На головну

 Перевірка гіпотези про закон розподілу генеральної сукупності X за критерієм Пірсона - Математика

Федеральне агентство з освіти РФ

Сибірська державна автомобільно-дорожня академія (СибАДИ) Кафедра: «Вища математика» розрахунково-графічних РОБОТА Тема: «Перевірка гіпотези про закон розподілу генеральної сукупності X за критерієм Пірсона» Виконала: студентка 23ЕУТ

Хасянова А.Ф.

Перевірив: Матвєєва С.В

Дата _______________

Оцінка _____________

Омськ-2010

Зміст

1. Введення. Вихідні дані

2. Варіаційний ряд

3. Інтервальний варіаційний ряд

4. Побудова гістограми щільності відносних частот. Висування гіпотези про закон розподілу генеральної сукупності Х

5. Оцінки числових характеристик і параметрів висунутого закону

6. Теоретична функція щільності розглянутого закону розподілу «Побудова її на гістограмі»

7. Перевірка критерію Пірсона

Висновок

1. Вихідні дані варіанту №20

Дана вибірка з генеральної сукупності випадкової величини Х. Дані представлені в таблиці 1.

Таблиця 1

 79,02 79,70 74,68 20,47 11,70 44,64 40,75 8,59 96,42 6,17

 91,75 93,29 77,57 81,25 76,59 51,84 6,17 42,79 80,87 92,81

 48,04 14,70 100,64 69,83 94,56 70,42 47,93 47,48 66,79 42,12

 20,27 51,36 62,51 66,86 87,99 99,29 5,96 60,38 62,53 75,50

 46,55 83,53 55,65 59,26 77,05 101,10 29,93 102,21 86,11 45,92

 90,93 24,30 9,76 90,25 36,72 84,96 20,50 81,99 56,29 31,75

 43,61 68,70 80,47 100,66 29,98 48,88 40,37 67,46 91,46 59,11

 90,75 4,64 36,53 32,39 6,99 8,41 30,85 37,30 64,44 25,60

 18,00 84,27 98,88 36,39 34,64 49,49 10,53 50,97 39,40 3,59

 100,39 18,57 9,27 10,89 65,91 35,62 75,45 37,86 89,74 4,57

Вибірка містить 100 спостережуваних значень, тому вибірка має об'єм n = 100.

2. Побудова варіаційного ряду

Операція розташування значень випадкової величини по які зменшенням називається ранжируванням. Послідовність елементів х (1) ? х (2) ? ... ? х (k) називається варіаційним рядом, елементи якого називають варіантами.

Проранжирувавши статистичні дані, отримуємо варіаційний ряд (табл. 2).

Таблиця 2

 3,59 9,76 24,30 36,53 44,64 51,84 66,68 77,05 84,96 93,29

 4,57 10,53 25,60 36,72 45,92 55,65 66,79 77,75 86,11 94,56

 4,64 10,89 29,93 37,30 46,55 56,29 67,46 79,02 87,99 96,42

 5,96 11,70 29,98 37,86 47,48 59,11 68,78 79,70 89,74 98,88

 6,17 14,70 30,85 39,40 47,93 59,26 69,83 80,47 90,25 99,29

 6,17 18,00 31,75 40,37 48,04 60,38 70,42 80,87 90,75 100,39

 6,99 18,57 32,39 40,75 48,88 62,51 74,68 81,25 90,93 100,46

 8,41 20,27 34,64 42,12 49,49 62,53 75,45 81,99 91,46 100,66

 8,59 20,47 35,62 42,79 50,97 64,44 75,50 83,53 91,75 101,10

 9,27 20,50 36,39 43,61 51,36 65,71 76,59 84,27 92,81 102,21

3. Побудова інтервального варіаційного ряду

Досвідчені дані об'єднуємо в групи так, щоб у кожній окремій групі значення варіант будуть однакові, і тоді можна визначити число, що показує, скільки разів зустрічається відповідна варіанту в певній (відповідної) групі.

Чисельність окремої групи сгруппированного ряду досвідчених даних називається вибіркової частотою відповідної варіанти x (i) і позначається mi; при цьому, де n - обсяг вибірки.

Ставлення вибіркової частоти даної варіанти до обсягу вибірки називається відносної вибіркової частотою і позначається Pi *,

т.е.- число (частота) попадань значень X в i-й розряд, n - обсяг вибірки.

Тому згідно теоремі Бернуллі маємо, чтот.е. вибіркова відносна частота сходиться по ймовірності відповідної ймовірності, тоді з умови:

Інтервальним варіаційним рядом розподілу називається упорядкована сукупність часткових інтервалів значень С.В. з відповідними їм частотами або відносними частотами.

Для побудови інтервального варіаційного ряду виконуємо наступні дії.

1. Знаходимо розмах вибірки R = xmax - xmin. Маємо R = 102,21-3,59 = 98,62.

2. Визначаємо довжину часткового інтервалу ? - крок розбиття за формулою Стерджеса: де n - обсяг вибірки, К-число часткових інтервалів.,

3. ? = 10

4. Визначаємо початок першого часткового інтервалаПосле розбиття на часткові інтервали переглядаємо ранжувати вибірку і визначаємо, скільки значень ознаки потрапило в кожен частковий інтервал, включаючи в нього ті значення, які ? нижньої межі і менше верхньої межі. Будуємо інтервальний варіаційний ряд (табл. 3). Таблиця 3

 Розряди

 mi

=

 1 [3.5-13.5) 14 0.14 0.014 8.5

 2 [13.5-23.5) 6 0.06 0.006 18.5

 3 [23.5-33.5) 7 0.07 0.007 28.5

 4 [33.5-43.5) 12 0.12 0.012 38.5

 5 [43.5-53.5) 12 0.12 0.012 48.5

 6 [53.5-63.5) 7 0.07 0.007 58.5

 7 [63.5-73.5) 8 0.08 0.008 68.5

 8 [73.5-83.5) 12 0.12 0.012 78.5

 9 [83.5-93.5) 13 0.13 0.013 88.5

 10 [93.5-103.5) 9 0.09 0.009 98.5

 Контроль

 = 100

 = 1

Десь щільність відносної частоти

середина часткових інтервалів

4. Побудова гістограми

Гістограмою частот називають ступінчасту фігуру, що складається з прямокутників, підставами яких служать часткові інтервали довжини, а висоти рівні отношенію- щільність частоти (або-щільність зокрема).

За даними таблиці 4 будуємо гістограму (рис. 1) .Гістограмма частот є статистичним аналогом диференціальної функції розподілу (щільності) випадкової величини Х. Площа гістограми дорівнює одиниці.

Висування гіпотези про закон розподілу генеральної сукупності

За даними спостережень статистичне среднеее вибіркове середнє квадратичне відхилення у * за значенням майже збігаються. Враховуючи даний факт, а також вид гістограми можна припустити, що випадкова величина має рівномірний розподіл.

По виду гістограми висуваємо гіпотезу про рівномірний закон розподілу генеральної сукупності Х.

5. Оцінка числових характеристик і параметрів закону розподілу

Оцінками математичної статистики називають наближені значення числових характеристик або параметрів законів розподілу генеральної сукупності Х обчислені на основі вибірки.

Оцінка називається точковою, якщо вона визначається числом або точкою на числовій осі.

Оцінка (як точкова, так і интервальная) є випадковою величиною, так як вона обчислюється на основі експериментальних даних і є функцією вибірки.

При обчисленні точкових оцінок для зручності беруть не самі елементи вибірки, а середини часткових інтервалів з інтервального варіаційного ряду (табл. 1) і застосовують формули:

де n - обсяг вибірки, - i-й елемент вибірки

Складемо таблицю для нахожденіяі

Таблиця 4

i

1

 8.5 * 14 = 119

2

 18.5 * 6 = 111

3

 28.5 * 7 = 199.5

4

 38.5 * 12 = 462

5

 48.5 * 12 = 582

6

 58.5 * 7 = 409.5

7

 68.5 * 8 = 548

8

 78.5 * 12 = 942

9

 88.5 * 13 = 1150.5

 10

 98.5 * 9 = 886.5

6. Рівномірний закон

інтервальний варіаційний генеральний сукупність

Висунуто гіпотезу про розподіл генеральної сукупності Х по рівномірному закону

знайдемо функцію щільності рівномірного законавичіслів оцінки параметровий

,

Т.к М (x) = ,, D (x) =

Таблиця 5

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 10

 186

Після того, як знайдені значення функції щільності для кожного розряду, нанесемо їх прямо на гистограмму, отримуючи тим самим криву функції щільності

7 Перевірка гіпотези про закон розподілу генеральної сукупності за критерієм Пірсона

В якості запобіжного розбіжності між статистичними та гіпотетичним (теоретичним) розподілами візьмемо критерій Пірсона К = ч2.

Пірсон довів, що значення статистичного критерію не залежить від функциии від числа дослідів n, а залежить від числа часткових інтерваловінтервального варіаційного ряду. При збільшенні ч2, і знаходиться за формулою:

К = або К =

Подальші обчислення, необхідні для визначення розрахункового значення вибіркової статистики, проведемо в таблиці 5.Табліца 6

i

/

 1 0.14 14 0.1029 10.29

 13.76 / 10.37 = 1.33

 2 0.06 6 0.1 10

 16/10 = 1.6

 3 0.07 7 0.1 10

 16/10 = 1.6

 4 0.12 12 0.1 10

 16/10 = 1.6

 5 0.12 12 0.1 10

 16/10 = 1.6

 6 0.07 7 0.1 10

 16/10 = 1.6

 7 0.08 8 0.1 10

 16/10 = 1.6

 8 0.12 12 0.1 10

 16/10 = 1.6

 9 0.13 13 0.1 10

 16/10 = 1.6

 10 0.09 9 0.1149 11.49

 6.3 / 11.49 = 0.548

 01.86

Щоб знайти значеніенадо скористатися табличними распределеніямів яких значення сл. величини знаходять за заданим рівнем значущості обчисленому числу ступенів свободи

R- число часткових інтервалів в таблиці 1 але якщо в деяких з інтервалів значеніято треба об'єднати розташовані поряд інтервали так, чтобитогда число

R-це число з необ'єднаних інтервалів

i- число невідомих параметрів

У розглянутому емпіричному розподілі не маються частоти, менші 5. Випадкова величина ч2 (міра розбіжності) незалежно від виду закону розподілу генеральної сукупності при (n ? 50) має розподіл ч2 з числом ступенів свободи

1) К =

рівень значущості б = 1- = 0,05

,

знайдемо по таблиці значенійкрітіческое значення для б = 0,05 і = 9

Маємо = 16.9. Так както передбачувана гіпотеза про показовому законі розподілу генеральної сукупності чи не суперечить досвідченим даним і приймається на рівні значущості б.

2) =,

=

3) M (x) =,

M (x) =

4) D (x) =

D (x.1) =

5) Таким чином, критична область для гіпотези задається нерівністю; P () = Це означає, що нульову гіпотезу можна вважати правдоподібною і гіпотеза Але приймається

Висновок: У ході розрахунково-графічної роботи ми встановили, що генеральна сукупність X розподілена по рівномірному закону, перевіривши це по критерію Пірсона. Визначили параметри і числові характеристики закону і побудували для них довірчі інтервали.

© 8ref.com - українські реферати
8ref.com