На головну

 Теорія ймовірностей - Математика

Міністерство освіти і науки Російської Федерації

Бузулукський гуманітарно-технологічний інститут (філія) державного освітнього закладу вищої професійної освіти

«Оренбурзький державний університет»

Факультет заочного навчання

Кафедра фізики, інформатики, математики

Контрольна робота

з дисципліни Математика

Керівник роботи:

Шабаліна Л.Г.

Виконавець:

Студент з-09 ПГС групи

Сушков Е.А.

Бузулук 2010

Завдання 1

1. Робітник обслуговує три верстати, що працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що протягом години 1-й верстат не зажадає уваги робочого, дорівнює 0,9; для другого - 0,8; для третього - 0,85.

Яка ймовірність того, що протягом години:

а) жоден верстат не зажадає уваги робочого;

б) всі три верстата зажадають уваги робітника;

в) який-небудь один верстат зажадає уваги робочого;

г) хоча б один верстат зажадає уваги робочого?

Рішення: I II III

P 0, 9 0, 8 0, 85

а) А (i = 1,2,3) - не потребуватиме уваги верстат протягом години

В - подія, де всі 3 верстата не зажадають уваги робочого протягом години

Р (В) = Р (А1 ? А2 ? А3) = Р (А1) ? Р (А2) ? Р (А3) = 0,9 ? 0,8 ? 0,85 = 0,612

б) А (i = 1,2,3) - не потребують i-й уваги верстат

? (i = 1,2,3) - зажадає i-й уваги верстат, незалежне подія

Р (? 1) = 1 - 0,9 = 0,1

Р (? 2) = 1 - 0,8 = 0,2

Р (? 3) = 1 - 0,85 = 0,15

Р (? 1 ? ? 2 ? ? 3) = (0,1 ? 0,2 ? 0,15) = 0,003

в) ? 1 = 0,1; ? 2 = 0,2; ? 3 = 0,85

Аi - один верстат зажадає уваги робочого протягом години

Р (В) = Р (А1 ? ? 2 ? А3 + ? 1 ? А2 ? А3 + А1 ? А2 ? ? 3) = (0,9 ? 0,2 ? 0,85 + 0,1 ? 0,8 ? 0,85 + 0,9 ? 0,8 ? 0,15) = 0,329

г) Знайдемо ймовірність через протилежну подію, тобто жоден верстат не зажадає уваги робочого протягом години

Р (А1 ? А2 ? А3) = Р (А1) ? Р (А2) ? Р (А3) = 0,9 ? 0,8 ? 0,85 = 0,612

Р (С) = 1 - 0,612 = 0,388

Відповідь: а) ймовірність дорівнює 0,612, що протягом години жоден верстат не зажадає уваги робочого; б) ймовірність дорівнює 0,003, що протягом години всі три верстата зажадають уваги робітника; в) ймовірність дорівнює 0,329, що протягом години який-небудь один верстат зажадає уваги робочого; г) ймовірність дорівнює 0,388, що протягом години хоча б один верстат зажадає уваги робочого.

Завдання 2

Ящик містить 10 деталей, серед яких 3 стандартні. Знайти ймовірність того, що серед відібраних 5 деталей виявляться: а) тільки 2 стандартні деталі; б) всі деталі нестандартні; в) всі деталі стандартні; г) хоча б одна деталь стандартна.

Рішення:

а) число способів, де взяли 5 деталей з 10 деталі, можна підрахувати за формулою:

С2 - число способів, де взяли 2 стандартні деталі з 3-х нестандартних

С3 - число способів, де взяли 3 стандартні деталі з 7-ми нестандартних

С5 - всього способів, де взяли 5 стандартних деталей з 10-ти

С2 = __ 3! ___ = 3 С3 = __7! ___ = 35 С5 = __10! ___ = 252

2! ? 1! 3! ? 4! 5! ? 5!

С3 ? С7 = 3 ? 35 = 0,417

С5 252

б) С7 - число способів вибору, де взяли 5 деталей з 7-ми

С5 = __7! __ = 21

5! ? 2!

Число вибору деталей вважається в поєднанні С5 = 1

С7 - число способів, де взяли 5 деталей з 7-ми

С10 - всього способів, де взяли 5 деталей з 10-ти

Шукана ймовірність Р (Д):

Р (Д) = С7 ? С3 = 21 ? 1 = 0,083

С10 252

в) Подія, де взяли 5 стандартних деталей з 3-х стандартних деталей неможливо. Ймовірність дорівнює нулю.

г) Знайдемо шукану ймовірність через протилежну подію:

С7 - число способів, де взяли 5 нестандартних деталей з 7-ми

С3 - число способів вибору з 3-х

С10 - всього способів, де взяли 5 деталей з 10-ти

С7 ? С3 = 0,083 - шукана ймовірність дорівнює результату під пунктом б). С10

Відповідь: а) Якщо серед відібраних 5 деталей виявляться тільки 2 стандартні деталі, то ймовірність дорівнює 0,417; б) якщо серед відібраних 5 деталей виявляться всі деталі нестандартні, то ймовірність дорівнює 0,083; в) якщо серед відібраних 5 деталей виявляться всі деталі стандартні, то ймовірність дорівнює 0; г) якщо серед відібраних 5 деталей виявиться, хоча б одна деталь стандартна, то ймовірність дорівнює 0,083.

Завдання 3

Є 2 ящика виробів, причому в одному ящику всі вироби доброякісні, а в другому - тільки половина. Виріб, взяте навмання з обраного ящика, виявилося доброякісним. На скільки відрізняються ймовірності того, що виріб належить першому і другому ящику, якщо кількість виробів в ящиках однаково?

Рішення: I ящик II ящик

Доброякісні 50 ? 50 вироби Н1 - взяли з I ящика з доброякісними виробами, то Р (Н1) = 0,5

Н2 - взяли з II ящика, то Р (Н2) = 0,5

Подія А, де взяли доброякісну деталь, Р (А | Н1) = 1

Подія А | Н1 - доброякісна деталь з I ящика

Подія А | Н2 - з II ящика, Р (А | Н2) = 0,5

Тоді шукана ймовірність Р (А) = Р (Н1) ? Р (А | Н1) + Р (Н2) ? Р (А | Н2)

Р (А) = 0,5 ? 1 + 0,5 ? 0,5 = 0,5 + 0,25 = 0,75

Р (Н1) ? Р (А | Н1) ? Р (Н2) ? Р (А | Н2)

Відповідь: Якщо виріб належить першому і другому ящику, і кількість виробів в ящиках однаково, то ймовірності відрізняються на 0,75.

Завдання 4

У ящику знаходяться вироби, зроблені на трьох верстатах: 20 - на першому верстаті, 18 - на другому та 14 - на третьому. Ймовірності того, що вироби, виготовлені на першому, другому і третьому верстатах, відмінної якості, відповідно, дорівнюють 0,7; 0,85; 0,9. Узяте навмання виріб виявилося відмінної якості. Яка ймовірність того, що воно виготовлене на другому верстаті?

Рішення: I II III

20 18 14

0,7 0,85 0,9

Р (А | Н1) = 0,7 Р (А | Н2) = 0,85 Р (А | Н3) = 0,9

Р (А) = 0,7 ? 0,85 ? 0,9 = 0,536

А - взятий виріб відмінної якості з II верстата

Шукана ймовірність дорівнює:

Р (Н2 | А) = ________ Р (Н2) ? Р (А | Н2)

Р (Н1) ? Р (А | Н1) + Р (Н2) ? Р (А | Н2) + Р (А | Н3)

Де Н1, Н2, Н3 - відповідно виготовлено виробів на верстатах I, II і III.

Р (А | Н1) = 0,7 - імовірність відмінною деталі I верстата

Р (А | Н2) = 0,85 - ймовірність відмінною деталі II верстата

Р (А | Н3) = 0,9 - імовірність відмінною деталі III верстата

Р (Н2 | А) = ________ 0,346 ? 0,85 ______________ = 0,294 = 0,365

0,385 ? 0,7 + 0,346 ? 0,85 + 0,269 ? 0,9 0,806

Відповідь: Імовірність дорівнює 0,365, що взяте навмання виріб виявилося відмінної якості виготовлено на другому верстаті.

Завдання 5

Знайти ймовірність того, що подія А відбудеться не менше 2 разів на 4 незалежних випробуваннях, якщо ймовірність настання події А в одному випробуванні дорівнює 0,6.

Рішення:

Подія А відбудеться не менше 2-х разів на 4 незалежних випробуваннях

Р (А) = р Р (А) = Сm ? рm ? qn - m

Р = 0,6

q = 1 - р = 1 - 0,6 = 0,4

- Ймовірність протилежної події. Ні настання події А в першому випробуванні.

Знайдемо твір npq і визначимо формулу обчислення:

ймовірність випадковий величина інтегральний

n = 4 npq = 4 ? 0,6 ? 0,4 = 0,96

Можна використовувати формулу Бернули:

Р (А) = С2 ? p2 ? q2 + С3 ? р3 ? q1 + С4 ? р4 ? q0

Знайдемо через протилежну подію:

Р (А) = 1 - С0 ? p0 ? q4 + С1 ? p1 ? q3 = 1 - 1 ? 1 ? (0,4) 4 + 4 ? 0,6 ? (0,4) 3 = 1 - 0,0256 + 4 ? 0,6 ? 0,064 = 0,9744 + 0,1536 = 1,128

С4 = __4! __ = 4

1! ? 3!

Відповідь: Якщо подія А відбудеться не менше 2 разів на 4 незалежних випробуваннях, то ймовірність дорівнює 1,128.

Завдання 6

Ймовірність того, що пара взуття, навмання з виготовленої партії, виявиться 1-го сорту, дорівнює 0,7. Визначити ймовірність того, що з 2100 пар, що надходять на контроль, число пар першосортною взуття виявиться не менше 1000 і не більше 1500.

Рішення:

Для вирішення задачі використовуємо інтегральну формулу Муавра - Лапласа.

Імовірність подій Рn (m1 ? m ? m2) = Ф (х2) - Ф (х1)

р = 0,7; n = 2100; m1 = 1000; m2 = 1500; q = 0,3

х1 = _m1 - np_ = 1000 - 2100 ? 0,7 = 1000 - 1470 = - 470 = - 22,38

v npq v2100 ? 0,7 ? 0,3 v441 21

х2 = _m2 - np_ = 1500 - 2100 ? 0,7 = 1500 - 1470 = _30_ = 1,43

v npq v2100 ? 0,7 ? 0,3 v441 21

Ф (- х) = - Ф (х) Ф (- 22,38) = 0,5 Ф (- 22,38) = 0,4236

Ф (х2) - Ф (х1) = Ф (х2) + Ф (х1) = 0,5 + 0,4236 = 0,9236

Відповідь: Якщо число пар першосортною взуття виявиться не менше 1000 і не більше 1500, то з 2100 пар, що надходять на контроль, дорівнює ймовірності 0,9236.

Завдання 7

Випадкова величина Х задана інтегральною функцією F (x). Потрібно: а) знайти диференційну функцію f (х) (щільність ймовірності), б) знайти математичне очікування і дисперсію Х, в) побудувати графіки інтегральної та диференціальної функцій, г) ймовірність попадання випадкової величини Х в інтервал.

Рішення:

За визначенням F'(х) = f (х)

0, при х ? 0

f (х) = х2, при 0 ? х ? 2

1, при х ? 2

F'(х) = 0'= 0 F'(х) = (х2 ? 4) '= 0,5х F'(х) = 1'= 0

в) Побудова графіків інтегральної та диференціальної функції.

б) М (Х) = х f (х) dx = 0 dx + х ? _1_ dx + 0 dx = _ 1_ ? х3 ? 3 = х3 ? 6 =

2 лютого = _ 23_ - _03 = 8 - 0 = 4 = а

6 червня 6 Березня

Д (Х) = (х - _4_) 2 f (х) dx = 0 (х - _4) 2 f (х) dx + (х - 4) 2 1 х dx +

3 березня 2 Березня

+ (Х - 4_) 2 f (х) dx = (1 х3 - 4 х2 + 8 х) dx = (1_ ? х4 - 4_ ? х3 + 8_ ? х2) =

3 2 3 9 2 3 9

= 1_ ? 24 - 4 ? 23 + 8_ ? 22 = 16 - 32 + 16 = 144 - 128 = 16 = _2_

2 4 3 3 9 2 8 9 9 72 72 9

г) Р (1 ? Х ? 2) = F (в) - F (а) 22 ? 1 - 12 ? 1 = _1 - _1 = _1_ -

3 4 3 4 9 12 12

вірогідність попадання в цей проміжок.

Відповідь: М (Х) = _4 = а; Д (Х) = _2; Р (1 ? Х ? 2) = _ 1_

3 9 грудня

Завдання 8

Знайти ймовірність попадання в заданий інтервал (a, b) нормально розподіленої випадкової величини Х, якщо відомі її математичне очікування а і середнє квадратичне відхилення s.

a = 2, b = 13, а = 10, s = 4.

Рішення:

Якщо випадкова величина Х нормально розподілена, то вона є безперервною випадковою величиною, і М (Х) обчислюється, як: (a + b) ? 2, а Д (Х) обчислюється, як: (ba) ? (в-а), і s пов'язані формулою v Д.

Тоді ймовірність: Р {Х ? [a, b]} буде обчислюватися за формулою:

Ф ((b - a) ? s) - Ф ((a - b) ? s).

М (Х) = (a + b) ? 2 = (2 + 13) ? 2 = 7,5

Д (Х) = (b - a) 2 ? 12 = 9 ? 12 = 0,75

s = v Д = v 0,75 = 0,87 ? 100 = 87

Те шукана ймовірність знаходиться за формулою:

Р (a ? Х ? b) = Ф ((b - a) ? s) - Ф ((a - b) ? s) = Ф ((13 - 10) ? 4) -

Ф ((2 - 10) ? 4) = Ф (0,75) - Ф (- 2) = Ф (0,75) + Ф (2) = 0,2734 + 0,5 =

= 0,773

Де Фх - функція Лапласа, яку знаходимо по таблиці.

Відповідь: Ймовірність влучення в заданий інтервал (a, b) нормально розподіленої випадкової величини Х, дорівнює 0,773.

Завдання 9

Знайти довірчі інтервали для оцінки математичного сподівання нормального розподілу з надійністю 0,95, якщо вибіркова середня, обсяг вибірки n і середнє квадратичне відхилення s.

= 12, 15, n = 169 s = 5

Рішення:

Знаходимо довірчі інтервали: х - t ? ? а ? х + t ?

v n v n

де Ф (t) = Ф (? ? s) > t = (? ? s) = (0,95 ? 5) = 0,19

х - t ? = 12,15 - 0,19 ? 0,95 = 12,15 - 0,01 = 12,14

v n v 169

х + t ? = 12,15 + 0,19 ? 0,95 = 12,15 + 0,01 = 12,16

v n v 169

Відповідь: Довірчі інтервали 12,14 ? а ? 12,16.

Література

1. Севастьянов Б.А., Чистяков В.П, Зубков А.М. Збірник завдань з теорії ймовірностей - М .: Наука, 1980.

2. Шипачьов В.С. Вища математика. М .: Вища школа, 2004.

3. Чистяков В.П. Курс теорії ймовірності, М .: 2001.

4. Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статістіка.- М .: Вища школа, 2003.

5. Гмурман В.Є. Керівництво вирішення задач з теорії ймовірностей і математичної статістіке.- М .: Вища школа, 2003.

6. Данко П.Е та ін. Вища математика у вправах і завданнях (I і II частина) .- М, 2005.

7. богарі П.П., Печінкін А.В. Теорія ймовірностей. Математична статистика - М .: 1998.

8. Венцель Е.С. Теорія ймовірностей - М .: 1962.

9. Солодовников А.С. Теорія ймовірностей М .: Просвещение, 1978.

10. Виленкин Н.Я., Потапов В.Т. Задачник-практикум з теорії ймовірності з елементами комбінаторики та математичної статистики.

11. Кремер Н.Ш .: «Теорія ймовірностей і математична статистика»; М.ЮНІТІ - Дана, 2003.

© 8ref.com - українські реферати
8ref.com