трусики женские украина

На головну

 Теорія ймовірностей і математична статистика - Математика

Елементи комбінаторики

При вирішенні імовірнісних задач часто доводиться в заданій множині вибирати підмножини, що володіють певними властивостями. Оскільки в таких завданнях йдеться про ті чи інші комбінації об'єктів, то їх називають комбінаторними завданнями.

Безліч зв. Впорядкованим, якщо в ньому зазначено порядок проходження елементів. Наприклад

Основні правила комбінаторики

1.Правило суми

Нехай з безлічі А елемент а1 можна вибрати n1 способами, елемент а1-n1 способами, а2-n2 способами, ..., аk-nk спосбамі. Тоді вибір одного з цих елементів або а1, або А2, ..., або аk можна провести n1 + n2 + ... + nk способами.

2.Право твори

Нехай з безлічі А елемент а1 можна вибрати n1 способами, елемент а1-n1 способами, а2-n2 способами, ..., аk-nk спосбамі. Тоді одночасний вибір елементів а1, А2, ..., аk можна вибрати n1 * n2 * ... * nk способами.

Приклад

З 3-ох класів спорт. школи потрібно скласти команду для змагань, взявши по одному учню з класу. Скільки команд можна скласти, якщо в одному класі 18 учнів, в іншому-20, в третьому-22.

Рішення: n1 = 18, n2-20, n3 = 22

n1 * n2 * n3 = 18 * 20 * 22 = 7820 способів.

Основні з'єднання комбінаторики.

1) Розміщення

Нехай безліч А складається з n елементів. Будемо вибирати з того безлічі впорядковані множини, що складаються з k елементів. Такі підмножини будуть називатися розміщеннями з n елементів по k. Розміщення відрізняються один від одного як елементами, так і порядком.

Наприклад, з множествасоставім розміщення по 2 елементи. ,,,,,

Число розміщень з n елементів по k обозначаюті обчислюють за формулою :; (0! = 1)

2) Перестановки з n елементів k

Перестановками з n елементів по k називають розміщення, у яких n = k. Перестановки відрізняються тільки порядком елементів. ;;;;;

Число перестановок з n елементів по k (n = k):

3) Сполучення з n елементів по k

Нехай мн-во А складається з n елементів. З нього будемо вибирати невпорядковані підмножини, що містять k елементів, які будуть називатися поєднаннями з n елементів k. Поєднання різняться між собою тільки елементами.: ,,

Число сполучень з n елементів по k:

Приклади:

1) Студентам потрібно здати здати 4-ри іспиту за 8 днів. Скількома способами можна скласти розклад?

(2,3,7,8) З безлічі, що містить 8 елементів вибираємо підмножини за 4 елементи, порядок яких нам не байдужий, отже число способів:

2) На 4-ох картках написані цифри 0,1,2,3. Скільки різних чотиризначних чисел чисел можна скласти з цих карток?

4! -3! = 24-6 = 18

3) У хокейному турнірі бере участь 6 команд. Кожна команда повинна зіграти з кожною одну гру. Скільки ігор буде зіграно в турнірі?

Т.к в обираних множинах по 2 елементи з 6, порядок байдужий, то кількість ігор = числу сполучень з 6 по 2:

4) 6 друзів зібралися на зустріч. Один з них виголосив тост: збиратися стільки років поки кожен не посидить на новому місці.

Випробування та події. Види подій

У будь точній науці існують основні поняття. Якщо в геометрії це: точка, пряма, площина, то в теорії ймовірності основними поняттями є випробування, події, ймовірність.

Випробування (досвід) -здійснення якого-небудь комплексу умов.

Випробуванням буде кидання гральної кістки.

Подія (результат) -результат випробування.

Події можуть бути достовірними, неможливими, випадковими.

Достовірна подія-подія, кіт. обов'язково відбудеться в результаті даного випробування .. Наприклад, при киданні гральної кістки випало число від 1 до 6.

Неможлива подія-подія, кіт. не може відбутися в результаті даного випробування. Наприклад, при киданні

гральної кістки випало 7 очок.

Випадкова подія-подія, кіт. може статися, а може не відбутися в результаті даного випробування. А, В, С, ... Наприклад, випало 6 очок при киданні кістки.

Види випадкових подій

Випадкові події називаються спільними, якщо поява однієї з них не виключає появу іншого. В іншому випадку - несумісні.

А - в аудиторію зайшов чоловік, В - в аудиторію зайшов чоловік старше 30 років. А і В - спільні

Стрілок зробив постріл по цілі. А - потрапляння, В - промах; А і В - несумісні.

Випадкова подія називається єдино можливим, якщо в результаті випробування поява одного і тільки одного з них є достовірною подією. Кидають монету. А - герб, В - напис.

Випадкові події називаються рівноможливими, якщо в результаті випробування немає підстав вважати, що одне з них більш можливо, ніж інше.

Випадкові події називаються протилежними, якщо не поява одного з них спричиняє появу іншого. А,

Сукупність усіх єдино можливих подій даного випробування складає повну групу подій

А1-1 очко

А2-2 очка

А3-3 очка

А4-4 очка Повна група подій

А5-5 очок

А6-6 очок

Дії над подіями

1) Сумою двох подій А і В називається подія, яке у тому,

що сталося або подія А, або подія В, або обидва разом, тобто

відбулося хоча б одна подія. С = А + В "+" - або

Приклади:

1) Соб. А-турист відвідав місто А

Соб. По-турист відвідав місто В

Соб. З-турист відвідав місто З

А + В = С - турист відвідав або р А, або р.У, або обидва разом.

2) При киданні гральної кістки:

А-випало парне число очок

По-випало число очок, кратне 3-му

А + В-випало число очок або парне, або кратне 3-му

Геометрична інтерпретація суми подій

Діаграма Венна

1 Для спільних

подій

2 Для несумісний. соб.

Довільним чином кидаємо точку на площину. Якщо вона потрапить в область А, то відбулася подія А, якщо в область В, то-подія В, якщо потрапить в область з двостороннім штрихуванням, то події А і В сталися одночасно. Тоді сумі подій буде відповідати область, зазначена жирною лінією. У разі несумісних подій сумі А + В відповідатиме дві непересічні області. 2) Твором подій А і В називається подія С, яке настає зі спільним наступом А і В. А * В "*" -заменяет союз «І»

Для твору соб.

Аналогічно визначаються сума і твір для кількох подій.

Класична формула ймовірності. Властивості ймовірності.

Імовірність є одним з основних понять в теорії ймовірностей.

При вживанні цього слова ми інтуїтивно оцінюємо можливість появи тієї чи іншої події. Можна сказати, що одна подія настане частіше, ніж інше.

В урні міститься 28 куль, з них 2 білих, 13 червоних, 13 чорних. На удачу виймаємо 1 кулю. Червоний або чорний кулю можна витягнути з більшою можливістю, а білий - з меншою. З цього прикладу видно, що кожна подія має певним ступенем можливості, тобто деякої числової оцінкою.

Ймовірністю події А називається чисельна міра об'єктивної можливості його появи. Р = Р (А)

Класичною схемою або схемою випадків називається випробування, при якому число фіналів (подій) звичайно і всі з них рівноможливими.

Результат випробування (події) називається благоприятствующим події А, якщо його поява тягне настання події А.

Класичної ймовірністю події А називається відношення числа результатів М, що сприяють події А, до загального числа всіх результатів випробування N. Р (А) = M / N

З визначення випливають такі властивості.

1) Імовірність достовірної події. Р () = 1

2) Імовірність неможливого події. Р = 0

3) Імовірність випадкової події. 0

4) Імовірність будь-якої події.

5) Сума ймовірностей протилежних подій = 1. Р (А) + Р (A) = 1

6) Сума ймовірностей повної групи подій = 1.

Приклади:

1) Консультаційний пункт інституту отримує пакети з контрольними з міст А, В, С. Ймовірність отримання пакета з м А 0,7, з В 0,2. Знайти ймовірність отримання пакету з м С

А-пакет отриманий з м А

По-пакет отриманий з м В Повна група подій

З -пакет отриманий з м С

Р (А) + Р (В) + Р (С) = 1

0,7 + 0,2 + Р (С) = 1; Р (С) = 0,1

2) Брошка 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що 6 очок з'явиться хоча б на одній грані.

Подія А - 6 очок з'явилося хоча б на одній грані

Подія- з'явилося число очок не рівне 6

Р (А) = 1 - Р ()

Р () = М / N

N = 6 * 6 = 36

M = 5 * 5 = 25

Р () = 25/36

Р (А) = 1 - Р () = 1-25 / 36 = 11/36

3) На 5 картках написані літери «а, д, к, л, о». Картки ретельно перемішують, а потім викладають по одній на стіл. Яка ймовірність того, що вийде слово «човен»?

Подія А - вийшло слово «човен»

Р = M / N

Р (А) = 1/120

5) Набираючи номер телефону абонент забув 3 останні цифри і пам'ятаючи, що вони різні набрав, номер телефону. Яка ймовірність того, що номер набрано вірно?

Р (А) = М / N

М = 1

Р (А) = 1/720

6) У ящику є 10 деталей, серед них 7 стандартних. На удачу беремо 6.

Яка ймовірність того, що серед 6 деталей виявиться рівно 4 стандартних?

Соб. А - серед 6 обраних деталей 4 стандартні.

Р (А) = M / N

7) У ящику лежить 10 заклепок, виготовлених з різного матеріалу: 5 залізних, 3 латунних, 2 мідних. Навмання беремо 2 заклепки. Яка ймовірність того, що вони виявляться зробленими з одного матеріалу?

Соб. А - витягнені заклепки з одного матеріалу.

Р (А) = M / N

Статистична і геометрична ймовірність

1) Статистична ймовірність.

Класична формула ймовірності дає безпосередньо обчислювати ймовірність, але вона передбачає виконання деяких умов. Вона відноситься до подій, що володіють симетрією і утворюють повну групу подій. Багато груп подій не підходять під класичну схему, але кожна подія такої групи володіє деякою можливістю настання. Наприклад, якщо гральна кістка виготовлена ??з неоднорідного матеріалу, то ймовірність появи деякого числа очок не дорівнює 1/6.

Іноді не вдається виділити повну групу подій. Відомо багато випадків, коли результати є непередбачуваними, хоча спочатку всі результати були враховані. У подібних випадках знаходять відносну частоту події А

; n-число вироблених дослідів

m-число дослідів, в результаті яких відбулася подія А.

Виявляється, що пріотносітельная частота необмежено близько наближається до певного постійному числу. Це число і буде називатися статистичної ймовірністю.

Результати дослідів при киданні монети.

n - число випробувань

m - число, відповідне випаданню герба

2) Геометрична ймовірність

N = D; M = d

Знайти ймовірність того, що точка, кинута в трикутник потрапить в коло.

Імовірність появи хоча б однієї події.

Задачу з пункту Ймовірність суми подій (Ймовірність влучення в ціль при стрільбі з

трьох знарядь: Р1 = 0,8; Р2 = 0,7; Р3 = 0,9. Знайти ймовірність того, що мета буде вражена.)

Можна вирішити набагато швидше, якщо застосувати теорему про ймовірність хоча б однієї події. Нехай в результаті досвіду може з'явитися n незалежних в сукупності подій, імовірності яких відомі.

Теорема. Імовірність появи хоча б однієї з n незалежних подій А1, А2, ..., Аn дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій, т.е.1,2, ..., n.

Р (хоча б однієї події) = 1-q1 * q2 * ... * qn

Якщо

р1 = р2 = ... рn, то Р (хоча б одн. соб.) =

Питання №33.

Ймовірність добутку подій.

Дві події називаються залежними, якщо ймовірність однієї з них залежить від появи або непояви іншого. В іншому випадку події називаються незалежними.

Зробимо 2 випробування.

7 білих 1) Подія А - з'явився

3 чорних біла куля. Р (А) = 0,7

куль Подія В - з'явився

чорна куля. Р (В) = 1/3

А і В - залежні

Р (В) - умовна ймовірність

2) А-з'явився білий шар.Р (А) = 0,7 (з поверненням)

В - з'явився чорний кулю. Р (В) = 0,3

В даному випадку

Події А1, А2, ..., Аn називаються незалежними в сукупності, якщо кожне з них не залежить від твору решти подій і від кожного окремо.

З попарной незалежності не слід незалежність у сукупності.

Якщо подія А1, А2, ..., Аn - незалежні, то1,2, ..., n - незалежні.

Теорема

Ймовірність спільного появи двох залежних подій = добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншого.

В урні 7 білих, 3 чорних кулі. На удачу один за іншим вибираємо по одній кулі без повернення. Знайти ймовірність того, що перший куля виявився білим, а другий чорним.

Теорема

Ймовірність спільного появи двох незалежних подій = добутку ймовірностей цих подій.

Імовірність появи тільки однієї події

Нехай дано три незалежних події А1, А2, А3; р1, р2, р3 - їх ймовірності. Знайдемо ймовірність появи тільки одного з них.

B1 = (тільки А1) = А1 * 2 * 3

B2 = (тільки А2) = 1 * А2 * 3

B3 = (тільки А2) = 1 * 2 * А3

Тому В1, В2, В3 - несумісні, то

Р (тільки однієї події) = Р (В1) + Р (В2) + Р (В3)

Тому А1, А2, А3 - незалежні, то A1, A2, A3 теж

незалежні. Р (1) = q1; P (2) = q2; P (3) = q3

Р (тільки одного соб.) = P1 * q2 * q3 + q1 * p2 * q3 + q1 * q2 * p3

Ймовірність влучення в ціль при стрільбі з

трьох знарядь: Р1 = 0,7 Р2 = 0,8; Р3 = 0,9. Знайти ймовірність того, що тільки одне знаряддя вразило цель.Р1 = 0,8; Р2 = 0,7; Р3 = 0,9; q1 = 0,2; q2 = 0,3; q3 = 0,1

Р (тільки однієї події) = 0,7 * 0,2 * 0,1 + 0,3 * 0,8 * 0,1 + 0,3 * 0,2 * 0,9 = 0,092

Найімовірніше число появи події А в n незалежних випробуваннях

Нехай проводиться n незалежних випробувань.

,

де р - ймовірність появи події А при одному випробуванні, q - вірогідність не появи події А при одному випробуванні.

Число k при якому дана ймовірність виявиться більшою буде називатися найімовірніше число появи події А.

Якщо: 1) (n * pq) - дробове число, існує одне найімовірніше число; 2) (n * pq) - ціле число, то існують два найімовірнішого чіслаі; 3) n * p - ціле, то найімовірніше число.

Задача.

1) n = 15; p = 0,9; q = 0,1

2) n = 24; p = 0,6; q = 0,4

3) n = 25; p = 0,08; q = 0,92

Ймовірність суми подій

Теорема. Імовірність появи одного з двох несумісних подій = сумі ймовірностей цих подій.

Доказ:

N - число всіляких результатів випробування

М1 - число фіналів, що сприяють події А; М2 - число фіналів, що сприяють події В.

Тому події несумісні, то в них не буде загальних сприятливих результатів.

Мішень розділили на дві області. Знайти ймовірність того, що стрілець влучив у мішень.

Соб. А - потрапляння в обл. А

А В Соб. В - потрапляння в обл. В

Теорема. Імовірність появи одного з двох спільних подій або обох разом = сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх спільної появи.

Доведемо за допомогою діаграми Венна.

Уявімо (А + В) і В через суму двох несумісних подій. A + B = A + B *

B = A * B + B *

А А A + B = A + B-A * B

Аналогічно за допомогою діаграми Венна можна довести ймовірність суми трьох спільних подій.

Ймовірність влучення в ціль при стрільбі з

трьох знарядь: Р1 = 0,8; Р2 = 0,7; Р3 = 0,9. Знайти ймовірність того, що мета буде вражена.

Подія А - мета вражена. Тому події спільні, то:

Р (А) = 0,8 + 0,7 + 0,9-0,8 * 0,7-0,9 * 0,8-0,7 * 0,9 + 0,8 * 0,7 * 0 , 9 = 0,994

Формула повної ймовірності

Подія А може відбутися за умови появи однієї з несумісних подій Н1, Н2, ..., Нn, що утворюють повну групу подій. Їх називають гіпотези.

Гіпотези вичерпують всі можливі припущення першого етапу досвіду, а подія А це один з можливих результатів випробування другого етапу досвіду.

Нехай відомі ймовірності гіпотез: Р (Н1), Р (Н2), Р (Н3), ..., Р (Нn) і умовні ймовірності події А:

Ймовірність події А = сумі твори ймовірностей гіпотез на відповідні їм умовні ймовірності.

Це Формула повної ймовірності.

Задача. У двох ящиках міститься по 20 деталей, причому в першому 17 стандартних, а в другому 15 стандартних. З другого ящика на удачу береться одна деталь і перекладається в перший. Знайти ймовірність того, що витягнута з першого ящика деталь виявиться стандартною.

Гіпотези: Н1 - перекладена стандартна деталь

Н2 - перекладена нестандартна деталь

Р (Н1) = 15/20

Р (Н2) = 5/20

Подія А - з першого ящика витягується стандартна деталь

Формули Бейеса (ймовірності гіпотез)

Нехай подія А може відбутися за умови появи однієї з несумісних подій Н1, Н2, Н3, ..., Нn, званих гіпотезами.

За цією формулою можна знайти ймовірність події А до проведення досвіду.

Якщо подія А вже настало (після проведення досвіду) поставимо завдання визначити як при цьому змінюються ймовірності гіпотез.

Знайдемо.

Аналогічно можна отримати формули з інших гіпотез.

На 3-ех дочок Алісу, Бетті і Шарлоту в сім'ї покладено обов'язок мити тарілки. Оскільки Аліса старша їй доводиться виконувати 40% роботи. Інші 60% ділять між собою Бетті і Шарлота. Коли Аліса миє тарілку, ймовірність для неї розбити тарілку 0,02, для Бетті 0,02, для Шарлоти 0,03. Батьки не знають, хто ввечері мив посуд, але чули дзвін розбитого тарілки. Яка ймовірність того, що посуд мила а) Аліса, б) Бетті, в) Шарлота.

Подія А - тарілка розбита.

Гіпотези: Н1 - мила Аліса; Н2 - мила Бетті

Н3 - мила Шарлота

Р (Н1) = 0,4; Р (Н2) = 0,3; Р (Н3) = 0,3

Тому подія А вже відбулося, то необхідно застосувати ймовірності гіпотез.

Висновок: формула Бейеса дозволяє переоцінити ймовірності гіпотез після того, як стає відомим результат випробування, в результаті якого з'явилося подія А. Відмінність формули повної ймовірності від формули Бейеса: формула повної ймовірності застосовується до досвіду, а формула Бейеса після досвіду.

Граничні теореми в схемі Бернуллі

Якщо n і k досить великі

, То в таких випадках для обчислення ймовірностей застосовують граничні теореми.

Теорема Пуассона.

Якщо число випробувань n необмежено збільшується, тобто ймовірність Р настання події А в одному випробуванні зменшується, тобто, але при цьому число, то ймовірність того, що подія n настане рівно k разів:

- Асимптотична формула Пуассона. Її зазвичай використовують, коли

Деякі електронні пристрої виходять з ладу, якщо відмовить певна мікросхема. Ймовірність її відмови протягом однієї години роботи пристрою = 0,004. Яка ймовірність того, що за 1000 годин роботи доведеться 5 разів міняти мікросхему.

n = 1000; p = 0,004;

Якщо число n досить велике, а ймовірність

Не прагне до 0, то для обчислення ймовірність використовуються граничні формули Муавра - Лапласа.

Інтегральна теорема Муавра - Лапласа

Якщо ймовірність Р настання події А при незалежних випробуваннях постійна і відмінна від 0 і 1, то ймовірність того, що при n незалежних випробуваннях подію А з'явиться не менше k1 і не більше k2 разів може бути знайдена за наближеною формулою:

ф - функція Лапласа, значення в таблиці

ф (-х) = - ф (х)

Задача.

Ймовірність випуску нестандартної лампи 0,1. Чому дорівнює ймовірність того, що в партії з 2000 ламп число стандартних не менше 1790?

p = 0,9; n = 2000; k1 = 1790; k2 = 2000

Середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини

Ця характеристика також як і дисперсія визначає розсіювання випадкової величини Х навколо її математичного очікування. Дисперсія має розмірність несовпадающую зі значенням випадкової величини Х, а середнє квадратичне відхилення має розмірність, збігається зі значенням випадкової величини.

Теорема. Середнє квадратичне відхилення суми кінцевого числа взаємно незалежних випадкових величин = кореню квадратному із суми квадратів середніх квадратичних відхилень цих величин.

Доказ:

Диференціальна функція розподілу випадкової величини. Властивості

- Щільність розподілу ймовірностей. Диференціальна функція розподілу існує тільки у неперервної випадкової величини.

0 при

F (X) = k * X при

1 при

0 при

f (X) = k при

1 при

F f (X)

Щоб знайти ймовірність попадання випадкової величини в інтервал (a; b) за допомогою диференціальної функції використовують функцію

Щоб знайти інтегральну функцію розподілу випадкової величини використовують:

Властивості.

1)

2)

комбінаторика випадкова величина ймовірність математичний

Математичне сподівання дискретної випадкової величини. Властивості.

Математичне сподівання (середнє значення ДСВ) - постійне число, що дорівнює сумі творів значень випадкових величин на їх відповідні ймовірності.

Таблиця

 Х2 3 травня

 Р 0,3 0,4 0,3

М (Х) = 2 * 0,3 + 3 * 0,4 + 5 * 0,3 = 3,3

Властивості.

1) М (С) = С

2) М (СХ) = С * М (Х)

 Х х1 х2 ... х3

 Р Р1 Р2 ... Р3

 С * Х С * х1 С * х2 ... С * х3

 Р Р1 Р2 ... Р3

3) М (Х + У) = М (Х) + М (У) якщо Х і У -

4) М (Х-У) = М (Х) -М (У) незалежні

5) М (Х * У) = М (Х) * М (У) случ. Величини

Приклад. Знайти математичне сподівання М (Х + У) двома способами.

1. Х + У; М (Х + У)

2. М (Х) + М (У)

6) М (Х-М (Х)) = 0

(Х-М (Х)) - відхилення випадкової величини від її математичного

Дії над дискретними випадковими величинами

ДСВ можна 1) множити на число,

2) підносити до степеня.

1) множення на число

2) зведення в ступінь

Дві ДСВ називаються незалежними, якщо подія Аi, яке у тому, що випадкова величина Х прийме значення, і

собитіебудут незалежними. В іншому випадку ДСВ називаються залежними.

Кілька ДСВ називаються взаємно незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які раніше можливі значення прийняли інші величини.

Приклад.

Якщо у верхньому рядку таблиці з'являються однакові значення, то відповідні стовпці об'єднуємо і їх ймовірності складовими.

Дія віднімання та множення виконуються аналогічно.

Випадкові величини

Дискретні випадкові величини.

1) Випадковою величиною називають величину, яка в результаті випробування прийме одне і тільки одне значення, наперед невідоме і залежне від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути враховані. Випадкові величини можуть бути:

дискретні (переривчасті), які беруть лише ізольовані значення з певними ймовірностями. Їх число може бути кінцевим і нескінченним (рахункове). Приклад: серед 100 новорож-денних число народжених хлопчиків від 1 до 10.

Безперервні, які можуть приймати всі значення з деякого кінцевого проміжку. Приклад: безліч чисел належать проміжку

Дискретні випадкові величини. Позначаються великими літерами латинського алфавіту X, Y, ..., а їх можливі значення х1, х2, ..., хn.

Закон розподілу ДСВ - Це відповідність між можливими значеннями і їх ймовірностями. Його можна задати аналітично, таблично і графічно, найчастіше задають таблицею:

Задача. У грошово-речової лотереї випущено 110 квитків. Розігрується приз 50000 рублів і 10 призів по 1000 рублів. Знайти закон розподілу випадкової величини Х - вартість виграшу для власника одного квитка.

 Х 500000 1000 0

 Р 1/110 10/110 99/110

Дисперсія (розсіяне значення випадкової величини навколо математичного сподівання цієї величини)

Дисперсія - математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування.

1)

2)

Приклад.

 Х 1 2 5

 Р 0,3 0,5 0,2

М (Х) = 1 * 0,3 + 2 * 0,5 + 5 * 0,2 + 5 * 0,2 = 2,3

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка