трусики женские украина

На головну

 Побудова неповної квадратичної регресійної моделі за результатами повного факторного експерименту - Економіко-математичне моделювання

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Східноукраїнський національний

УНІВЕРСИТЕТ імені ВОЛОДИМИРА ДАЛЯПОЯСНІТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

до курсової роботи з дисципліни

"Організація експерименту"

Тема: «Побудова неповної квадратичної регресійної моделі за результатами повного факторного експерименту 23»

СТУДЕНТ: Черних Н.В.

ГРУПА: ММ - 961

КЕРІВНИК: Шевченко А.В.

Луганськ 2009

Розділ 1. Побудова неповної квадратичної регресійної моделі за результатами повного факторного експерименту 23

Принципи вирішення багатофакторних оптимізаційних задач. Метод крутого сходження

Завдання матеріалознавства вельми різноманітні. У найбільш загальному вигляді їх можна розділити на дві групи:

- Екстремальні завдання, метою яких є пошук оптимальних в тому чи іншому сенсі складів матеріалів, режимів їх термічної обробки, умов лиття, зварювання, напилювання, обробки тиском і т. П .;

- Задачі опису, метою яких є вивчення загальних закономірностей явищ, що відбуваються в матеріалах при зміні їх складів, в процесі їх виготовлення, під час наступних обробок. Завдання опису та екстремальні задачі часто вирішуються разом.

У всіх випадках ситуація помітно спрощується, якщо для того чи іншого явища вдається побудувати деяку математичну модель.

Припустимо, потрібно вивчити вплив хімічного складу, умов лиття, обробки тиском і подальшої термічної обробки на властивості матеріалів обраної системи. Метою цього дослідження є спроба виявити загальні закономірності зміни властивостей матеріалів залежно від їх хімічного складу і умов обробок, а також пошук матеріалу, що володіє деяким заданим комплексом властивостей. Зрозуміло, що мети дослідження легко було б досягти, якби були математичні моделі, що зв'язують механічні, технологічні, експлуатаційні та будь-які інші властивості матеріалів досліджуваної системи з їх хімічним складом, режимами лиття, деформації, термічної обробки, особливостями поверхневих властивостей. Рішення і задачі опису, і екстремальної задачі представляло б тоді просто аналіз наявних моделей.

Виникає питання, яким же чином отримати такого роду моделі? Існують, принаймні, два способи.

Моделі можна спробувати побудувати на основі знань механізмів явищ, що відбуваються в матеріалах при зміні їх складу та під час обробок, т. Е. Теоретичним шляхом. Побудовані таким способом моделі представляють виняткову цінність, оскільки їх можна використовувати не тільки для вирішення даної конкретної задачі, але і в багатьох інших випадках.

На жаль, механізми більшості явищ або процесів, що відбуваються в різних матеріалах, до теперішнього часу вивчені явно недостатньо. У всякому разі, строгих кількісних теорій, як правило, не існує, а тому тільки з теоретичних міркувань побудувати моделі для кожного конкретного випадку майже ніколи не вдається. Проте, розглянута задача є стандартною в технології металів, матеріалознавстві, порошкової металургії і в технології нанесення покриттів, а самі завдання такого роду, звичайно ж, вирішуються. Отже, вирішуються вони при неповному знанні (а іноді і взагалі при незнанні) механізмів явищ, що протікають в матеріалах. І спосіб вирішення цілком певний - емпіричний, експериментальний. Звідси випливає, що найбільш реалістичним шляхом побудови математичних моделей є експеримент.

Отже, необхідно за допомогою експерименту, який проводитиметься при неповному знанні чи незнанні механізмів явищ, навчитися будувати й аналізувати математичні моделі, що зв'язують властивості матеріалів з усіма тими змінними, від яких ці властивості залежать.

Відразу ж відзначимо, що поставлена ??проблема є завданням кібернетики. Дійсно, якщо вважати кібернетику наукою, що вивчає системи будь-якої природи, здатні сприймати, зберігати і переробляти інформацію для цілей оптимального управління, то такий кібернетичної системою в даному випадку є досліджуваний матеріал, і цю систему можна представити у вигляді так званого "чорного ящика". Вона буде мати входи (незалежні змінні, фактори) х1, х2, ..., xk (у нашому випадку це склад, режими лиття, напилення, термічної обробки, деформації) і виходи (залежні змінні, відгуки, параметри оптимізації, цільові функції) h1, h2, ..., hq (властивості матеріалу). Істотним є та обставина, що кожному набору рівнів входів відповідають певні значення виходів. Іншими словами, сплав, порошковий матеріал або покриття фіксованого складу, отримані та оброблені за певною схемою і режимам, мають деякий комплекс властивостей. Сплав іншого складу, оброблений по інших режимам, має й інші властивості. Точно відповісти на питання, чому при зміні складу і режимів обробок змінилися властивості сплаву, не можна (механізм явища або погано, або зовсім не відомий), але важливий лише сам факт зміни властивостей. Якщо тепер припустити, що між виходами і входами системи існує певний зв'язок (а вона, без сумніву, існує), завдання зводиться до постановки мінімально можливого числа експериментів (вибору деякого числа наборів рівнів входів), фіксації виходів, а потім до побудови та аналізу математичних моделей, що пов'язують виходи з входами.

Таким чином, потрібно отримати деяке уявлення про так званих функціях відгуку:

Вид функцій j досліднику заздалегідь невідомий. Тому, отримуючи в дослідах вибіркові оцінки виходів y, він змушений будувати наближені рівняння функцій відгуку:

Ці рівняння в багатовимірному просторі факторів називаються факторним простором. Вони мають деякий геометричний образ - поверхня відгуку. Отже, завдання зводиться до отримання уявлення про поверхні відгуку. Якщо завдання екстремальна, треба знайти екстремум (мінімум або максимум) цієї поверхні або зробити висновок, що екстремуму немає. Якщо вирішується завдання опису, необхідно спробувати виявити причини саме такого характеру поверхні.

Властивості матеріалів, як і взагалі будь-яких інших систем, можна описувати різними математичними моделями. Найбільше застосування знайшли моделі у вигляді алгебраїчних поліномів. Зазвичай використовують розкладання невідомої функції відгуку в ряд Тейлора в околиці будь-якої точки з області її визначення в факторном просторі:

де ;;.

Цей статечної ряд в загальному випадку нескінченний, але на практиці обмежуються кінцевим числом його членів, аппроксимируя тим самим невідому функцію j (х1, х2, ..., хk) полиномом деякій мірі. Подібна апроксимація має сенс, якщо функція відповідає ряду вимог. Найважливішим із них є вимога безперервності і достатньої «гладкості». Оскільки заздалегідь невідомо, наскільки ця вимога виконується, доводиться робити припущення про те, що це так.

Модель будують за результатами експериментів, т. Е. Визначають вибіркові оцінки коефіцієнтів b0, bi, bij, bii:

де у - вибіркова оцінка функції відгуку h.

Експеримент можна проводити по-різному. У випадку, коли дослідник спостерігає за якимось некерованим процесом, не втручаючись в нього, або вибирає експериментальні точки інтуїтивно, експеримент вважають пасивним. Зокрема, така ситуація виникає майже завжди, коли користуються традиційними методами експериментування, вивчаючи спочатку вплив на властивості матеріалу однієї змінної при решті постійних, потім інший і т. Д. Оскільки при цьому немислимо перебрати всі можливі варіанти, виконують лише частину дослідів, причому обгрунтування вибраних варіантів майже ніколи не буває достатньо строгим. У цих випадках статистичні методи застосовують зазвичай після закінчення експериментів, коли дані вже отримані. Тут використовують такі прийоми, як підбір функцій розподілу, визначення середніх величин та заходів розсіювання, аналіз кореляцій, регресій і т. П.

Досвід показав, що зазначений підхід, особливо в задачах оптимізації, є неефективним. Не зупиняючись на всіх причинах цієї обставини, відзначимо лише, що за результатами пасивного експерименту можна, наприклад, судити про наявність або відсутність статистичного зв'язку між змінними, побудувати відповідні рівняння зв'язку. Але цими рівняннями можна користуватися тільки для інтерполяції. Наприклад, можна оцінити у вигляді аналітичного виразу, як змінюється міцність того чи іншого матеріалу залежно від його складу і умов виготовлення, але інтерпретувати отриману модель, надавати якесь значення її коефіцієнтам, використовувати для цілей оптимізації, як правило, не можна. В даний час пасивний експеримент досить широко використовують в технології металів і матеріалознавстві. Тим не менш, майбутнє, ймовірно, не за ним, хоча в деяких випадках і з пасивних спостережень вдається витягти дуже цінну інформацію.

Зовсім інша картина спостерігається, коли дослідник починає застосовувати статистичні методи на всіх етапах дослідження і, насамперед, перед постановкою дослідів, розробляючи схему експерименту, а також в процесі експериментування, при обробці результатів і після експерименту, приймаючи рішення про подальші дії. Такий експеримент називають активним, і він передбачає планування експерименту.

Під плануванням експерименту зазвичай розуміють процедуру вибору числа та умов проведення дослідів, необхідних і достатніх для вирішення поставленого завдання з необхідною точністю.

Основні переваги активного експерименту пов'язані з тим, що він дозволяє:

- Мінімізувати загальне число дослідів;

- Вибирати чіткі, логічно обгрунтовані процедури, послідовно виконувані експериментатором при проведенні дослідження;

- Використовувати математичний апарат, формалізує багато дій експериментатора;

- Одночасно варіювати всіма змінними і оптимально використовувати факторний простір;

- Організувати експеримент таким чином, щоб виконувалися багато вихідні передумови регресійного аналізу;

- Отримувати математичні моделі, що мають більш широку область практичного застосування, ніж моделі, побудовані за результатами пасивного експерименту;

- Рандомизировать умови дослідів, т. Е. Численні несуттєві фактори перетворити на випадкові величини;

- Оцінювати елемент невизначеності, пов'язаний з експериментом, що дає можливість зіставляти результати, одержувані різними дослідниками.

Для того щоб краще собі уявити, як реалізуються ідеї активного експерименту, розглянемо схему одного з найбільш широко використовуваних в даний час методів планування експерименту - методу крутого сходження, призначеного для вирішення екстремальних завдань.

У цьому методі, як і в багатьох інших методах планування експерименту, завдання вирішується поетапно. На першому етапі, варіюючи в кожному досвіді відразу всі фактори, дослідник шукає лише напрямок руху до області екстремуму. Для цього поверхню відгуку вивчають тільки на невеликій ділянці і будують для цієї ділянки лінійну модель:

.

Аналіз отриманого рівняння дозволяє намітити напрямок руху з вихідної точки, найбільш швидко приводить до оптимізації обраного параметра. Надалі на кожному етапі відповідно з результатами, отриманими на попередніх етапах, ставлять невелику серію дослідів, результати яких разом з інтуїтивними рішеннями дослідника визначають наступний крок. Ця процедура закінчується в області екстремуму. Тут ставлять кілька велику серію дослідів, і поверхня відгуку описують нелінійними функціями.

Аналіз нелінійного рівняння дозволяє точно визначити координати екстремуму або зробити висновок, що екстремуму не існує, а також намітити подальший шлях оптимізації.

Порівняємо класичний металознавчих підхід і метод крутого сходження на наступному прикладі. Припустимо, що потрібно знайти склад найбільш міцного сплаву на основі нікелю, варіюючи в ньому вміст алюмінію (х1) і танталу (х2). Припустимо далі, що залежність міцності (у) від складу для даних сплавів має вигляд, показаний на рис. 1, чого дослідник, приступаючи до вирішення завдання, природно, не знає.

За інтуїтивним міркувань або на підставі даних інших досліджень експеримент починають зі сплаву, що відповідає складу точки S1. При традиційному експериментуванні дослідник починає змінювати в цьому сплаві зміст однієї з добавок при постійній кількості іншого, потім утримання іншої при постійній кількості першою. При такому підході, починаючи з точки S1, взагалі можна не знайти оптимальний склад сплаву (точка S6), оскільки рух по прямій від точки S1в будь-яку сторону не призводить до істотного зміцнення сплаву (див. Рис. 1).

Якщо далі експериментатор зуміє перейти до іншої вихідної точки S2, то, послідовно змінюючи вміст алюмінію і танталу, він знайде найбільш міцний сплав, однак цей шлях буде досить довгим (S2-S3-S4-S5-S6).

Таким чином, традиційне експериментування, що припускає почергове зміна змінних, веде до нераціонального витрачання часу та коштів, тим більше, що більша частина інформації, отримана після подібної роботи, часто взагалі не представляє практичного інтересу, оскільки відноситься до області, далекою від оптимальних умов.

Таке ж завдання методом крутого сходження вирішується таким чином. Поблизу точки S1, починаючи від якої при звичайному експериментуванні успіх взагалі міг бути не досягнутий, ставлять невелику серію з чотирьох дослідів (точки 1, 2, 3, 4 на рис. 1). Мета цих дослідів - ще не пошук складу найбільш міцного сплаву. Визначення міцності перших чотирьох сплавів дозволяє досліднику наближено описати невідому поверхню відгуку на невеликій ділянці поблизу точки S1, т. Е. Розрахувати коефіцієнти регресії рівняння:

.

Рис. 1. Схема методу крутого сходження: I - y = b0 + b1x1 + b2x2; II - y = b'0 + b'1x1 + b'2x2

Знайдені за результатами дослідів коефіцієнти b1і b2определяют напрямок градієнта для даної апроксимуючої площині, т. Е. Напрям зміни вмісту алюмінію і танталу в сплаві, що приводить до можливо більш швидкого підвищення міцності сплаву. Зробивши кілька дослідів в цьому напрямку, т. Е. Здійснивши круте сходження по поверхні відгуку в напрямку градієнта лінійного наближення (звідси назва методу), дослідник вибирає нову вихідну точку S7, біля якої знову проводить аналогічну серію з чотирьох дослідів, розраховує коефіцієнти нового лінійного наближення тепер уже поблизу точки S7:

y = b'0 + b'1x1 + b'2x2

і здійснює рух по градієнту цього рівняння. Рух по градієнту виробляють до потрапляння в область оптимуму, після чого будують і аналізують нелінійну модель цієї області. На рис. 1 градієнт збігається з прямою, перпендикулярної ізолініях, т. Е. З найкрутішим схилом, провідним від даної точки до вершини. Для поверхні відгуку, що на рис. 1, виявилося достатньо двох серій дослідів, щоб при крутому сходженні знайти склад найбільш міцного сплаву.

Навіть розглянутий приклад показує, що планування експерименту принципово відрізняється від традиційного експериментування. При плануванні використовується багатофакторна схема експерименту, коли ефект впливу будь-якого фактора оцінюється за результатами всіх дослідів. При традиційному експериментуванні (зміні одного фактора при постійних інших факторах) використовується однофакторний схема, при якій ефект впливу фактора оцінюється лише по деякій частині дослідів. Багатофакторна схема істотно ефективніше. Покажемо це на простому прикладі.

Припустимо, що необхідно визначити масу трьох зразків А, В і С. Розглянемо два способи проведення експерименту.

У першому випадку схема зважування буде такою, як показано в табл. 1. Тут перший досвід являє собою неодружене зважування, т. Е. По суті справи, визначення нульового положення ваг.

Наступні досліди - почергове зважування кожного із зразків. Маса кожного зразка оцінюється за результатами тільки двох дослідів: того досвіду, в якому зважується зразок, і холостого зважування. Наприклад, маса зразка А = у2- у1; зразка В = у3- у1; зразка С = у4- у1.

Схема зважування в другому випадку показана в табл. 2.

Тут у першому досвіді зважують всі три зразки разом (неодружене зважування не проводиться), а в наступних дослідах - кожен зразок окремо. У цьому випадку масу кожного зразка оцінюють за результатами всіх дослідів. Дійсно, маса зразка; зразка; зразка.

Таблиця 1

Схема однофакторного експерименту зі зважування зразків А, В і С

 Номер досвіду А В С Результати зважування

 1 - - -

 y 1

 2 + - -

 y 2

 3 - + -

 y 3

 4 - - +

 y 4

Таблиця 2

Схема багатофакторного експерименту по зважуванню зразків А, В і С

 Номер досвіду А В С Результати зважування

 1 + + +

 y 1

 2 + - -

 y 2

 3 - + -

 y 3

 4 - - +

 y 4

Який же із способів зважування краще? Будемо вважати кращим способом той, який дає більш високу точність. Якщо скористатися законом складання дисперсій, для першого способу зважування отримаємо:

де- дисперсія результатів зважування зразків; Sy- середньоквадратична помилка зважування.

Для другого способу

Виявляється, другий спосіб забезпечує точність вдвічі вище в порівнянні з першим, хоча загальна кількість дослідів в обох випадках однаково. Сталося це з цілком зрозумілої причини. Перший спосіб зважування є традиційною схемою експерименту - типовою однофакторной. Незважаючи на те, що тут всього було зроблено чотири досвіду, масу кожного зразка визначали тільки за результатами зважування двох зразків. Другий же спосіб являє собою схему багатофакторного експерименту. Тут масу зразка визначали за результатами всіх дослідів, а це і дає виграш в точності. Щоб отримати результати з тією ж точністю при традиційному експериментуванні, доведеться повторити всі досліди, т. Е. Проробити по суті справи вдвічі більшу роботу. Легко показати, що зі збільшенням числа факторів ефективність багатофакторного експерименту зростає.

2. Вихідні дані

У розділі "Вихідні дані" слід привести факторний план експерименту, який видається в табличній формі в завданні на самостійну роботу, дати характеристику факторного плану по рівномірності дублювання експериментів в кожному досвіді і дати короткий опис (розшифровку) факторного плану.

За рівномірності дублювання експериментів розрізняють факторні плани з рівномірним (табл. 3) і нерівномірним дублюванням. Під дублюванням розуміється не серія вимірювань в одному досвіді ("кілька зразків на точку"), а повне повторення досвіду: приготування сплаву заново, нове проведення всіх технологічних операцій механічної обробки зразків та їх підготовки до випробувань.

Рівномірний дублювання передбачає повторення експериментів у кожній серії дослідів однакове число раз (дублів). У розглянутому прикладі повного факторного плану з рівномірним дублюванням (табл. 3) кількість дублів становить 3 на кожну серію дослідів, а кількість дослідів - 8. Таким чином, для постановки експерименту необхідно 24 зразка.

Нерівномірний дублювання передбачає повторення експериментів у кожній серії дослідів неоднакове число разів. На практиці нерівномірне дублювання експериментів використовується порівняно рідко через складність побудови регресійних моделей по одержуваних досвідченим даним.

При вирішенні прикладних задач матеріалознавства кількість дублів в кожному досвіді приймають не менше 3-х. Це обумовлено наступним обставиною. При вивченні властивостей більшості матеріалів одними з найбільш істотних факторів, які ці властивості визначають, є елементи хімічного складу матеріалів. Отже, план експерименту передбачає приготування ряду сплавів певного хімічного складу. Але готувати сплави точно заданого складу (а цього вимагають передумови регресійного аналізу) не завжди просто. У тому випадку, коли потрапляння до складу незадовільно, як і у всіх інших випадках непотрапляння факторів на заданий рівень, можна спробувати врахувати помилки у визначенні факторів. Однак коли фіксація факторів на заданих рівнях відбувається з дуже великими порушеннями, фактори (незалежні змінні) можна вважати випадковими змінними, значення яких змінюються від одного досвіду до іншого відповідно до деякого розподілом. У цьому випадку слід взагалі відмовитися від використання регресійного аналізу та скористатися, наприклад, конфлюентним аналізом.

Розшифруємо матрицю планування з рівномірним дублюванням експериментів, наведену в табл. 3. Метою досліджень було вивчення впливу хімічного складу чавунних гальмівних колодок на їх зносостійкість (y) в умовах сухого тертя в трибосопряжений з контртіло із загартованої сталі 45. Всього було вироблено вісім серій дослідів. Кожен досвід дублювався 3 рази, отже, дублювання рівномірний.

Варійованими факторами (незалежними змінними) були концентрації легуючих елементів в чавуні: алюмінію (x1), марганцю (x2), вуглецю (x3). Межі варіювання хімічного складу чавуну (див. Табл. 3): Al - 10,8 ... 11,0%, інтервал варіювання 0,1%; Mn - 1,2 ... 1,8%, інтервал варіювання 0,3%; С - 31,4 ... 32,6%, інтервал варіювання 0,6%. Умовно зміст легуючих елементів по верхньому і нижньому межам (рівням) позначені через кодовані значення факторів "Хi = +1" і "Хi = -1". Верхній рівень "Хi = +1" відповідає максимальному вмісту легуючого елемента, нижній рівень "Хi = -1" - мінімального його змісту.

Таким чином, змінні хiзадают хімічний склад сплаву через концентрацію легуючих елементів в натуральному вигляді, а змінні ХI- в кодованому вигляді відповідно через верхній (Хi = +1) і нижній (Хi = -1) рівні (табл. 3). Надалі для побудови регресійної моделі спочатку будуть використовуватися кодовані значення факторів Хi, а потім буде проводитися перехід від кодованих значень факторів до їх фактичним значенням хi.

Таблиця 3

Матриця плану ПФЕ 23с рівномірним дублюванням експериментів

 Варійований фактор Натуральні (фактичні) значення факторів

 Значення y iu (інтенсивність зношування, г / см 2)

 х 1 (% Al)

 х 2 (% Mn)

 х 3 (% С)

 Основний рівень, х i0 10,9 1,5 32,0

 Інтервал варіювання, D х i 0,1 0,3 0,6

 Верхній рівень, х i (max) (Х i = +1) 11,0 1,8 32,6

 Нижній рівень, х i (min) (Х i = -1) 10,8 1,2 31,4

 № досвіду, u Кодовані значення факторів і відповідні їм (в дужках) натуральні значення Номер дубля

 Х 1 (Al)

 Х 2 (Mn)

 X 3 (С) 1 2 3

 u = 1 -1 (10,8%) -1 (1,2%) -1 (31,4%) 97,8 99,4 94,6

 u = 2 +1 (11,0%) -1 (1,2%) -1 (31,4%) 128,3 130,0 124,4

 u = 3 -1 (10,8%) +1 (1,8%) -1 (31,4%) 152,1 149,4 159,6

 u = 4 +1 (11,0%) +1 (1,8%) -1 (31,4%) 73,8 71,2 70,7

 u = 5 -1 (10,8%) -1 (1,2%) +1 (32,6%) 110,3 118,5 112,2

 u = 6 +1 (11,0%) -1 (1,2%) +1 (32,6%) 93,8 91,1 90,4

 u = 7 -1 (10,8%) +1 (1,8%) +1 (32,6%) 126,2 130,3 124,8

 u = 8 +1 (11,0%) +1 (1,8%) +1 (32,6%) 114,2 110,4 111,9

Відповідно до даних табл. 3 для побудови регресійної залежності інтенсивності зношування чавунних гальмівних колодок від вмісту в них вуглецю, алюмінію і кремнію необхідно провести 24 експерименту. Для того щоб виключити вплив систематичних помилок, викликаних різними зовнішніми умовами, дані експерименти проводяться рандомизированно в часі, тобто. Е. У випадковій послідовності.

3. Розрахунок дисперсії досвіду

Построчная дісперсіядля кожного експерименту визначається за формулою:

(1)

(2)

де g і nu- номер і кількість дублів експерименту відповідно; - результат g-го повторення u-го експерименту; - середнє арифметичне значення всіх дублів u - го експерименту; fu- число ступенів свободи в u - м досвіді при визначенні u - й порядкової дисперсії.

Число ступенів свободи - поняття, що враховує в статистичних ситуаціях зв'язку, що обмежують свободу зміни випадкових величин. Це число визначається як різниця між числом виконаних дослідів і числом констант (середніх, коефіцієнтів та ін.), Підрахованих за результатами тих же дослідів.

У нашому випадку nu = 3, fu = 3 - 1 = 2. Тоді вираз (1) можна переписати таким чином:

(3)

Построчная дисперсія за виразом (3) розраховується для кожного u - го досвіду окремо. Результати розрахунків порядкової дисперсії наведено в табл. 4.

Таблиця 4

Результати розрахунку порядкової дисперсії

 Номер

 досвіду, u Номер дубля, g

 Питома втрата маси,, г / см 2

 Середнє арифметичне значення інтенсивності зношування,, г / см 2

 Построчная дисперсія,

 1 1 97,8 97,3 5,975

 2 99,4

 3 94,6

 2 1 128,3 127,6 8,245

 2 130,0

 3 124,4

 3 1 152,1 153,7 27,93

 2 149,4

 3 159,6

 4 1 73,8 71,9 2,77

 2 71,2

 3 70,7

 5 1 110,3 113,7 18,43

 2 118,5

 3 112,2

 6 1 93,8 91,8 3,225

 2 91,1

 3 90,4

 7 1 126,2 127,1 8,17

 2 130,3

 3 124,8

 8 1 114,2 112,2 3,665

 2 110,4

 3 111,9

регресія дисперсія дублювання

Наведемо приклад розрахунку порядкової дисперсії в першому досвіді (u = 1):

Після визначення порядкової дисперсій проводять перевірку відтворюваності експериментальних даних. Перевірка виконується в тому випадку, якщо має місце дублювання дослідів, що є обов'язковим правилом при проведенні планованого експерименту. На цій стадії перевіряється гіпотеза про постійність дисперсії шуму з використанням критерію Кохрена. Перевірка цієї гіпотези дозволяє судити про однорідність або неоднорідність ряду дисперсій. Якщо ряд дисперсій однорідний, різні значення функції відгуку (y) визначаються з однаковою точністю. Якщо ряд дисперсій неоднорідний, різні значення функції відгуку (y) визначаються з різною точністю.

Процедура перевірки статистичних гіпотез у загальному випадку формально передбачає порівняння деякого критерію, розрахованого за експериментальними даними, з його табличним значенням при обраному заздалегідь рівні значущості a. Рівень значимості a визначає найбільшу ймовірність відкинути правильну гіпотезу, т. Е. Найбільшу ймовірність припущення про те, що експериментальний результат помилковий. Наприклад, якщо рівень значущості вибирають рівним 0,05 (що, дуже часто робиться в технічних завданнях), то це означає, що допускається 5% -ва ймовірність неправильного рішення і довірча 95% -ва ймовірність вірного.

Якщо знайдене за експериментальними даними значення критерію потрапляє в область, що відповідає рівню значущості, то проверяемая гіпотеза неправильна і її слід відкинути, зробивши помилку з імовірністю a. Якщо ж експериментальне значення критерію потрапляє в область, відповідну ймовірності (1-a), то перевіряється гіпотезу приймають, зробивши помилку, пов'язану вже з альтернативної гіпотезою.

Розрахункове значення критерію Кохрена розраховується за формулою:

, (4)

де- найбільша в ряду дисперсія, яку порівнюють із значенням G - критерію, узятим з табл. А1 (додаток А) залежно від рівня значущості a, числа ступенів свободи fuі числа дослідів N: G (a; fu; N). У даному випадку fu = 2; N = 8.

З табл. 4 знаходимо максимальну порядкову дісперсіюіТогда Gpacч = 27,93 / 78,4 = 0,356.

Прийнявши значення рівня значущості a = 0,05, для числа ступенів свободи fu = 2 і числа дослідів N = 8 отримаємо наступне табличне значення G-критерію :.

Якщо Gpacч <, ряд дисперсій однорідний. Якщо Gpacч>, ряд дисперсій неоднорідний.

У розглянутому прикладі Gpacч>, тобто ряд дисперсій неоднорідний. Зазвичай така ситуація виникає, якщо серед аналізованих експериментальних даних є грубі помилки або промахи, пов'язані з помилками, допущеними при проведенні експерименту. У такому випадку експеримент слід повторити, ретельно проаналізувавши його з методологічної точки зору і приділивши особливу увагу методиці збору та обробки експериментальних даних. Якщо при ретельному аналізі експериментальних даних грубих помилок і промахів не виявлено, неоднорідність ряду дисперсій означає, що значення функції відгуку (y) дійсно визначені з різною точністю, проте в кожному окремому досліді рівень шумів (помилок) не виходить за межі допустимих значень. Саме такий висновок справедливий для результатів вимірювань і розрахунків, представлених в табл. 4. У всіх дублях значення функції отклікаочень щільно групуються щодо середніх значень.

4. Розрахунок коефіцієнтів регресії

Модель досліджуваного процесу представимо у вигляді узагальненого рівняння:

y = b0 + S (biXi) + S (bijXiXj) + b123X1X2X3. (5)

Стосовно до трехфакторной експерименту рівняння (5) можна записати у вигляді:

y = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 + b12X1Х2 + b13X1Х3 + b23X2Х3 + b123X1X2X3, (6)

де X1, X2, X3- кодовані значення рівнів факторів (табл. 3). Кодовані значення рівнів факторів в рівнянні (6) можуть приймати значення +1 і -1.

Коефіцієнти рівняння регресії (6) розраховуються по залежності:

(7)

де u - номер досвіду; - кодовані значення рівнів варійованих факторів / незалежних змінних X1 (Al), X2 (Mn), X3 (С) / (табл. 3); - середні арифметичні значення функції відгуку (інтенсивності зношування) (табл. 4 ).

Розпишемо рівняння (7) для всіх коефіцієнтів, що входять в регресійну модель (6):

(8)

Для розрахунку коефіцієнтів регресії складемо розширену матрицю планування (табл. 5).

Таблиця 5

Розширена матриця плану 23

 Номер

 досвіду

 Х 0

 Х 1

 Х 2

 Х 3

 Х 4 = Х 1 Х 2

 Х 5 = Х 1 Х 3

 Х 6 = Х 2 Х 3

 Х 7 = Х 1 Х 2 Х 3

 , Г / см 2

 1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 97,3

 2 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 127,6

 3 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 153,7

 4 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 71,9

 5 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 113,7

 6 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 91,8

 7 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 127,1

 8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 112,2

Розрахуємо коефіцієнти в рівнянні регресії (6) по залежностях (8) з урахуванням знаків Хiв шпальтах табл. 5:

Таким чином, отримані наступні значення коефіцієнтів рівняння регресії:

b0 = 111,9; b12 = b4 = -13,14;

b1 = -11,03; b13 = b5 = 1,83;

b2 = 34,5; b23 = b6 = 4,13;

b3 = -0,7125; b123 = b7 = 14,89.

Якщо ввести позначення b12 = b4; b13 = b5; b23 = b6; b123 = b7і врахувати позначення, прийняті в табл. 5, регресійне рівняння (6) запишеться у вигляді:

y = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 + b4X4 + b5X5 + b6X6 + b7X7. (9)

5. Перевірка статистичної значущості коефіцієнтів регресії

Коефіцієнти регресії, розраховані за рівнянням (7), строго кажучи, визначені не точно, а з деякою погрішністю. Мірою цієї похибки є дисперсія оцінок коефіцієнтів. Неминуче наявність похибки у визначенні коефіцієнтів регресії обумовлено коливаннями значень функції відгуку при дублюванні експериментів в кожному досвіді. З урахуванням цього рівняння (7) можна записати в наступному вигляді: Очевидно, що при досить малих значеннях коефіцієнтів biабсолютная похибка їх визначення 2 ? Dbi, обумовлена ??похибкою визначення значень функції відгуку, може виявитися неприпустимо великий. У цьому випадку значення коефіцієнта слід визнати статистично незначущим, а сам коефіцієнт виключити з регресійній моделі. Статистична незначущість коефіцієнта означає відсутність його впливу на досліджуваний процес.

Оскільки дублювання експериментів рівномірний, дисперсію оцінок коефіцієнтів рівняння регресії можна розрахувати за залежністю:

, (10)

де nu- кількість дублів в кожному досвіді (nu = 3); N - кількість дослідів (N = 8); - середня дисперсія експерименту.

Якщо ряд дисперсій однорідний, середня дисперсія експерименту розраховується за рівнянням:

, (11)

де- значення порядкової дисперсій (табл. 4).

Якщо ряд дисперсій неоднорідний (значення функції відгуку в різних дослідах визначені з різною точністю), але в результатах вимірювань значень функції відгуку відсутні грубі помилки і промахи, як середньої дисперсії експерименту приймається максимальна порядкова дисперсія. Відповідно до даних табл. 4 максимальна порядкова дисперсія отримана в першому досвіді :. Її значення і приймаємо як середню дисперсію експерименту :. Тоді дисперсія оцінок коефіцієнтів регресії дорівнює

Середньоквадратична ошібкаоценкі коефіцієнтів регресії визначається як:

. (12)

Для розглянутого випадку

Розрахуємо довірчий інтервал коефіцієнтів регресії:

, (13)

де- критерій Стьюдента, що залежить від рівня значущості a і числа ступенів свободи f2прі визначенні дисперсії експерименту:

Для повного факторного експерименту 23f2 = (3-1) ? 8 = 16.

Вибравши рівень значимості a = 0,05, при числі ступенів свободи f2 = 16 з табл. Б1 (додаток Б) знайдемо табличне значення критерію Стьюдента (t-критерію) t0,05; 16 = 2,12. За висловом (13) розрахуємо довірчий інтервал коефіцієнтів регресії:

Коефіцієнти рівняння регресії, абсолютна величина яких дорівнює довірчого інтервалу або більше його, слід визнати статистично значущими. Тобто для статистично значущих коефіцієнтів має виконуватися умова:

або. (14)

Умова (14) означає, що абсолютні значення статистично значущих коефіцієнтів регресії biдолжни не менше ніж враз перевищувати абсолютну помилку їх визначення.

Статистично значущими коефіцієнтами, точність оцінки яких можна вважати задовільною, є коефіцієнти b0, b1, b2, b12 = b4, b13 = b5, b23 = b6і b123 = b7.

Статистично незначущі коефіцієнти (b3) з моделі слід виключити, оскільки їх значення не можуть вважатися достовірними.

Підставляючи значення статистично значущих коефіцієнтів у вираз (9), отримаємо наступне рівняння регресії:

. (15)

6. Перевірка адекватності моделі

Процедура перевірки адекватності моделі зводиться до виконання ряду послідовних обчислень:

1. Розрахунок теоретичних значень функції відгуку в кожному досвіді за рівнянням (15).

2. Зіставлення розрахункових і експериментальних значень функції відгуку і знаходження дисперсії неадекватності.

3. Розрахунок критерію Фішера і остаточний висновок на основі зіставлення його розрахункового та табличного значень про адекватність або неадекватність моделі.

За допомогою отриманого рівняння (15) визначимо розрахункові значення функції відгуку (питомої втрати маси y). Всі значення Хiв дане рівняння входять в кодовому масштабі. Наприклад, в 4-му досвіді х1 = +1, х2 = +1, х3 = -1, х4 = +1, х7 = -1 (табл. 3, 5). Тоді розрахункове значення питомої втрати маси в цьому досвіді дорівнюватиме:

у (4) = 111,9-11,03 + 34,5-13,14-1,83-4,13-14,89 = 101,38 г / см2.

Підраховані таким чином значення питомої втрати маси наведено в табл. 6. Дані табл. 4 будемо використовувати для визначення дисперсії неадекватності. При рівномірному дублюванні експериментів дисперсія неадекватностіопределяется по залежності:

;, (16)

гдеі- значення функції відгуку в u-му експерименті, відповідно розраховані за рівнянням регресії і певні експериментально; f1- число ступенів свободи; - число залишених коефіцієнтів рівняння регресії, включаючи b0 (); N - число дослідів плану (N = 8). Тоді f1 = 8 - 7 = 1.

Таким чином, якщо з регресійній моделі виключений, хоча б один статистично незначний коефіцієнт (а це неминуче, якщо варійовані чинники дійсно є незалежними змінними), масив разностейбудет містити інформацію про помилки в прогнозі значень функції відгуку.

Таблиця 6

Зіставлення експериментальних і розрахункових даних

 Номер експерименту, u

 1 97,3 66,36 30,94 957,3

 2 127,6 96,7 30,9 954,8

 3 153,7 183,16 -29,46 867,9

 4 71,9 101,38 -29,48 869,1

 5 113,7 84,22 29,48 869,1

 6 91,8 62,32 29,48 869,1

 7 127,1 157,98 -30,88 953,6

 8 112,2 143,08 -30,88 953,6

У даному випадку побудована модель (15) включає шість коефіцієнтів :. Тоді у відповідності з виразом (16).

Гіпотеза про адекватність моделі (15) перевіряється за критерієм Фішера. Його розрахункове значення знаходимо з рівняння:

. (17)

.

З виразу (17) випливає, що розрахункове значення критерію Фішера являє собою відношення дисперсії неадекватності до дисперсії досвіду. По суті справи він дозволяє відповісти на питання: у скільки разів модель пророкує значення функції відгуку гірше в порівнянні з досвідом? Тоді табличне значення критерію Фішера має регламентувати допустиме відхилення розрахункових значень функції відгуку щодо досвідчених даних.

Табличне значення критерію Фішера визначається залежно від рівня значущості a і числа ступенів свободи f1і f2, визначених раніше: F (a; f1; f2). При рівні значущості a = 0,05 табличне значення F - критерію (табл. В1, додаток В) одно.

7. Аналіз моделі

Всі міркування про направлення і силі впливу вивчених факторів на зносостійкість чавунних гальмівних колодок можна висловити тільки для обраних інтервалів їх зміни.

З аналізу отриманого рівняння регресії (15), можна зробити висновок про те, що найбільш істотно збільшує зносостійкість фактор X3 (С), а значить, для виготовлення гальмівних колодок слід використовувати чавун з максимальним вмістом вуглецю: 3,8 мас. %.

Встановлено, що найменші питомі втрати маси (0,071 г / cм2) отримані на зразку № 7 (Al - 2,5%, Mn - 12%, С - 3,8%) (табл. 6).

ДОДАТОК А

Таблиця А1

Критичні значення G-критерію (критерію Кохрена) при рівні значущості a = 0,05

 Число дослідів, N

 Число ступенів свободи,

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 36 144

 2 0,999 0,975 0,939 0,906 0,858 0,853 0,833 0,816 0,801 0,788 0,734 0,66 0,581

 3 0,967 0,871 0,798 0,746 0,707 0,677 0,653 0,633 0,617 0,603 0,547 0,475 0,403

 4 0,907 0,768 0,684 0,629 0,59 0,56 0,537 0,518 0,502 0,488 0,437 0,372 0,309

 5 0,841 0,684 0,598 0,544 0,506 0,478 0,456 0,439 0,424 0,412 0,365 0,307 0,251

 6 0,781 0,616 0,532 0,48 0,445 0,418 0,398 0,382 0,368 0,357 0,314 0,261 0,212

 7 0,727 0,561 0,48 0,431 0,391 0,373 0,356 0,338 0,325 0,315 0,276 0,228 0,183

 8 0,68 0,516 0,438 0,391 0,36 0,336 0,319 0,304 0,293 0,283 0,246 0,202 0,162

 9 0,64 0,478 0,403 0,358 0,329 0,307 0,29 0,277 0,266 0,257 0,223 0,182 0,145

 10 0,602 0,445 0,373 0,331 0,303 0,282 0,267 0,254 0,244 0,235 0,203 0,166 0,131

 12 0,541 0,392 0,326 0,288 0,262 0,244 0,23 0,219 0,21 0,202 0,174 0,14 0,11

 15 0,471 0,335 0,276 0,242 0,22 0,203 0,191 0,182 0,174 0,167 0,143 0,114 0,089

 20 0,389 0,271 0,221 0,192 0,174 0,16 0,15 0,142 0,136 0,13 0,111 0,088 0,068

 24 0,343 0,235 0,191 0,166 0,149 0,137 0,129 0,121 0,116 0,111 0,094 0,074 0,057

 30 0,293 0,198 0,159 0,138 0,124 0,114 0,106 0,1 0,096 0,092 0,077 0,06 0,046

 40 0,237 0,158 0,126 0,108 0,097 0,089 0,083 0,078 0,075 0,071 0,06 0,046 0,035

 60 0,174 0,113 0,09 0,077 0,068 0,062 0,058 0,055 0,052 0,05 0,041 0,032 0,023

 120 0,1 0,063 0,05 0,042 0,037 0,034 0,031 0,029 0,028 0,027 0,022 0,017 0,012

ДОДАТОК Б

Таблиця Б1

Критичні значення t-критерію (критерію Стьюдента)

 Число ступенів свободи, Рівень значущості, a

 Число ступенів свободи, Рівень значущості, a

 0,1 0,05 0,01 0,1 0,05 0,01

 1 6,31 12,7 63,66 16 1,75 2,12 2,92

 2 2,92 4,3 9,93 17 1,74 2,11 2,9

 3 2,35 3,18 5,84 18 1,73 2,1 2,88

 4 2,13 2,78 4,6 19 1,73 2,09 2,86

 5 2,02 2,57 4,03 20 1,73 2,08 2,85

 6 1,94 2,45 3,71 21 1,72 2,08 2,83

 7 1,9 2,37 3,5 22 1,72 2,07 2,82

 8 1,86 2,31 3,36 23 1,71 2,07 2,81

 9 1,83 2,26 3,25 24 1,71 2,06 2,8

 10 1,81 2,23 3,17 25 1,71 2,06 2,79

 11 1,8 2,2 3,11 26 1,71 2,06 2,78

 12 1,78 2,18 3,06 27 1,7 2,05 2,77

 13 1,77 2,16 3,01 28 1,7 2,05 2,76

 14 1,76 2,15 2,98 29 1,7 2,04 2,75

 15 1,75 2,13 2,95 30 1,7 2,04 2,75

ДОДАТОК В

Таблиця В1

Значення критерію Фішера (F-критерію) при рівні значущості a = 0,05

 Число ступенів свободи,

 Число ступенів свободи, (N - кількість дослідів; - кількість статистично значимих коефіцієнтів в регресійному рівнянні)

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 20 24 30

 2 18,51 19 19,16 19,25 19,3 19,33 19,36 19,37 19,38 19,39 19,41 19,42 19,43 19,44 19,45 19,46

 3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,88 8,84 8,81 8,78 8,74 8,71 8,69 8,66 8,64 8,62

 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6 5,96 5,91 5,87 5,84 5,8 5,77 5,74

 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,78 4,74 4,68 4,64 4,6 4,56 4,53 4,5

 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,1 4,06 4 3,96 3,92 3,87 3,84 3,81

 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,63 3,57 3,52 3,49 3,44 3,41 3,38

 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,5 3,44 3,39 3,34 3,28 3,23 3,2 3,15 3,12 3,08

 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,13 3,07 3,02 2,98 2,93 2,9 2,86

 10 4,96 4,1 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,97 2,91 2,86 2,82 2,77 2,74 2,7

 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,2 3,09 3,01 2,95 2,9 2,86 2,79 2,74 2,7 2,65 2,61 2,57

 12 4,75 3,88 3,49 3,26 3,11 3 2,92 2,85 2,8 2,76 2,69 2,64 2,6 2,54 2,5 2,46

 13 4,67 3,8 3,41 3,18 3,02 2,92 2,84 2,77 2,72 2,67 2,6 2,55 2,51 2,46 2,42 2,38

 14 4,6 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,77 2,7 2,65 2,6 2,53 2,48 2,44 2,39 2,35 2,31

 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,9 2,79 2,7 2,64 2,59 2,55 2,48 2,43 2,39 2,33 2,29 2,25

 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,42 2,37 2,33 2,28 2,24 2,2

 17 4,45 3,59 3,2 2,96 2,81 2,7 2,62 2,55 2,5 2,45 2,38 2,33 2,29 2,23 2,19 2,15

 18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,34 2,29 2,25 2,19 2,15 2,11

 19 4,38 3,52 3,13 2,9 2,74 2,63 2,55 2,48 2,43 2,38 2,31 2,26 2,21 2,15 2,11 2,07

 20 4,35 3,49 3,1 2,87 2,71 2,6 2,52 2,45 2,4 2,35 2,28 2,23 2,18 2,12 2,08 2,04

 21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 2,25 2,2 2,15 2,09 2,05 2

 22 4,3 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,47 2,4 2,35 2,3 2,23 2,18 2,13 2,07 2,03 1,98

 23 4,28 3,42 3,03 2,8 2,64 2,53 2,45 2,38 2,32 2,28 2,2 2,14 2,1 2,05 2 1,96

 24 4,26 3,4 3,01 2,78 2,62 2,51 2,43 2,36 2,3 2,26 2,18 2,13 2,09 2,02 1,98 1,94

 Число ступенів свободи,

 Число ступенів свободи, (N - кількість дослідів; - кількість статистично значимих коефіцієнтів в регресійному рівнянні)

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 20 24 30

 25 4,24 3,38 2,99 2,76 2,6 2,49 2,41 2,34 2,28 2,24 2,16 2,11 2,06 2 1,96 1,92

 26 4,22 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 2,15 2,1 2,05 1,99 1,95 1,9

 27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,3 2,25 2,2 2,13 2,08 2,03 1,97 1,93 1,88

 28 4,2 3,34 2,95 2,71 2,56 2,44 2,36 2,29 2,24 2,19 2,12 2,06 2,02 1,96 1,91 1,87

 29 4,18 3,33 2,93 2,7 2,54 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 2,1 2,05 2 1,94 1,9 1,85

 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,34 2,27 2,21 2,16 2,04 2 1,99 1,93 1,89 1,84

 32 4,15 3,3 2,9 2,67 2,51 2,4 2,32 2,25 2,19 2,14 2,07 2,02 1,97 1,91 1,86 1,82

 34 4,13 3,28 2,88 2,65 2,49 2,38 2,3 2,23 2,17 2,12 2,05 2 1,95 1,89 1,84 1,8

 36 4,11 3,26 2,86 2,63 2,48 2,36 2,28 2,21 2,15 2,1 2,03 1,98 1,93 1,87 1,82 1,78

 38 4,1 3,25 2,85 2,62 2,46 2,35 2,26 2,19 2,14 2,09 2,02 1,96 1,92 1,85 1,8 1,76

 40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,07 2 1,95 1,9 1,84 1,79 1,74

 42 4,07 3,22 2,83 2,59 2,44 2,32 2,24 2,17 2,11 2,06 1,99 1,94 1,89 1,82 1,78 1,73

 44 4,06 3,21 2,82 2,58 2,43 2,31 2,23 2,16 2,1 2,05 1,98 1,92 1,88 1,81 1,76 1,72

 46 4,05 3,2 2,81 2,57 2,42 2,3 2,22 2,14 2,09 2,04 1,97 1,91 1,87 1,8 1,75 1,71

 48 4,04 3,19 2,8 2,56 2,41 2,3 2,21 2,14 2,08 2,03 1,96 1,9 1,86 1,79 1,74 1,7

 50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,4 2,29 2,2 2,13 2,07 2,02 1,95 1,9 1,85 1,78 1,74 1,69

 55 4,02 3,17 2,78 2,54 2,38 2,27 2,18 2,11 2,05 2 1,93 1,88 1,83 1,76 1,72 1,67

 60 4 3,15 2,76 2,52 2,37 2,25 2,17 2,1 2,04 1,99 1,92 1,86 1,81 1,75 1,7 1,65

 65 3,99 3,14 2,75 2,51 2,36 2,24 2,15 2,08 2,02 1,98 1,9 1,85 1,8 1,73 1,68 1,63

 70 3,98 3,13 2,74 2,5 2,35 2,23 2,14 2,07 2,01 1,97 1,89 1,84 1,79 1,72 1,67 1,62

 80 3,96 3,11 2,72 2,48 2,33 2,21 2,12 2,05 1,99 1,95 1,88 1,82 1,77 1,7 1,65 1,6

 100 3,94 3,09 2,7 2,46 2,3 2,19 2,1 2,03 1,97 1,92 1,85 1,79 1,75 1,68 1,63 1,57

 125 3,92 3,07 2,68 2,44 2,29 2,17 2,08 2,01 1,95 1,9 1,83 1,77 1,72 1,65 1,6 1,55

 150 3,91 3,06 2,67 2,43 2,17 2,16 2,07 2 1,94 1,89 1,82 1,76 1,71 1,64 1,59 1,54

 200 3,89 3,04 2,65 2,41 2,26 2,14 2,05 1,98 1,92 1,87 1,8 1,74 1,69 1,62 1,57 1,52

 400 3,86 3,02 2,62 2,39 2,23 2,12 2,03 1,96 1,9 1,85 1,78 1,72 1,67 1,6 1,54 1,49

Список використаних джерел

1. Статистичні методи обробки емпіричних даних / В.А. Грішників, Б.Н. Волков, А.І. Кубарєв - М .: Изд-во стандартів. - 1978. - 232с.

2. Барабашук В.І. Планування експерименту в техніці. - К .: Техніка. - 1984. - 200с.

3. Ернесто Рафалес-Ламарка. Методологія науково-технічного дослідження. - Луганськ. - 1992. - 218с.

4. Волченко В.Н. Статистичні методи управління якістю за результатами неруйнівного контролю. - М .: Машинобудування. - 1976. - 64с.

5. Ноулер Л., Хауелл Дж., Голд Б. Статистичні методи контролю якості продукції. - М .: Изд-во стандартів. - 1984. - 104с.

6. Новик Ф.С., Арсов Я.Б. Оптимізація процесів технології металів методами планування експериментів. - М .: Машинобудування. - 1980. - 304с.

7. Розанов Ю.Н. Методи математичної статистики в матеріалознавстві. - Л .: Машинобудування. - 1990. - 232с.

8. Дьяконов В.П., Абраменкова І.В. MathCAD в математиці, фізиці і в Internet. - М .: Нолидж, 1999. - 352с.

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка