трусики женские украина

На головну

 Рішення задач з вищої математики - Математика

Контрольна робота

Рішення задач з вищої математики

Завдання 1

Обчислити визначники:

;

.

Рішення

,

Завдання 2

Обчислити визначник:

.

Рішення

Використовуючи теорему Лапласа, розкладемо визначник за елементами третього стовпця

.

Завдання 3

Знайти матрицю, обернену до матриці.

Рішення

Знаходимо визначник матриці і все алгебраїчні доповнення:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Відповідь: Зворотній матриця має вигляд:

.

Завдання 4

За допомогою елементарних перетворень обчислити ранг матриці

.

Рішення

Додаючи до останньому рядку учетверенное другий рядок і скорочуючи потім останній рядок на, а після цього складаючи останній стовпець з другим і третім послідовно, отримаємо

.

Знак ~ позначає, що матриці отримані одна з іншої за допомогою елементарних перетворень та їх ранги рівні. Скорочуючи другий стовпець на два і віднімаючи перший стовпець зі всіх інших стовпців, а потім віднімаючи останній рядок з першої і міняючи місцями стовпці, отримуємо

.

Відповідь: Ранг матриці дорівнює двом.

Завдання 5

Вирішити наступну систему лінійних алгебраїчних рівнянь за правилом Крамера:

;

Рішення

Обчислимо головний визначник сістемиі допоміжні визначники ,,.

.

;

;

.

За формулою Крамера, отримаємо

;

;.

Завдання 6

Дослідити на спільність систему лінійних алгебраїчних рівнянь і, в разі позитивної відповіді, знайти її рішення.

Рішення

Матріцаіімеют вид

,

.

Їх ранги рівні. Система сумісна. Виділимо наступну підсистему

Счітаяіізвестнимі, рішення підсистеми знаходимо за формулами Крамера. Воно має вигляд

;,

де, - можуть брати довільні значення. Нехай, гдеТогда відповіддю буде служити безліч

Завдання 7

Дано началоі конецвектора. Знайти Вектори його довжину.

Рішення

Маємо, откудаілі.

Далі, т.е ..

Завдання 8

Дано вершини трикутника, і. Знайти з точність доуголпрі вершині.

Рішення

Задача зводиться до знаходження кута між вектораміі:

,;. Тоді ,.

Завдання 9

Дано вершини трикутника, і. Обчислити площу цього трикутника.

Рішення

Так як площа треугольнікаравна половині площі паралелограма, побудованого на векторахікак на сторонах, тобто, то. Знайдемо векториі:

;;.

Обчислимо їх векторний добуток:

,

,

Звідки

. Отже, (кв. Од.).

Завдання 10

Дано вершини трикутної піраміди ,, і. Знайти її об'єм.

Рішення

Маємо, і. Знайдемо векторний добуток

,

.

Цей вектор скалярно помножимо на вектор:

.

Це змішане твір можна знайти безпосередньо за наведеною формулою:

.

Отже, обсяг:

, (Куб. Од.).

Завдання 11

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку.

Рішення

За першу вершину приймемо (на результат це не впливає); отже,

,

,

,

Маємо

,,,

Відповідь: - загальне рівняння шуканої прямої.

Завдання 12

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку, паралельно і перпендикулярно прямій.

Рішення

Знайдемо кутовий коефіцієнт даної прямої :. Згідно з умовами паралельності і перпендикулярності двох прямих, кутовий коефіцієнт паралельної прямої буде дорівнює, а перпендикулярної прямої буде дорівнює -4 / 3. Складаємо рівняння шуканих прямих:

1) паралельної:, - загальне рівняння прямої, паралельної даній;

2) перпендикулярної:, - загальне рівняння прямої, перпендикулярної до даної.

Завдання 13

Знайти відстань між двома паралельними прямими.

Рішення

Виберемо на одній з даних прямих точку. Нехай. Для визначення координат точкіна прямойодну координату виберемо довільно, а другий визначимо з рівняння. Візьмемо; тоді, і. За формулою відстані від точки до прямої знаходимо:

;.

Завдання 14

Дослідити на абсолютну та умовну збіжність

.

Рішення

Перевіримо виконання умов теореми Лейбніца

а)

б)

(При обчисленні межі застосовувалося правило Лопіталя). Умови виконуються, отже, ряд сходиться. Досліджуємо ряд на абсолютну збіжність.

Маємо:

Тоді за ознакою Даламбера:

, І ряд, складений з абсолютних величин елементів вихідного ряду, буде сходиться. Отже, рядсходітся абсолютно.

а)

б),

отже ряд- сходиться.

2) Нехай. Тоді. Застосуємо ознаку порівняння, порівнюючи його з розбіжним гармонійним поруч. Маємо

.

Таким чином, ряд- розходиться.

Відповідь

Область збіжності рядаесть інтервал.

Завдання 15

Обчислити межа.

Рішення

Для обчислення цієї межі безпосередньо застосувати зазначені теореми можна, так як межі функцій, що знаходяться в чисельнику і знаменнику, не існують. Тут є невизначеність виду, для розкриття якої в даному випадку слід чисельник і знаменник дробу розділити на найбільший ступінь змінної, тобто на:

,

так какпрі.

Завдання 16

Обчислити приділ

Рішення

Так як межа знаменника дорівнює нулю, то теорема 3 непридатна. Тут є невизначеність виду. Для розкриття цієї невизначеності в чисельнику і знаменнику слід виділити нескінченно малий множник, на який потім скоротити дріб. Для цього скористаємося формулою розкладання квадратного тричлена на множники

, Де- його корні.Тогда

.

Завдання 17

Обчислити межа.

Рішення

Помноживши чисельник і знаменник на вираз, поєднане до чисельника, отримаємо:

.

Завдання 18

Обчислити межа.

Рішення

Легко переконатися, чтоіпрі.

Тому

.

Завдання 19

Обчислити межа

Рішення

Для того, щоб скористатися другим чудовим межею, в показнику ступеня виділимо величину, зворотну другому доданку підстави і отримаємо

.

Завдання 20

Знайти межа.

Рішення

.

Завдання 21

Продифференцировать функцію.

Рішення

.

Завдання 22

Обчислити за допомогою диференціала.

Рішення

Нехай. Тоді. Позначимо:;. Звідси. Знаходить.

.

Отже ,.

Завдання 23

Знайти.

Рішення

Підстановка в задану функцію значеніяпріводіт до невизначеності виду. Застосувавши правило Лопіталя, отримаємо:

.

Завдання 24

Дослідити на екстремум функцію

.

Рішення

1. Знаходимо область визначення функції :.

2. Знаходимо похідну функції :.

3. Знаходимо критичні точки, вирішуючи уравненіеілі. Критичні точки ,.

4. Область визначення функції розбиваємо критичними точкамііна інтервали, в кожному з яких визначаємо знак, робимо висновок про характер монотонності функції на кожному з інтервалів і відзначаємо наявність екстремумів.

 + 0 - 0 +

 Зростає Max убуває Min Зростає

При переході через критичну точкупроізводнаяменяет знак з "+" на "-". Значить, в цій точці функція має максимум:

.

Аналогічно встановлюємо, що

.

Завдання 25

Знайти найбільше і найменше значення функції

на відрізку.

Рішення

1. Знаходимо критичні точки заданої функції:

;;.

2. Переконуємося в тому, що точкапрінадлежіт відрізку.

3. Рахуємо: ;;.

4. Порівнюємо числа ;; і знаходимо:

;.

Завдання 26

Знайти спільне рішення рівняння

.

Рішення

Це неоднорідне лінійне диференціальне рівняння першого порядку. Його рішення шукаємо у вигляді, тоді. Подставляяів вихідне рівняння, отримаємо

або. (1)

Завдання 27

Дослідити функцію.

Рішення

1. Функція визначена і неперервна на інтервалі. Тому точок розриву і вертикальних асимптот у графіка функції немає.

2. Функція непарна, оскільки. Це означає, що графік функції симетричний щодо початок координат.

3. Поклавши, отримаємо, тобто крива проходить через початок координат.

4. Функція не періодично.

5. Знаходимо першу похідну. Проізводнаядля всіх. Це означає, що функція зростає на всій числовій осі. Тому екстремумів вона не має.

6. Знаходимо другу проізводнуюі прирівнюємо її до нуля :. Точкабудет критичною точкою. Точкойразбіваем область визначення функції на інтервалиі, які є інтервалами знакопостоянства другої похідної.

-

+

 опукла

 вогнутая

Оскільки при переході через точкупроізводнаяменяет знак, то точкабудет точкою перегину шуканої кривої.

7. З'ясуємо наявність похилих асимптот:

;

;

;.

Отже, похилими асимптотами будуть прямі:

і.

Завдання 28

Знайти приватні похідні функції

.

Рішення

;;.

Завдання 29

Знайти похідну функції пункту напрямку вектора.

Рішення

;;;;;;.

Завдання 30

Дано функціяй точки. Обчислити:

1) точне значеніефункціі в точці;

2) наближене значеніефункціі в точці, виходячи з її значення в точці, замінивши пріращеніепрі переході від точкік точкедіфференціалом;

3) відносну похибку, що виникає при замінена.

Рішення

За умовою ,,,. Тому ,. Знаходимо точне значення функції в точці:

.

Знаходимо наближене значення:

;

;.

Обчислюємо відносну похибку:

.

Завдання 31

Знайти екстремуми функції

.

Рішення

Знаходимо критичні точки:

;;

откудаі- точки, де приватні похідні дорівнюють нулю. Досліджуємо ці точки за допомогою достатніх умов

;

;

;

;

. Тому екстремуму в точкефункція не має.

,. Тому функція в точкеімеет мінімум :.

Завдання 32

Обчислити невизначений інтеграл

.

Рішення

Зводимо в квадрат чисельник і почленно ділимо на знаменник. Потім, застосовуючи властивості, отримуємо перший інтеграл таблиці:

.

Завдання 33

Обчислити невизначений інтеграл

.

Рішення

Беручи в подинтегральних вираженні ,, отримаємо ,. Тому

.

Перевірка ..

Завдання 34

Обчислити невизначений інтеграл

.

Рішення

Зробивши заміну змінної

Отримаємо

.

Завдання 35

Обчислити.

Рішення

Вважаємо ,; тоді, .Інтегріруя по частинах, знаходимо

.

Завдання 36

Обчислити

.

Рішення

Покладемо. Підстановка значенійів уравненіедаеті. Таким чином,

.

Завдання 37

Знайти.

Рішення

За визначенням

.

Завдання 40

Знайти спільне рішення рівняння.

Рішення

Так як

,

то дане рівняння є однорідне диференціальне рівняння. Замінивши у вихідному рівнянні, отримаємо уравненіеілі.

Це рівняння із перемінними. Розділивши їх, отримаємо

,

.

Проінтегрувавши останнє рівняння, знайдемо

або.

Підставивши, загальне рішення вихідного рівняння запишемо у вигляді, а після перетворення.

Завдання 38

Знайти область збіжності степеневого ряду

.

Рішення

Складемо ряд з абсолютних величин

,

За ознакою Даламбера маємо:

,

отже ,,, і на інтервалеряд сходиться.

Перевіримо його збіжність на кінцях інтервалу:

1) Нехай. Тоді- Знакозмінні ряд. Для його аналізу застосуємо теорему Лейбніца:

Завдання 14

Вичіслітьс точністю до.

Рішення

Розклавши в ряди поділивши почленно на, отримаємо:

.

Вибираємо функціютакой, щоб.

Тоді.

Інтегруємо і находиме.

Підставивши знайдену функцію в (1), отримаємо ще одне рівняння

,,;.

Отже, - спільне рішення заданого рівняння.

Завдання 42

Знайти спільне рішення диференціального рівняння:

.

Рішення

Складемо характеристичне рівняння

. Так каки, ??то загальним рішенням буде

.

Приватне рішення неоднорідного уравненіяподбірается в залежності від виду функції.

1. Нехай ,, являє собою многочлен степеніс дійсними коефіцієнтами. Тоді приватне рішення слід шукати у вигляді:

,

де- многочлен тій же мірі, що і многочлен, але з невідомими коефіцієнтами, а- число коренів характеристичного рівняння, рівних нулю.

Завдання 43

Знайти спільне рішення рівняння.

Рішення

Шукаємо спільне рішення у вигляді, де- спільне рішення відповідного однорідного рівняння, - приватне рішення неоднорідного рівняння. Так як- многочлен першого ступеня один корінь характеристичного рівняння, то приватне рішення треба шукати у вигляді

.

Підберемо коеффіціентиітак, щоб решеніеудовлетворяло даному рівнянню

,

,

.

Прирівнявши коефіцієнти при однакових ступенях лівої і правої частин тотожності, одержимо

Отже ,, а- шукане загальне рішення.

2. Нехай. Тоді приватне рішення неоднорідного рівняння, де- число коренів характеристичного рівняння, рівних.

Завдання 44

Знайти спільне рішення рівняння.

Рішення

Шукаємо рішення у вигляді. Вирішимо однорідне рівняння. Коріння характеристичного уравненіяравниі. Отже ,. Приватне рішення шукаємо у вигляді (так як,). Знайдемо, а. Підставляючи, верб вихідне рівняння, отримаємо

,

,,.

Значить, - приватне рішення, а- спільне рішення.

3. Права частина, де ,, - задані дійсні числа. У цьому випадку приватне рішення шукається у вигляді

,

де: и- невідомі коефіцієнти;

- Число коренів характеристичного рівняння, рівних.

Завдання 45

Знайти спільне рішення рівняння.

Рішення

Шукаємо спільне рішення у вигляді. Маємо:

,,,,

значить ,. Функція, поетомуне збігається з корінням характеристичного рівняння. Отже,

,

.

Підставивши, верб дане рівняння, отримаємо

.

Прирівнявши коефіцієнти пріі, знайдемо

Значить, - приватне рішення, а

- Загальне рішення рівняння.

Завдання 46

Дослідити збіжність ряду.

Рішення

Знайдемо:

,

отже, виходячи з необхідного ознаки, ряд розходиться.

Завдання 47

Дослідити збіжність ряду

Рішення

Застосуємо ознаку Даламбера:

,

,

,

отже, ряд сходиться.

Завдання 48

Дослідити на збіжність ряду

.

Рішення

Порівняємо даний ряд з рядом:

.

матриця завдання алгебраїчна ряд рівняння

Отже, обидва ряди поводяться однаково. Рядрасходітся, отже, і даний рядтоже розходиться.

Розміщено на http: // www.

Авіація і космонавтика
Автоматизація та управління
Архітектура
Астрологія
Астрономія
Банківська справа
Безпека життєдіяльності
Біографії
Біологія
Біологія і хімія
Біржова справа
Ботаніка та сільське господарство
Валютні відносини
Ветеринарія
Військова кафедра
Географія
Геодезія
Геологія
Діловодство
Гроші та кредит
Природознавство
Журналістика
Зарубіжна література
Зоологія
Видавнича справа та поліграфія
Інвестиції
Інформатика
Історія
Історія техніки
Комунікації і зв'язок
Косметологія
Короткий зміст творів
Криміналістика
Кримінологія
Криптологія
Кулінарія
Культура і мистецтво
Культурологія
Логіка
Логістика
Маркетинг
Математика
Медицина, здоров'я
Медичні науки
Менеджмент
Металургія
Музика
Наука і техніка
Нарисна геометрія
Фільми онлайн
Педагогіка
Підприємництво
Промисловість, виробництво
Психологія
Психологія, педагогіка
Радіоелектроніка
Реклама
Релігія і міфологія
Риторика
Різне
Сексологія
Соціологія
Статистика
Страхування
Будівельні науки
Будівництво
Схемотехніка
Теорія організації
Теплотехніка
Технологія
Товарознавство
Транспорт
Туризм
Управління
Керуючі науки
Фізика
Фізкультура і спорт
Філософія
Фінансові науки
Фінанси
Фотографія
Хімія
Цифрові пристрої
Екологія
Економіка
Економіко-математичне моделювання
Економічна географія
Економічна теорія
Етика

8ref.com

© 8ref.com - українські реферати


енциклопедія  бефстроганов  рагу  оселедець  солянка