трусики женские украина

На головну

 Теорія ймовірностей - Математика

Міністерство освіти і науки Російської Федерації

Бузулукський гуманітарно-технологічний інститут (філія) державного освітнього закладу вищої професійної освіти

«Оренбурзький державний університет»

Факультет заочного навчання

Кафедра фізики, інформатики, математики

Контрольна робота

з дисципліни Математика

Керівник роботи:

Шабаліна Л.Г.

Виконавець:

Студент з-09 ПГС групи

Сушков Е.А.

Бузулук 2010

Завдання 1

1. Робітник обслуговує три верстати, що працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що протягом години 1-й верстат не зажадає уваги робочого, дорівнює 0,9; для другого - 0,8; для третього - 0,85.

Яка ймовірність того, що протягом години:

а) жоден верстат не зажадає уваги робочого;

б) всі три верстата зажадають уваги робітника;

в) який-небудь один верстат зажадає уваги робочого;

г) хоча б один верстат зажадає уваги робочого?

Рішення: I II III

P 0, 9 0, 8 0, 85

а) А (i = 1,2,3) - не потребуватиме уваги верстат протягом години

В - подія, де всі 3 верстата не зажадають уваги робочого протягом години

Р (В) = Р (А1 ? А2 ? А3) = Р (А1) ? Р (А2) ? Р (А3) = 0,9 ? 0,8 ? 0,85 = 0,612

б) А (i = 1,2,3) - не потребують i-й уваги верстат

? (i = 1,2,3) - зажадає i-й уваги верстат, незалежне подія

Р (? 1) = 1 - 0,9 = 0,1

Р (? 2) = 1 - 0,8 = 0,2

Р (? 3) = 1 - 0,85 = 0,15

Р (? 1 ? ? 2 ? ? 3) = (0,1 ? 0,2 ? 0,15) = 0,003

в) ? 1 = 0,1; ? 2 = 0,2; ? 3 = 0,85

Аi - один верстат зажадає уваги робочого протягом години

Р (В) = Р (А1 ? ? 2 ? А3 + ? 1 ? А2 ? А3 + А1 ? А2 ? ? 3) = (0,9 ? 0,2 ? 0,85 + 0,1 ? 0,8 ? 0,85 + 0,9 ? 0,8 ? 0,15) = 0,329

г) Знайдемо ймовірність через протилежну подію, тобто жоден верстат не зажадає уваги робочого протягом години

Р (А1 ? А2 ? А3) = Р (А1) ? Р (А2) ? Р (А3) = 0,9 ? 0,8 ? 0,85 = 0,612

Р (С) = 1 - 0,612 = 0,388

Відповідь: а) ймовірність дорівнює 0,612, що протягом години жоден верстат не зажадає уваги робочого; б) ймовірність дорівнює 0,003, що протягом години всі три верстата зажадають уваги робітника; в) ймовірність дорівнює 0,329, що протягом години який-небудь один верстат зажадає уваги робочого; г) ймовірність дорівнює 0,388, що протягом години хоча б один верстат зажадає уваги робочого.

Завдання 2

Ящик містить 10 деталей, серед яких 3 стандартні. Знайти ймовірність того, що серед відібраних 5 деталей виявляться: а) тільки 2 стандартні деталі; б) всі деталі нестандартні; в) всі деталі стандартні; г) хоча б одна деталь стандартна.

Рішення:

а) число способів, де взяли 5 деталей з 10 деталі, можна підрахувати за формулою:

С2 - число способів, де взяли 2 стандартні деталі з 3-х нестандартних

С3 - число способів, де взяли 3 стандартні деталі з 7-ми нестандартних

С5 - всього способів, де взяли 5 стандартних деталей з 10-ти

С2 = __ 3! ___ = 3 С3 = __7! ___ = 35 С5 = __10! ___ = 252

2! ? 1! 3! ? 4! 5! ? 5!

С3 ? С7 = 3 ? 35 = 0,417

С5 252

б) С7 - число способів вибору, де взяли 5 деталей з 7-ми

С5 = __7! __ = 21

5! ? 2!

Число вибору деталей вважається в поєднанні С5 = 1

С7 - число способів, де взяли 5 деталей з 7-ми

С10 - всього способів, де взяли 5 деталей з 10-ти

Шукана ймовірність Р (Д):

Р (Д) = С7 ? С3 = 21 ? 1 = 0,083

С10 252

в) Подія, де взяли 5 стандартних деталей з 3-х стандартних деталей неможливо. Ймовірність дорівнює нулю.

г) Знайдемо шукану ймовірність через протилежну подію:

С7 - число способів, де взяли 5 нестандартних деталей з 7-ми

С3 - число способів вибору з 3-х

С10 - всього способів, де взяли 5 деталей з 10-ти

С7 ? С3 = 0,083 - шукана ймовірність дорівнює результату під пунктом б). С10

Відповідь: а) Якщо серед відібраних 5 деталей виявляться тільки 2 стандартні деталі, то ймовірність дорівнює 0,417; б) якщо серед відібраних 5 деталей виявляться всі деталі нестандартні, то ймовірність дорівнює 0,083; в) якщо серед відібраних 5 деталей виявляться всі деталі стандартні, то ймовірність дорівнює 0; г) якщо серед відібраних 5 деталей виявиться, хоча б одна деталь стандартна, то ймовірність дорівнює 0,083.

Завдання 3

Є 2 ящика виробів, причому в одному ящику всі вироби доброякісні, а в другому - тільки половина. Виріб, взяте навмання з обраного ящика, виявилося доброякісним. На скільки відрізняються ймовірності того, що виріб належить першому і другому ящику, якщо кількість виробів в ящиках однаково?

Рішення: I ящик II ящик

Доброякісні 50 ? 50 вироби Н1 - взяли з I ящика з доброякісними виробами, то Р (Н1) = 0,5

Н2 - взяли з II ящика, то Р (Н2) = 0,5

Подія А, де взяли доброякісну деталь, Р (А | Н1) = 1

Подія А | Н1 - доброякісна деталь з I ящика

Подія А | Н2 - з II ящика, Р (А | Н2) = 0,5

Тоді шукана ймовірність Р (А) = Р (Н1) ? Р (А | Н1) + Р (Н2) ? Р (А | Н2)

Р (А) = 0,5 ? 1 + 0,5 ? 0,5 = 0,5 + 0,25 = 0,75

Р (Н1) ? Р (А | Н1) ? Р (Н2) ? Р (А | Н2)

Відповідь: Якщо виріб належить першому і другому ящику, і кількість виробів в ящиках однаково, то ймовірності відрізняються на 0,75.

Завдання 4

У ящику знаходяться вироби, зроблені на трьох верстатах: 20 - на першому верстаті, 18 - на другому та 14 - на третьому. Ймовірності того, що вироби, виготовлені на першому, другому і третьому верстатах, відмінної якості, відповідно, дорівнюють 0,7; 0,85; 0,9. Узяте навмання виріб виявилося відмінної якості. Яка ймовірність того, що воно виготовлене на другому верстаті?

Рішення: I II III

20 18 14

0,7 0,85 0,9

Р (А | Н1) = 0,7 Р (А | Н2) = 0,85 Р (А | Н3) = 0,9

Р (А) = 0,7 ? 0,85 ? 0,9 = 0,536

А - взятий виріб відмінної якості з II верстата

Шукана ймовірність дорівнює:

Р (Н2 | А) = ________ Р (Н2) ? Р (А | Н2)

Р (Н1) ? Р (А | Н1) + Р (Н2) ? Р (А | Н2) + Р (А | Н3)

Де Н1, Н2, Н3 - відповідно виготовлено виробів на верстатах I, II і III.

Р (А | Н1) = 0,7 - імовірність відмінною деталі I верстата

Р (А | Н2) = 0,85 - ймовірність відмінною деталі II верстата

Р (А | Н3) = 0,9 - імовірність відмінною деталі III верстата

Р (Н2 | А) = ________ 0,346 ? 0,85 ______________ = 0,294 = 0,365

0,385 ? 0,7 + 0,346 ? 0,85 + 0,269 ? 0,9 0,806

Відповідь: Імовірність дорівнює 0,365, що взяте навмання виріб виявилося відмінної якості виготовлено на другому верстаті.

Завдання 5

Знайти ймовірність того, що подія А відбудеться не менше 2 разів на 4 незалежних випробуваннях, якщо ймовірність настання події А в одному випробуванні дорівнює 0,6.

Рішення:

Подія А відбудеться не менше 2-х разів на 4 незалежних випробуваннях

Р (А) = р Р (А) = Сm ? рm ? qn - m

Р = 0,6

q = 1 - р = 1 - 0,6 = 0,4

- Ймовірність протилежної події. Ні настання події А в першому випробуванні.

Знайдемо твір npq і визначимо формулу обчислення:

ймовірність випадковий величина інтегральний

n = 4 npq = 4 ? 0,6 ? 0,4 = 0,96

Можна використовувати формулу Бернули:

Р (А) = С2 ? p2 ? q2 + С3 ? р3 ? q1 + С4 ? р4 ? q0

Знайдемо через протилежну подію:

Р (А) = 1 - С0 ? p0 ? q4 + С1 ? p1 ? q3 = 1 - 1 ? 1 ? (0,4) 4 + 4 ? 0,6 ? (0,4) 3 = 1 - 0,0256 + 4 ? 0,6 ? 0,064 = 0,9744 + 0,1536 = 1,128

С4 = __4! __ = 4

1! ? 3!

Відповідь: Якщо подія А відбудеться не менше 2 разів на 4 незалежних випробуваннях, то ймовірність дорівнює 1,128.

Завдання 6

Ймовірність того, що пара взуття, навмання з виготовленої партії, виявиться 1-го сорту, дорівнює 0,7. Визначити ймовірність того, що з 2100 пар, що надходять на контроль, число пар першосортною взуття виявиться не менше 1000 і не більше 1500.

Рішення:

Для вирішення задачі використовуємо інтегральну формулу Муавра - Лапласа.

Імовірність подій Рn (m1 ? m ? m2) = Ф (х2) - Ф (х1)

р = 0,7; n = 2100; m1 = 1000; m2 = 1500; q = 0,3

х1 = _m1 - np_ = 1000 - 2100 ? 0,7 = 1000 - 1470 = - 470 = - 22,38

v npq v2100 ? 0,7 ? 0,3 v441 21

х2 = _m2 - np_ = 1500 - 2100 ? 0,7 = 1500 - 1470 = _30_ = 1,43

v npq v2100 ? 0,7 ? 0,3 v441 21

Ф (- х) = - Ф (х) Ф (- 22,38) = 0,5 Ф (- 22,38) = 0,4236

Ф (х2) - Ф (х1) = Ф (х2) + Ф (х1) = 0,5 + 0,4236 = 0,9236

Відповідь: Якщо число пар першосортною взуття виявиться не менше 1000 і не більше 1500, то з 2100 пар, що надходять на контроль, дорівнює ймовірності 0,9236.

Завдання 7

Випадкова величина Х задана інтегральною функцією F (x). Потрібно: а) знайти диференційну функцію f (х) (щільність ймовірності), б) знайти математичне очікування і дисперсію Х, в) побудувати графіки інтегральної та диференціальної функцій, г) ймовірність попадання випадкової величини Х в інтервал.

Рішення:

За визначенням F'(х) = f (х)

0, при х ? 0

f (х) = х2, при 0 ? х ? 2

1, при х ? 2

F'(х) = 0'= 0 F'(х) = (х2 ? 4) '= 0,5х F'(х) = 1'= 0

в) Побудова графіків інтегральної та диференціальної функції.

б) М (Х) = х f (х) dx = 0 dx + х ? _1_ dx + 0 dx = _ 1_ ? х3 ? 3 = х3 ? 6 =

2 лютого = _ 23_ - _03 = 8 - 0 = 4 = а

6 червня 6 Березня

Д (Х) = (х - _4_) 2 f (х) dx = 0 (х - _4) 2 f (х) dx + (х - 4) 2 1 х dx +

3 березня 2 Березня

+ (Х - 4_) 2 f (х) dx = (1 х3 - 4 х2 + 8 х) dx = (1_ ? х4 - 4_ ? х3 + 8_ ? х2) =

3 2 3 9 2 3 9

= 1_ ? 24 - 4 ? 23 + 8_ ? 22 = 16 - 32 + 16 = 144 - 128 = 16 = _2_

2 4 3 3 9 2 8 9 9 72 72 9

г) Р (1 ? Х ? 2) = F (в) - F (а) 22 ? 1 - 12 ? 1 = _1 - _1 = _1_ -

3 4 3 4 9 12 12

вірогідність попадання в цей проміжок.

Відповідь: М (Х) = _4 = а; Д (Х) = _2; Р (1 ? Х ? 2) = _ 1_

3 9 грудня

Завдання 8

Знайти ймовірність попадання в заданий інтервал (a, b) нормально розподіленої випадкової величини Х, якщо відомі її математичне очікування а і середнє квадратичне відхилення s.

a = 2, b = 13, а = 10, s = 4.

Рішення:

Якщо випадкова величина Х нормально розподілена, то вона є безперервною випадковою величиною, і М (Х) обчислюється, як: (a + b) ? 2, а Д (Х) обчислюється, як: (ba) ? (в-а), і s пов'язані формулою v Д.

Тоді ймовірність: Р {Х ? [a, b]} буде обчислюватися за формулою:

Ф ((b - a) ? s) - Ф ((a - b) ? s).

М (Х) = (a + b) ? 2 = (2 + 13) ? 2 = 7,5

Д (Х) = (b - a) 2 ? 12 = 9 ? 12 = 0,75

s = v Д = v 0,75 = 0,87 ? 100 = 87

Те шукана ймовірність знаходиться за формулою:

Р (a ? Х ? b) = Ф ((b - a) ? s) - Ф ((a - b) ? s) = Ф ((13 - 10) ? 4) -

Ф ((2 - 10) ? 4) = Ф (0,75) - Ф (- 2) = Ф (0,75) + Ф (2) = 0,2734 + 0,5 =

= 0,773

Де Фх - функція Лапласа, яку знаходимо по таблиці.

Відповідь: Ймовірність влучення в заданий інтервал (a, b) нормально розподіленої випадкової величини Х, дорівнює 0,773.

Завдання 9

Знайти довірчі інтервали для оцінки математичного сподівання нормального розподілу з надійністю 0,95, якщо вибіркова середня, обсяг вибірки n і середнє квадратичне відхилення s.

= 12, 15, n = 169 s = 5

Рішення:

Знаходимо довірчі інтервали: х - t ? ? а ? х + t ?

v n v n

де Ф (t) = Ф (? ? s) > t = (? ? s) = (0,95 ? 5) = 0,19

х - t ? = 12,15 - 0,19 ? 0,95 = 12,15 - 0,01 = 12,14

v n v 169

х + t ? = 12,15 + 0,19 ? 0,95 = 12,15 + 0,01 = 12,16

v n v 169

Відповідь: Довірчі інтервали 12,14 ? а ? 12,16.

Література

1. Севастьянов Б.А., Чистяков В.П, Зубков А.М. Збірник завдань з теорії ймовірностей - М .: Наука, 1980.

2. Шипачьов В.С. Вища математика. М .: Вища школа, 2004.

3. Чистяков В.П. Курс теорії ймовірності, М .: 2001.

4. Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статістіка.- М .: Вища школа, 2003.

5. Гмурман В.Є. Керівництво вирішення задач з теорії ймовірностей і математичної статістіке.- М .: Вища школа, 2003.

6. Данко П.Е та ін. Вища математика у вправах і завданнях (I і II частина) .- М, 2005.

7. богарі П.П., Печінкін А.В. Теорія ймовірностей. Математична статистика - М .: 1998.

8. Венцель Е.С. Теорія ймовірностей - М .: 1962.

9. Солодовников А.С. Теорія ймовірностей М .: Просвещение, 1978.

10. Виленкин Н.Я., Потапов В.Т. Задачник-практикум з теорії ймовірності з елементами комбінаторики та математичної статистики.

11. Кремер Н.Ш .: «Теорія ймовірностей і математична статистика»; М.ЮНІТІ - Дана, 2003.

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка