полілінійного антисиметричного функціонала, маємо:

а б

Рис. 1

, (1)

де N(j1 j2 ... jn) - кількість безладів у перестановці .

Говорять, що в перестановці мається безлад, якщо jk > jm і k < m.

З формули (1) для визначника другого порядку одержуємо .

Визначник третього порядку дорівнює сумі шести (3! = 6) доданків. Для побудови цих доданків зручно скористатися правилом трикутників. Добуток елементів, що розташовані на головній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на рис. 1а, беруться з множником +1, а добуток елементів, що розташовані на побічній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на мал. 1б, беруться з множником -1, тобто


 

Властивості визначників:

1°. det A = det AT. З цієї властивості випливає, що рядки і стовпці визначника рівноправні. У силу цього всі властивості, сформульовані для стовпців, можуть бути сформульовані і для рядків визначника.

2°. Якщо один зі стовпців визначника складається з нульових елементів, то визначник дорівнює нулю.

3°. Загальний множник у стовпці визначника можна виносити за знак визначника.

4°. Якщо у визначнику поміняти два стовпці місцями, то визначник змінить знак.

5°. Визначник, що має два рівних стовпці, дорівнює нулю.

6°. Якщо стовпці визначника лінійно залежні, то визначник дорівнює нулю.

7°. .

8°. Визначник не зміниться, якщо до стовпця визначника додати лінійну комбінацію інших стовпців.

9°. Визначник добутку двох квадратних матриць n-го порядку дорівнює добуткові визначників цих матриць.

Def. Якщо в матриці А порядку n викреслити i-й рядок та j-й стовпець, то елементи, що залишилися, утворять матрицю (n - 1)-го порядку. Її визначник називається мінором (n - 1)-го порядку, додатковим до елемента aij матриці А, і позначається Мij, а величина Аij = (-1) i + j Мij називається алгебраїчним доповненням до елемента aij матриці А.

10°.  (Розкриття визначника за елементами j-го стовпця та за елементами i-го рядка).

11°.

12°. (Теорема Лапласа).

.

Тут - мінор, складений з елементів матриці А, що розташовані на перетині рядків i1, i2, ..., ik і стовпців j1, j2, ..., jk, а - алгебраїчне доповнення до цього мінора.

13°. (Про зміну елементів визначника).

Якщо , а , то .

3. Приклади розв'язування задач

Задача 1. Обчислити визначник: .

Розв'язання. I спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за елементами (наприклад) третього рядка (властивість 10º):

.

Визначники третього порядку, що входять до останнього виразу, обчислені за правилом трикутників.

II спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за мінорами 2-го порядку (наприклад тими, що розташовані в 1-му і 2-му рядках вихідного визначника, властивість 12º). Усього таких мінорів буде шість (1-й, 2-й стовпці; 1-й, 3-й стовпці; 1-й, 4-й стовпці; 2-й, 3-й стовпці; 2-й, 4-й стовпці; 3-й, 4-й стовпці). Одержимо:

.

III спосіб. Обчислимо визначник методом приведення визначника до трикутного вигляду. Для цього скористаємося властивістю 8°.

а) 1-й рядок додамо до 3-го рядка;

б) 1-й рядок, помножений на (-2), додамо до 4-го рядка.

При цьому визначник не зміниться.

Далі: в) від 1-го рядка віднімемо 2-й рядок;

г) 2-й рядок, помножений на 3, додамо до 4-го рядка, помноженого на 2. При цьому визначник збільшиться вдвічі за рахунок множення 4-го рядка на 2.

;

д) в останньому визначнику 3-ій рядок помножимо на 2 і додамо до 4-го рядка. Визначник не зміниться. Одержимо:

.

Визначник матриці трикутного вигляду обчислюється як добуток діагональних елементів. Доходимо висновку, що вихідний визначник дорівнює -3.

Задача 2. Обчислити визначник: .

Рішення. Для обчислення визначника скористаємося методом виділення лінійних множників. Насамперед відзначимо, що вихідний визначник є багаточленом 4-го степеня відносно х. Крім того, при х = 2 перший і другий рядки співпадають, тобто визначник дорівнює нулеві. Отже, х = 2 є коренем багаточлена. Далі зауважуємо, що при х = 6, х = 12, х = 20 перший рядок співпадає з третім, четвертим і п'ятим рядком відповідно. Виходить, ми встановили всі чотири корені полінома, тобто

det А= C(x - 2)(x - 6)(x - 12)(x - 20).

Для знаходження C відзначимо, що у визначник множник х4 входить з коефіцієнтом, який дорівнює 1/24, а в багаточлен, що стоїть в правій частині, - з коефіцієнтом який дорівнює 1. Тоді C = 1/24. У такий спосіб:

det А = (x - 2)(x - 6)(x - 12)(x - 20).

Задача 3. Обчислити визначник: .

Рішення. Зрозуміло, що вихідний визначник можна одержати, якщо до всіх елементів визначника  додати х = 4. Тоді скористаємося методом зміни елементів визначника (властивість 13°). Одержуємо:

.

Визначник діагонального вигляду дорівнює добуткові діагональних елементів (5! = 120). Алгебраїчні доповнення дорівнюють: А11 = 5! = 120;

А22 = 3.4.5 = 60; А33 = 2.4.5 = 40; А44 = 2.3.5 = 30 і А55 = 2.3.4 = 24.

Решта Аij = 0. Одержуємо: det А = 120 + 4(120 + 60 + 40 + 30 + 24) = 120 + 4.274 = 1216.

Задача 4. Обчислити визначник n-го порядку .

Рішення. Розкриємо визначник за елементами 1-го рядка:

,

а останній визначник розкриємо за елементами 1-го стовпця. Одержуємо:

Dn = 5Dn - 1 - 4Dn - 2. (*)

Записане співвідношення називається рекурентним співвідношенням і дозволяє виразити Dn через такі ж визначники більш низького порядку.

З (*) одержуємо:

1)  Dn - Dn - 1 = 4(Dn - 1 - Dn - 2) = 42(Dn - 2 - Dn - 3) = ... = 4n - 2 (D2 - D1) =

= 4n - 2 (21 - 5) = 4n .

2)  Dn - 4Dn - 1 = Dn- 1 - 4Dn - 2 = Dn- 2 - 4Dn - 3 = ... = D2 - 4D1 = 21 - 4.5 = 1.

3) 

Маємо систему рівнянь: . Віднімаючи з 1-го рівняння 2-е, одержуємо: 3Dn - 1 = 4n - 1. У такий спосіб: .

4. Задачі і вправи для самостійного розв'язування

1.  Визначити число безладів у перестановках (за вихідне розташування завжди, якщо немає особливих вказівок, приймається розташування 1, 2, 3, ... у зростаючому порядку):

а) 2, 1, 5, 4, 3; б) 6, 3, 2, 5, 1, 4; в) 7, 5, 6, 4, 1, 3, 2;

г) 2, 1, 7, 9, 8, 6, 3, 5, 4; д) 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

D а) 4; б) 10; в) 18; г) 18; д) 36. ▲

2.  З'ясувати, які з наведених нижче добутків входять у визначники відповідних порядків і, якщо входять, то з яким знаком:

а) а43а21а35а12а54; б) а13а24а23а41а55;

в) а61а23а45а36а12а54; г) а32а43а14а51а66а25;

д) а27а36а51а74а25а43а62; е) а33а16а72а27а55а61а44;

ж) а12а23а34 ...аn-1 n а25аkk (1 £ k £ n); з) а12а23а34 ...аn-1nаn1n.

D а) -; б) не входить у визначник; в) +; г) +; д) не входить у визначник; е) +; ж) не входить у визначник; з) (-1)n. ▲

3.  Вибрати значення i і k так, щоб наступні добутки входили у визначники відповідного порядку із зазначеним знаком:

а) а1iа32а4kа25а53 з « + »; б) а62аi5а33аk4а46а21 з « - »;

в) а47а63а1iа55а7kа24а31 з « + ».

D а) i = 1, k = 4; б) i = 5, k = 1; в) i = 6, k = 2. ▲

4.  Користуючись тільки визначенням, знайти члени визначників, які мають у собі множники х4 і х3:

а) ; б) .

D а) 2х4, -х3; б) 10х4, -5х3. ▲

5.  Знайти члени визначника 4-го порядку а) що містять елемент а32 і входять у визначник зі знаком « + »; б) що містять елемент а23 і входять у визначник зі знаком « - ».

D а) а11а24а32а43, а13а21а32а44, а14а23а32а41; б) а11а23а32а44, а12а23а34а41, а14а23а31а42. ▲

6.  Виписати всі члени визначника 5-го порядку, що мають вигляд . Що вийде, якщо з їхньої суми винести а14а23 за дужки?

D . ▲

7.  Як зміниться визначник n-го порядку, якщо всі його стовпці записати в зворотному порядку? D Визначник помножиться на (-1)(n(n-1))/2. ▲

8.  Не розкриваючи визначників, довести, що:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ; д) .

D а) властивості 7, 3; б) властивості 7, 3, 5; в) властивості 7, 3, 5; г) властивість 5;

д) властивість 5. ▲

9.  Знайти мінори елементів а13, а24, а43 визначника .

D М13 = 24; М24 = - 126; М43 = 52. ▲

10.  Знайти алгебраїчне доповнення елементів а14, а23, а42 визначника

.

D А14 = 8; А23 = 0; А42 = - 12. ▲

11.  Обчислити визначник, розкриваючи його по 3-му рядку .

D 8a + 15b + 12c - 19d. ▲

12.  Обчислити визначник, розкриваючи його по 2-му стовпцю: .

D 5a - 5b - 5c + 5d. ▲

13.  Обчислити наступні визначники, знижуючи їхній порядок за допомогою розкладання за елементами деякого рядка або стовпця:

а) ; б) ; в) .

D а) abcd; б) abcd; в) xyzuv. ▲

14.  Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

D а) 0; б) 6; в) 0; г) -2; д) -27; е) -27. ▲

15.  Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

D а) -7; б) 0; в) -1; г) 4; д) 40; е) -3. ▲

16.  Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

D а) 100; б) -5; в) 1; г) 2; д) 4; е) -8. ▲

17.  Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

е) .

D а) (1 - e3)2; б) abc + x(ab + bc + ac); в) 0; г) -2(x3 + y3); д) 0; е) 0. ▲

18.  Обчислити наступні визначники 4-го порядку:

а) ; б) ; в) ; г) .

D а) -7; б) 0; в) -1; г) -18. ▲

19.  Обчислити наступні визначники 4-го порядку:

а) ; б) ; в) ; г) .

D а) 1; б) -5; в) 0; г) -3. ▲

20.  Обчислити наступні визначники 4-го порядку:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) 1; б) 48; в) 1; г) . ▲

21.  Обчислити визначники 4-го порядку:

а) ; б) ; в) ; г) .

D а) -8; б) -9; в) -6; г) -10. ▲

22.  Обчислити визначники 5-го порядку:

а) ; б) . D а) 52; б) 5. ▲

23.  Зведенням до трикутного вигляду обчислити визначники:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) n!; б) 2n + 1; в) хn0 + а1 + ... + аn); г) . ▲

24.  Обчислити визначники методом виділення лінійних множників:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) (х - 1)(х - 2)...(х - n +1); б) (x - a - b - c)(x - a + b + c)(x + a - b + c)(x + a + b - c);

в) (х2 - 1)(х2 - 4); г) x2z2, вказівка: визначник не зміниться, якщо 1-й стовпець поміняти місцями з 2-м стовпцем і одночасно 1-й рядок із 2-м рядком; при х = 0 визначник дорівнює 0, аналогічно по z. ▲

25.  Розв'язати рівняння:

а) ; б) ;

в) ; г) (х Î R).

D а) хi = ai, i = 1, 2, ... , n - 1; б) хi = ai, i = 1, 2, ... , n; в) х = 0, 1, 2, ... , n - 1; г) x = 1. ▲

26.  Використовуючи метод рекурентних співвідношень, обчислити визначники: а) ; б) ; в) .

D а) ; б) 2n + 1 - 1; в) . ▲

27.  Обчислити визначники методом представлення їх у вигляді суми визначників:

а) ; б) .

∆ а) хn + (а1 + а2 + ... + аnn - 1; б) вказівка: xi º (xi - ai + ai),

. ▲

28.  Обчислити визначники методом зміни елементів визначника:

а) ; б) .

 

∆ а) ; б) . ▲

29.  Обчислити визначники n-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

∆ а) 1; б) 3n; в) 1; г) хn; д) 1 - n; е) (-2)n -1(5n - 2). ▲

30.  Обчислити визначники n-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

∆ а) (-2)n -2(1 - n); б) n + 1; в) (-1)n -1(n - 1); г) 1; д) (1 - (-1)n)/2, вказівка:

Dn = 1- Dn -1; е) 0, якщо n = 2k +1; (-1)n/2, якщо n = 2k, kÎ Z; вказівка: Dn = - Dn - 2. ▲

31.  Обчислити визначники n-го порядку:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

∆ а) (b1 - а1) (b2 - а2) ... (bn - аn); б) (n - 1)!; в) (-1)n - 1. n!; г) 0;

д) (-1)(n(n -1))/2nn-1(n + 1)/2; е)  ▲

© 8ref.com - українські реферати
8ref.com